https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/api.php?action=feedcontributions&user=Evamontiel&feedformat=atomluz-wiki - Contribuciones del usuario [es]2024-03-28T13:21:03ZContribuciones del usuarioMediaWiki 1.39.6https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=26629Indeterminacion2020-07-17T02:42:37Z<p>Evamontiel: /* Par (Triplete) de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde '''f''' y '''g''' son funciones arbitrarias en sus argumentos y '''${\omega}$'''<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_{}^\frac{y}{x} f(\tau)d\tau+\int_{}^\frac{x}{y} g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_{}^\frac{x}{y}\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la '''figura 1'''.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente '''$A\cos\phi$''', de manera que la '''tangente de $\theta$'''<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, '''$\cos\theta$''' es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo '''$\phi$''',<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
'''$A$''', mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es '''$\phi$'''', mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25978Indeterminacion2020-07-14T19:24:10Z<p>Evamontiel: /* Cambio de variables */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde '''f''' y '''g''' son funciones arbitrarias en sus argumentos y '''${\omega}$'''<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_{}^\frac{y}{x} f(\tau)d\tau+\int_{}^\frac{x}{y} g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_{}^\frac{x}{y}\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la '''figura 1'''.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente '''$A\cos\phi$''', de manera que la '''tangente de $\theta$'''<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, '''$\cos\theta$''' es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo '''$\phi$''',<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
'''$A$''', mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es '''$\phi$'''', mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25971Indeterminacion2020-07-14T19:21:13Z<p>Evamontiel: /* Par (Triplete) de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde '''f''' y '''g''' son funciones arbitrarias en sus argumentos y '''${\omega}$'''<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_{}^\frac{y}{x} f(\tau)d\tau+\int_{}^\frac{x}{y} g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_{}^\frac{x}{y}\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la '''figura 1'''.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente '''$A\cos\phi$''', de manera que la '''tangente de $\theta$'''<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, '''$\cos\theta$''' es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo '''$\phi$''',<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
'''$A$''', mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es '''$\phi$'''', mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25967Indeterminacion2020-07-14T19:19:57Z<p>Evamontiel: /* Par (Triplete) de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde '''f''' y '''g''' son funciones arbitrarias en sus argumentos y '''${\omega}$'''<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_{}^\frac{y}{x} f(\tau)d\tau+\int_{}^\frac{x}{y} g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_0^\frac{x}{y}\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la '''figura 1'''.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente '''$A\cos\phi$''', de manera que la '''tangente de $\theta$'''<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, '''$\cos\theta$''' es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo '''$\phi$''',<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
'''$A$''', mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es '''$\phi$'''', mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25961Indeterminacion2020-07-14T19:14:50Z<p>Evamontiel: /* Par (Triplete) de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde '''f''' y '''g''' son funciones arbitrarias en sus argumentos y '''${\omega}$'''<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_0^\frac{y}{x} f(\tau)d\tau+\int_0^\frac{x}{y} g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_0^\frac{x}{y}\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la '''figura 1'''.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente '''$A\cos\phi$''', de manera que la '''tangente de $\theta$'''<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, '''$\cos\theta$''' es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo '''$\phi$''',<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
'''$A$''', mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es '''$\phi$'''', mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25959Indeterminacion2020-07-14T19:08:04Z<p>Evamontiel: /* Par (Triplete) de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde '''f''' y '''g''' son funciones arbitrarias en sus argumentos y '''${\omega}$'''<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\int_0^\frac{y}{x} f(\tau)d\tau+\int_0^\frac{x}{y} g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la '''figura 1'''.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente '''$A\cos\phi$''', de manera que la '''tangente de $\theta$'''<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, '''$\cos\theta$''' es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo '''$\phi$''',<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
'''$A$''', mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es '''$\phi$'''', mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25956Indeterminacion2020-07-14T18:53:02Z<p>Evamontiel: /* Par (Triplete) de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y '''${\omega}$'''<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la '''figura 1'''.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente '''$A\cos\phi$''', de manera que la '''tangente de $\theta$'''<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, '''$\cos\theta$''' es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo '''$\phi$''',<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
'''$A$''', mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es '''$\phi$'''', mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25949Indeterminacion2020-07-14T18:44:03Z<p>Evamontiel: /* Par (Triplete) de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y '''${\omega}$'''<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la '''figura 1'''.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente '''$A\cos\phi$''', de manera que la '''tangente de $\theta$'''<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, '''$\cos\theta$''' es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo '''$\phi$''',<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
'''$A$''', mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es '''$\phi$'''', mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25894Indeterminacion2020-07-14T17:40:19Z<p>Evamontiel: /* Representación de amplitud y fase */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la '''figura 1'''.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente '''$A\cos\phi$''', de manera que la '''tangente de $\theta$'''<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, '''$\cos\theta$''' es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo '''$\phi$''',<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
'''$A$''', mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es '''$\phi$'''', mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25887Indeterminacion2020-07-14T17:36:30Z<p>Evamontiel: /* Representación de amplitud y fase */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la figura 1.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es '''$B\sin\phi$''' y el<br />
cateto adyacente $A\cos\phi$, de manera que la tangente de $\theta$<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, $\cos\theta$ es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo $\phi$,<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
$A$, mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es $\phi$, mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25869Indeterminacion2020-07-14T17:23:23Z<p>Evamontiel: /* Cambio de variables */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la figura 1.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es $B\sin\phi$ y el<br />
cateto adyacente $A\cos\phi$, de manera que la tangente de $\theta$<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, $\cos\theta$ es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo $\phi$,<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
$A$, mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es $\phi$, mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25863Indeterminacion2020-07-14T17:19:34Z<p>Evamontiel: </p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref name="Fernandezguasti06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref name="Fernandezguasti06"/><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
==Sistemas de Ermakov==<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}\label{eq:y}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0\label{eq:x}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. <br />
<br />
===Invariante===<br />
<br />
Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
===Par (Triplete) de Ermakov===<br />
<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo suficientemente derivables. <br />
<br />
Se ha argumentado que deberíamos considerar un triplete de Ermakov y no solamente dos ecuaciones <ref> Fernández-Guasti, M. Energy content in time dependent linear restoring force systems, Physics Letters A 382(45), 2018, 3231–3237 [https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/16-20/1-s2.0-S0375960118309654-main.pdf] </ref>. La tercera ecuación es la ecuación para la frecuencia, definida como la derivada de la fase \begin{equation}<br />
\omega\ddot{\omega}-\frac{3}{2}\dot{\omega}^{2}+2\omega^{2}\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)=0,\label{eq:freq difeq}<br />
\end{equation}<br />
donde $\Omega^{2}=\frac{\kappa}{m}$. Aunque para ésta última ecuación $\eqref{eq:freq difeq}$, hace falta incluir la función $f\left(\frac{x}{y}\right)$. La ecuación para la trayectoria es $x$ dada por la ec. $\eqref{eq:x}$, para la amplitud es $y$ dada por la ec. $\eqref{eq:y}$ y para la fase es $\omega$ dada por $\eqref{eq:freq difeq}$.<br />
<br />
====Cambio de variables====<br />
<br />
Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
===Oscilador armónico unidimensional===<br />
<br />
Consideremos la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde los overdot representan diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\varphi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\varphi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
$A(t)$, $\varphi(t)$ se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\varphi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es el invariante<br />
de Ermakov-Lewis dado por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<br />
Sin embargo, esta aseveración no es del todo correcta, pues hay una indeterminación en las variables de amplitud y fase como veremos en la siguiente sección.<br />
<br />
== Representación de amplitud y fase == <br />
<br />
Considere los triángulos de la figura 1.<br />
Para el triángulo en verde, el cateto opuesto es $B\sin\phi$ y el<br />
cateto adyacente $A\cos\phi$, de manera que la tangente de $\theta$<br />
es<br />
\begin{equation}<br />
\tan\theta=\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}.\label{eq:tan teta}<br />
\end{equation}<br />
<br />
[[Archivo:Triang.svg|320px|thumb|right|Figura 1. Indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Ahora bien, $\cos\theta$ es igual al cateto adyacente $A\cos\phi$<br />
entre la hipotenusa del triángulo verde. Por teorema de Pitágoras,<br />
la hipotenusa es la raíz de la suma del cuadrado de los catetos $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$,<br />
de manera que<br />
\[<br />
\cos\theta=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
Se substituye \eqref{eq:tan teta} para escribir ésta expresión solamente<br />
en términos del ángulo $\phi$,<br />
\[<br />
\cos\left(\arctan\left(\frac{B\sin\phi}{A\cos\phi}\right)\right)=\frac{A\cos\phi}{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}.<br />
\]<br />
De ésta expresión, se multiplica por la raíz para obtener <ref name="Fernandezguasti06"/>,<br />
\begin{equation}<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)\right]}}.\label{amph ident}<br />
\end{equation}<br />
Asociamos la amplitud con el coeficiente que multiplica a la función<br />
trigonométrica, mientras que la fase es el argumento de la función<br />
trigonométrica. En el lado izquierdo de la ecuación la amplitud es<br />
$A$, mientras que del lado derecho, la amplitud es $\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi+B^{2}\sin^{2}\phi}$.<br />
En cuanto a la fase, del lado izquierdo es $\phi$, mientras que del<br />
derecho es $\arctan\left(\frac{B}{A}\tan\phi\right)$. Nótese que<br />
el resultado es cierto para toda $B$. <br />
<br />
Si $B=A$, la ecuación es una identidad trivial. <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}}}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\left[\arctan\left(\tan\phi\right)\right]}}<br />
\]<br />
Si $B=0$, en el lado derecho, la función completa se asocia con la<br />
variable de amplitud, <br />
\[<br />
\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{A}}\cos\underset{\text{fase}}{\underbrace{\phi}}=\underset{\text{amplitud}}{\underbrace{\sqrt{A^{2}\cos^{2}\phi}}}.<br />
\]<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 22:59 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
===Parámetro constante===<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
===Cantidades conservadas===<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
===Mediciones===<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
===Conclusiones===<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.<br />
<br />
== ¿Qué tipo de indeterminación no es? ==<br />
No se debe confundir la indeterminación a que nos referimos aqui, con la indeterminación cuántica o la que se establece entre variables conjugadas en transformadas de Fourier.<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 17:05 13 jul 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Mfgwi&diff=25848Usuario discusión:Mfgwi2020-07-14T16:33:40Z<p>Evamontiel: /* Respuesta colaboración */</p>
<hr />
<div>Aquí pueden dejar comentarios para mejorar luzwiki<br />
<br />
== addenda ==<br />
<br />
añadir otros comentarios<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 13:40 6 dic 2019 (CST)<br />
<br />
== Respuesta colaboración ==<br />
<br />
Dr, muchas gracias por sus comentarios, por supuesto que me encantaría colaborar con usted durante las vacaciones. Saludos [[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]]) 20:22 13 jul 2020 (CDT)<br />
<br />
== Respuesta colaboración ==<br />
Dr. muchas gracias me pondré enseguida a afinar los detalles, le agradezco que haya reorganizado la página ya que no sabia en que orden introducir la traducción de su articulo, y la ayuda que me brindo tambien con la derivación y relación de la imagen del triángulo.<br />
[[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]]) 11:33 14 jul 2020 (CDT)</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25392Indeterminacion2020-07-12T19:13:51Z<p>Evamontiel: /* representación de amplitud y fase */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud$\left(24\right)$v. Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial $\left(22\right)$. Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones $\left(29\right)$ y $\left(30\right)$ siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud $\left(24\right)$.<br />
<br />
PARÁMETRO CONSTANTE<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad $\left(30\right)$ es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La fase <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia también esta en función del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
CANTIDADES CONSERVATIVAS<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de $\left(25\right)$ y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud $\left(27\right)$ y la fase $\left(28\right)$ están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque $\left(37\right)$ involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
MEDICIONES<br />
<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con $\left(33\right)$.<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
$\left(34\right)$. Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante $\left(25\right)$ conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable $\left(36\right)$, a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
Concluciones<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática. <br />
<br />
<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25391Indeterminacion2020-07-12T19:07:42Z<p>Evamontiel: /* Sistemas de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como $\left(1\right)$, son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de $\left(2\right)$ con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma $\left(1\right)$<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
$\left(1\right)$ Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
$\left(4\right)$, es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal $\left(4\right)$ está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de $\left(4\right)$, lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de $\left(5\right)$, entonces sustituyendo estas soluciones en $\left(6\right)$ se obtienen<br />
dos soluciones para $\left(4\right)$ A la cantidad conservada I dada por $\left(6\right)$ se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones $\left(4\right)$ y $\left(5\right)$, junto con la integral primera $\left(6\right)$, es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema $\left(7\right)$-$\left(8\right)$ siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces $\left(7\right)$-$\left(8\right)$<br />
nos dan las ecuaciones $\left(5\right)$ y $\left(4\right)$, respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de $\left(8\right)$ se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da $\left(6\right)$. Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov $\left(7\right)$-$\left(18\right)$ se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuación diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solución particular de esta ecuación,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos $\left(15\right)$ por $u$ y $\left(16\right)$ por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los términos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación $\left(17\right)$ en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de variable apropiado, la ecuación<br />
$\left(15\right)$ puede transformarse en otra ecuación en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, $\left(15\right)$ se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuación $\left(15\right)$ hace mas fácil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresión entre paréntesis de la parte derecha de $\left(19\right)$ es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuación de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las raíces de la ecuación<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el método de fracciones parciales para descomponer la función racional<br />
en el lado derecho de $\left(20\right)$ y transformar la ecuación a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raíces de $\left(21\right)$ sean distintas<br />
se tiene la ecuación diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces. Aquí $\alpha,\beta,\gamma$ son los términos de la descomposición en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Análogamente, cuando $\left(21\right)$ tiene dos raíces iguales, la ecuación $\left(20\right)$<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna elección de los signos que acompañan<br />
a las raíces.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayoría de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud<br />
(24). Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial (22). Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones (29) y (30) siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud (24).<br />
\subsection*{Parametro constante}<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad (30) es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La face <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia tambien esta en funcion del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
CANTIDADES CONSERVATIVAS<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de (25) y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud (27) y la fase (28) están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque (37) involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
MEDICIONES<br />
<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con (33).<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
(34). Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante (25) conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable (36), a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
Concluciones<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática. <br />
<br />
<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25390Indeterminacion2020-07-12T18:39:37Z<p>Evamontiel: /* representación de amplitud y fase */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud<br />
(24). Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial (22). Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones (29) y (30) siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud (24).<br />
\subsection*{Parametro constante}<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad (30) es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La face <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia tambien esta en funcion del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
CANTIDADES CONSERVATIVAS<br />
<br />
Las funciones ortogonales invariantes de (25) y las relaciones no<br />
lineales para la amplitud (27) y la fase (28) están dadas por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario<br />
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar<br />
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo<br />
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante<br />
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador<br />
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El<br />
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente<br />
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes<br />
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}<br />
\end{equation}<br />
<br />
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes<br />
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía<br />
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa<br />
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante<br />
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma<br />
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.<br />
En términos de amplitud y variables de fase<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$<br />
por un parámetro constante en (33) y (34) <br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi<br />
\end{equation}<br />
<br />
Observe que aunque (37) involucra a $B_{0}$a través de las funciones<br />
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,<br />
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución<br />
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado<br />
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,<br />
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$<br />
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la<br />
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.<br />
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo<br />
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$<br />
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia<br />
dependen del tiempo.<br />
<br />
MEDICIONES<br />
<br />
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento<br />
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera: <br />
<br />
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde<br />
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma<br />
amplitud máxima después de cada ciclo. <br />
<br />
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones<br />
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier<br />
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas<br />
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas<br />
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante<br />
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.<br />
<br />
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada<br />
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.<br />
<br />
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto<br />
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce<br />
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido<br />
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con (33).<br />
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la<br />
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según<br />
(34). Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud<br />
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse<br />
ya que son una opción más simple.<br />
<br />
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir<br />
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud<br />
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$<br />
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante<br />
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro<br />
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo<br />
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De<br />
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el<br />
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud<br />
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$<br />
<br />
La relación invariante (25) conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.<br />
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin<br />
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante<br />
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta<br />
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro<br />
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto<br />
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción<br />
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan<br />
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial<br />
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$<br />
en este estado inicial.<br />
<br />
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando<br />
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces<br />
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de<br />
la relación invariante en condiciones de estado estable (36), a saber,<br />
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el<br />
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,<br />
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,<br />
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema<br />
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del<br />
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución<br />
analítica aproximada.<br />
<br />
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del<br />
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta<br />
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben<br />
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud<br />
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen<br />
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos<br />
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período<br />
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas<br />
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede<br />
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto<br />
<br />
Concluciones<br />
<br />
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de<br />
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado<br />
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes<br />
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual<br />
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales<br />
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con<br />
la propagación. También se espera que la representación de amplitud<br />
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado<br />
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes<br />
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud<br />
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros<br />
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son<br />
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la<br />
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto<br />
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento<br />
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente<br />
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación<br />
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha<br />
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,<br />
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el<br />
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes<br />
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática. <br />
<br />
<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=25010Indeterminacion2020-07-08T22:06:54Z<p>Evamontiel: /* representación de amplitud y fase */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud<br />
(24). Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial (22). Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones (29) y (30) siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud (24).<br />
\subsection*{Parametro constante}<br />
<br />
En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución<br />
con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función<br />
$B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación<br />
diferencial de amplitud. La identidad (30) es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde la amplitud <br />
<br />
\begin{equation}<br />
g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
ahora depende del tiempo. La face <br />
<br />
\[<br />
\gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
es no lineal y la frecuencia tambien esta en funcion del tiempo.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} }<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$<br />
es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información<br />
de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad<br />
trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es<br />
lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro<br />
independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede<br />
ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori. <br />
<br />
No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada<br />
por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce<br />
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia<br />
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$. <br />
<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24986Indeterminacion2020-07-08T21:00:34Z<p>Evamontiel: </p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud<br />
(24). Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial (22). Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones (29) y (30) siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud (24).<br />
----<br />
Representación de Amplitud y Fase: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24985Indeterminacion2020-07-08T20:57:21Z<p>Evamontiel: /* representación de amplitud y fase */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud<br />
(24). Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial (22). Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones (29) y (30) siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud (24).<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24984Indeterminacion2020-07-08T20:55:36Z<p>Evamontiel: /* representación de amplitud y fase */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
\begin{document}<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud<br />
(24). Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial (22). Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones (29) y (30) siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud (24).<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24982Indeterminacion2020-07-08T20:51:32Z<p>Evamontiel: /* representación de amplitud y fase */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
\begin{document}<br />
Considerando la función <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right],<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica <br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que<br />
<br />
\begin{equation}<br />
cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde las amplitudes estan dadas por <br />
<br />
\[<br />
A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\]<br />
<br />
y las fases por <br />
\[<br />
\phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]<br />
\]<br />
<br />
Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}<br />
\end{equation}<br />
<br />
mientras que la fase es<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud<br />
$g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud<br />
(24). Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de<br />
superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este<br />
principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna<br />
la coordenada lineal, ecuación diferencial (22). Por lo tanto, si<br />
proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables<br />
de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$<br />
según las ecuaciones (4) y (5) siempre que esta función satisfaga<br />
la ecuación no lineal de amplitud (24).<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24981Indeterminacion2020-07-08T19:24:08Z<p>Evamontiel: /* Sistemas de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24979Indeterminacion2020-07-08T19:22:24Z<p>Evamontiel: </p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24978Indeterminacion2020-07-08T19:20:12Z<p>Evamontiel: </p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<br />
La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también<br />
se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación<br />
puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En<br />
fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética,<br />
la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación<br />
más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas<br />
en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente<br />
al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO).<br />
Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional<br />
TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas<br />
de propagación.<br />
<br />
Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado<br />
a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones<br />
ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente<br />
a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto<br />
se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado<br />
densidad de campos.<br />
<br />
Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica<br />
cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación<br />
de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación<br />
integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas<br />
cuánticos.<br />
<br />
Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas<br />
se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin<br />
embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante<br />
independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida<br />
aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier<br />
referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales<br />
en el dominio cuántico.<br />
<br />
No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud<br />
y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde<br />
un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar<br />
problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos<br />
en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales<br />
para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas<br />
de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores<br />
cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.<br />
<br />
También hay un generalizado uso de estas variables en la detección<br />
y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en<br />
astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo<br />
de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal:<br />
pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes<br />
del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico;<br />
en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es<br />
el término técnico para cambiar la forma de una función matemática<br />
, una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.)<br />
de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.<br />
<br />
En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud<br />
y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada<br />
que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico<br />
en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de<br />
la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio<br />
de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales<br />
de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores<br />
derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista<br />
experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento<br />
máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.<br />
<br />
Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional<br />
con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo.<br />
La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud<br />
$"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como<br />
<br />
\begin{equation}<br />
q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right).<br />
\end{equation}<br />
<br />
La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales<br />
invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto<br />
de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para<br />
crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones<br />
diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de<br />
A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante<br />
exacta se da en las variables de amplitud y fase por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
W=A^{2}\frac{d\phi}{dt}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante<br />
de Ermakov-Lewis dada por <br />
\[<br />
\frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right]<br />
\]<br />
<br />
donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables<br />
de amplitud.<br />
<br />
La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente<br />
se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde<br />
$A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función<br />
trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$<br />
representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial.<br />
Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a<br />
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial<br />
de segundo orden.<br />
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24977Indeterminacion2020-07-08T16:55:06Z<p>Evamontiel: </p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref><br />
<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24976Indeterminacion2020-07-08T16:35:28Z<p>Evamontiel: /* Sistemas de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24975Indeterminacion2020-07-08T16:32:44Z<p>Evamontiel: /* Sistemas de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde \ensuremath{\eta}, \ensuremath{\tau}, \ensuremath{\xi}, \ensuremath{\mathtt{p}},<br />
\ensuremath{\mathtt{q}}, \ensuremath{\mathtt{r}}, \ensuremath{\mathtt{s}}<br />
son constantes.De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24974Indeterminacion2020-07-08T16:24:07Z<p>Evamontiel: </p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
La '''amplitud''' es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser '''constante''' y es reprersentada por la letra '''A'''.<ref> French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté</ref> En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.<br />
<br />
[[Archivo:Amplitud.svg|thumb|izquierda|Figura 1. Amplitud de una onda.]]<br />
<br />
Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que '''es una normalización del tiempo''' que requiere la onda para concluir un ciclo. <br />
[[Archivo:Fases.svg|thumb|izquierda|Figura 2. Diferencia de fases]]<br />
<br />
Físicamente hablando en una oscilación '''siempre encontraremos una dependencia temporal''' entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:<br><br><br />
<math>x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)</math> <br><br><br />
donde:<br><br />
'''A''' = amplitud <br><br />
'''$\omega$''' = Frecuencia angular <br><br />
'''t '''= Tiempo <br> <br />
'''$\varphi$''' = Fase <br><br><br />
Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales '''invariantes'''.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br> <br />
Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.<ref>M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref><br><br />
<br />
Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico<br />
amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico<br />
medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia<ref> M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>.<br />
<br />
[[Usuario:Amisaday|Amisaday]] ([[Usuario discusión:Amisaday|discusión]])<br />
<br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov<br />
es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales,<br />
acopladas, de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega}<br />
es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas,<br />
el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante),<br />
que es de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8)<br />
nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante<br />
un calculo directo, de (8) se tiene<br />
<br />
\[<br />
I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2}<br />
\]<br />
<br />
lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas<br />
estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos<br />
los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de<br />
Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales<br />
de primer orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{x}=u,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x,<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{y}=v<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y,<br />
\end{equation}<br />
<br />
y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este<br />
sistema esta dado por<br />
<br />
\begin{equation}<br />
X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Notemos que si denimos lo campos<br />
\[<br />
Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u}<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v}<br />
\]<br />
<br />
entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero<br />
se tiene<br />
<br />
\[<br />
X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3}<br />
\]<br />
<br />
Ademas, notemos que si<br />
<br />
\[<br />
Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$<br />
$Z_{3}$<br />
<br />
$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$<br />
$\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$<br />
<br />
Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas<br />
de Lie.<br />
<br />
Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion,<br />
es decir,<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones<br />
que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se<br />
obtiene<br />
<br />
\begin{equation}<br />
u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
haciendo un campo de variable<br />
<br />
\[<br />
\omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}<br />
\]<br />
<br />
transforma la ecuación (17) en <br />
<br />
\[<br />
\frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0<br />
\]<br />
<br />
la cual al intrgrarla obtenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde c es una constante.<br />
<br />
Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion<br />
(15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente<br />
el termino de la primera derivada $dy/dx$.<br />
<br />
En efecto, si hacemos<br />
<br />
\[<br />
y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right)<br />
\]<br />
<br />
entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la<br />
variable dependiente y, (15) se transforma en<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z<br />
\end{equation}<br />
<br />
Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar<br />
condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso<br />
en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es<br />
un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene<br />
condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde \ensuremath{\eta}, \ensuremath{\tau}, \ensuremath{\xi}, \ensuremath{\mathtt{p}},<br />
\ensuremath{\mathtt{q}}, \ensuremath{\mathtt{r}}, \ensuremath{\mathtt{s}}<br />
son constantes.De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,<br />
esencialmente, de las races de la ecuacion<br />
\begin{equation}<br />
px^{3}+qx^{2}+rx+s=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones<br />
para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar<br />
el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional<br />
en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas<br />
manejable.<br />
<br />
Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas<br />
se tiene la ecuacion diferencial<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones)<br />
si se cumple que<br />
<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}}<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices. Aqui \ensuremath{\alpha}, \ensuremath{\beta}, \ensuremath{\gamma}<br />
y son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de<br />
<br />
\[<br />
\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}}<br />
\]<br />
<br />
Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20)<br />
se puede escribir como<br />
<br />
\[<br />
\left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y<br />
\]<br />
<br />
la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:<br />
<br />
1.Si<br />
\[<br />
\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan<br />
a las raices.<br />
<br />
2.Si $\alpha=0$ y<br />
<br />
\[<br />
\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}},<br />
\]<br />
<br />
es un entero impar.<br />
<br />
3.Si $\alpha=\beta=0$<br />
<br />
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo<br />
condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la<br />
mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo<br />
orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.<br />
\end{document}<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24510Indeterminacion2020-06-19T02:55:41Z<p>Evamontiel: /* Sistemas de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
describir que si es .... La amplitud es una medida del recorrido máximo de una vibbración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de la vibración, esta tiene la carcterística de ser constante y reprersentada por la letra A. <br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
\bibitem{key-1}https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/<br />
----<br />
SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: [[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c1&diff=24509Vibra: probs c12020-06-19T02:48:41Z<p>Evamontiel: /* Problema 1.10 */</p>
<hr />
<div>--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)Problemas del capítulo uno <ref name="main"/> [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:42 16 ene 2014 (UTC)<br />
<references><br />
<ref name="main"> Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994 </ref><br />
</references><br />
----<br />
== Problema 1.1 ==<br />
===Solución 1===<br />
'''If the system shown in fig 1.1 has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.'''<br />
<br />
''' Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) El vibrador prototipo en equilibrio. (b) La masa es instantáneamente desplazada una distancia <math>\psi</math> hacia la derecha de su posición de equilibrio.]]<br />
<br />
<ol style="list-style-type:lower-alpha;"><br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li> El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, al efectuar esta perturbación el resorte ejerce una fuerza de restauración (opuesta al desplazamiento de la masa) hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue:<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}=-s{\psi}</math><br />
<br />
donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. Dividiendo entre la masa se obtiene<br />
<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0</math><br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular.<br />
<br />
Entonces la frecuencia angular es: <br />
<br />
:<math>\omega_{0}=\sqrt{s \over m}= \sqrt{36Nm^{-1} \over 0.010kg} = 60 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
<li>Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math>. El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue:<br />
<br />
:<math>\nu_{0}={\omega_{0}\over 2\pi}</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es: <math>\nu_{0}= {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5493 Hz</math><br />
</li><br />
<br />
<li>Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math> , esto sucede cada <math>{ 2 \pi}\over \omega_{0} </math> que es conocido como el período <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega_{0}}= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10472 s</math><br />
</li><br />
<br />
</ol><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 07:10 24 ene 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:34 3 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 17:47 7 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 18:40 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 09:59 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
===Solución 2===<br />
'''Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li>'''a.''' Considerar un sistema oscilatorio que es consistente y es sometido a una fuerza <math>F\left(\varPsi\right)</math>. <br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-s\varPsi...(1)</math><br />
<br />
Donde <math>s</math> es la constante del resorte, y <math>\varPsi</math> es el desplazamiento del sistema. Dicho sistema oscilatorio se denomina oscilador armónico simple.<br />
<br />
La energía potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(\varPsi\right)=\frac{1}{2}s\varPsi^{2}...(2) </math><br />
<br />
<br />
Ya que de '''(2)''', la fuerza y la energía potencial están relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-\frac{dU}{d\varPsi} </math><br />
<br />
<br />
Ahora, aplicando la segunda ley de Newton <math>F=m\ddot{\varPsi}...(3)</math>, sustituyendo '''(1)''' en '''(3)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-s\varPsi=m\ddot{\varPsi} </math><br />
<br />
Dividiendo entre <math>m</math> e igualando la expresión a cero, se tiene :<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0...(4) </math><br />
<br />
<br />
Ahora reescribamos la ecuación como:<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}=-\frac{s}{m}\varPsi...(5) </math><br />
<br />
Requerimos que <math>\varPsi(t)</math> sea una función cuya segunda derivada sea negativa de esta misma; las funciones senos y cosenos cumplen esta propiedad, entonces:<br />
<br />
:<math>\varPsi\left(t\right)=\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\dot{\varPsi}\left(t\right)=-w \mathrm{sen}\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}(t)=-w^{2}\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo en '''(5)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-w^{2} \cos\left(wt\right)=-\frac{s}{m} \cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
:<math>w^{2}=\frac{s}{m} </math><br />
Que es la frecuencia angular, entonces:<br />
<br />
<br />
:<math>w=\sqrt{\frac{36N/m}{0.010Kg}}=60s^{-1} </math> </li><br />
<br />
<li>'''b.''' Para la frecuencia <math>\nu</math> del oscilador es el número de ciclos completos por unidad de tiempo y esta dada por :<br />
<br />
<br />
:<math>\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.1047s}=9.55Hz </math> </li><br />
<br />
<br />
<li>'''c.''' El periodo <math>T</math> de movimiento, se tiene por:<br />
<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{w}=\frac{2\pi}{60s^{-1}}=0.1047s </math> </li><br />
<br />
<br />
Ricardo García Hernández--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:10 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
Entendí y me gustó más esta forma de resolver el ejercicio--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:31 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
<br />
<br />
Sólo cambié la notación [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:37 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 10:04 16 jun 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:32 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.2 ==<br />
<br />
'''For the same vibrator as in problem 1.1 at time t=0, the mass is observed to be displaced 50 mm to the right of its equilibrium position and to be moving to the right at speed 1.7 m s^-1. Calcule''' <br />
'''a) the amplitude''' <br />
'''b) the phase constant''' <br />
'''c) the energy'''<br />
<br />
'''Por el mismo vibrador como en el problema 1.1 en el tiempo t = 0 , se observa la masa ser desplazada 50 mm a la derecha de su posición de equilibrio y estar moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 1.7 ms^-1 Calcule:<br />
'''<br />
<br />
'''(a) la amplitud'''<br />
<br />
'''(b) la constante de fase'''<br />
<br />
'''(c) la energía<br />
'''<br />
<br />
__________________________________Corrección del ejercicio 1.2___________________________________________<br />
<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3)<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.118Nm}{36Nm{}^{-1}}=0.00327m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{0.00327m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) El ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos las ecuaciones <br />
<br />
\begin{equation} <br />
\psi(t)=A{}_{\psi} \cos(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{\psi(t)}={-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Dividiende (5)entre (4) y evaluando en $t=0$:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(0)}}{\psi (0)}=\frac{{-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}<br />
=-\omega \tan (\omega t+\phi)=\frac{1.7}{.05}=-34<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\tan (\omega t+\phi)=\frac{34}{\omega}=\frac{-34}{60}=-0.5666<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\omega t+\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
Hay que recordar que estamos evaluando en $t=0$ por lo que<br />
<br />
\[<br />
\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\phi=-0.52rad<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=30°<br />
\]<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(0.057m)^{2}=0.059J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:13 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:53 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:13 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
'''Para la misma vibración que en el problema 1.1 , en el tiempo $t=0$'''<br />
''', se observa la masa a se desplaza $50mm$ a la derecha de su posición'''<br />
'''de equilibrio y se mueve hacia la derecha a una velocidad de $1.7ms{}^{-1}$.'''<br />
'''Calcúlese (a) la amplitud, (b) el ángulo de fase, y (c) la energía.'''<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3):<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.1189Nm}{36Nm{}^{-1}}=3.30277x10^{-3}m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{3.30277x10^{-3}m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) el ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos la solución:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Tenemos todo lo necesario para despejar el ángulo de fase de la ecuación<br />
(4)<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=(0.0571m)\mathrm{sen}\left[\left(60s{}^{-1}\right)(0)+\phi\right]=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=\mathrm{arcsen}(\frac{0.05m}{0.0571m})=61.122\text{°}<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(3.2604x10^{-3}m^{2})=0.0586J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Ejercicio corregido por Maya Velasco, Definitivamente me equivoque''<br />
''al hacer los cálculos numéricos en el cálculo de la amplitud algo''<br />
''que agradezco mucho que mi compañero Luis Velázquez haya notado. Posteriormente''<br />
''revisando la solución que dio mi compañero y la que yo propuse note''<br />
''lo siguiente:''<br />
<br />
[[Solución Luis Santos]]<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al derivar la expresión anterior obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(t)}=-A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Después mi compañero dividió ambas expresiones de la siguiente manera:''<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}=\frac{-A{}_{\psi}\omega \mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}=-\omega \tan(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
Posteriormente el ángulo $\phi$ es<br />
<br />
\[<br />
\phi=-29.53\text{°}\eqsim-30\text{°}<br />
\]<br />
<br />
''<br />
No encuentro otro error en el trabajo de mi compañero a excepción'<br />
''del signo, y después de su revisión sobre mi trabajo pues creo que''<br />
''aparentemente el mio también es correcto pero los valores en el ángulo''<br />
''de fase son diferentes y puedo explicar por que:''<br />
<br />
Ambas soluciones de la ecuación del oscilador armónico simple son<br />
correctas, sin embargo es más común usar la expresión que involucra<br />
la función coseno, ahora puedo mostrar que ambas soluciones son equivalentes<br />
desfasadas por un cierto ángulo.<br />
<br />
Se sabe que la función seno esta desfasada de la función coseno por<br />
$\frac{\pi}{2}$ ó 90°, hagamos lo siguiente, a la solución<br />
de mi compañero pongamos le el ángulo de fase que calculé yo que es<br />
de aproximadamente 61° y restemos le el desfase de los 90° .<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+61\text{°}-90\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t-29\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Esta es la respuesta de mi compañero que es correcta, entonces podemos''<br />
''concluir que ambos resultados son equivalentes. Si alguien más nota''<br />
''algún otro error mucho les agradeceré que me lo hagan notar, gracias.'' <br />
<br />
Ejercicio resuelto por Rosario Maya. Martes 10 de febrero 2015<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]]<br />
<br />
Ejercicio corregido por Rosario Maya el 12.02.15 a las 22:56 pm<br />
<br />
"El problema 1.2 está correcto; sobre todo al proponer dos formas diferentes de cómo calcular el ángulo de fase". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:46 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:28 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:59 8 jun 2020 (CDT) Cambios en la notación<br />
<br />
== Problema 1.3 ==<br />
'''An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the velocity this second vibrator at time t = 0. (c) At what time will it come to rest.'''<br />
<br />
Un sistema idéntico se pone en vibración con la misma amplitud que el vibrador en el problema 1.2, pero con un avance de fase de 90°. <br />
Calcule a) el desplazamiento y b) la velocidad de este segundo vibrador en el tiempo t=0. c) ¿A qué hora va a llegar al reposo?<br />
<br />
(a) <br />
<br />
Tenemos como ecuación de movimiento a:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi - \frac{\pi}{2})<br />
\]<br />
La cual puede escribise como:<br />
\[<br />
\psi(t)=Asin(\omega t + \phi)<br />
--------(1)\]<br />
<br />
<br />
Para t=0 se tiene:<br />
\[<br />
\psi(t=0s) = (57mm ) sin(-0.52) =-28mm<br />
\]<br />
(El signo indica que el desplazamiento es hacia la izquierda)<br />
<br />
<br />
<br />
(b)<br />
<br />
Al derivar (1) se tiene la ecuación para la velocidad<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t)=A \omega cos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
Para t=0<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)= A\omega cos\phi=(0.057m)(60s^{-1})cos(-0.52)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)=3 m s^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
(c) <br />
<br />
La velocidad del sistema es nula en los extremos, es decir, cuando \[\psi(t)=A\]<br />
\[<br />
Asin(\omega t + \phi)=A<br />
\]<br />
\[<br />
\omega t + \phi = 1.57<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
t=\frac{1.57-\phi}{\omega}= \frac{1.57+0.52}{60}<br />
\]<br />
\[<br />
t=35 ms<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:23 17 feb 2015 (CST)<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 19:03 07 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:17 12 feb 2015 (CST)<br />
"El problema 1.3, te sugiero que les des una descripción física a los resultados que obtuviste." --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:01 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.4 ==<br />
<br />
'''El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es <math>p_{1}</math> y es dado al tiempo <math>t=0</math>, encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando la segunda Ley de Newton se tiene:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}=p_{1}-k\psi...(1)<br />
\] <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) entre la masa y ordenarla, nos resulta una ecuación de segundo orden no homogénea:<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\frac{k}{m} \psi=p_{1}...(2)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde tenemos definida a <math>\omega^{2}</math> y <math>p_{1}</math> a como:<br />
<br />
\[\omega^{2}\equiv \dfrac{k}{m}\]<br />
\[p_{1}\equiv Ft\]<br />
<br />
Como se pondrá en movimiento con una fuerza que actuará sólo un instante de tiempo, se emplea la función delta de Dirac para describir el impulso, por lo cual la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\omega^{2} \psi=\frac{F}{m}\delta(t-t_0)...(3)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la transformada de Laplace<br />
<br />
<br />
\[<br />
\mathcal{L} \lbrace\ddot{x}\rbrace + \omega ^{2} \mathcal {L}\lbrace x \rbrace= \frac{F}{m} \mathcal{L}{\delta\lbrace (t-t_0)}\rbrace <br />
\]<br />
<br />
\[<br />
s^2 X(s) -sx(0)-\dot {x} (0) + \omega ^2 X(s) = \frac{F}{m}e^{-st_0}<br />
\]<br />
<br />
Donde las condiciones iniciales son:<br />
<br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Por lo que la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
\[<br />
X(s) = \frac{F}{m \omega} \frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0} ...(4)\]<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando ahora la transformada inversa en la ecuación (4)<br />
\[<br />
\mathcal{L}^{-1} \lbrace X(s)\rbrace = \frac{F}{m \omega}\mathcal{L}^{-1}\lbrace\frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0}\rbrace<br />
\] <br />
<br />
Resulta <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega}sin(\omega (t-t_0))\mathcal{U}(t-t_0)...(5)<br />
\]<br />
<br />
Y como <br />
\[t_0 =0\]<br />
<br />
Entonces <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega} sin(\omega t) \mathcal{U}(t)...(6) \]<br />
<br />
La cual es equivalente a:<br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m \omega} cos(\omega t + \frac{\pi}{2})..(7)<br />
\]<br />
<br />
haciendo una analogía de la ecuación (7) y la ecuación \[x(t) = A\cos(\omega t -\phi)\] se puede observar que la amplitud es: <br />
<br />
\[<br />
A= \frac{p}{m \omega}<br />
\]<br />
y la fase<br />
<br />
\[<br />
\phi=\frac{\pi}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
----<br />
Otra solución:<br />
----<br />
El impuso que se le imprime se convertirá en energía cinética, por lo que:<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2m\dot{x}^2} = \frac{1}{2 k_e A^2}<br />
\]<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:16 9 jun 2020 (CDT)<br />
Luego:<br />
\[<br />
A^2=\frac{m\dot{x}^2}{\omega_0 ^2 m}=\frac{m^2 \dot{x}^2 }{\omega_0 ^2m^2}=\frac{p^2}{\omega_0 ^2 m^2}<br />
\]<br />
Finalmente :<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{p}{\omega_0 m}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:27 8 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Le di un poco de orden al problema y corregí faltas de ortografía<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:01 18 feb 2015 (CST)Esther Sarai García González<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:07 13 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:54 18 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:00 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.5 ==<br />
<br />
'''The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by: '''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) The prototype vibrator in equilibrium. (b) The mass is instantaneously displaced a distance <math>\psi</math> to the right of its equilibrium position.]]<br />
<br />
<br />
'''El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ecuación de Movimiento Armónico Simple:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades:<br />
\begin{equation}<br />
A_{1}= A \cos{\phi}.....(1)<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.<br />
<br />
Para mostrar que la amplitud del problema está dado por <math>A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}</math>, elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
La ecuación (4) la dividimos por ${w_{0}}^2$ en ambos lados:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) <br />
\end{equation}<br />
<br />
De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), y sumando de la siguiente manera:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ecuación (6) factorizamos $A^2$ <br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado:<br />
\begin{equation}<br />
\boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<math>\therefore</math> la amplitud Q.E.D.<br />
<br />
<br />
<br />
Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener:<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1)<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11)<br />
\end{equation}<br />
<br />
En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: <br />
\begin{equation}<br />
\boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 05:59 31 ene 2014 (UTC)<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:39 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:11 15 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''Otra forma de hacerlo''' <br />
<br />
Tenemos las funciones que definen al desplazamiento y la velocidad <br />
<br />
\[x(t)=C_{1}cos\omega t+ C_{2}sin\omega t<br />
\]<br />
\[\dot{x}(t)=-C_{1}\omega sin \omega t + C_{2} \omega cos \omega t<br />
\]<br />
<br />
Entonces tenemos como condiciones inciales <br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Lo que resulta <br />
<br />
\[x(0)=C_{1}cos\omega (0) + C_{2}sin\omega (0)= C_{1} cos (0) + C_{2} sin (0) = C_{1}<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=-C_{1}\omega sin \omega (0) + C_{2} \omega cos \omega (0) = -C_{1}\omega sin (0) + C_{2}\omega cos (0) = C_2\omega<br />
\]<br />
<br />
<br />
de donde<br />
<br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
Y finalmente se obtiene<br />
<br />
\[x(t)= A_{0}cos\omega t + \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} sen \omega t<br />
\]<br />
La cual se puede escribir de las siguientes formas:<br />
<br />
\[x(t)= A sin (\omega + \phi)\] o bien \[x(t)= Acos(\omega - \phi)\]<br />
<br />
Esto se demuetra por las siguentes identidades:<br />
\[C_{1}cos \omega t + C_{2} sen \omega t = A sen (\omega t+ \phi) = A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)\]<br />
<br />
Y luego usamos las siguientes identidades también:<br />
<br />
<br />
\[ A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)= (A cos\phi)sen \omega t + (Asen \phi)cos\omega = <br />
(A sen\phi)cos\omega t + (A cos\phi )sen\omega t \]<br />
<br />
<br />
<br />
\[ Asen \phi = C_{1}\] y \[A cos\phi = C_{2}\]<br />
<br />
\[ C_{1}^{2} + C_{2}^{2} = A^{2}sen^{2}\phi + A^{2}cos^{2}\phi = A^{2}(sen^{2}\phi + cos^{2}\phi)= A^{2}\]<br />
<br />
\[A= \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}\]<br />
<br />
por lo tanto<br />
\[\phi = arctan\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\]<br />
y como <br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<br />
\[A= [A_{0}^{2}+\dfrac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}]^{\dfrac{1}{2}}\]<br />
\[ tan\phi = \dfrac{A_{0} \omega}{v_{0}}\]<br />
O bien <br />
\[ tan\phi = - \dfrac{v_{0}}{A_{0}\omega}\]<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase queda demostrada por este método alternativo. <br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)Esther Sarai Garcia Gonzalez (UAM-I)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST<br />
-- La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:07 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
'''Solución alternativa utilizando energías'''<br />
<br />
Para demostrar la primera identidad se tiene que la energía mecánica del sistema es igual a la suma de la energía cinética y potencial:<br />
<br />
$ W = K + U.....(eq.1)$ <br />
<br />
Donde $W$, $K$, y $U$ son la energía mecánica, la cinética y la potencial, respectivamente. Tenemos que estas están dadas por:<br />
<br />
$W = {1\over 2}{s}{A}^{2}....(eq.2)$<br />
<br />
$K = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}}.....(eq.3)$<br />
<br />
$U = {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq.4)$<br />
<br />
Donde $s$ es la constante del resorte. Si reemplaza las ecuaciones $2, 3, 4$ en la ecuación $1$ se tiene:<br />
<br />
${1\over 2}{s}{A}^{2} = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}} + {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq. 5)$<br />
<br />
Despejando A de esta última ecuación se tiene:<br />
<br />
$A^{2} = {m \over s}{v_{1}^{2}} + {A_{1}^{2}}$<br />
<br />
$A^{2} = (\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}$<br />
<br />
$A = {[(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}]}^{1/2}$<br />
<br />
Para la segunda identidad se utilizará las ecuaciones de posición y velocidad del cuerpo oscilante:<br />
<br />
$\psi(t)=A\cos{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 6)$<br />
<br />
$\dot{\psi}(t)={-}\omega_{0}A\sin{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 7)$<br />
<br />
Reemplazando en las ecuaciones los valores iniciales, se tiene que en $t = 0$ la posición es $A_{1}$ y la velocidad es $v_{1}$. Entonces:<br />
<br />
$A_{1} = Acos{\phi}.....(eq.7)$<br />
<br />
$v_{1} = {-}{A}{\omega_{0}}{sin{\phi}}.....(eq.8)$<br />
<br />
Despejando $A$ de ambas ecuaciones, la ecuación 7 y 8 se convierten en:<br />
<br />
$A = {A_{1} \over cos{\phi}}.....(eq.9)$<br />
<br />
$A = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}.....(eq.10)$<br />
<br />
Respectivamente. Ahora solo se igualan estas dos ecuaciones y se tiene:<br />
<br />
${A_{1} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}$<br />
<br />
Y esta igualdad se puede convertir en:<br />
<br />
${sin{\phi} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
$tan{\phi} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
Resolviendo el Problema.<br />
<br />
--[[Usuario:Gustavo.uami12|Gustavo.uami12]] ([[Usuario discusión:Gustavo.uami12|discusión]]) 09:55 9 jun 2020 (CDT)<br />
--Propuse una solución alternativa mucho más corta que las dos anteriores.<br />
<br />
== Problema 1.6 ==<br />
'''Calculate (a)the amplitude, (b)the phase constant, and (c)the complex amplitud, for the vibration by''' $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$<br />
<br />
'''Calcular:'''<br />
'''a) La amplitud.'''<br />
<br />
'''b) La constante de fase.'''<br />
<br />
'''c) La amplitud compleja para la vibración dada: <br />
$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.'''<br />
<br />
Solución: <br />
(a)La solución general del movimiento armónico simple considerando las condiciones iniciales, está dada por:<br />
<math>\psi=A_{0}\sin(\omega_{0}t+\phi)</math><br />
<br />
donde <br />
$\mathit{A_{0}}$ es la amplitud que queremos encontrar.<br />
<br />
Desarrollando la función en términos de seno:<br />
\[A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
Igualando se obtiene entonces que:<br />
\[A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
De aquí obtenemos las siguientes dos ecuaciones:<br />
<br />
\[A=A_{0}\cos\left(\phi\right)................ (1) \]<br />
<br />
\[B=A_{0}\sin\left(\phi\right)................ (2) \]<br />
<br />
Se identifica, $A=10 \, mm$ y $B= 17 \, mm$.<br />
<br />
Elevamos al cuadrado (1) y (2), y sumamos:<br />
<br />
\[A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)\]<br />
<br />
:<math>A^{2}+B^{2}=A_0^2</math> dado que <math>\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\phi)=1</math><br />
<br />
:<math>A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}</math><br />
<br />
Procedemos a sustituir y operar, lo que resulta<br />
<br />
:<math> A_{0}=19.7 \, mm </math><br />
<br />
(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2)<br />
<br />
<br />
dividimos $\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$<br />
<br />
<br />
y despejando $\phi$ obtenemos:<br />
<br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)\]<br />
<br />
Sustituyendo tenemos que: <br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{17}{10}\right)\]<br />
<br />
<br />
Por tanto, $\phi=59.5$<br />
<br />
(c) Por la relación matemática que existe entre los números complejos y las vibraciones (ver fasores) podemos ver que la amplitud compleja será:<br />
<br />
\[A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)\]<br />
<br />
<br />
----<br />
En el enunciado del problema 1.6 lo reescribí en español [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 21:51 27 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 13:32 17 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:22 18 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregí algunas faltas de ortografía y poco de la teoría--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:16 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
----<br />
Esta muy bien desarrollado y la teoría explica el planteamiento del ejercicio<br />
[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:19 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregi algunas ecuaciones y edite un poco. --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:43 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.7 ==<br />
<br />
<br />
===Solución 1===<br />
<br />
'''During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 18:53 15 may 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 2===<br />
<br />
Fe de erratas. '''Correcciones sobre el problema 1.7.'''<br />
<br />
En efecto, la frecuencia angular está dada por:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi\nu</math><br />
<br />
<br />
al sustituir las cantidades,<br />
<br />
<math>\omega=134.15Hz</math><br />
<br />
<br />
Y, además, haciendo una conversión:<br />
<br />
<math>1ms=0.001s</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow12ms=0.012s</math><br />
<br />
<br />
Así, pues, dadas las condiciones iniciales<br />
<br />
<math>\psi(0)=0.03m</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow Acos\phi=0.03m</math><br />
<br />
<br />
entonces, tomando la siguiente condición <br />
<br />
<math>\psi(0.012)=-0.014m</math><br />
<br />
<br />
se obtiene.<br />
<br />
<math>-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.02+C_{2}0.06</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow C_{2}=-0.56</math><br />
Dado que<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen\phi</math><br />
<br />
por tanto, en la ec. (1.1), resulta:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath0.56m</math><br />
<br />
En el 1.7 realicé la traducción [[Usuario:Aura Yazmin Bejarano Olvera|Aura Yazmin Bejarano Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarano Olvera|discusión]])<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 3===<br />
<br />
La solución a este problema la realice de la siguiente manera:<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\& <br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=\nu_{0}2\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con las condiciones iniciales $\psi(0s)=x_{1}=30$ mm y $\psi(12ms)=x_{2}=-14$mm<br />
tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0s)=x_{1}=Acos(\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(0.012s)=x_{2}=Acos(\omega_{0}(12ms)+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=Acos(\phi)cos(\omega_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(\omega_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero $Acos(\phi)=x_{1}$, asi:<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=x_{1}cos(2\pi\nu_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(2\pi\nu_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tenemos también que:<br />
<br />
\[<br />
cos(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.99<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
sen(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.06<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi:<br />
<br />
\[<br />
-0.014m=(0.03m)(0.99)-Asen(\phi)(0.06)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)(0.06)=0.029m+0.014m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)=\frac{0.043m}{0.06}=0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cual la amplitud compleja es igual a:<br />
<br />
\[<br />
D=0.03m+i0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
La nueva solución fue realizada por: [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] el 19 de Febrero de 2014.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 4===<br />
<br />
'''During a vibration with frequency of $50 Hz$, the displacement is observed to be $30 mm$ at time $t=0$, and $-14 mm$ at $t=12 \, ms$. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración de frecuencia $50 Hz$, el desplazamiento observado es $30 mm$ al tiempo $t=0$, y $-14 mm$ al tiempo $t=12 \, ms$. Encuentre la amplitud compleja.'''<br />
<br />
<br />
Para empezar tenemos que calcular la frecuencia angular a partir de la frecuencia dada.<br />
$w_0=2 \pi v=2 \pi (50 Hz) =100 \pi \,s^{-1}$ <br />
<br />
Luego sabemos que la forma compleja (forma D en el Main, Iain G., ''Vibrations and Waves in Physics'', 1993) es $ \psi (t)=Re[D \, e^{i w_0 t}] $, donde $D=a+i \, b$. Además sabemos dos condiciones iniciales, por lo que podemos determinar dos constantes $a$ y $b$.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{1}<br />
\psi (0 \, s)=30 \, mm <br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{2}<br />
\psi (12 \, ms)= \psi (.012\,s)=-14 \, mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ec. $(1)$ obtenemos la constante $a$.<br />
$\psi (0)=Re[D e^{i w_0 (0)}]=Re[(a+ib) (1)]=30\,mm$<br />
<br />
Evaluando la parte real, entonces...<br />
\begin{equation}<br />
\label{3}<br />
a=30\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si utilizamos la ec. $(2)$, encontraremos la constante faltante, $b$.<br />
$\psi (.012 \,s)=Re[D \, e^{i (100 \pi \, s^{-1}) (0.012 \, s)}]=-14 \, mm$<br />
$Re[(a+ib)(cos(1.2 \pi)+i\,sen(1.2 \pi))]=-14 \, mm$<br />
<br />
De nuevo se evalua la parte real del número complejo y luego se despeja $b$.<br />
$ a \, cos(1.2 \pi)-b \, sen(1.2 \pi)=-14 \, mm $<br />
$ b=\frac{14\,mm+(30\,mm)\,cos(1.2 \pi)}{sen(1.2 \pi)} $<br />
\begin{equation}<br />
\label{4}<br />
\,<br />
b \approx 17.47323498\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si juntamos $(3)$ y $(4)$, la amplitud compleja es<br />
$D=30\,mm+i\,17.47323498\,mm$<br />
Y la función es <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{5}<br />
\psi (t)=Re[(30\,mm+i\,17.47323498\,mm)\, e^{i\, (100\pi \,s^{-1}) \, t}]<br />
\end{equation}<br />
<br />
La comprobación se realiza evaluando la ecuación $(5)$ a los tiempos $t=0 \, s$ y $t=0.012 \, s$, lo cual nos da las condiciones iniciales de $(1)$ y $(2)$.<br />
$ \, $<br />
<br />
Solución realizada por: [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]]([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) el 14 de Febrero de 2014<br />
<br />
<br />
----<br />
Separé la solución de César Iván e hice algunas correcciones ortográficas. --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:56 19 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Algunas correciones --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:32 20 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Falta un poco de teoría del planteamiento del problema--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:23 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Agregado un nuevo subíndice, espero que no sea confuso.--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:48 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
Arreglé el código porque varias expresiones matemáticas no salían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 20:26 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.8 ==<br />
'''Calculate the maximum acceleration (in units of $g$) of pickup stylus reproducing a frequency of $16 kHz$, with an amplitude of $0.01mm$.'''<br />
<br />
'''Calcule la aceleración máxima (en unidades de $g$) de una aguja que reproduce una frecuencia de $16 kHz$, con una amplitud de $0,01 mm$.'''<br />
<br />
El problema nos proporciona los siguientes datos:<br />
$f =16kHz = 16000Hz$<br />
$A = 0.01mm = 0.00001m$<br />
<br />
Resultado:<br />
<br />
Sabemos que podemos expresar la frecuencia angular como la frecuencia por $2\pi$:<br />
\[<br />
\omega=2\pi f...(1)<br />
\]<br />
<br />
Ahora sustituimos el valor de la frecuencia($f =16000Hz$) en la ecuación 1:<br />
<br />
\[\omega=2\pi(16000Hz)\]<br />
<br />
Luego obtenemos una nueva ecuación ya con el valor de $f$ evaluado:<br />
<br />
\[\omega=32000\pi<br />
\frac{rad}{s}\]<br />
<br />
<br />
\[{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}...(2)\]<br />
<br />
Un dato importante en este momento, es la expresión para la aceleración máxima en el movimiento armónico simple:<br />
<br />
\[ \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x\]<br />
<br />
Donde $x$ es la solución para el movimiento armónico simple ,osea , $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. El valor de $x$ será máximo cuando el $\cos(\omega t + \phi)=1$ alcance su valor máximo y esto sucede cuando es igual uno. Por tal razón podemos expresar la aceleración máxima como sigue:<br />
<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos el valor de $\omega$ elevado al cuadrado proveniente de la ecuación 2:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\]<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\]<br />
<br />
Ahora hay que dividir el resultado obtenido en la ecuación 3 entre $g$ para expresarlo en unidades de $g$.Usamos primero:<br />
<br />
\[g=9.8\frac{m}{s^2}\]<br />
<br />
Y obtenemos la aceleración máxima en unidades de $g$:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =10312.729g\]<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:51 21 feb 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 20:22 18 feb 2015 (CST)<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
--Entendible y bien desarrollado----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:32 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.9 ==<br />
<br />
1.9.- '''Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta<br />
'''a un muelle '''de constante de recuperación de 4 dinas/cm.<br />
'''Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo.<br />
Calcular:''' a) la frecuencia propia y el periodo, ''' b) la energía total<br />
y '''c) la velocidad máxima.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía<br />
la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra<br />
ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber<br />
que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento<br />
es la fuerza del resorte, entonces tenemos:<br />
La energia potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(x\right)=\frac{1}{2}kx^{2}</math><br />
<br />
<br />
La fuerza y la energia potencial estan relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(x\right)=-\frac{dU}{dx}<br />
x</math><br />
<br />
Ahora , aplicando la segunda ley de Newton: :<math>F=m\ddot{x}:</math><br />
<br />
:<math>kx=m\ddot{x}</math><br />
<br />
Ahora, dividiendo entre “m” e igualando la expresion a cero, se tiene :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución<br />
<br />
\[<br />
x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además de las condiciones iniciales tenemos:<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$<br />
la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$<br />
<br />
\[<br />
x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt)<br />
\]<br />
<br />
<br />
de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$<br />
y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque<br />
no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$ <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad<br />
máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad<br />
energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene<br />
energía potencial.<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a<br />
\]<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima<br />
obtenemos la velocidad máxima<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$<br />
y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$<br />
<br />
y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$<br />
<br />
b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$<br />
<br />
\[<br />
\dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 21:59 25 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--Falta explicar como obtiene la ecuación diferencial del oscilador armonico simple, y como obtiene las condiciones iniciales partiendo del problema----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:35 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--Solo cambio y completo mas la teoría de como obtiene la ecuación diferencial del oscilador----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:03 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema 1.10==<br />
1.10 Comprobar que la ecuación diferencial $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
=-kx$ tiene<br />
por solución $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$ siendo A y B constantes arbitrarias.<br />
Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma $y=Ccos(kx+\alpha)=C$<br />
$\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
y expresar C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
Por segunda ley de Newton tenemos:<br />
<br />
\[<br />
|\overrightarrow{F}|=m|\vec{a}|\rightarrow-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
\]<br />
<br />
entonces derivamos dos veces a $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$<br />
<br />
\[<br />
\frac{dy}{dx}=-kAsen(kx)+kBcos(kx)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2y}}{dx^{2}}=y=-k^{2}Acos(kx)-k^{2}Bsen(kx)=-k^{2}\left[Acos(kx)+Bsen(kx)\right]=-k^{2}y<br />
\]<br />
<br />
donde <br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Sean<br />
\begin{equation}<br />
A=Ccos(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B=-Csen(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entoces:<br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(\theta)cos(kx)-Csen(\theta)sen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la propiedad trigonometrica de la suma de los ángulos del<br />
coceno<br />
<br />
\[<br />
cos\left(a+b\right)=cos\left(a\right)cos\left(b\right)-sen\left(a\right)sen\left(b\right)<br />
\]<br />
<br />
tenemos:<br />
<br />
\[<br />
=C[cos(kx)cos(\theta)-Csen(kx)sen(\theta)]=C[cos(kx+\theta)]<br />
\]<br />
<br />
quedando asi demostrada la primera parte.<br />
<br />
Ahora demostraremod que $y=Ccos(kx+\alpha)=C\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
<br />
De los números complejos sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
z=e^{i\alpha}=cos(\alpha)+isen(\alpha)<br />
\]<br />
<br />
aplicando propiedades de los expenontes, y teniendo en cuenta que<br />
la parte real de $z=cos(\alpha)$ y el resultado anterior tenemos<br />
que:<br />
<br />
\[<br />
y=C\mathbb{R}\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[Ce^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]<br />
\]<br />
<br />
demoatrando lo pedido.<br />
<br />
Por último expresaremos C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
Si elevamos al cuadrado las ecuaciones 1 y 2 tenemos que<br />
<br />
\[<br />
A^{2}+B^{2}=C^{2}cos^{2}\left(\theta\right)+\left(-C\right)^{2}sen^{2}\left(\theta\right)=\left[C^{2}(cos^{2}\left(\theta\right)+sen^{2}\left(\theta\right))\right]=C^{2}<br />
\]<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
C^{2}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
para \textgreek{j} tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\left(\theta\right)=\frac{A}{B}=\frac{-Csen(\theta)}{Ccos(\theta)}=-tan\left(\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta=arctan\left(-\frac{B}{A}\right)<br />
\]<br />
----<br />
--Añadi un nuevo problema----[[Usuario:Evamontiel|Evamontiel]] ([[Usuario discusión:Evamontiel|discusión]])<br />
----<br />
<br />
== Problema I.I ==<br />
'''A piston executes harmonic motion with an amplitude of $0.1m$. If it passes through the center of its motion with a speed of $0.5m/s$, what is the period of oscillation?'''<br />
<br />
'''Un pistón realiza un movimiento armónico con una amplitud de $0.1m$. Si pasa por el centro de su movimiento con una velocidad de $0.5m/s$, ¿cuál es su periodo de oscilación?.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que para el movimiento armónico simple('''MAS'''), podemos proponer una solución del tipo:<br />
<br />
<math><br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
por lo que, al derivar la función de posición, obtenemos la velocidad como función del tiempo:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, dadas las condiciones del problema, tenemos que resolver las ecuaciones para la posición y la velocidad de manera simultanea. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi) \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo las condiciones de frontera del problema, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = (0.1m) \cos(\omega t + \phi) = 0 \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega (0.1m) \sin(\omega t + \phi) = 0.5m/s<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
Para que se cumpla la primera ecuación, la única posibilidad es que $\cos(\omega t + \phi) = 0$ y para ello, $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. <br />
<br />
Si tomamos ahora la segunda ecuación:<br />
<br />
<math><br />
-\omega \sin(\omega t + \phi) = \dfrac{0.5m/s}{0.1m} \Rightarrow -\omega \sin(\omega t + \phi) = 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Pero al estar resolviendo un sistema de ecuaciones, debemos considerar la condición de que $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. Y bajo las condiciones anteriores, $\sin(\omega t + \phi) = \pm 1$, por lo que la segunda ecuación queda como:<br />
<br />
<math><br />
w = \pm 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Tomando $|\omega|$ y la definición de $T=2\pi / \omega \Rightarrow T = 2\pi / (5s^{-1})$, con lo que tendremos la solución deseada:<br />
<br />
<math><br />
T = \dfrac{2\pi}{5s^{-1}} \approx 1.25663<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:09 14 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema I.II ==<br />
'''A particle undergoes harmonic motion with a frequency of $10$Hz. Find the displacement $\psi$ at any time $t$ for the following initial condition: $t=0$, $\psi=0.25m$, $\dot{\psi}=0.1m/s$.'''<br />
<br />
'''Una partícula sigue un movimiento armónico con una frecuencia de $10Hz$. Encuentre el desplazamiento $\psi$ para cualquier tiempo $t$ con las condiciones iniciales: $\psi(t=0)=0.25m,\dot{\psi}(t=0)=0.1m/s$.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Proponemos la siguiente solución:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi)...(1)<br />
</math><br />
<br />
con lo que la velocidad será:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi}(t) = -\omega A\sin(\omega t + \phi)...(2)<br />
</math><br />
<br />
y aplicando las condiciones iniciales y sabiendo que $\omega = 2\pi \nu = 2\pi (10Hz) = 20\pi s^{-1}$ tendremos lo siguiente:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t=0) = A\cos(\phi) = 0.25m \\<br />
\dot{\psi}(t=0) = -(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi) = 0.1m/s<br />
</math><br />
<br />
Y dividiendo la ecuación (2) entre la (1):<br />
<br />
<math><br />
\dfrac{-(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi)}{A\cos(\phi)} = \dfrac{0.1m/s}{0.25m} <br />
\Rightarrow \tan(\phi) = \dfrac{0.1m/s}{-(2\pi)(10Hz)(0.25m)}<br />
</math><br />
<br />
y realizando los cálculos:<br />
<br />
<math><br />
tan(\phi) \approx -6.3661x10^{-3} \Rightarrow \phi \approx \arctan(-6.3661x10^{-3}) <br />
\Rightarrow \phi \approx -6.3661x10^{-3}<br />
</math><br />
<br />
Retomando la ecuación para el desplazamiento y el valor de $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
A \cos(\phi) = 0.25m \Rightarrow A = \dfrac{0.25m}{\cos(-6.3661x10^{-3})} \Rightarrow A = 0.25m<br />
</math><br />
<br />
De tal forma que la función $\psi(t)$ se puede escribir como:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi) = (0.25m) \cos\left((20\pi s^{-1})t -6.3661x10^{-3}\right)...(4)<br />
</math><br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:39 14 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:26 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Solución vectorial del oscilador armónico del capítulo 1 ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
En esta parte lo que pretendo es llegar a la solución vectorial del oscilador armónico de la forma: <br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}</math> para la ecuación diferencial de segundo orden<br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Descomponiendo esta ecuación en un sistema de ecuaciones de primer orden <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{1}=\psi_{2}....(1)</math> <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{2}=-\omega_{0}^{2}\psi....(2)</math> <br />
<br />
<br />
A este sistema le asociamos una matriz <math>A</math> <br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Los valores propios para esta matriz son: <br />
<br />
<br />
:<math>\lambda=\pm\omega_{0}i</math><br />
<br />
<br />
Buscamos ahora los vectores propios para los valores de <math>\lambda</math>. De hecho,<br />
sólo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado<br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
-\omega_{0}i & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & -\omega_{0i} \\<br />
\end{array}<br />
\right)=<br />
\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
<br />
</math><br />
<br />
<br />
El vector propio asociado a <br />
<br />
:<math>\lambda=\omega_{0}i</math> es<br />
<br />
<br />
:<math>V=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
1 \\<br />
\omega_{0}i \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
Entonces formando la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>P=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\frac{1}{\omega_{0}} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Su inversa de <math>P</math> es <br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math> <br />
<br />
<br />
Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos<br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}AP=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & -\omega_{0} \\<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Que es una diagonalización y la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>B=e^{0}\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & -\sin\omega_{0}t \\<br />
\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
La utilizamos para calcular <br />
<br />
<br />
:<math>e^{At}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}=PBP^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & \frac{1}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t \\<br />
-\omega_{0}\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Esta es la solución vectorial para la ecuación <br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Resuelto por Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:22 17 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:35 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:48 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema l.lll==<br />
<br />
<br />
<br />
'''Una partícula de 12.3 Kg experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 1.86mm. Su aceleración máxima es <math>7.93 km/s^2</math>. a)Encuentre el periodo de movimiento. b)¿Cúal es la velocidad máxima? c) Calcule la energía mecánica total de este oscilador armónico simple.'''<br />
<br />
Tratándose de un movimiento armónico simple recurriremos a la siguiente expresión diferencial, que modela el movimiento armónico simple :<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}+s{\psi}=0 ... (1)</math><br />
Donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) por <math>m</math> obtenemos que:<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0 ... (2)</math><br />
<br />
Donde la expresión (2) queda satisfecha por:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular. Al calcular la primera derivada de <math>\psi</math> obtenemos la velocidad y la aceleración al volverla a derivar por segunda vez, es decir que:<br />
\[\dot{\psi}(t)=-A \omega Sen(\omega t + \phi)...(3)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)=-A \omega^2 Cos(\omega t + \phi)...(4)\]<br />
<br />
Analizando las ecuaciones (3) y (4), notamos que las funciones seno y coseno oscilan entre <math>\pm1</math>, por lo que los valores extremos para la velocidad son <math>\pm A\omega</math>. De una forma análoga para la aceleración, los valores extremos que puede tomar son <math>\pm A\omega^2</math>, en consecuencia los valores ''máximos'' para la aceleración y la velocidad:<br />
<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega ...(5)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)= A \omega^2 ...(6)\]<br />
<br />
La energía ó [[Ondas: conservacion]] está dada por:<br />
\begin{equation}<br />
W = T + V =Cte<br />
\end{equation}<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial, por lo que podemos redefinirla como:<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA^{2}= \frac{1}{2} \omega^2 mA^{2}...(7)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
a) El periodo del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la partícula realize un ciclo completo de su movimiento, por lo que:<br />
<br />
<math>\tau= \frac{2\pi}{\omega}...(8)</math> <br />
<br />
Como tenemos los valores de la aceleración máxima y la amplitud, despejamos a <math>\omega</math> de la ecuación (6), luego sustituimos los valores conocidos para obtener el valor de <math>\omega</math>.<br />
\[\omega= \sqrt{\ddot{\psi} \over A} = \sqrt{7.93x10^3 {m \over s^2} \over 1.8x10^{-3} m} = 2.10x10^{3} \frac{rad}{s} \]<br />
<br />
por lo que al sustituir el valor de <math>\omega</math> en (8) obtenemos que:<br />
<br />
<br />
<math>\tau= {{2 \pi} \over {2.10x10^{3} \frac{rad}{s}} = 3.00x10^{-3} s = 3.00 ms </math> <br />
<br />
b) Para la velocidad usaremos la expresión (5):<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega = (1.86x10^{-3}m)(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})=3.90 {m \over s} \]<br />
<br />
c) Para la enegía mecánica total usaremos la expresion (7):<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}\omega^2 m A^{2}=\frac{1}{2}(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})^2 (12.3 Kg)(1.86x10^{-3} m)^{2} =90.7 J<br />
</math><br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:33 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:28 9 jun 2020 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1-12, French ==<br />
<br />
'''Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm/s. El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t=0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un angulo 30° con el eje x. '''<br />
<br />
'''(a) Obtener la ecuación de la coordenada x del punto en función del tiempo en la forma <math>x=A\cos(\omega t+\alpha)</math>, conocidos los valores numéricos de A, <math>\omega</math> y <math>\alpha</math> '''<br />
<br />
'''(b) Hallar los valores de $x$, <math>\frac{dx}{dt}</math> y <math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math> para t=2 s'''<br />
<br />
Dado que el punto tarda 6 seg en dar una vuelta completa y este se mueve con una velocidad de 50 cm/s; la circunferencia mide,<br />
<br />
:<math>l=50\frac{cm}{s}\times6seg=300cm</math><br />
<br />
y dado que...<br />
<br />
:<math>l=2\pi r</math><br />
<br />
:<math>r=\frac{l}{2\pi}=\frac{300cm}{2\pi}\backsimeq47.7cm</math><br />
<br />
el resultado anterior es la máxima distancia del punto en el eje x, es<br />
decir es la amplitud.<br />
<br />
Ahora,<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
:<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{6s}=\frac{\pi}{3}s^{-1}</math><br />
<br />
Dado que en $t=0$ el punto forma un ángulo de<br />
<br />
:<math>\frac{\pi}{6}</math> <br />
<br />
con en eje x, y pensando que el ángulo fue medido de la forma normal, anti-horaria se tiene que <br />
<br />
:<math>\alpha=-\frac{\pi}{6}</math><br />
<br />
y,<br />
<br />
:<math>x(t)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Ahora se calculara su posición, velocidad y aceleración en $t=2 s$.<br />
<br />
Para calcular la posición primero sustituimos $t=2$<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar el argumento del argumento del coseno, calcular el resultado es trivial:<br />
<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0</math><br />
<br />
Para la velocidad, primero debemos derivar la función de la posición,<br />
<br />
<br />
:<math>\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=-\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(\frac{150}{\pi}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar nos queda:<br />
<br />
:<math>v(t)=-50\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$,simplificamos el argumento del seno y calcular el resultado es trivial,<br />
<br />
:<math>v(t=2s)=-50\sin\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-50\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-50\frac{cm}{s}</math><br />
<br />
<br />
Para la aceleración primero derivamos la velocidad<br />
<br />
:<math>\frac{dv(t)}{dt}=a(t)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$, simplificamos en argumento del coseno y calcular el resultado se hace trivial:<br />
<br />
:<math>a(t=2s)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{50}{3}\pi\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0<br />
</math><br />
<br />
--[[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 02:10 20 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:28 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Sólo reescribí la solución de los últimos cálculos explicando un poco más[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:30 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 11-21, Física general Sears-Zemansky Ed. 4ta ==<br />
<br />
<br />
'''Una masa $m$ oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:'''<br />
<br />
'''a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte. '''<br />
<br />
'''b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos'''<br />
<br />
Solución: <br />
<br />
Por la relación <br />
\[<br />
\omega_{0}=(\frac{k}{m})^{\frac{1}{2}}...(a)<br />
\] <br />
<br />
y <br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}...(b)<br />
\]<br />
<br />
donde $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular y $\upsilon_{0}$ la frecuencia; se puede sustituir (a) en (b) para obtener: <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\] <br />
<br />
donde $k$ en la constante del resorte respectivo y $m$ la masa.<br />
<br />
Del problema conocemos la frecuencia, antes y después de ser agregada la segunda masa, <br />
<br />
la cual también conocemos, y la amplitud. <br />
<br />
a)Por lo tanto se puede expresar : <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}m}\ldots(1)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{2}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}(m+.3kg)}\ldots(2)<br />
\]<br />
<br />
Donde $\upsilon_{1}$ y $\upsilon_{2}$ representan las frecuencias antes y después de colocar la segunda masa. <br />
<br />
De las ecs. (1) y (2), podemos despejar $k$ e igualar de la siguiente manera:<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m=\upsilon_{2}^{2}4\pi^{2}(m+.3)<br />
\]<br />
<br />
y despejando $m$ queda <br />
<br />
\[<br />
m=\frac{.3*.5^{2}}{(1^{2}-.5{}^{2})}=.1<br />
\] <br />
<br />
Por lo tanto $m=100g$ y despejando $k$ de (1) tenemos<br />
<br />
\[<br />
k=\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m\ldots\ldots(3)<br />
\] <br />
<br />
\[<br />
k=1^{2}4\pi^{2}(.1)=3.947<br />
\] <br />
<br />
Entonces $K=3.947N/m$<br />
<br />
(b)Para calcular la amplitud en la segunda situación tenemos la relación siguiente: <br />
<br />
Conocemos...<br />
<br />
\[<br />
E_{m1}=\frac{1}{2}kA_{1}^{2}\ldots\ldots\ldots(\alpha)<br />
\] <br />
<br />
Y también sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{m2}=\frac{1}{2}kA_{2}^{2}\ldots\ldots\ldots(\beta)<br />
\] <br />
<br />
Pero como como $E_{m1}=E_{m2}$ entonces al igualar ($\alpha$) y ($\beta$) sabremos que:<br />
<br />
\[<br />
A_{1}^{2}=A_{2}^{2}<br />
\] <br />
<br />
Por lo que $A_{2}^{2}=.05m$<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:54 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
== Problema oscilador armónico ==<br />
'''El desplazamiento de una partícula viene dado por:'''<br />
:<math>x(t) = 0.3 \cos(2 t + \frac{\pi}{6})\,</math> $x$ en metros y $t$ en segundos.<br />
<br />
'''a) Determinar la frecuencia, el periodo, la amplitud, la pulsación y la fase inicial.<br />
'''<br />
<br />
'''b) ¿Dónde se encuentra la partícula en $t$ = 1s?'''<br />
<br />
'''c) Calcula la velocidad y la aceleración en un instante cualquiera $t$.'''<br />
<br />
'''d) Calcula la posición y velocidad inicial.'''<br />
<br />
<br />
:Solución: <br />
<br />
a) Observamos que se trata de un movimiento armónico simple, cuya ecuación general viene dada por:<br />
<br />
<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
<br />
Comparando directamente tenemos que $A=0.3 m$ , $\omega =2Hz$ , $\phi = \frac{\pi}{6} rad$<br />
<br />
La frecuencia se obtiene a partir de la pulsación:<br />
<br />
<math>f = \frac{\omega}{2 \pi }</math><br />
<br />
<br />
el periodo se calcula como la inversa de la frecuencia:<br />
<br />
<math>T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = \pi s</math><br />
<br />
<br />
b) Para saber dónde se encuentra la partícula en el instante $t$ = 1s es suficiente substituir en la ecuación del movimiento:<br />
<br />
<math>x(1s) = 0.3 \cos(2 + \frac{\pi}{6})\ = -0.245m</math><br />
<br />
<br />
c) La velocidad y la aceleración se pueden obtener de la posición derivando respecto del tiempo (una vez para obtener la velocidad, dos para la aceleración).<br />
<br />
<br />
:<math>v(t) = -0.6 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.2 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s^2</math><br />
<br />
<br />
d) únicamente tenemos que substituir t = 0 en las expresiones adecuadas:<br />
<br />
:<math>x(t=0) = 0.3 cos(\frac{\pi}{6})\ = 0.260 m</math><br />
:<math>v(t=0) = -0.6 sen(\frac{\pi}{6})\ = -0.3 m/s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:59 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Corregí el código porque algunas expresiones matemáticas que no se veían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:40 8 jun 2020 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema propuesto en relación al capitulo I ==<br />
<br />
<br />
Se encontró experimentalmente que un peso de <math>4lb<br />
</math> estira un resorte de <math>6 pulgadas<br />
</math>. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de <math>4{pulg}/{s}<br />
</math>, determine:<br />
<br />
a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.<br />
<br />
b) La ecuación de movimiento.<br />
<br />
c) El periodo y la frecuencia.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Recordando que <math>1ft=12in<br />
</math>, realizando las conversiones respectivos, se tiene:<br />
<br />
:<math>x=6in=\frac{1}{2}ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(0\right)=4{in}{s}={1}/{3}{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
Inicialmente el peso está en una posición de reposo <math>x\left(0\right)=0<br />
</math>, y después se suelta desde la posición de equilibrio (reposo) <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math>.<br />
<br />
Además <math>W=mg<br />
</math> <math>\Rightarrow<br />
</math> <math>m=\frac{W}{g}=\frac{4lb}{32}=1/{8}slug<br />
</math>.<br />
<br />
== problema propuesto vibraciones y ondas==<br />
si la posición, velocidad y aceleración de un objeto que se mueve con movimiento armónico simple son $v_{0}$<br />
<br />
Entonces, por la ley de Hooke y sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>F=kx<br />
</math><br />
<br />
:<math>4lb=k\left({1}/{2}ft\right)<br />
</math> <br />
<br />
:<math>k=8{lb}/{ft}<br />
</math><br />
<br />
a) La ecuación diferencial que describe el movimiento es:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+w^{2}x=0<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
</math> <br />
<br />
Sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+64x=0...\left(1\right)<br />
</math> <br />
<br />
con las condiciones iniciales <math>x\left(0\right)=0<br />
</math> y <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math> <br />
<br />
b) La ecuación auxiliar de (1) es <math>r^{2}+64=0<br />
</math>, cuyas raíces son <math>r=\pm8i<br />
</math>. La solución general de (1) es:<br />
<br />
:<math>x\left(t\right)=c_{1}cos\left(8t\right)+c_{2}sen\left(8t\right)...(2)<br />
</math> <br />
<br />
derivando dos veces la solución general se tiene:<br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(t\right)=-8c_{1}sen\left(8t\right)+8c_{2}cos\left(8t\right)...(3)<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(t\right)=-64c_{1}cos\left(8t\right)-64c_{2}sen\left(8t\right)...(4)<br />
</math><br />
<br />
Para conocer <math>c_{1}<br />
</math> y <math>c_{2}<br />
</math>, sustituímos las condiciones iniciales en (2) y (3)<br />
<br />
:<math>c_{1}=0,c_{2}=\frac{1}{24}\therefore x\left(t\right)=\frac{1}{24}sen\left(8t\right)<br />
</math><br />
<br />
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después, está dado por:<br />
<br />
:<math>x\left(2\right)=\frac{1}{24}sen\left(16\right)=-0.011996ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(2\right)=\frac{1}{3}cos\left(16\right)=-0.31922{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(2\right)=-\frac{8}{3}sen\left(16\right)=0.7677{ft}/{s^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Lo cual indica que el cuerpo se encuentra a <math>0.011996ft<br />
</math> arriba de la posición de equilibrio moviendose hacia arriba.<br />
<br />
Bibliografía<br />
<br />
José Ventura Becerril y David Elizarraraz, ecuaicones diferenciales técncas de solución y aplicaciones, 1ra edición, Universidad Autónoma Metrpolitana Azcapotzalco, México, 2004.<br />
<br />
--Ricardo García Hernández----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:51 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema del serwey==<br />
<br />
un bloque de <math>200g</math> conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de <math>5N/m</math>es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin friccion. El bloque se desplaza <math>5cm</math>desde el equilibrio y se libera del reposo.<br />
<br />
a) Hallar el periodo de movimiento<br />
<br />
primero hay que encontrar la frecuencia angular con la siguiente ecuación<br />
<math>\omega= \sqrt{k \over m} </math> <br />
:<math>\omega=\sqrt{k \over m}= \sqrt{5Nm^{-1} \over 0.2kg} =5 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
el periodo esta dado por <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega}= 1.2s</math><br />
</li><br />
<br />
b) Hallar <math>v</math>(velocidad) y <math>a</math>(aceleracion) máxima<br />
<br />
A=.05m <math>/v=w \ A=.250m/s </math><br />
<br />
<br />
<math>/v={w^{2}} \ A=.1.25m/{s^{2}} </math><br />
<br />
c) Exprese la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo en unidades del SI<br />
<br />
para un tiempo inicial igual a cero la fase es 0<br />
<br />
:<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
:<math>x(t) = 0.05 cos(5 t )\,</math><br />
:<math>v(t) = -0.25 sen(2 t )\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.25 cos(2 t )\ m/s^2</math>--<br />
<br />
--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores 24/02/15 18:03<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.8, The Physics of Vibrations and Waves, A. Pain ==<br />
<br />
''' A plasma consists of an ionized gas of ions and electrons of equal number densities ($n_i = n_e = n$)having charges of opposite sign $\pm e$, and masses $m_i$ and $m_e$ , respectively, where $m_i > m_e$. Relative displacement between the two species sets up a restoring electric field which returns the electrons to equilibrium, the ions being considered stationary. In the diagram, a plasma slab of thickness $l$ has all its electrons displaced a distance $x$ to give a restoring electric field $E=nex/\epsilon_0$ where $\epsilon_0$ is a constant. Show that the restoring force per unit area on the electrons is $xn^2e^2l/\epsilon_0$ and that they oscillate simple harmonically with angular frequency $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. This frequency is called the electron plasma frequency, and only those radio waves of frequency $\omega > \omega_e$ will propagate in such an ionized medium. Hence the reflection of such waves from the ionosphere. '''<br />
<br />
''' Un plasma consiste en gas ionizado formado por iones y electrones con densidades iguales ($n_i = n_e = n$) teniendo cargas del signo opuesto $\pm e$, y masas $m_i$ y $m_e$ respectivamente, donde $m_i > m_e$. El desplazamiento relativo entre dos especies establece un campo eléctrico restaurador que regresa a los electrones al equilibrio, donde los iones se consideran estacionarios. En el diagrama, un bloque de plasma de ancho $l$ tiene todos sus electrones desplazados una distancia $x$, proporcionando un campo eléctrico restaurador $E=nex/\epsilon_0$ donde $\epsilon_0$ es una constante. Muestre que la fuerza restauradora por unidad de área en los electrones es $xn^2e^2l/\epsilon_0$ y que ellos oscilan de manera armónica simple con frecuencia angular $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. Esta frecuencia es llamada frecuencia de plasma y sólo aquellas ondas de radio con frecuencia $\omega > \omega_e$ se propagarán a través del medio ionizado. De este mode se da la reflección de tales ondas desde la ionósfera. '''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que la densidad lineal de los electrones en el plasma está dada por $n_e = n$, entonces, para encontrar la carga de los electrones por unidad de área en el plasma, tenemos que multiplicar por la longitud del bloque($l$) y por la carga de cada electrón($-e$):<br />
<br />
<math><br />
q = -enl<br />
</math><br />
<br />
Ahora, si se quiere calcular la fuerza restauradora por unidad de área, tomamos la definición de la fuerza eléctrica:<br />
<br />
<math><br />
F = qE<br />
</math><br />
<br />
y luego sustimos la expresión dada para el campo eléctrico restaurador y la expresión encontrada para la carga:<br />
<br />
<math><br />
F = (-enl)\left( \dfrac{nex}{\epsilon_0} \right) = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0}<br />
</math><br />
<br />
lo cual es el resultado buscado. También es necesario mostrar que los electrones oscilan de manera armónica simple. Para ello, escribimos las fuerzas involucradas en el sistema. Una es la fuerza de restaurauración por unidad de área y la otra es la aceleración de los electrones por su masa por unidad de área. La masa por unidad de área de los electrones se encuentra multiplicando la densidad lineal $l$, por la masa de cada electrón $m_e$, por el ancho del bloque de plasma. Lo anterior nos da:<br />
<br />
<math><br />
F = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0} = m_e n l \ddot{x}<br />
</math><br />
<br />
Donde simplificando la ecuación anterior, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\ddot{x} + \dfrac{ne^2}{m_e \epsilon_0} x = 0<br />
</math><br />
<br />
lo anterior demuestra que es un movimiento armónico simple.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 11:56 3 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
== ejercicio vibra 1 ==<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 17:40 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez<br />
<br />
==Ejercicio 1==<br />
<br />
'''Un oscilador está formado por un bloque de masa $m=0.5 kg$ conectado a un resorte ideal. Cuando es puesto en oscilación con una amplitud de $A=35 cm$, el oscilador repite su movimiento cada $0.5s$. Encontrar:''' <br />
<li>a. El periodo.</li><br />
<li>b. La frecuencia.</li><br />
<li>c. La frecuencia angular.</li><br />
<li>d. La constante del resorte.</li><br />
<li>e. La magnitud de la velocidad máxima.</li><br />
<li>f. La magnitud de la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el bloque.</li><br />
<li>g. La energía mecánica del sistema.</li><br />
'''Solución propuesta:'''<br />
:Si el tiempo se mide desde que el sistema se suelta estando el bloque en una posición igual a la amplitud, entonces el ángulo de fase es nulo y la ecuación de movimiento es: <br />
:$x(t)=A\cos(wt)$<br />
'''(a)''' Como el periodo es el tiempo en que el movimiento se repite, entonces: <br />
:$T=0.5s$<br />
'''(b)''' Como la frecuencia es igual al inverso del periodo, entonces: <br />
:$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.5s}=2.0Hz$<br />
'''(c)''' La frecuencia angular es $w=2πf$, entonces: <br />
:$w=2πf=\frac{2π}{T}=4π=12.57rad/s$<br />
'''(d)''' La constante del resorte es $k=mw^{2}$, entonces:<br />
:$k=mw^{2}=(0.5kg)(12.57rad/s)^{2}=78.96 N/m$<br />
'''(e)''' La magnitud de la velocidad máxima es $v_{max}=wA$.<br />
:$v_{max}=wA=(12.57rad/s)(0.35m)=4.40m/s$<br />
'''(f)''' Usando la segunda ley de Newton, la fuerza máxima es: <br />
:$F_{max}=ma_{max}=m(w^{2}A)=(78.96N/m)(0.35m)=27.64 N.$<br />
'''(g)''' La energía mecanica del sistema es:<br />
:$E=\frac{1}{2}kA^{2}=(0.5)(78.96N/m)(0.35m)^{2}=4.84J$<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:30 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
==problema propuesto==<br />
si la posición, velocidad y aceleración iniciales de un objeto que se mueve con movimiento armónico simple son $ x_{0} $,$ v_{0} $, $ a_{0} $ y la frecuencia de oscilación es $ w $. Si la función para la posición del objeto del objeto se propone como se muestra a continuación:<br />
$x(t) = x_{0} cos(w t) + \frac{v_{0}}{w} sin(wt)$<br />
<br />
(a) demuestre que la velocidad del objeto para todo tiempo puede escribirse como:<br />
<br />
$v(t) = -x_{0} w sin (w t ) + v_{0} cos (wt)$<br />
<br />
(b) si la amplitud del movimiento es $A$, demuestre que <br />
<br />
$v^{2} -a x = v_{0}^{2}-a_{0} x_{0}= A^{2} w^{2}$<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
[[Usuario:Monicacruz|Monicacruz]] ([[Usuario discusión:Monicacruz|discusión]]) 14:31 18 jun 2020 (CDT) Monica Cruz</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c1&diff=24508Vibra: probs c12020-06-19T02:45:18Z<p>Evamontiel: /* Problema 1.10 */</p>
<hr />
<div>--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)Problemas del capítulo uno <ref name="main"/> [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:42 16 ene 2014 (UTC)<br />
<references><br />
<ref name="main"> Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994 </ref><br />
</references><br />
----<br />
== Problema 1.1 ==<br />
===Solución 1===<br />
'''If the system shown in fig 1.1 has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.'''<br />
<br />
''' Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) El vibrador prototipo en equilibrio. (b) La masa es instantáneamente desplazada una distancia <math>\psi</math> hacia la derecha de su posición de equilibrio.]]<br />
<br />
<ol style="list-style-type:lower-alpha;"><br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li> El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, al efectuar esta perturbación el resorte ejerce una fuerza de restauración (opuesta al desplazamiento de la masa) hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue:<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}=-s{\psi}</math><br />
<br />
donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. Dividiendo entre la masa se obtiene<br />
<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0</math><br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular.<br />
<br />
Entonces la frecuencia angular es: <br />
<br />
:<math>\omega_{0}=\sqrt{s \over m}= \sqrt{36Nm^{-1} \over 0.010kg} = 60 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
<li>Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math>. El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue:<br />
<br />
:<math>\nu_{0}={\omega_{0}\over 2\pi}</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es: <math>\nu_{0}= {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5493 Hz</math><br />
</li><br />
<br />
<li>Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math> , esto sucede cada <math>{ 2 \pi}\over \omega_{0} </math> que es conocido como el período <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega_{0}}= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10472 s</math><br />
</li><br />
<br />
</ol><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 07:10 24 ene 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:34 3 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 17:47 7 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 18:40 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 09:59 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
===Solución 2===<br />
'''Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li>'''a.''' Considerar un sistema oscilatorio que es consistente y es sometido a una fuerza <math>F\left(\varPsi\right)</math>. <br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-s\varPsi...(1)</math><br />
<br />
Donde <math>s</math> es la constante del resorte, y <math>\varPsi</math> es el desplazamiento del sistema. Dicho sistema oscilatorio se denomina oscilador armónico simple.<br />
<br />
La energía potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(\varPsi\right)=\frac{1}{2}s\varPsi^{2}...(2) </math><br />
<br />
<br />
Ya que de '''(2)''', la fuerza y la energía potencial están relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-\frac{dU}{d\varPsi} </math><br />
<br />
<br />
Ahora, aplicando la segunda ley de Newton <math>F=m\ddot{\varPsi}...(3)</math>, sustituyendo '''(1)''' en '''(3)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-s\varPsi=m\ddot{\varPsi} </math><br />
<br />
Dividiendo entre <math>m</math> e igualando la expresión a cero, se tiene :<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0...(4) </math><br />
<br />
<br />
Ahora reescribamos la ecuación como:<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}=-\frac{s}{m}\varPsi...(5) </math><br />
<br />
Requerimos que <math>\varPsi(t)</math> sea una función cuya segunda derivada sea negativa de esta misma; las funciones senos y cosenos cumplen esta propiedad, entonces:<br />
<br />
:<math>\varPsi\left(t\right)=\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\dot{\varPsi}\left(t\right)=-w \mathrm{sen}\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}(t)=-w^{2}\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo en '''(5)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-w^{2} \cos\left(wt\right)=-\frac{s}{m} \cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
:<math>w^{2}=\frac{s}{m} </math><br />
Que es la frecuencia angular, entonces:<br />
<br />
<br />
:<math>w=\sqrt{\frac{36N/m}{0.010Kg}}=60s^{-1} </math> </li><br />
<br />
<li>'''b.''' Para la frecuencia <math>\nu</math> del oscilador es el número de ciclos completos por unidad de tiempo y esta dada por :<br />
<br />
<br />
:<math>\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.1047s}=9.55Hz </math> </li><br />
<br />
<br />
<li>'''c.''' El periodo <math>T</math> de movimiento, se tiene por:<br />
<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{w}=\frac{2\pi}{60s^{-1}}=0.1047s </math> </li><br />
<br />
<br />
Ricardo García Hernández--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:10 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
Entendí y me gustó más esta forma de resolver el ejercicio--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:31 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
<br />
<br />
Sólo cambié la notación [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:37 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 10:04 16 jun 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:32 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.2 ==<br />
<br />
'''For the same vibrator as in problem 1.1 at time t=0, the mass is observed to be displaced 50 mm to the right of its equilibrium position and to be moving to the right at speed 1.7 m s^-1. Calcule''' <br />
'''a) the amplitude''' <br />
'''b) the phase constant''' <br />
'''c) the energy'''<br />
<br />
'''Por el mismo vibrador como en el problema 1.1 en el tiempo t = 0 , se observa la masa ser desplazada 50 mm a la derecha de su posición de equilibrio y estar moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 1.7 ms^-1 Calcule:<br />
'''<br />
<br />
'''(a) la amplitud'''<br />
<br />
'''(b) la constante de fase'''<br />
<br />
'''(c) la energía<br />
'''<br />
<br />
__________________________________Corrección del ejercicio 1.2___________________________________________<br />
<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3)<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.118Nm}{36Nm{}^{-1}}=0.00327m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{0.00327m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) El ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos las ecuaciones <br />
<br />
\begin{equation} <br />
\psi(t)=A{}_{\psi} \cos(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{\psi(t)}={-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Dividiende (5)entre (4) y evaluando en $t=0$:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(0)}}{\psi (0)}=\frac{{-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}<br />
=-\omega \tan (\omega t+\phi)=\frac{1.7}{.05}=-34<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\tan (\omega t+\phi)=\frac{34}{\omega}=\frac{-34}{60}=-0.5666<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\omega t+\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
Hay que recordar que estamos evaluando en $t=0$ por lo que<br />
<br />
\[<br />
\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\phi=-0.52rad<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=30°<br />
\]<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(0.057m)^{2}=0.059J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:13 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:53 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:13 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
'''Para la misma vibración que en el problema 1.1 , en el tiempo $t=0$'''<br />
''', se observa la masa a se desplaza $50mm$ a la derecha de su posición'''<br />
'''de equilibrio y se mueve hacia la derecha a una velocidad de $1.7ms{}^{-1}$.'''<br />
'''Calcúlese (a) la amplitud, (b) el ángulo de fase, y (c) la energía.'''<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3):<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.1189Nm}{36Nm{}^{-1}}=3.30277x10^{-3}m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{3.30277x10^{-3}m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) el ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos la solución:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Tenemos todo lo necesario para despejar el ángulo de fase de la ecuación<br />
(4)<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=(0.0571m)\mathrm{sen}\left[\left(60s{}^{-1}\right)(0)+\phi\right]=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=\mathrm{arcsen}(\frac{0.05m}{0.0571m})=61.122\text{°}<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(3.2604x10^{-3}m^{2})=0.0586J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Ejercicio corregido por Maya Velasco, Definitivamente me equivoque''<br />
''al hacer los cálculos numéricos en el cálculo de la amplitud algo''<br />
''que agradezco mucho que mi compañero Luis Velázquez haya notado. Posteriormente''<br />
''revisando la solución que dio mi compañero y la que yo propuse note''<br />
''lo siguiente:''<br />
<br />
[[Solución Luis Santos]]<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al derivar la expresión anterior obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(t)}=-A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Después mi compañero dividió ambas expresiones de la siguiente manera:''<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}=\frac{-A{}_{\psi}\omega \mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}=-\omega \tan(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
Posteriormente el ángulo $\phi$ es<br />
<br />
\[<br />
\phi=-29.53\text{°}\eqsim-30\text{°}<br />
\]<br />
<br />
''<br />
No encuentro otro error en el trabajo de mi compañero a excepción'<br />
''del signo, y después de su revisión sobre mi trabajo pues creo que''<br />
''aparentemente el mio también es correcto pero los valores en el ángulo''<br />
''de fase son diferentes y puedo explicar por que:''<br />
<br />
Ambas soluciones de la ecuación del oscilador armónico simple son<br />
correctas, sin embargo es más común usar la expresión que involucra<br />
la función coseno, ahora puedo mostrar que ambas soluciones son equivalentes<br />
desfasadas por un cierto ángulo.<br />
<br />
Se sabe que la función seno esta desfasada de la función coseno por<br />
$\frac{\pi}{2}$ ó 90°, hagamos lo siguiente, a la solución<br />
de mi compañero pongamos le el ángulo de fase que calculé yo que es<br />
de aproximadamente 61° y restemos le el desfase de los 90° .<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+61\text{°}-90\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t-29\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Esta es la respuesta de mi compañero que es correcta, entonces podemos''<br />
''concluir que ambos resultados son equivalentes. Si alguien más nota''<br />
''algún otro error mucho les agradeceré que me lo hagan notar, gracias.'' <br />
<br />
Ejercicio resuelto por Rosario Maya. Martes 10 de febrero 2015<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]]<br />
<br />
Ejercicio corregido por Rosario Maya el 12.02.15 a las 22:56 pm<br />
<br />
"El problema 1.2 está correcto; sobre todo al proponer dos formas diferentes de cómo calcular el ángulo de fase". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:46 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:28 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:59 8 jun 2020 (CDT) Cambios en la notación<br />
<br />
== Problema 1.3 ==<br />
'''An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the velocity this second vibrator at time t = 0. (c) At what time will it come to rest.'''<br />
<br />
Un sistema idéntico se pone en vibración con la misma amplitud que el vibrador en el problema 1.2, pero con un avance de fase de 90°. <br />
Calcule a) el desplazamiento y b) la velocidad de este segundo vibrador en el tiempo t=0. c) ¿A qué hora va a llegar al reposo?<br />
<br />
(a) <br />
<br />
Tenemos como ecuación de movimiento a:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi - \frac{\pi}{2})<br />
\]<br />
La cual puede escribise como:<br />
\[<br />
\psi(t)=Asin(\omega t + \phi)<br />
--------(1)\]<br />
<br />
<br />
Para t=0 se tiene:<br />
\[<br />
\psi(t=0s) = (57mm ) sin(-0.52) =-28mm<br />
\]<br />
(El signo indica que el desplazamiento es hacia la izquierda)<br />
<br />
<br />
<br />
(b)<br />
<br />
Al derivar (1) se tiene la ecuación para la velocidad<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t)=A \omega cos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
Para t=0<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)= A\omega cos\phi=(0.057m)(60s^{-1})cos(-0.52)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)=3 m s^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
(c) <br />
<br />
La velocidad del sistema es nula en los extremos, es decir, cuando \[\psi(t)=A\]<br />
\[<br />
Asin(\omega t + \phi)=A<br />
\]<br />
\[<br />
\omega t + \phi = 1.57<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
t=\frac{1.57-\phi}{\omega}= \frac{1.57+0.52}{60}<br />
\]<br />
\[<br />
t=35 ms<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:23 17 feb 2015 (CST)<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 19:03 07 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:17 12 feb 2015 (CST)<br />
"El problema 1.3, te sugiero que les des una descripción física a los resultados que obtuviste." --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:01 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.4 ==<br />
<br />
'''El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es <math>p_{1}</math> y es dado al tiempo <math>t=0</math>, encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando la segunda Ley de Newton se tiene:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}=p_{1}-k\psi...(1)<br />
\] <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) entre la masa y ordenarla, nos resulta una ecuación de segundo orden no homogénea:<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\frac{k}{m} \psi=p_{1}...(2)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde tenemos definida a <math>\omega^{2}</math> y <math>p_{1}</math> a como:<br />
<br />
\[\omega^{2}\equiv \dfrac{k}{m}\]<br />
\[p_{1}\equiv Ft\]<br />
<br />
Como se pondrá en movimiento con una fuerza que actuará sólo un instante de tiempo, se emplea la función delta de Dirac para describir el impulso, por lo cual la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\omega^{2} \psi=\frac{F}{m}\delta(t-t_0)...(3)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la transformada de Laplace<br />
<br />
<br />
\[<br />
\mathcal{L} \lbrace\ddot{x}\rbrace + \omega ^{2} \mathcal {L}\lbrace x \rbrace= \frac{F}{m} \mathcal{L}{\delta\lbrace (t-t_0)}\rbrace <br />
\]<br />
<br />
\[<br />
s^2 X(s) -sx(0)-\dot {x} (0) + \omega ^2 X(s) = \frac{F}{m}e^{-st_0}<br />
\]<br />
<br />
Donde las condiciones iniciales son:<br />
<br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Por lo que la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
\[<br />
X(s) = \frac{F}{m \omega} \frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0} ...(4)\]<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando ahora la transformada inversa en la ecuación (4)<br />
\[<br />
\mathcal{L}^{-1} \lbrace X(s)\rbrace = \frac{F}{m \omega}\mathcal{L}^{-1}\lbrace\frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0}\rbrace<br />
\] <br />
<br />
Resulta <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega}sin(\omega (t-t_0))\mathcal{U}(t-t_0)...(5)<br />
\]<br />
<br />
Y como <br />
\[t_0 =0\]<br />
<br />
Entonces <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega} sin(\omega t) \mathcal{U}(t)...(6) \]<br />
<br />
La cual es equivalente a:<br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m \omega} cos(\omega t + \frac{\pi}{2})..(7)<br />
\]<br />
<br />
haciendo una analogía de la ecuación (7) y la ecuación \[x(t) = A\cos(\omega t -\phi)\] se puede observar que la amplitud es: <br />
<br />
\[<br />
A= \frac{p}{m \omega}<br />
\]<br />
y la fase<br />
<br />
\[<br />
\phi=\frac{\pi}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
----<br />
Otra solución:<br />
----<br />
El impuso que se le imprime se convertirá en energía cinética, por lo que:<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2m\dot{x}^2} = \frac{1}{2 k_e A^2}<br />
\]<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:16 9 jun 2020 (CDT)<br />
Luego:<br />
\[<br />
A^2=\frac{m\dot{x}^2}{\omega_0 ^2 m}=\frac{m^2 \dot{x}^2 }{\omega_0 ^2m^2}=\frac{p^2}{\omega_0 ^2 m^2}<br />
\]<br />
Finalmente :<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{p}{\omega_0 m}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:27 8 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Le di un poco de orden al problema y corregí faltas de ortografía<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:01 18 feb 2015 (CST)Esther Sarai García González<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:07 13 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:54 18 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:00 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.5 ==<br />
<br />
'''The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by: '''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) The prototype vibrator in equilibrium. (b) The mass is instantaneously displaced a distance <math>\psi</math> to the right of its equilibrium position.]]<br />
<br />
<br />
'''El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ecuación de Movimiento Armónico Simple:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades:<br />
\begin{equation}<br />
A_{1}= A \cos{\phi}.....(1)<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.<br />
<br />
Para mostrar que la amplitud del problema está dado por <math>A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}</math>, elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
La ecuación (4) la dividimos por ${w_{0}}^2$ en ambos lados:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) <br />
\end{equation}<br />
<br />
De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), y sumando de la siguiente manera:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ecuación (6) factorizamos $A^2$ <br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado:<br />
\begin{equation}<br />
\boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<math>\therefore</math> la amplitud Q.E.D.<br />
<br />
<br />
<br />
Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener:<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1)<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11)<br />
\end{equation}<br />
<br />
En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: <br />
\begin{equation}<br />
\boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 05:59 31 ene 2014 (UTC)<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:39 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:11 15 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''Otra forma de hacerlo''' <br />
<br />
Tenemos las funciones que definen al desplazamiento y la velocidad <br />
<br />
\[x(t)=C_{1}cos\omega t+ C_{2}sin\omega t<br />
\]<br />
\[\dot{x}(t)=-C_{1}\omega sin \omega t + C_{2} \omega cos \omega t<br />
\]<br />
<br />
Entonces tenemos como condiciones inciales <br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Lo que resulta <br />
<br />
\[x(0)=C_{1}cos\omega (0) + C_{2}sin\omega (0)= C_{1} cos (0) + C_{2} sin (0) = C_{1}<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=-C_{1}\omega sin \omega (0) + C_{2} \omega cos \omega (0) = -C_{1}\omega sin (0) + C_{2}\omega cos (0) = C_2\omega<br />
\]<br />
<br />
<br />
de donde<br />
<br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
Y finalmente se obtiene<br />
<br />
\[x(t)= A_{0}cos\omega t + \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} sen \omega t<br />
\]<br />
La cual se puede escribir de las siguientes formas:<br />
<br />
\[x(t)= A sin (\omega + \phi)\] o bien \[x(t)= Acos(\omega - \phi)\]<br />
<br />
Esto se demuetra por las siguentes identidades:<br />
\[C_{1}cos \omega t + C_{2} sen \omega t = A sen (\omega t+ \phi) = A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)\]<br />
<br />
Y luego usamos las siguientes identidades también:<br />
<br />
<br />
\[ A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)= (A cos\phi)sen \omega t + (Asen \phi)cos\omega = <br />
(A sen\phi)cos\omega t + (A cos\phi )sen\omega t \]<br />
<br />
<br />
<br />
\[ Asen \phi = C_{1}\] y \[A cos\phi = C_{2}\]<br />
<br />
\[ C_{1}^{2} + C_{2}^{2} = A^{2}sen^{2}\phi + A^{2}cos^{2}\phi = A^{2}(sen^{2}\phi + cos^{2}\phi)= A^{2}\]<br />
<br />
\[A= \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}\]<br />
<br />
por lo tanto<br />
\[\phi = arctan\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\]<br />
y como <br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<br />
\[A= [A_{0}^{2}+\dfrac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}]^{\dfrac{1}{2}}\]<br />
\[ tan\phi = \dfrac{A_{0} \omega}{v_{0}}\]<br />
O bien <br />
\[ tan\phi = - \dfrac{v_{0}}{A_{0}\omega}\]<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase queda demostrada por este método alternativo. <br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)Esther Sarai Garcia Gonzalez (UAM-I)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST<br />
-- La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:07 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
'''Solución alternativa utilizando energías'''<br />
<br />
Para demostrar la primera identidad se tiene que la energía mecánica del sistema es igual a la suma de la energía cinética y potencial:<br />
<br />
$ W = K + U.....(eq.1)$ <br />
<br />
Donde $W$, $K$, y $U$ son la energía mecánica, la cinética y la potencial, respectivamente. Tenemos que estas están dadas por:<br />
<br />
$W = {1\over 2}{s}{A}^{2}....(eq.2)$<br />
<br />
$K = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}}.....(eq.3)$<br />
<br />
$U = {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq.4)$<br />
<br />
Donde $s$ es la constante del resorte. Si reemplaza las ecuaciones $2, 3, 4$ en la ecuación $1$ se tiene:<br />
<br />
${1\over 2}{s}{A}^{2} = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}} + {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq. 5)$<br />
<br />
Despejando A de esta última ecuación se tiene:<br />
<br />
$A^{2} = {m \over s}{v_{1}^{2}} + {A_{1}^{2}}$<br />
<br />
$A^{2} = (\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}$<br />
<br />
$A = {[(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}]}^{1/2}$<br />
<br />
Para la segunda identidad se utilizará las ecuaciones de posición y velocidad del cuerpo oscilante:<br />
<br />
$\psi(t)=A\cos{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 6)$<br />
<br />
$\dot{\psi}(t)={-}\omega_{0}A\sin{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 7)$<br />
<br />
Reemplazando en las ecuaciones los valores iniciales, se tiene que en $t = 0$ la posición es $A_{1}$ y la velocidad es $v_{1}$. Entonces:<br />
<br />
$A_{1} = Acos{\phi}.....(eq.7)$<br />
<br />
$v_{1} = {-}{A}{\omega_{0}}{sin{\phi}}.....(eq.8)$<br />
<br />
Despejando $A$ de ambas ecuaciones, la ecuación 7 y 8 se convierten en:<br />
<br />
$A = {A_{1} \over cos{\phi}}.....(eq.9)$<br />
<br />
$A = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}.....(eq.10)$<br />
<br />
Respectivamente. Ahora solo se igualan estas dos ecuaciones y se tiene:<br />
<br />
${A_{1} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}$<br />
<br />
Y esta igualdad se puede convertir en:<br />
<br />
${sin{\phi} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
$tan{\phi} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
Resolviendo el Problema.<br />
<br />
--[[Usuario:Gustavo.uami12|Gustavo.uami12]] ([[Usuario discusión:Gustavo.uami12|discusión]]) 09:55 9 jun 2020 (CDT)<br />
--Propuse una solución alternativa mucho más corta que las dos anteriores.<br />
<br />
== Problema 1.6 ==<br />
'''Calculate (a)the amplitude, (b)the phase constant, and (c)the complex amplitud, for the vibration by''' $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$<br />
<br />
'''Calcular:'''<br />
'''a) La amplitud.'''<br />
<br />
'''b) La constante de fase.'''<br />
<br />
'''c) La amplitud compleja para la vibración dada: <br />
$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.'''<br />
<br />
Solución: <br />
(a)La solución general del movimiento armónico simple considerando las condiciones iniciales, está dada por:<br />
<math>\psi=A_{0}\sin(\omega_{0}t+\phi)</math><br />
<br />
donde <br />
$\mathit{A_{0}}$ es la amplitud que queremos encontrar.<br />
<br />
Desarrollando la función en términos de seno:<br />
\[A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
Igualando se obtiene entonces que:<br />
\[A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
De aquí obtenemos las siguientes dos ecuaciones:<br />
<br />
\[A=A_{0}\cos\left(\phi\right)................ (1) \]<br />
<br />
\[B=A_{0}\sin\left(\phi\right)................ (2) \]<br />
<br />
Se identifica, $A=10 \, mm$ y $B= 17 \, mm$.<br />
<br />
Elevamos al cuadrado (1) y (2), y sumamos:<br />
<br />
\[A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)\]<br />
<br />
:<math>A^{2}+B^{2}=A_0^2</math> dado que <math>\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\phi)=1</math><br />
<br />
:<math>A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}</math><br />
<br />
Procedemos a sustituir y operar, lo que resulta<br />
<br />
:<math> A_{0}=19.7 \, mm </math><br />
<br />
(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2)<br />
<br />
<br />
dividimos $\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$<br />
<br />
<br />
y despejando $\phi$ obtenemos:<br />
<br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)\]<br />
<br />
Sustituyendo tenemos que: <br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{17}{10}\right)\]<br />
<br />
<br />
Por tanto, $\phi=59.5$<br />
<br />
(c) Por la relación matemática que existe entre los números complejos y las vibraciones (ver fasores) podemos ver que la amplitud compleja será:<br />
<br />
\[A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)\]<br />
<br />
<br />
----<br />
En el enunciado del problema 1.6 lo reescribí en español [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 21:51 27 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 13:32 17 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:22 18 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregí algunas faltas de ortografía y poco de la teoría--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:16 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
----<br />
Esta muy bien desarrollado y la teoría explica el planteamiento del ejercicio<br />
[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:19 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregi algunas ecuaciones y edite un poco. --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:43 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.7 ==<br />
<br />
<br />
===Solución 1===<br />
<br />
'''During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 18:53 15 may 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 2===<br />
<br />
Fe de erratas. '''Correcciones sobre el problema 1.7.'''<br />
<br />
En efecto, la frecuencia angular está dada por:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi\nu</math><br />
<br />
<br />
al sustituir las cantidades,<br />
<br />
<math>\omega=134.15Hz</math><br />
<br />
<br />
Y, además, haciendo una conversión:<br />
<br />
<math>1ms=0.001s</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow12ms=0.012s</math><br />
<br />
<br />
Así, pues, dadas las condiciones iniciales<br />
<br />
<math>\psi(0)=0.03m</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow Acos\phi=0.03m</math><br />
<br />
<br />
entonces, tomando la siguiente condición <br />
<br />
<math>\psi(0.012)=-0.014m</math><br />
<br />
<br />
se obtiene.<br />
<br />
<math>-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.02+C_{2}0.06</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow C_{2}=-0.56</math><br />
Dado que<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen\phi</math><br />
<br />
por tanto, en la ec. (1.1), resulta:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath0.56m</math><br />
<br />
En el 1.7 realicé la traducción [[Usuario:Aura Yazmin Bejarano Olvera|Aura Yazmin Bejarano Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarano Olvera|discusión]])<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 3===<br />
<br />
La solución a este problema la realice de la siguiente manera:<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\& <br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=\nu_{0}2\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con las condiciones iniciales $\psi(0s)=x_{1}=30$ mm y $\psi(12ms)=x_{2}=-14$mm<br />
tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0s)=x_{1}=Acos(\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(0.012s)=x_{2}=Acos(\omega_{0}(12ms)+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=Acos(\phi)cos(\omega_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(\omega_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero $Acos(\phi)=x_{1}$, asi:<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=x_{1}cos(2\pi\nu_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(2\pi\nu_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tenemos también que:<br />
<br />
\[<br />
cos(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.99<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
sen(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.06<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi:<br />
<br />
\[<br />
-0.014m=(0.03m)(0.99)-Asen(\phi)(0.06)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)(0.06)=0.029m+0.014m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)=\frac{0.043m}{0.06}=0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cual la amplitud compleja es igual a:<br />
<br />
\[<br />
D=0.03m+i0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
La nueva solución fue realizada por: [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] el 19 de Febrero de 2014.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 4===<br />
<br />
'''During a vibration with frequency of $50 Hz$, the displacement is observed to be $30 mm$ at time $t=0$, and $-14 mm$ at $t=12 \, ms$. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración de frecuencia $50 Hz$, el desplazamiento observado es $30 mm$ al tiempo $t=0$, y $-14 mm$ al tiempo $t=12 \, ms$. Encuentre la amplitud compleja.'''<br />
<br />
<br />
Para empezar tenemos que calcular la frecuencia angular a partir de la frecuencia dada.<br />
$w_0=2 \pi v=2 \pi (50 Hz) =100 \pi \,s^{-1}$ <br />
<br />
Luego sabemos que la forma compleja (forma D en el Main, Iain G., ''Vibrations and Waves in Physics'', 1993) es $ \psi (t)=Re[D \, e^{i w_0 t}] $, donde $D=a+i \, b$. Además sabemos dos condiciones iniciales, por lo que podemos determinar dos constantes $a$ y $b$.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{1}<br />
\psi (0 \, s)=30 \, mm <br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{2}<br />
\psi (12 \, ms)= \psi (.012\,s)=-14 \, mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ec. $(1)$ obtenemos la constante $a$.<br />
$\psi (0)=Re[D e^{i w_0 (0)}]=Re[(a+ib) (1)]=30\,mm$<br />
<br />
Evaluando la parte real, entonces...<br />
\begin{equation}<br />
\label{3}<br />
a=30\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si utilizamos la ec. $(2)$, encontraremos la constante faltante, $b$.<br />
$\psi (.012 \,s)=Re[D \, e^{i (100 \pi \, s^{-1}) (0.012 \, s)}]=-14 \, mm$<br />
$Re[(a+ib)(cos(1.2 \pi)+i\,sen(1.2 \pi))]=-14 \, mm$<br />
<br />
De nuevo se evalua la parte real del número complejo y luego se despeja $b$.<br />
$ a \, cos(1.2 \pi)-b \, sen(1.2 \pi)=-14 \, mm $<br />
$ b=\frac{14\,mm+(30\,mm)\,cos(1.2 \pi)}{sen(1.2 \pi)} $<br />
\begin{equation}<br />
\label{4}<br />
\,<br />
b \approx 17.47323498\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si juntamos $(3)$ y $(4)$, la amplitud compleja es<br />
$D=30\,mm+i\,17.47323498\,mm$<br />
Y la función es <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{5}<br />
\psi (t)=Re[(30\,mm+i\,17.47323498\,mm)\, e^{i\, (100\pi \,s^{-1}) \, t}]<br />
\end{equation}<br />
<br />
La comprobación se realiza evaluando la ecuación $(5)$ a los tiempos $t=0 \, s$ y $t=0.012 \, s$, lo cual nos da las condiciones iniciales de $(1)$ y $(2)$.<br />
$ \, $<br />
<br />
Solución realizada por: [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]]([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) el 14 de Febrero de 2014<br />
<br />
<br />
----<br />
Separé la solución de César Iván e hice algunas correcciones ortográficas. --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:56 19 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Algunas correciones --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:32 20 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Falta un poco de teoría del planteamiento del problema--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:23 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Agregado un nuevo subíndice, espero que no sea confuso.--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:48 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
Arreglé el código porque varias expresiones matemáticas no salían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 20:26 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.8 ==<br />
'''Calculate the maximum acceleration (in units of $g$) of pickup stylus reproducing a frequency of $16 kHz$, with an amplitude of $0.01mm$.'''<br />
<br />
'''Calcule la aceleración máxima (en unidades de $g$) de una aguja que reproduce una frecuencia de $16 kHz$, con una amplitud de $0,01 mm$.'''<br />
<br />
El problema nos proporciona los siguientes datos:<br />
$f =16kHz = 16000Hz$<br />
$A = 0.01mm = 0.00001m$<br />
<br />
Resultado:<br />
<br />
Sabemos que podemos expresar la frecuencia angular como la frecuencia por $2\pi$:<br />
\[<br />
\omega=2\pi f...(1)<br />
\]<br />
<br />
Ahora sustituimos el valor de la frecuencia($f =16000Hz$) en la ecuación 1:<br />
<br />
\[\omega=2\pi(16000Hz)\]<br />
<br />
Luego obtenemos una nueva ecuación ya con el valor de $f$ evaluado:<br />
<br />
\[\omega=32000\pi<br />
\frac{rad}{s}\]<br />
<br />
<br />
\[{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}...(2)\]<br />
<br />
Un dato importante en este momento, es la expresión para la aceleración máxima en el movimiento armónico simple:<br />
<br />
\[ \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x\]<br />
<br />
Donde $x$ es la solución para el movimiento armónico simple ,osea , $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. El valor de $x$ será máximo cuando el $\cos(\omega t + \phi)=1$ alcance su valor máximo y esto sucede cuando es igual uno. Por tal razón podemos expresar la aceleración máxima como sigue:<br />
<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos el valor de $\omega$ elevado al cuadrado proveniente de la ecuación 2:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\]<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\]<br />
<br />
Ahora hay que dividir el resultado obtenido en la ecuación 3 entre $g$ para expresarlo en unidades de $g$.Usamos primero:<br />
<br />
\[g=9.8\frac{m}{s^2}\]<br />
<br />
Y obtenemos la aceleración máxima en unidades de $g$:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =10312.729g\]<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:51 21 feb 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 20:22 18 feb 2015 (CST)<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
--Entendible y bien desarrollado----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:32 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.9 ==<br />
<br />
1.9.- '''Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta<br />
'''a un muelle '''de constante de recuperación de 4 dinas/cm.<br />
'''Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo.<br />
Calcular:''' a) la frecuencia propia y el periodo, ''' b) la energía total<br />
y '''c) la velocidad máxima.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía<br />
la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra<br />
ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber<br />
que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento<br />
es la fuerza del resorte, entonces tenemos:<br />
La energia potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(x\right)=\frac{1}{2}kx^{2}</math><br />
<br />
<br />
La fuerza y la energia potencial estan relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(x\right)=-\frac{dU}{dx}<br />
x</math><br />
<br />
Ahora , aplicando la segunda ley de Newton: :<math>F=m\ddot{x}:</math><br />
<br />
:<math>kx=m\ddot{x}</math><br />
<br />
Ahora, dividiendo entre “m” e igualando la expresion a cero, se tiene :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución<br />
<br />
\[<br />
x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además de las condiciones iniciales tenemos:<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$<br />
la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$<br />
<br />
\[<br />
x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt)<br />
\]<br />
<br />
<br />
de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$<br />
y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque<br />
no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$ <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad<br />
máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad<br />
energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene<br />
energía potencial.<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a<br />
\]<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima<br />
obtenemos la velocidad máxima<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$<br />
y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$<br />
<br />
y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$<br />
<br />
b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$<br />
<br />
\[<br />
\dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 21:59 25 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--Falta explicar como obtiene la ecuación diferencial del oscilador armonico simple, y como obtiene las condiciones iniciales partiendo del problema----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:35 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--Solo cambio y completo mas la teoría de como obtiene la ecuación diferencial del oscilador----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:03 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema 1.10==<br />
1.10 Comprobar que la ecuación diferencial $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
=-kx$ tiene<br />
por solución $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$ siendo A y B constantes arbitrarias.<br />
Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma $y=Ccos(kx+\alpha)=C$<br />
$\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
y expresar C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
Por segunda ley de Newton tenemos:<br />
<br />
\[<br />
|\overrightarrow{F}|=m|\vec{a}|\rightarrow-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
\]<br />
<br />
entonces derivamos dos veces a $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$<br />
<br />
\[<br />
\frac{dy}{dx}=-kAsen(kx)+kBcos(kx)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2y}}{dx^{2}}=y=-k^{2}Acos(kx)-k^{2}Bsen(kx)=-k^{2}\left[Acos(kx)+Bsen(kx)\right]=-k^{2}y<br />
\]<br />
<br />
donde <br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Sean<br />
\begin{equation}<br />
A=Ccos(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B=-Csen(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entoces:<br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(\theta)cos(kx)-Csen(\theta)sen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la propiedad trigonometrica de la suma de los ángulos del<br />
coceno<br />
<br />
\[<br />
cos\left(a+b\right)=cos\left(a\right)cos\left(b\right)-sen\left(a\right)sen\left(b\right)<br />
\]<br />
<br />
tenemos:<br />
<br />
\[<br />
=C[cos(kx)cos(\theta)-Csen(kx)sen(\theta)]=C[cos(kx+\theta)]<br />
\]<br />
<br />
quedando asi demostrada la primera parte.<br />
<br />
Ahora demostraremod que $y=Ccos(kx+\alpha)=C\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
<br />
De los números complejos sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
z=e^{i\alpha}=cos(\alpha)+isen(\alpha)<br />
\]<br />
<br />
aplicando propiedades de los expenontes, y teniendo en cuenta que<br />
la parte real de $z=cos(\alpha)$ y el resultado anterior tenemos<br />
que:<br />
<br />
\[<br />
y=C\mathbb{R}\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[Ce^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]<br />
\]<br />
<br />
demoatrando lo pedido.<br />
<br />
Por último expresaremos C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
Si elevamos al cuadrado las ecuaciones 1 y 2 tenemos que<br />
<br />
\[<br />
A^{2}+B^{2}=C^{2}cos^{2}\left(\theta\right)+\left(-C\right)^{2}sen^{2}\left(\theta\right)=\left[C^{2}(cos^{2}\left(\theta\right)+sen^{2}\left(\theta\right))\right]=C^{2}<br />
\]<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
C^{2}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
para \textgreek{j} tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\left(\theta\right)=\frac{A}{B}=\frac{-Csen(\theta)}{Ccos(\theta)}=-tan\left(\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta=arctan\left(-\frac{B}{A}\right)<br />
\]<br />
--Añadi un nuevo problema----<br />
----<br />
<br />
== Problema I.I ==<br />
'''A piston executes harmonic motion with an amplitude of $0.1m$. If it passes through the center of its motion with a speed of $0.5m/s$, what is the period of oscillation?'''<br />
<br />
'''Un pistón realiza un movimiento armónico con una amplitud de $0.1m$. Si pasa por el centro de su movimiento con una velocidad de $0.5m/s$, ¿cuál es su periodo de oscilación?.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que para el movimiento armónico simple('''MAS'''), podemos proponer una solución del tipo:<br />
<br />
<math><br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
por lo que, al derivar la función de posición, obtenemos la velocidad como función del tiempo:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, dadas las condiciones del problema, tenemos que resolver las ecuaciones para la posición y la velocidad de manera simultanea. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi) \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo las condiciones de frontera del problema, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = (0.1m) \cos(\omega t + \phi) = 0 \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega (0.1m) \sin(\omega t + \phi) = 0.5m/s<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
Para que se cumpla la primera ecuación, la única posibilidad es que $\cos(\omega t + \phi) = 0$ y para ello, $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. <br />
<br />
Si tomamos ahora la segunda ecuación:<br />
<br />
<math><br />
-\omega \sin(\omega t + \phi) = \dfrac{0.5m/s}{0.1m} \Rightarrow -\omega \sin(\omega t + \phi) = 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Pero al estar resolviendo un sistema de ecuaciones, debemos considerar la condición de que $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. Y bajo las condiciones anteriores, $\sin(\omega t + \phi) = \pm 1$, por lo que la segunda ecuación queda como:<br />
<br />
<math><br />
w = \pm 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Tomando $|\omega|$ y la definición de $T=2\pi / \omega \Rightarrow T = 2\pi / (5s^{-1})$, con lo que tendremos la solución deseada:<br />
<br />
<math><br />
T = \dfrac{2\pi}{5s^{-1}} \approx 1.25663<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:09 14 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema I.II ==<br />
'''A particle undergoes harmonic motion with a frequency of $10$Hz. Find the displacement $\psi$ at any time $t$ for the following initial condition: $t=0$, $\psi=0.25m$, $\dot{\psi}=0.1m/s$.'''<br />
<br />
'''Una partícula sigue un movimiento armónico con una frecuencia de $10Hz$. Encuentre el desplazamiento $\psi$ para cualquier tiempo $t$ con las condiciones iniciales: $\psi(t=0)=0.25m,\dot{\psi}(t=0)=0.1m/s$.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Proponemos la siguiente solución:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi)...(1)<br />
</math><br />
<br />
con lo que la velocidad será:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi}(t) = -\omega A\sin(\omega t + \phi)...(2)<br />
</math><br />
<br />
y aplicando las condiciones iniciales y sabiendo que $\omega = 2\pi \nu = 2\pi (10Hz) = 20\pi s^{-1}$ tendremos lo siguiente:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t=0) = A\cos(\phi) = 0.25m \\<br />
\dot{\psi}(t=0) = -(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi) = 0.1m/s<br />
</math><br />
<br />
Y dividiendo la ecuación (2) entre la (1):<br />
<br />
<math><br />
\dfrac{-(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi)}{A\cos(\phi)} = \dfrac{0.1m/s}{0.25m} <br />
\Rightarrow \tan(\phi) = \dfrac{0.1m/s}{-(2\pi)(10Hz)(0.25m)}<br />
</math><br />
<br />
y realizando los cálculos:<br />
<br />
<math><br />
tan(\phi) \approx -6.3661x10^{-3} \Rightarrow \phi \approx \arctan(-6.3661x10^{-3}) <br />
\Rightarrow \phi \approx -6.3661x10^{-3}<br />
</math><br />
<br />
Retomando la ecuación para el desplazamiento y el valor de $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
A \cos(\phi) = 0.25m \Rightarrow A = \dfrac{0.25m}{\cos(-6.3661x10^{-3})} \Rightarrow A = 0.25m<br />
</math><br />
<br />
De tal forma que la función $\psi(t)$ se puede escribir como:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi) = (0.25m) \cos\left((20\pi s^{-1})t -6.3661x10^{-3}\right)...(4)<br />
</math><br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:39 14 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:26 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Solución vectorial del oscilador armónico del capítulo 1 ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
En esta parte lo que pretendo es llegar a la solución vectorial del oscilador armónico de la forma: <br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}</math> para la ecuación diferencial de segundo orden<br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Descomponiendo esta ecuación en un sistema de ecuaciones de primer orden <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{1}=\psi_{2}....(1)</math> <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{2}=-\omega_{0}^{2}\psi....(2)</math> <br />
<br />
<br />
A este sistema le asociamos una matriz <math>A</math> <br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Los valores propios para esta matriz son: <br />
<br />
<br />
:<math>\lambda=\pm\omega_{0}i</math><br />
<br />
<br />
Buscamos ahora los vectores propios para los valores de <math>\lambda</math>. De hecho,<br />
sólo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado<br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
-\omega_{0}i & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & -\omega_{0i} \\<br />
\end{array}<br />
\right)=<br />
\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
<br />
</math><br />
<br />
<br />
El vector propio asociado a <br />
<br />
:<math>\lambda=\omega_{0}i</math> es<br />
<br />
<br />
:<math>V=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
1 \\<br />
\omega_{0}i \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
Entonces formando la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>P=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\frac{1}{\omega_{0}} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Su inversa de <math>P</math> es <br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math> <br />
<br />
<br />
Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos<br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}AP=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & -\omega_{0} \\<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Que es una diagonalización y la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>B=e^{0}\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & -\sin\omega_{0}t \\<br />
\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
La utilizamos para calcular <br />
<br />
<br />
:<math>e^{At}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}=PBP^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & \frac{1}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t \\<br />
-\omega_{0}\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Esta es la solución vectorial para la ecuación <br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Resuelto por Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:22 17 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:35 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:48 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema l.lll==<br />
<br />
<br />
<br />
'''Una partícula de 12.3 Kg experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 1.86mm. Su aceleración máxima es <math>7.93 km/s^2</math>. a)Encuentre el periodo de movimiento. b)¿Cúal es la velocidad máxima? c) Calcule la energía mecánica total de este oscilador armónico simple.'''<br />
<br />
Tratándose de un movimiento armónico simple recurriremos a la siguiente expresión diferencial, que modela el movimiento armónico simple :<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}+s{\psi}=0 ... (1)</math><br />
Donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) por <math>m</math> obtenemos que:<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0 ... (2)</math><br />
<br />
Donde la expresión (2) queda satisfecha por:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular. Al calcular la primera derivada de <math>\psi</math> obtenemos la velocidad y la aceleración al volverla a derivar por segunda vez, es decir que:<br />
\[\dot{\psi}(t)=-A \omega Sen(\omega t + \phi)...(3)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)=-A \omega^2 Cos(\omega t + \phi)...(4)\]<br />
<br />
Analizando las ecuaciones (3) y (4), notamos que las funciones seno y coseno oscilan entre <math>\pm1</math>, por lo que los valores extremos para la velocidad son <math>\pm A\omega</math>. De una forma análoga para la aceleración, los valores extremos que puede tomar son <math>\pm A\omega^2</math>, en consecuencia los valores ''máximos'' para la aceleración y la velocidad:<br />
<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega ...(5)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)= A \omega^2 ...(6)\]<br />
<br />
La energía ó [[Ondas: conservacion]] está dada por:<br />
\begin{equation}<br />
W = T + V =Cte<br />
\end{equation}<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial, por lo que podemos redefinirla como:<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA^{2}= \frac{1}{2} \omega^2 mA^{2}...(7)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
a) El periodo del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la partícula realize un ciclo completo de su movimiento, por lo que:<br />
<br />
<math>\tau= \frac{2\pi}{\omega}...(8)</math> <br />
<br />
Como tenemos los valores de la aceleración máxima y la amplitud, despejamos a <math>\omega</math> de la ecuación (6), luego sustituimos los valores conocidos para obtener el valor de <math>\omega</math>.<br />
\[\omega= \sqrt{\ddot{\psi} \over A} = \sqrt{7.93x10^3 {m \over s^2} \over 1.8x10^{-3} m} = 2.10x10^{3} \frac{rad}{s} \]<br />
<br />
por lo que al sustituir el valor de <math>\omega</math> en (8) obtenemos que:<br />
<br />
<br />
<math>\tau= {{2 \pi} \over {2.10x10^{3} \frac{rad}{s}} = 3.00x10^{-3} s = 3.00 ms </math> <br />
<br />
b) Para la velocidad usaremos la expresión (5):<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega = (1.86x10^{-3}m)(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})=3.90 {m \over s} \]<br />
<br />
c) Para la enegía mecánica total usaremos la expresion (7):<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}\omega^2 m A^{2}=\frac{1}{2}(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})^2 (12.3 Kg)(1.86x10^{-3} m)^{2} =90.7 J<br />
</math><br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:33 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:28 9 jun 2020 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1-12, French ==<br />
<br />
'''Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm/s. El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t=0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un angulo 30° con el eje x. '''<br />
<br />
'''(a) Obtener la ecuación de la coordenada x del punto en función del tiempo en la forma <math>x=A\cos(\omega t+\alpha)</math>, conocidos los valores numéricos de A, <math>\omega</math> y <math>\alpha</math> '''<br />
<br />
'''(b) Hallar los valores de $x$, <math>\frac{dx}{dt}</math> y <math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math> para t=2 s'''<br />
<br />
Dado que el punto tarda 6 seg en dar una vuelta completa y este se mueve con una velocidad de 50 cm/s; la circunferencia mide,<br />
<br />
:<math>l=50\frac{cm}{s}\times6seg=300cm</math><br />
<br />
y dado que...<br />
<br />
:<math>l=2\pi r</math><br />
<br />
:<math>r=\frac{l}{2\pi}=\frac{300cm}{2\pi}\backsimeq47.7cm</math><br />
<br />
el resultado anterior es la máxima distancia del punto en el eje x, es<br />
decir es la amplitud.<br />
<br />
Ahora,<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
:<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{6s}=\frac{\pi}{3}s^{-1}</math><br />
<br />
Dado que en $t=0$ el punto forma un ángulo de<br />
<br />
:<math>\frac{\pi}{6}</math> <br />
<br />
con en eje x, y pensando que el ángulo fue medido de la forma normal, anti-horaria se tiene que <br />
<br />
:<math>\alpha=-\frac{\pi}{6}</math><br />
<br />
y,<br />
<br />
:<math>x(t)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Ahora se calculara su posición, velocidad y aceleración en $t=2 s$.<br />
<br />
Para calcular la posición primero sustituimos $t=2$<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar el argumento del argumento del coseno, calcular el resultado es trivial:<br />
<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0</math><br />
<br />
Para la velocidad, primero debemos derivar la función de la posición,<br />
<br />
<br />
:<math>\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=-\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(\frac{150}{\pi}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar nos queda:<br />
<br />
:<math>v(t)=-50\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$,simplificamos el argumento del seno y calcular el resultado es trivial,<br />
<br />
:<math>v(t=2s)=-50\sin\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-50\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-50\frac{cm}{s}</math><br />
<br />
<br />
Para la aceleración primero derivamos la velocidad<br />
<br />
:<math>\frac{dv(t)}{dt}=a(t)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$, simplificamos en argumento del coseno y calcular el resultado se hace trivial:<br />
<br />
:<math>a(t=2s)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{50}{3}\pi\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0<br />
</math><br />
<br />
--[[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 02:10 20 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:28 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Sólo reescribí la solución de los últimos cálculos explicando un poco más[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:30 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 11-21, Física general Sears-Zemansky Ed. 4ta ==<br />
<br />
<br />
'''Una masa $m$ oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:'''<br />
<br />
'''a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte. '''<br />
<br />
'''b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos'''<br />
<br />
Solución: <br />
<br />
Por la relación <br />
\[<br />
\omega_{0}=(\frac{k}{m})^{\frac{1}{2}}...(a)<br />
\] <br />
<br />
y <br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}...(b)<br />
\]<br />
<br />
donde $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular y $\upsilon_{0}$ la frecuencia; se puede sustituir (a) en (b) para obtener: <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\] <br />
<br />
donde $k$ en la constante del resorte respectivo y $m$ la masa.<br />
<br />
Del problema conocemos la frecuencia, antes y después de ser agregada la segunda masa, <br />
<br />
la cual también conocemos, y la amplitud. <br />
<br />
a)Por lo tanto se puede expresar : <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}m}\ldots(1)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{2}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}(m+.3kg)}\ldots(2)<br />
\]<br />
<br />
Donde $\upsilon_{1}$ y $\upsilon_{2}$ representan las frecuencias antes y después de colocar la segunda masa. <br />
<br />
De las ecs. (1) y (2), podemos despejar $k$ e igualar de la siguiente manera:<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m=\upsilon_{2}^{2}4\pi^{2}(m+.3)<br />
\]<br />
<br />
y despejando $m$ queda <br />
<br />
\[<br />
m=\frac{.3*.5^{2}}{(1^{2}-.5{}^{2})}=.1<br />
\] <br />
<br />
Por lo tanto $m=100g$ y despejando $k$ de (1) tenemos<br />
<br />
\[<br />
k=\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m\ldots\ldots(3)<br />
\] <br />
<br />
\[<br />
k=1^{2}4\pi^{2}(.1)=3.947<br />
\] <br />
<br />
Entonces $K=3.947N/m$<br />
<br />
(b)Para calcular la amplitud en la segunda situación tenemos la relación siguiente: <br />
<br />
Conocemos...<br />
<br />
\[<br />
E_{m1}=\frac{1}{2}kA_{1}^{2}\ldots\ldots\ldots(\alpha)<br />
\] <br />
<br />
Y también sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{m2}=\frac{1}{2}kA_{2}^{2}\ldots\ldots\ldots(\beta)<br />
\] <br />
<br />
Pero como como $E_{m1}=E_{m2}$ entonces al igualar ($\alpha$) y ($\beta$) sabremos que:<br />
<br />
\[<br />
A_{1}^{2}=A_{2}^{2}<br />
\] <br />
<br />
Por lo que $A_{2}^{2}=.05m$<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:54 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
== Problema oscilador armónico ==<br />
'''El desplazamiento de una partícula viene dado por:'''<br />
:<math>x(t) = 0.3 \cos(2 t + \frac{\pi}{6})\,</math> $x$ en metros y $t$ en segundos.<br />
<br />
'''a) Determinar la frecuencia, el periodo, la amplitud, la pulsación y la fase inicial.<br />
'''<br />
<br />
'''b) ¿Dónde se encuentra la partícula en $t$ = 1s?'''<br />
<br />
'''c) Calcula la velocidad y la aceleración en un instante cualquiera $t$.'''<br />
<br />
'''d) Calcula la posición y velocidad inicial.'''<br />
<br />
<br />
:Solución: <br />
<br />
a) Observamos que se trata de un movimiento armónico simple, cuya ecuación general viene dada por:<br />
<br />
<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
<br />
Comparando directamente tenemos que $A=0.3 m$ , $\omega =2Hz$ , $\phi = \frac{\pi}{6} rad$<br />
<br />
La frecuencia se obtiene a partir de la pulsación:<br />
<br />
<math>f = \frac{\omega}{2 \pi }</math><br />
<br />
<br />
el periodo se calcula como la inversa de la frecuencia:<br />
<br />
<math>T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = \pi s</math><br />
<br />
<br />
b) Para saber dónde se encuentra la partícula en el instante $t$ = 1s es suficiente substituir en la ecuación del movimiento:<br />
<br />
<math>x(1s) = 0.3 \cos(2 + \frac{\pi}{6})\ = -0.245m</math><br />
<br />
<br />
c) La velocidad y la aceleración se pueden obtener de la posición derivando respecto del tiempo (una vez para obtener la velocidad, dos para la aceleración).<br />
<br />
<br />
:<math>v(t) = -0.6 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.2 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s^2</math><br />
<br />
<br />
d) únicamente tenemos que substituir t = 0 en las expresiones adecuadas:<br />
<br />
:<math>x(t=0) = 0.3 cos(\frac{\pi}{6})\ = 0.260 m</math><br />
:<math>v(t=0) = -0.6 sen(\frac{\pi}{6})\ = -0.3 m/s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:59 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Corregí el código porque algunas expresiones matemáticas que no se veían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:40 8 jun 2020 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema propuesto en relación al capitulo I ==<br />
<br />
<br />
Se encontró experimentalmente que un peso de <math>4lb<br />
</math> estira un resorte de <math>6 pulgadas<br />
</math>. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de <math>4{pulg}/{s}<br />
</math>, determine:<br />
<br />
a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.<br />
<br />
b) La ecuación de movimiento.<br />
<br />
c) El periodo y la frecuencia.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Recordando que <math>1ft=12in<br />
</math>, realizando las conversiones respectivos, se tiene:<br />
<br />
:<math>x=6in=\frac{1}{2}ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(0\right)=4{in}{s}={1}/{3}{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
Inicialmente el peso está en una posición de reposo <math>x\left(0\right)=0<br />
</math>, y después se suelta desde la posición de equilibrio (reposo) <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math>.<br />
<br />
Además <math>W=mg<br />
</math> <math>\Rightarrow<br />
</math> <math>m=\frac{W}{g}=\frac{4lb}{32}=1/{8}slug<br />
</math>.<br />
<br />
== problema propuesto vibraciones y ondas==<br />
si la posición, velocidad y aceleración de un objeto que se mueve con movimiento armónico simple son $v_{0}$<br />
<br />
Entonces, por la ley de Hooke y sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>F=kx<br />
</math><br />
<br />
:<math>4lb=k\left({1}/{2}ft\right)<br />
</math> <br />
<br />
:<math>k=8{lb}/{ft}<br />
</math><br />
<br />
a) La ecuación diferencial que describe el movimiento es:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+w^{2}x=0<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
</math> <br />
<br />
Sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+64x=0...\left(1\right)<br />
</math> <br />
<br />
con las condiciones iniciales <math>x\left(0\right)=0<br />
</math> y <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math> <br />
<br />
b) La ecuación auxiliar de (1) es <math>r^{2}+64=0<br />
</math>, cuyas raíces son <math>r=\pm8i<br />
</math>. La solución general de (1) es:<br />
<br />
:<math>x\left(t\right)=c_{1}cos\left(8t\right)+c_{2}sen\left(8t\right)...(2)<br />
</math> <br />
<br />
derivando dos veces la solución general se tiene:<br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(t\right)=-8c_{1}sen\left(8t\right)+8c_{2}cos\left(8t\right)...(3)<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(t\right)=-64c_{1}cos\left(8t\right)-64c_{2}sen\left(8t\right)...(4)<br />
</math><br />
<br />
Para conocer <math>c_{1}<br />
</math> y <math>c_{2}<br />
</math>, sustituímos las condiciones iniciales en (2) y (3)<br />
<br />
:<math>c_{1}=0,c_{2}=\frac{1}{24}\therefore x\left(t\right)=\frac{1}{24}sen\left(8t\right)<br />
</math><br />
<br />
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después, está dado por:<br />
<br />
:<math>x\left(2\right)=\frac{1}{24}sen\left(16\right)=-0.011996ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(2\right)=\frac{1}{3}cos\left(16\right)=-0.31922{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(2\right)=-\frac{8}{3}sen\left(16\right)=0.7677{ft}/{s^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Lo cual indica que el cuerpo se encuentra a <math>0.011996ft<br />
</math> arriba de la posición de equilibrio moviendose hacia arriba.<br />
<br />
Bibliografía<br />
<br />
José Ventura Becerril y David Elizarraraz, ecuaicones diferenciales técncas de solución y aplicaciones, 1ra edición, Universidad Autónoma Metrpolitana Azcapotzalco, México, 2004.<br />
<br />
--Ricardo García Hernández----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:51 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema del serwey==<br />
<br />
un bloque de <math>200g</math> conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de <math>5N/m</math>es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin friccion. El bloque se desplaza <math>5cm</math>desde el equilibrio y se libera del reposo.<br />
<br />
a) Hallar el periodo de movimiento<br />
<br />
primero hay que encontrar la frecuencia angular con la siguiente ecuación<br />
<math>\omega= \sqrt{k \over m} </math> <br />
:<math>\omega=\sqrt{k \over m}= \sqrt{5Nm^{-1} \over 0.2kg} =5 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
el periodo esta dado por <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega}= 1.2s</math><br />
</li><br />
<br />
b) Hallar <math>v</math>(velocidad) y <math>a</math>(aceleracion) máxima<br />
<br />
A=.05m <math>/v=w \ A=.250m/s </math><br />
<br />
<br />
<math>/v={w^{2}} \ A=.1.25m/{s^{2}} </math><br />
<br />
c) Exprese la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo en unidades del SI<br />
<br />
para un tiempo inicial igual a cero la fase es 0<br />
<br />
:<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
:<math>x(t) = 0.05 cos(5 t )\,</math><br />
:<math>v(t) = -0.25 sen(2 t )\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.25 cos(2 t )\ m/s^2</math>--<br />
<br />
--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores 24/02/15 18:03<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.8, The Physics of Vibrations and Waves, A. Pain ==<br />
<br />
''' A plasma consists of an ionized gas of ions and electrons of equal number densities ($n_i = n_e = n$)having charges of opposite sign $\pm e$, and masses $m_i$ and $m_e$ , respectively, where $m_i > m_e$. Relative displacement between the two species sets up a restoring electric field which returns the electrons to equilibrium, the ions being considered stationary. In the diagram, a plasma slab of thickness $l$ has all its electrons displaced a distance $x$ to give a restoring electric field $E=nex/\epsilon_0$ where $\epsilon_0$ is a constant. Show that the restoring force per unit area on the electrons is $xn^2e^2l/\epsilon_0$ and that they oscillate simple harmonically with angular frequency $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. This frequency is called the electron plasma frequency, and only those radio waves of frequency $\omega > \omega_e$ will propagate in such an ionized medium. Hence the reflection of such waves from the ionosphere. '''<br />
<br />
''' Un plasma consiste en gas ionizado formado por iones y electrones con densidades iguales ($n_i = n_e = n$) teniendo cargas del signo opuesto $\pm e$, y masas $m_i$ y $m_e$ respectivamente, donde $m_i > m_e$. El desplazamiento relativo entre dos especies establece un campo eléctrico restaurador que regresa a los electrones al equilibrio, donde los iones se consideran estacionarios. En el diagrama, un bloque de plasma de ancho $l$ tiene todos sus electrones desplazados una distancia $x$, proporcionando un campo eléctrico restaurador $E=nex/\epsilon_0$ donde $\epsilon_0$ es una constante. Muestre que la fuerza restauradora por unidad de área en los electrones es $xn^2e^2l/\epsilon_0$ y que ellos oscilan de manera armónica simple con frecuencia angular $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. Esta frecuencia es llamada frecuencia de plasma y sólo aquellas ondas de radio con frecuencia $\omega > \omega_e$ se propagarán a través del medio ionizado. De este mode se da la reflección de tales ondas desde la ionósfera. '''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que la densidad lineal de los electrones en el plasma está dada por $n_e = n$, entonces, para encontrar la carga de los electrones por unidad de área en el plasma, tenemos que multiplicar por la longitud del bloque($l$) y por la carga de cada electrón($-e$):<br />
<br />
<math><br />
q = -enl<br />
</math><br />
<br />
Ahora, si se quiere calcular la fuerza restauradora por unidad de área, tomamos la definición de la fuerza eléctrica:<br />
<br />
<math><br />
F = qE<br />
</math><br />
<br />
y luego sustimos la expresión dada para el campo eléctrico restaurador y la expresión encontrada para la carga:<br />
<br />
<math><br />
F = (-enl)\left( \dfrac{nex}{\epsilon_0} \right) = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0}<br />
</math><br />
<br />
lo cual es el resultado buscado. También es necesario mostrar que los electrones oscilan de manera armónica simple. Para ello, escribimos las fuerzas involucradas en el sistema. Una es la fuerza de restaurauración por unidad de área y la otra es la aceleración de los electrones por su masa por unidad de área. La masa por unidad de área de los electrones se encuentra multiplicando la densidad lineal $l$, por la masa de cada electrón $m_e$, por el ancho del bloque de plasma. Lo anterior nos da:<br />
<br />
<math><br />
F = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0} = m_e n l \ddot{x}<br />
</math><br />
<br />
Donde simplificando la ecuación anterior, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\ddot{x} + \dfrac{ne^2}{m_e \epsilon_0} x = 0<br />
</math><br />
<br />
lo anterior demuestra que es un movimiento armónico simple.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 11:56 3 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
== ejercicio vibra 1 ==<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 17:40 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez<br />
<br />
==Ejercicio 1==<br />
<br />
'''Un oscilador está formado por un bloque de masa $m=0.5 kg$ conectado a un resorte ideal. Cuando es puesto en oscilación con una amplitud de $A=35 cm$, el oscilador repite su movimiento cada $0.5s$. Encontrar:''' <br />
<li>a. El periodo.</li><br />
<li>b. La frecuencia.</li><br />
<li>c. La frecuencia angular.</li><br />
<li>d. La constante del resorte.</li><br />
<li>e. La magnitud de la velocidad máxima.</li><br />
<li>f. La magnitud de la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el bloque.</li><br />
<li>g. La energía mecánica del sistema.</li><br />
'''Solución propuesta:'''<br />
:Si el tiempo se mide desde que el sistema se suelta estando el bloque en una posición igual a la amplitud, entonces el ángulo de fase es nulo y la ecuación de movimiento es: <br />
:$x(t)=A\cos(wt)$<br />
'''(a)''' Como el periodo es el tiempo en que el movimiento se repite, entonces: <br />
:$T=0.5s$<br />
'''(b)''' Como la frecuencia es igual al inverso del periodo, entonces: <br />
:$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.5s}=2.0Hz$<br />
'''(c)''' La frecuencia angular es $w=2πf$, entonces: <br />
:$w=2πf=\frac{2π}{T}=4π=12.57rad/s$<br />
'''(d)''' La constante del resorte es $k=mw^{2}$, entonces:<br />
:$k=mw^{2}=(0.5kg)(12.57rad/s)^{2}=78.96 N/m$<br />
'''(e)''' La magnitud de la velocidad máxima es $v_{max}=wA$.<br />
:$v_{max}=wA=(12.57rad/s)(0.35m)=4.40m/s$<br />
'''(f)''' Usando la segunda ley de Newton, la fuerza máxima es: <br />
:$F_{max}=ma_{max}=m(w^{2}A)=(78.96N/m)(0.35m)=27.64 N.$<br />
'''(g)''' La energía mecanica del sistema es:<br />
:$E=\frac{1}{2}kA^{2}=(0.5)(78.96N/m)(0.35m)^{2}=4.84J$<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:30 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
==problema propuesto==<br />
si la posición, velocidad y aceleración iniciales de un objeto que se mueve con movimiento armónico simple son $ x_{0} $,$ v_{0} $, $ a_{0} $ y la frecuencia de oscilación es $ w $. Si la función para la posición del objeto del objeto se propone como se muestra a continuación:<br />
$x(t) = x_{0} cos(w t) + \frac{v_{0}}{w} sin(wt)$<br />
<br />
(a) demuestre que la velocidad del objeto para todo tiempo puede escribirse como:<br />
<br />
$v(t) = -x_{0} w sin (w t ) + v_{0} cos (wt)$<br />
<br />
(b) si la amplitud del movimiento es $A$, demuestre que <br />
<br />
$v^{2} -a x = v_{0}^{2}-a_{0} x_{0}= A^{2} w^{2}$<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
[[Usuario:Monicacruz|Monicacruz]] ([[Usuario discusión:Monicacruz|discusión]]) 14:31 18 jun 2020 (CDT) Monica Cruz</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c1&diff=24501Vibra: probs c12020-06-18T04:00:56Z<p>Evamontiel: /* Problema 1.10 */</p>
<hr />
<div>--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)Problemas del capítulo uno <ref name="main"/> [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:42 16 ene 2014 (UTC)<br />
<references><br />
<ref name="main"> Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994 </ref><br />
</references><br />
----<br />
== Problema 1.1 ==<br />
===Solución 1===<br />
'''If the system shown in fig 1.1 has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.'''<br />
<br />
''' Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) El vibrador prototipo en equilibrio. (b) La masa es instantáneamente desplazada una distancia <math>\psi</math> hacia la derecha de su posición de equilibrio.]]<br />
<br />
<ol style="list-style-type:lower-alpha;"><br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li> El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, al efectuar esta perturbación el resorte ejerce una fuerza de restauración (opuesta al desplazamiento de la masa) hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue:<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}=-s{\psi}</math><br />
<br />
donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. Dividiendo entre la masa se obtiene<br />
<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0</math><br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular.<br />
<br />
Entonces la frecuencia angular es: <br />
<br />
:<math>\omega_{0}=\sqrt{s \over m}= \sqrt{36Nm^{-1} \over 0.010kg} = 60 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
<li>Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math>. El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue:<br />
<br />
:<math>\nu_{0}={\omega_{0}\over 2\pi}</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es: <math>\nu_{0}= {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5493 Hz</math><br />
</li><br />
<br />
<li>Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math> , esto sucede cada <math>{ 2 \pi}\over \omega_{0} </math> que es conocido como el período <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega_{0}}= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10472 s</math><br />
</li><br />
<br />
</ol><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 07:10 24 ene 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:34 3 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 17:47 7 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 18:40 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 09:59 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
===Solución 2===<br />
'''Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li>'''a.''' Considerar un sistema oscilatorio que es consistente y es sometido a una fuerza <math>F\left(\varPsi\right)</math>. <br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-s\varPsi...(1)</math><br />
<br />
Donde <math>s</math> es la constante del resorte, y <math>\varPsi</math> es el desplazamiento del sistema. Dicho sistema oscilatorio se denomina oscilador armónico simple.<br />
<br />
La energía potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(\varPsi\right)=\frac{1}{2}s\varPsi^{2}...(2) </math><br />
<br />
<br />
Ya que de '''(2)''', la fuerza y la energía potencial están relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-\frac{dU}{d\varPsi} </math><br />
<br />
<br />
Ahora, aplicando la segunda ley de Newton <math>F=m\ddot{\varPsi}...(3)</math>, sustituyendo '''(1)''' en '''(3)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-s\varPsi=m\ddot{\varPsi} </math><br />
<br />
Dividiendo entre <math>m</math> e igualando la expresión a cero, se tiene :<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0...(4) </math><br />
<br />
<br />
Ahora reescribamos la ecuación como:<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}=-\frac{s}{m}\varPsi...(5) </math><br />
<br />
Requerimos que <math>\varPsi(t)</math> sea una función cuya segunda derivada sea negativa de esta misma; las funciones senos y cosenos cumplen esta propiedad, entonces:<br />
<br />
:<math>\varPsi\left(t\right)=\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\dot{\varPsi}\left(t\right)=-w \mathrm{sen}\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}(t)=-w^{2}\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo en '''(5)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-w^{2} \cos\left(wt\right)=-\frac{s}{m} \cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
:<math>w^{2}=\frac{s}{m} </math><br />
Que es la frecuencia angular, entonces:<br />
<br />
<br />
:<math>w=\sqrt{\frac{36N/m}{0.010Kg}}=60s^{-1} </math> </li><br />
<br />
<li>'''b.''' Para la frecuencia <math>\nu</math> del oscilador es el número de ciclos completos por unidad de tiempo y esta dada por :<br />
<br />
<br />
:<math>\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.1047s}=9.55Hz </math> </li><br />
<br />
<br />
<li>'''c.''' El periodo <math>T</math> de movimiento, se tiene por:<br />
<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{w}=\frac{2\pi}{60s^{-1}}=0.1047s </math> </li><br />
<br />
<br />
Ricardo García Hernández--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:10 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
Entendí y me gustó más esta forma de resolver el ejercicio--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:31 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
<br />
<br />
Sólo cambié la notación [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:37 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 10:04 16 jun 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:32 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.2 ==<br />
<br />
'''For the same vibrator as in problem 1.1 at time t=0, the mass is observed to be displaced 50 mm to the right of its equilibrium position and to be moving to the right at speed 1.7 m s^-1. Calcule''' <br />
'''a) the amplitude''' <br />
'''b) the phase constant''' <br />
'''c) the energy'''<br />
<br />
'''Por el mismo vibrador como en el problema 1.1 en el tiempo t = 0 , se observa la masa ser desplazada 50 mm a la derecha de su posición de equilibrio y estar moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 1.7 ms^-1 Calcule:<br />
'''<br />
<br />
'''(a) la amplitud'''<br />
<br />
'''(b) la constante de fase'''<br />
<br />
'''(c) la energía<br />
'''<br />
<br />
__________________________________Corrección del ejercicio 1.2___________________________________________<br />
<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3)<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.118Nm}{36Nm{}^{-1}}=0.00327m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{0.00327m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) El ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos las ecuaciones <br />
<br />
\begin{equation} <br />
\psi(t)=A{}_{\psi} \cos(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{\psi(t)}={-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Dividiende (5)entre (4) y evaluando en $t=0$:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(0)}}{\psi (0)}=\frac{{-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}<br />
=-\omega \tan (\omega t+\phi)=\frac{1.7}{.05}=-34<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\tan (\omega t+\phi)=\frac{34}{\omega}=\frac{-34}{60}=-0.5666<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\omega t+\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
Hay que recordar que estamos evaluando en $t=0$ por lo que<br />
<br />
\[<br />
\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\phi=-0.52rad<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=30°<br />
\]<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(0.057m)^{2}=0.059J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:13 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:53 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:13 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
'''Para la misma vibración que en el problema 1.1 , en el tiempo $t=0$'''<br />
''', se observa la masa a se desplaza $50mm$ a la derecha de su posición'''<br />
'''de equilibrio y se mueve hacia la derecha a una velocidad de $1.7ms{}^{-1}$.'''<br />
'''Calcúlese (a) la amplitud, (b) el ángulo de fase, y (c) la energía.'''<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3):<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.1189Nm}{36Nm{}^{-1}}=3.30277x10^{-3}m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{3.30277x10^{-3}m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) el ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos la solución:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Tenemos todo lo necesario para despejar el ángulo de fase de la ecuación<br />
(4)<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=(0.0571m)\mathrm{sen}\left[\left(60s{}^{-1}\right)(0)+\phi\right]=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=\mathrm{arcsen}(\frac{0.05m}{0.0571m})=61.122\text{°}<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(3.2604x10^{-3}m^{2})=0.0586J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Ejercicio corregido por Maya Velasco, Definitivamente me equivoque''<br />
''al hacer los cálculos numéricos en el cálculo de la amplitud algo''<br />
''que agradezco mucho que mi compañero Luis Velázquez haya notado. Posteriormente''<br />
''revisando la solución que dio mi compañero y la que yo propuse note''<br />
''lo siguiente:''<br />
<br />
[[Solución Luis Santos]]<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al derivar la expresión anterior obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(t)}=-A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Después mi compañero dividió ambas expresiones de la siguiente manera:''<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}=\frac{-A{}_{\psi}\omega \mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}=-\omega \tan(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
Posteriormente el ángulo $\phi$ es<br />
<br />
\[<br />
\phi=-29.53\text{°}\eqsim-30\text{°}<br />
\]<br />
<br />
''<br />
No encuentro otro error en el trabajo de mi compañero a excepción'<br />
''del signo, y después de su revisión sobre mi trabajo pues creo que''<br />
''aparentemente el mio también es correcto pero los valores en el ángulo''<br />
''de fase son diferentes y puedo explicar por que:''<br />
<br />
Ambas soluciones de la ecuación del oscilador armónico simple son<br />
correctas, sin embargo es más común usar la expresión que involucra<br />
la función coseno, ahora puedo mostrar que ambas soluciones son equivalentes<br />
desfasadas por un cierto ángulo.<br />
<br />
Se sabe que la función seno esta desfasada de la función coseno por<br />
$\frac{\pi}{2}$ ó 90°, hagamos lo siguiente, a la solución<br />
de mi compañero pongamos le el ángulo de fase que calculé yo que es<br />
de aproximadamente 61° y restemos le el desfase de los 90° .<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+61\text{°}-90\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t-29\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Esta es la respuesta de mi compañero que es correcta, entonces podemos''<br />
''concluir que ambos resultados son equivalentes. Si alguien más nota''<br />
''algún otro error mucho les agradeceré que me lo hagan notar, gracias.'' <br />
<br />
Ejercicio resuelto por Rosario Maya. Martes 10 de febrero 2015<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]]<br />
<br />
Ejercicio corregido por Rosario Maya el 12.02.15 a las 22:56 pm<br />
<br />
"El problema 1.2 está correcto; sobre todo al proponer dos formas diferentes de cómo calcular el ángulo de fase". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:46 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:28 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:59 8 jun 2020 (CDT) Cambios en la notación<br />
<br />
== Problema 1.3 ==<br />
'''An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the velocity this second vibrator at time t = 0. (c) At what time will it come to rest.'''<br />
<br />
Un sistema idéntico se pone en vibración con la misma amplitud que el vibrador en el problema 1.2, pero con un avance de fase de 90°. <br />
Calcule a) el desplazamiento y b) la velocidad de este segundo vibrador en el tiempo t=0. c) ¿A qué hora va a llegar al reposo?<br />
<br />
(a) <br />
<br />
Tenemos como ecuación de movimiento a:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi - \frac{\pi}{2})<br />
\]<br />
La cual puede escribise como:<br />
\[<br />
\psi(t)=Asin(\omega t + \phi)<br />
--------(1)\]<br />
<br />
<br />
Para t=0 se tiene:<br />
\[<br />
\psi(t=0s) = (57mm ) sin(-0.52) =-28mm<br />
\]<br />
(El signo indica que el desplazamiento es hacia la izquierda)<br />
<br />
<br />
<br />
(b)<br />
<br />
Al derivar (1) se tiene la ecuación para la velocidad<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t)=A \omega cos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
Para t=0<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)= A\omega cos\phi=(0.057m)(60s^{-1})cos(-0.52)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)=3 m s^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
(c) <br />
<br />
La velocidad del sistema es nula en los extremos, es decir, cuando \[\psi(t)=A\]<br />
\[<br />
Asin(\omega t + \phi)=A<br />
\]<br />
\[<br />
\omega t + \phi = 1.57<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
t=\frac{1.57-\phi}{\omega}= \frac{1.57+0.52}{60}<br />
\]<br />
\[<br />
t=35 ms<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:23 17 feb 2015 (CST)<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 19:03 07 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:17 12 feb 2015 (CST)<br />
"El problema 1.3, te sugiero que les des una descripción física a los resultados que obtuviste." --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:01 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.4 ==<br />
<br />
'''El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es <math>p_{1}</math> y es dado al tiempo <math>t=0</math>, encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando la segunda Ley de Newton se tiene:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}=p_{1}-k\psi...(1)<br />
\] <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) entre la masa y ordenarla, nos resulta una ecuación de segundo orden no homogénea:<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\frac{k}{m} \psi=p_{1}...(2)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde tenemos definida a <math>\omega^{2}</math> y <math>p_{1}</math> a como:<br />
<br />
\[\omega^{2}\equiv \dfrac{k}{m}\]<br />
\[p_{1}\equiv Ft\]<br />
<br />
Como se pondrá en movimiento con una fuerza que actuará sólo un instante de tiempo, se emplea la función delta de Dirac para describir el impulso, por lo cual la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\omega^{2} \psi=\frac{F}{m}\delta(t-t_0)...(3)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la transformada de Laplace<br />
<br />
<br />
\[<br />
\mathcal{L} \lbrace\ddot{x}\rbrace + \omega ^{2} \mathcal {L}\lbrace x \rbrace= \frac{F}{m} \mathcal{L}{\delta\lbrace (t-t_0)}\rbrace <br />
\]<br />
<br />
\[<br />
s^2 X(s) -sx(0)-\dot {x} (0) + \omega ^2 X(s) = \frac{F}{m}e^{-st_0}<br />
\]<br />
<br />
Donde las condiciones iniciales son:<br />
<br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Por lo que la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
\[<br />
X(s) = \frac{F}{m \omega} \frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0} ...(4)\]<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando ahora la transformada inversa en la ecuación (4)<br />
\[<br />
\mathcal{L}^{-1} \lbrace X(s)\rbrace = \frac{F}{m \omega}\mathcal{L}^{-1}\lbrace\frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0}\rbrace<br />
\] <br />
<br />
Resulta <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega}sin(\omega (t-t_0))\mathcal{U}(t-t_0)...(5)<br />
\]<br />
<br />
Y como <br />
\[t_0 =0\]<br />
<br />
Entonces <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega} sin(\omega t) \mathcal{U}(t)...(6) \]<br />
<br />
La cual es equivalente a:<br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m \omega} cos(\omega t + \frac{\pi}{2})..(7)<br />
\]<br />
<br />
haciendo una analogía de la ecuación (7) y la ecuación \[x(t) = A\cos(\omega t -\phi)\] se puede observar que la amplitud es: <br />
<br />
\[<br />
A= \frac{p}{m \omega}<br />
\]<br />
y la fase<br />
<br />
\[<br />
\phi=\frac{\pi}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
----<br />
Otra solución:<br />
----<br />
El impuso que se le imprime se convertirá en energía cinética, por lo que:<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2m\dot{x}^2} = \frac{1}{2 k_e A^2}<br />
\]<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:16 9 jun 2020 (CDT)<br />
Luego:<br />
\[<br />
A^2=\frac{m\dot{x}^2}{\omega_0 ^2 m}=\frac{m^2 \dot{x}^2 }{\omega_0 ^2m^2}=\frac{p^2}{\omega_0 ^2 m^2}<br />
\]<br />
Finalmente :<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{p}{\omega_0 m}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:27 8 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Le di un poco de orden al problema y corregí faltas de ortografía<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:01 18 feb 2015 (CST)Esther Sarai García González<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:07 13 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:54 18 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:00 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.5 ==<br />
<br />
'''The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by: '''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) The prototype vibrator in equilibrium. (b) The mass is instantaneously displaced a distance <math>\psi</math> to the right of its equilibrium position.]]<br />
<br />
<br />
'''El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ecuación de Movimiento Armónico Simple:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades:<br />
\begin{equation}<br />
A_{1}= A \cos{\phi}.....(1)<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.<br />
<br />
Para mostrar que la amplitud del problema está dado por <math>A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}</math>, elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
La ecuación (4) la dividimos por ${w_{0}}^2$ en ambos lados:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) <br />
\end{equation}<br />
<br />
De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), y sumando de la siguiente manera:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ecuación (6) factorizamos $A^2$ <br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado:<br />
\begin{equation}<br />
\boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<math>\therefore</math> la amplitud Q.E.D.<br />
<br />
<br />
<br />
Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener:<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1)<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11)<br />
\end{equation}<br />
<br />
En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: <br />
\begin{equation}<br />
\boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 05:59 31 ene 2014 (UTC)<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:39 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:11 15 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''Otra forma de hacerlo''' <br />
<br />
Tenemos las funciones que definen al desplazamiento y la velocidad <br />
<br />
\[x(t)=C_{1}cos\omega t+ C_{2}sin\omega t<br />
\]<br />
\[\dot{x}(t)=-C_{1}\omega sin \omega t + C_{2} \omega cos \omega t<br />
\]<br />
<br />
Entonces tenemos como condiciones inciales <br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Lo que resulta <br />
<br />
\[x(0)=C_{1}cos\omega (0) + C_{2}sin\omega (0)= C_{1} cos (0) + C_{2} sin (0) = C_{1}<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=-C_{1}\omega sin \omega (0) + C_{2} \omega cos \omega (0) = -C_{1}\omega sin (0) + C_{2}\omega cos (0) = C_2\omega<br />
\]<br />
<br />
<br />
de donde<br />
<br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
Y finalmente se obtiene<br />
<br />
\[x(t)= A_{0}cos\omega t + \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} sen \omega t<br />
\]<br />
La cual se puede escribir de las siguientes formas:<br />
<br />
\[x(t)= A sin (\omega + \phi)\] o bien \[x(t)= Acos(\omega - \phi)\]<br />
<br />
Esto se demuetra por las siguentes identidades:<br />
\[C_{1}cos \omega t + C_{2} sen \omega t = A sen (\omega t+ \phi) = A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)\]<br />
<br />
Y luego usamos las siguientes identidades también:<br />
<br />
<br />
\[ A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)= (A cos\phi)sen \omega t + (Asen \phi)cos\omega = <br />
(A sen\phi)cos\omega t + (A cos\phi )sen\omega t \]<br />
<br />
<br />
<br />
\[ Asen \phi = C_{1}\] y \[A cos\phi = C_{2}\]<br />
<br />
\[ C_{1}^{2} + C_{2}^{2} = A^{2}sen^{2}\phi + A^{2}cos^{2}\phi = A^{2}(sen^{2}\phi + cos^{2}\phi)= A^{2}\]<br />
<br />
\[A= \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}\]<br />
<br />
por lo tanto<br />
\[\phi = arctan\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\]<br />
y como <br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<br />
\[A= [A_{0}^{2}+\dfrac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}]^{\dfrac{1}{2}}\]<br />
\[ tan\phi = \dfrac{A_{0} \omega}{v_{0}}\]<br />
O bien <br />
\[ tan\phi = - \dfrac{v_{0}}{A_{0}\omega}\]<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase queda demostrada por este método alternativo. <br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)Esther Sarai Garcia Gonzalez (UAM-I)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST<br />
-- La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:07 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
'''Solución alternativa utilizando energías'''<br />
<br />
Para demostrar la primera identidad se tiene que la energía mecánica del sistema es igual a la suma de la energía cinética y potencial:<br />
<br />
$ W = K + U.....(eq.1)$ <br />
<br />
Donde $W$, $K$, y $U$ son la energía mecánica, la cinética y la potencial, respectivamente. Tenemos que estas están dadas por:<br />
<br />
$W = {1\over 2}{s}{A}^{2}....(eq.2)$<br />
<br />
$K = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}}.....(eq.3)$<br />
<br />
$U = {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq.4)$<br />
<br />
Donde $s$ es la constante del resorte. Si reemplaza las ecuaciones $2, 3, 4$ en la ecuación $1$ se tiene:<br />
<br />
${1\over 2}{s}{A}^{2} = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}} + {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq. 5)$<br />
<br />
Despejando A de esta última ecuación se tiene:<br />
<br />
$A^{2} = {m \over s}{v_{1}^{2}} + {A_{1}^{2}}$<br />
<br />
$A^{2} = (\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}$<br />
<br />
$A = {[(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}]}^{1/2}$<br />
<br />
Para la segunda identidad se utilizará las ecuaciones de posición y velocidad del cuerpo oscilante:<br />
<br />
$\psi(t)=A\cos{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 6)$<br />
<br />
$\dot{\psi}(t)={-}\omega_{0}A\sin{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 7)$<br />
<br />
Reemplazando en las ecuaciones los valores iniciales, se tiene que en $t = 0$ la posición es $A_{1}$ y la velocidad es $v_{1}$. Entonces:<br />
<br />
$A_{1} = Acos{\phi}.....(eq.7)$<br />
<br />
$v_{1} = {-}{A}{\omega_{0}}{sin{\phi}}.....(eq.8)$<br />
<br />
Despejando $A$ de ambas ecuaciones, la ecuación 7 y 8 se convierten en:<br />
<br />
$A = {A_{1} \over cos{\phi}}.....(eq.9)$<br />
<br />
$A = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}.....(eq.10)$<br />
<br />
Respectivamente. Ahora solo se igualan estas dos ecuaciones y se tiene:<br />
<br />
${A_{1} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}$<br />
<br />
Y esta igualdad se puede convertir en:<br />
<br />
${sin{\phi} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
$tan{\phi} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
Resolviendo el Problema.<br />
<br />
--[[Usuario:Gustavo.uami12|Gustavo.uami12]] ([[Usuario discusión:Gustavo.uami12|discusión]]) 09:55 9 jun 2020 (CDT)<br />
--Propuse una solución alternativa mucho más corta que las dos anteriores.<br />
<br />
== Problema 1.6 ==<br />
'''Calculate (a)the amplitude, (b)the phase constant, and (c)the complex amplitud, for the vibration by''' $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$<br />
<br />
'''Calcular:'''<br />
'''a) La amplitud.'''<br />
<br />
'''b) La constante de fase.'''<br />
<br />
'''c) La amplitud compleja para la vibración dada: <br />
$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.'''<br />
<br />
Solución: <br />
(a)La solución general del movimiento armónico simple considerando las condiciones iniciales, está dada por:<br />
<math>\psi=A_{0}\sin(\omega_{0}t+\phi)</math><br />
<br />
donde <br />
$\mathit{A_{0}}$ es la amplitud que queremos encontrar.<br />
<br />
Desarrollando la función en términos de seno:<br />
\[A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
Igualando se obtiene entonces que:<br />
\[A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
De aquí obtenemos las siguientes dos ecuaciones:<br />
<br />
\[A=A_{0}\cos\left(\phi\right)................ (1) \]<br />
<br />
\[B=A_{0}\sin\left(\phi\right)................ (2) \]<br />
<br />
Se identifica, $A=10 \, mm$ y $B= 17 \, mm$.<br />
<br />
Elevamos al cuadrado (1) y (2), y sumamos:<br />
<br />
\[A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)\]<br />
<br />
:<math>A^{2}+B^{2}=A_0^2</math> dado que <math>\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\phi)=1</math><br />
<br />
:<math>A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}</math><br />
<br />
Procedemos a sustituir y operar, lo que resulta<br />
<br />
:<math> A_{0}=19.7 \, mm </math><br />
<br />
(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2)<br />
<br />
<br />
dividimos $\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$<br />
<br />
<br />
y despejando $\phi$ obtenemos:<br />
<br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)\]<br />
<br />
Sustituyendo tenemos que: <br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{17}{10}\right)\]<br />
<br />
<br />
Por tanto, $\phi=59.5$<br />
<br />
(c) Por la relación matemática que existe entre los números complejos y las vibraciones (ver fasores) podemos ver que la amplitud compleja será:<br />
<br />
\[A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)\]<br />
<br />
<br />
----<br />
En el enunciado del problema 1.6 lo reescribí en español [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 21:51 27 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 13:32 17 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:22 18 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregí algunas faltas de ortografía y poco de la teoría--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:16 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
----<br />
Esta muy bien desarrollado y la teoría explica el planteamiento del ejercicio<br />
[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:19 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregi algunas ecuaciones y edite un poco. --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:43 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.7 ==<br />
<br />
<br />
===Solución 1===<br />
<br />
'''During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 18:53 15 may 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 2===<br />
<br />
Fe de erratas. '''Correcciones sobre el problema 1.7.'''<br />
<br />
En efecto, la frecuencia angular está dada por:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi\nu</math><br />
<br />
<br />
al sustituir las cantidades,<br />
<br />
<math>\omega=134.15Hz</math><br />
<br />
<br />
Y, además, haciendo una conversión:<br />
<br />
<math>1ms=0.001s</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow12ms=0.012s</math><br />
<br />
<br />
Así, pues, dadas las condiciones iniciales<br />
<br />
<math>\psi(0)=0.03m</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow Acos\phi=0.03m</math><br />
<br />
<br />
entonces, tomando la siguiente condición <br />
<br />
<math>\psi(0.012)=-0.014m</math><br />
<br />
<br />
se obtiene.<br />
<br />
<math>-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.02+C_{2}0.06</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow C_{2}=-0.56</math><br />
Dado que<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen\phi</math><br />
<br />
por tanto, en la ec. (1.1), resulta:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath0.56m</math><br />
<br />
En el 1.7 realicé la traducción [[Usuario:Aura Yazmin Bejarano Olvera|Aura Yazmin Bejarano Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarano Olvera|discusión]])<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 3===<br />
<br />
La solución a este problema la realice de la siguiente manera:<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\& <br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=\nu_{0}2\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con las condiciones iniciales $\psi(0s)=x_{1}=30$ mm y $\psi(12ms)=x_{2}=-14$mm<br />
tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0s)=x_{1}=Acos(\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(0.012s)=x_{2}=Acos(\omega_{0}(12ms)+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=Acos(\phi)cos(\omega_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(\omega_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero $Acos(\phi)=x_{1}$, asi:<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=x_{1}cos(2\pi\nu_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(2\pi\nu_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tenemos también que:<br />
<br />
\[<br />
cos(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.99<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
sen(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.06<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi:<br />
<br />
\[<br />
-0.014m=(0.03m)(0.99)-Asen(\phi)(0.06)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)(0.06)=0.029m+0.014m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)=\frac{0.043m}{0.06}=0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cual la amplitud compleja es igual a:<br />
<br />
\[<br />
D=0.03m+i0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
La nueva solución fue realizada por: [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] el 19 de Febrero de 2014.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 4===<br />
<br />
'''During a vibration with frequency of $50 Hz$, the displacement is observed to be $30 mm$ at time $t=0$, and $-14 mm$ at $t=12 \, ms$. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración de frecuencia $50 Hz$, el desplazamiento observado es $30 mm$ al tiempo $t=0$, y $-14 mm$ al tiempo $t=12 \, ms$. Encuentre la amplitud compleja.'''<br />
<br />
<br />
Para empezar tenemos que calcular la frecuencia angular a partir de la frecuencia dada.<br />
$w_0=2 \pi v=2 \pi (50 Hz) =100 \pi \,s^{-1}$ <br />
<br />
Luego sabemos que la forma compleja (forma D en el Main, Iain G., ''Vibrations and Waves in Physics'', 1993) es $ \psi (t)=Re[D \, e^{i w_0 t}] $, donde $D=a+i \, b$. Además sabemos dos condiciones iniciales, por lo que podemos determinar dos constantes $a$ y $b$.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{1}<br />
\psi (0 \, s)=30 \, mm <br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{2}<br />
\psi (12 \, ms)= \psi (.012\,s)=-14 \, mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ec. $(1)$ obtenemos la constante $a$.<br />
$\psi (0)=Re[D e^{i w_0 (0)}]=Re[(a+ib) (1)]=30\,mm$<br />
<br />
Evaluando la parte real, entonces...<br />
\begin{equation}<br />
\label{3}<br />
a=30\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si utilizamos la ec. $(2)$, encontraremos la constante faltante, $b$.<br />
$\psi (.012 \,s)=Re[D \, e^{i (100 \pi \, s^{-1}) (0.012 \, s)}]=-14 \, mm$<br />
$Re[(a+ib)(cos(1.2 \pi)+i\,sen(1.2 \pi))]=-14 \, mm$<br />
<br />
De nuevo se evalua la parte real del número complejo y luego se despeja $b$.<br />
$ a \, cos(1.2 \pi)-b \, sen(1.2 \pi)=-14 \, mm $<br />
$ b=\frac{14\,mm+(30\,mm)\,cos(1.2 \pi)}{sen(1.2 \pi)} $<br />
\begin{equation}<br />
\label{4}<br />
\,<br />
b \approx 17.47323498\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si juntamos $(3)$ y $(4)$, la amplitud compleja es<br />
$D=30\,mm+i\,17.47323498\,mm$<br />
Y la función es <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{5}<br />
\psi (t)=Re[(30\,mm+i\,17.47323498\,mm)\, e^{i\, (100\pi \,s^{-1}) \, t}]<br />
\end{equation}<br />
<br />
La comprobación se realiza evaluando la ecuación $(5)$ a los tiempos $t=0 \, s$ y $t=0.012 \, s$, lo cual nos da las condiciones iniciales de $(1)$ y $(2)$.<br />
$ \, $<br />
<br />
Solución realizada por: [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]]([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) el 14 de Febrero de 2014<br />
<br />
<br />
----<br />
Separé la solución de César Iván e hice algunas correcciones ortográficas. --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:56 19 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Algunas correciones --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:32 20 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Falta un poco de teoría del planteamiento del problema--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:23 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Agregado un nuevo subíndice, espero que no sea confuso.--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:48 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
Arreglé el código porque varias expresiones matemáticas no salían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 20:26 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.8 ==<br />
'''Calculate the maximum acceleration (in units of $g$) of pickup stylus reproducing a frequency of $16 kHz$, with an amplitude of $0.01mm$.'''<br />
<br />
'''Calcule la aceleración máxima (en unidades de $g$) de una aguja que reproduce una frecuencia de $16 kHz$, con una amplitud de $0,01 mm$.'''<br />
<br />
El problema nos proporciona los siguientes datos:<br />
$f =16kHz = 16000Hz$<br />
$A = 0.01mm = 0.00001m$<br />
<br />
Resultado:<br />
<br />
Sabemos que podemos expresar la frecuencia angular como la frecuencia por $2\pi$:<br />
\[<br />
\omega=2\pi f...(1)<br />
\]<br />
<br />
Ahora sustituimos el valor de la frecuencia($f =16000Hz$) en la ecuación 1:<br />
<br />
\[\omega=2\pi(16000Hz)\]<br />
<br />
Luego obtenemos una nueva ecuación ya con el valor de $f$ evaluado:<br />
<br />
\[\omega=32000\pi<br />
\frac{rad}{s}\]<br />
<br />
<br />
\[{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}...(2)\]<br />
<br />
Un dato importante en este momento, es la expresión para la aceleración máxima en el movimiento armónico simple:<br />
<br />
\[ \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x\]<br />
<br />
Donde $x$ es la solución para el movimiento armónico simple ,osea , $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. El valor de $x$ será máximo cuando el $\cos(\omega t + \phi)=1$ alcance su valor máximo y esto sucede cuando es igual uno. Por tal razón podemos expresar la aceleración máxima como sigue:<br />
<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos el valor de $\omega$ elevado al cuadrado proveniente de la ecuación 2:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\]<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\]<br />
<br />
Ahora hay que dividir el resultado obtenido en la ecuación 3 entre $g$ para expresarlo en unidades de $g$.Usamos primero:<br />
<br />
\[g=9.8\frac{m}{s^2}\]<br />
<br />
Y obtenemos la aceleración máxima en unidades de $g$:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =10312.729g\]<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:51 21 feb 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 20:22 18 feb 2015 (CST)<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
--Entendible y bien desarrollado----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:32 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.9 ==<br />
<br />
1.9.- '''Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta<br />
'''a un muelle '''de constante de recuperación de 4 dinas/cm.<br />
'''Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo.<br />
Calcular:''' a) la frecuencia propia y el periodo, ''' b) la energía total<br />
y '''c) la velocidad máxima.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía<br />
la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra<br />
ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber<br />
que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento<br />
es la fuerza del resorte, entonces tenemos:<br />
La energia potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(x\right)=\frac{1}{2}kx^{2}</math><br />
<br />
<br />
La fuerza y la energia potencial estan relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(x\right)=-\frac{dU}{dx}<br />
x</math><br />
<br />
Ahora , aplicando la segunda ley de Newton: :<math>F=m\ddot{x}:</math><br />
<br />
:<math>kx=m\ddot{x}</math><br />
<br />
Ahora, dividiendo entre “m” e igualando la expresion a cero, se tiene :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución<br />
<br />
\[<br />
x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además de las condiciones iniciales tenemos:<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$<br />
la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$<br />
<br />
\[<br />
x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt)<br />
\]<br />
<br />
<br />
de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$<br />
y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque<br />
no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$ <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad<br />
máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad<br />
energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene<br />
energía potencial.<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a<br />
\]<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima<br />
obtenemos la velocidad máxima<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$<br />
y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$<br />
<br />
y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$<br />
<br />
b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$<br />
<br />
\[<br />
\dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 21:59 25 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--Falta explicar como obtiene la ecuación diferencial del oscilador armonico simple, y como obtiene las condiciones iniciales partiendo del problema----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:35 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--Solo cambio y completo mas la teoría de como obtiene la ecuación diferencial del oscilador----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:03 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema 1.10==<br />
1.10 Comprobar que la ecuación diferencial $\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
=-kx$ tiene<br />
por solución $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$ siendo A y B constantes arbitrarias.<br />
Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma $y=Ccos(kx+\alpha)=C$<br />
$\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
y expresar C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
Por segunda ley de Newton tenemos:<br />
<br />
\[<br />
|\overrightarrow{F}|=m|\vec{a}|\rightarrow-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
\]<br />
<br />
entonces derivamos dos veces a $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$<br />
<br />
\[<br />
\frac{dy}{dx}=-kAsen(kx)+kBcos(kx)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2y}}{dx^{2}}=y=-k^{2}Acos(kx)-k^{2}Bsen(kx)=-k^{2}\left[Acos(kx)+Bsen(kx)\right]=-k^{2}y<br />
\]<br />
<br />
donde <br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Sean<br />
\begin{equation}<br />
A=Ccos(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B=-Csen(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entoces:<br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(\theta)cos(kx)-Csen(\theta)sen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la propiedad trigonometrica de la suma de los ángulos del<br />
coceno<br />
<br />
\[<br />
cos\left(a+b\right)=cos\left(a\right)cos\left(b\right)-sen\left(a\right)sen\left(b\right)<br />
\]<br />
<br />
tenemos:<br />
<br />
\[<br />
=C[cos(kx)cos(\theta)-Csen(kx)sen(\theta)]=C[cos(kx+\theta)]<br />
\]<br />
<br />
quedando asi demostrada la primera parte.<br />
<br />
Ahora demostraremod que $y=Ccos(kx+\alpha)=C\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
<br />
De los números complejos sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
z=e^{i\alpha}=cos(\alpha)+isen(\alpha)<br />
\]<br />
<br />
aplicando propiedades de los expenontes, y teniendo en cuenta que<br />
la parte real de $z=cos(\alpha)$ y el resultado anterior tenemos<br />
que:<br />
<br />
\[<br />
y=C\mathbb{R}\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[Ce^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]<br />
\]<br />
<br />
demoatrando lo pedido.<br />
<br />
Por último expresaremos C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
Si elevamos al cuadrado las ecuaciones 1 y 2 tenemos que<br />
<br />
\[<br />
A^{2}+B^{2}=C^{2}cos^{2}\left(\theta\right)+\left(-C\right)^{2}sen^{2}\left(\theta\right)=\left[C^{2}(cos^{2}\left(\theta\right)+sen^{2}\left(\theta\right))\right]=C^{2}<br />
\]<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
C^{2}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
para \textgreek{j} tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\left(\theta\right)=\frac{A}{B}=\frac{-Csen(\theta)}{Ccos(\theta)}=-tan\left(\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta=arctan\left(-\frac{B}{A}\right)<br />
\]<br />
--Añadi un nuevo problema----<br />
<br />
== Problema I.I ==<br />
'''A piston executes harmonic motion with an amplitude of $0.1m$. If it passes through the center of its motion with a speed of $0.5m/s$, what is the period of oscillation?'''<br />
<br />
'''Un pistón realiza un movimiento armónico con una amplitud de $0.1m$. Si pasa por el centro de su movimiento con una velocidad de $0.5m/s$, ¿cuál es su periodo de oscilación?.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que para el movimiento armónico simple('''MAS'''), podemos proponer una solución del tipo:<br />
<br />
<math><br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
por lo que, al derivar la función de posición, obtenemos la velocidad como función del tiempo:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, dadas las condiciones del problema, tenemos que resolver las ecuaciones para la posición y la velocidad de manera simultanea. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi) \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo las condiciones de frontera del problema, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = (0.1m) \cos(\omega t + \phi) = 0 \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega (0.1m) \sin(\omega t + \phi) = 0.5m/s<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
Para que se cumpla la primera ecuación, la única posibilidad es que $\cos(\omega t + \phi) = 0$ y para ello, $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. <br />
<br />
Si tomamos ahora la segunda ecuación:<br />
<br />
<math><br />
-\omega \sin(\omega t + \phi) = \dfrac{0.5m/s}{0.1m} \Rightarrow -\omega \sin(\omega t + \phi) = 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Pero al estar resolviendo un sistema de ecuaciones, debemos considerar la condición de que $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. Y bajo las condiciones anteriores, $\sin(\omega t + \phi) = \pm 1$, por lo que la segunda ecuación queda como:<br />
<br />
<math><br />
w = \pm 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Tomando $|\omega|$ y la definición de $T=2\pi / \omega \Rightarrow T = 2\pi / (5s^{-1})$, con lo que tendremos la solución deseada:<br />
<br />
<math><br />
T = \dfrac{2\pi}{5s^{-1}} \approx 1.25663<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:09 14 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema I.II ==<br />
'''A particle undergoes harmonic motion with a frequency of $10$Hz. Find the displacement $\psi$ at any time $t$ for the following initial condition: $t=0$, $\psi=0.25m$, $\dot{\psi}=0.1m/s$.'''<br />
<br />
'''Una partícula sigue un movimiento armónico con una frecuencia de $10Hz$. Encuentre el desplazamiento $\psi$ para cualquier tiempo $t$ con las condiciones iniciales: $\psi(t=0)=0.25m,\dot{\psi}(t=0)=0.1m/s$.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Proponemos la siguiente solución:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi)...(1)<br />
</math><br />
<br />
con lo que la velocidad será:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi}(t) = -\omega A\sin(\omega t + \phi)...(2)<br />
</math><br />
<br />
y aplicando las condiciones iniciales y sabiendo que $\omega = 2\pi \nu = 2\pi (10Hz) = 20\pi s^{-1}$ tendremos lo siguiente:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t=0) = A\cos(\phi) = 0.25m \\<br />
\dot{\psi}(t=0) = -(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi) = 0.1m/s<br />
</math><br />
<br />
Y dividiendo la ecuación (2) entre la (1):<br />
<br />
<math><br />
\dfrac{-(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi)}{A\cos(\phi)} = \dfrac{0.1m/s}{0.25m} <br />
\Rightarrow \tan(\phi) = \dfrac{0.1m/s}{-(2\pi)(10Hz)(0.25m)}<br />
</math><br />
<br />
y realizando los cálculos:<br />
<br />
<math><br />
tan(\phi) \approx -6.3661x10^{-3} \Rightarrow \phi \approx \arctan(-6.3661x10^{-3}) <br />
\Rightarrow \phi \approx -6.3661x10^{-3}<br />
</math><br />
<br />
Retomando la ecuación para el desplazamiento y el valor de $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
A \cos(\phi) = 0.25m \Rightarrow A = \dfrac{0.25m}{\cos(-6.3661x10^{-3})} \Rightarrow A = 0.25m<br />
</math><br />
<br />
De tal forma que la función $\psi(t)$ se puede escribir como:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi) = (0.25m) \cos\left((20\pi s^{-1})t -6.3661x10^{-3}\right)...(4)<br />
</math><br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:39 14 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:26 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Solución vectorial del oscilador armónico del capítulo 1 ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
En esta parte lo que pretendo es llegar a la solución vectorial del oscilador armónico de la forma: <br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}</math> para la ecuación diferencial de segundo orden<br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Descomponiendo esta ecuación en un sistema de ecuaciones de primer orden <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{1}=\psi_{2}....(1)</math> <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{2}=-\omega_{0}^{2}\psi....(2)</math> <br />
<br />
<br />
A este sistema le asociamos una matriz <math>A</math> <br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Los valores propios para esta matriz son: <br />
<br />
<br />
:<math>\lambda=\pm\omega_{0}i</math><br />
<br />
<br />
Buscamos ahora los vectores propios para los valores de <math>\lambda</math>. De hecho,<br />
sólo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado<br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
-\omega_{0}i & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & -\omega_{0i} \\<br />
\end{array}<br />
\right)=<br />
\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
<br />
</math><br />
<br />
<br />
El vector propio asociado a <br />
<br />
:<math>\lambda=\omega_{0}i</math> es<br />
<br />
<br />
:<math>V=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
1 \\<br />
\omega_{0}i \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
Entonces formando la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>P=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\frac{1}{\omega_{0}} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Su inversa de <math>P</math> es <br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math> <br />
<br />
<br />
Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos<br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}AP=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & -\omega_{0} \\<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Que es una diagonalización y la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>B=e^{0}\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & -\sin\omega_{0}t \\<br />
\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
La utilizamos para calcular <br />
<br />
<br />
:<math>e^{At}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}=PBP^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & \frac{1}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t \\<br />
-\omega_{0}\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Esta es la solución vectorial para la ecuación <br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Resuelto por Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:22 17 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:35 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:48 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema l.lll==<br />
<br />
<br />
<br />
'''Una partícula de 12.3 Kg experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 1.86mm. Su aceleración máxima es <math>7.93 km/s^2</math>. a)Encuentre el periodo de movimiento. b)¿Cúal es la velocidad máxima? c) Calcule la energía mecánica total de este oscilador armónico simple.'''<br />
<br />
Tratándose de un movimiento armónico simple recurriremos a la siguiente expresión diferencial, que modela el movimiento armónico simple :<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}+s{\psi}=0 ... (1)</math><br />
Donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) por <math>m</math> obtenemos que:<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0 ... (2)</math><br />
<br />
Donde la expresión (2) queda satisfecha por:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular. Al calcular la primera derivada de <math>\psi</math> obtenemos la velocidad y la aceleración al volverla a derivar por segunda vez, es decir que:<br />
\[\dot{\psi}(t)=-A \omega Sen(\omega t + \phi)...(3)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)=-A \omega^2 Cos(\omega t + \phi)...(4)\]<br />
<br />
Analizando las ecuaciones (3) y (4), notamos que las funciones seno y coseno oscilan entre <math>\pm1</math>, por lo que los valores extremos para la velocidad son <math>\pm A\omega</math>. De una forma análoga para la aceleración, los valores extremos que puede tomar son <math>\pm A\omega^2</math>, en consecuencia los valores ''máximos'' para la aceleración y la velocidad:<br />
<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega ...(5)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)= A \omega^2 ...(6)\]<br />
<br />
La energía ó [[Ondas: conservacion]] está dada por:<br />
\begin{equation}<br />
W = T + V =Cte<br />
\end{equation}<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial, por lo que podemos redefinirla como:<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA^{2}= \frac{1}{2} \omega^2 mA^{2}...(7)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
a) El periodo del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la partícula realize un ciclo completo de su movimiento, por lo que:<br />
<br />
<math>\tau= \frac{2\pi}{\omega}...(8)</math> <br />
<br />
Como tenemos los valores de la aceleración máxima y la amplitud, despejamos a <math>\omega</math> de la ecuación (6), luego sustituimos los valores conocidos para obtener el valor de <math>\omega</math>.<br />
\[\omega= \sqrt{\ddot{\psi} \over A} = \sqrt{7.93x10^3 {m \over s^2} \over 1.8x10^{-3} m} = 2.10x10^{3} \frac{rad}{s} \]<br />
<br />
por lo que al sustituir el valor de <math>\omega</math> en (8) obtenemos que:<br />
<br />
<br />
<math>\tau= {{2 \pi} \over {2.10x10^{3} \frac{rad}{s}} = 3.00x10^{-3} s = 3.00 ms </math> <br />
<br />
b) Para la velocidad usaremos la expresión (5):<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega = (1.86x10^{-3}m)(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})=3.90 {m \over s} \]<br />
<br />
c) Para la enegía mecánica total usaremos la expresion (7):<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}\omega^2 m A^{2}=\frac{1}{2}(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})^2 (12.3 Kg)(1.86x10^{-3} m)^{2} =90.7 J<br />
</math><br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:33 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:28 9 jun 2020 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1-12, French ==<br />
<br />
'''Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm/s. El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t=0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un angulo 30° con el eje x. '''<br />
<br />
'''(a) Obtener la ecuación de la coordenada x del punto en función del tiempo en la forma <math>x=A\cos(\omega t+\alpha)</math>, conocidos los valores numéricos de A, <math>\omega</math> y <math>\alpha</math> '''<br />
<br />
'''(b) Hallar los valores de $x$, <math>\frac{dx}{dt}</math> y <math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math> para t=2 s'''<br />
<br />
Dado que el punto tarda 6 seg en dar una vuelta completa y este se mueve con una velocidad de 50 cm/s; la circunferencia mide,<br />
<br />
:<math>l=50\frac{cm}{s}\times6seg=300cm</math><br />
<br />
y dado que...<br />
<br />
:<math>l=2\pi r</math><br />
<br />
:<math>r=\frac{l}{2\pi}=\frac{300cm}{2\pi}\backsimeq47.7cm</math><br />
<br />
el resultado anterior es la máxima distancia del punto en el eje x, es<br />
decir es la amplitud.<br />
<br />
Ahora,<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
:<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{6s}=\frac{\pi}{3}s^{-1}</math><br />
<br />
Dado que en $t=0$ el punto forma un ángulo de<br />
<br />
:<math>\frac{\pi}{6}</math> <br />
<br />
con en eje x, y pensando que el ángulo fue medido de la forma normal, anti-horaria se tiene que <br />
<br />
:<math>\alpha=-\frac{\pi}{6}</math><br />
<br />
y,<br />
<br />
:<math>x(t)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Ahora se calculara su posición, velocidad y aceleración en $t=2 s$.<br />
<br />
Para calcular la posición primero sustituimos $t=2$<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar el argumento del argumento del coseno, calcular el resultado es trivial:<br />
<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0</math><br />
<br />
Para la velocidad, primero debemos derivar la función de la posición,<br />
<br />
<br />
:<math>\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=-\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(\frac{150}{\pi}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar nos queda:<br />
<br />
:<math>v(t)=-50\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$,simplificamos el argumento del seno y calcular el resultado es trivial,<br />
<br />
:<math>v(t=2s)=-50\sin\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-50\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-50\frac{cm}{s}</math><br />
<br />
<br />
Para la aceleración primero derivamos la velocidad<br />
<br />
:<math>\frac{dv(t)}{dt}=a(t)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$, simplificamos en argumento del coseno y calcular el resultado se hace trivial:<br />
<br />
:<math>a(t=2s)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{50}{3}\pi\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0<br />
</math><br />
<br />
--[[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 02:10 20 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:28 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Sólo reescribí la solución de los últimos cálculos explicando un poco más[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:30 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 11-21, Física general Sears-Zemansky Ed. 4ta ==<br />
<br />
<br />
'''Una masa $m$ oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:'''<br />
<br />
'''a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte. '''<br />
<br />
'''b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos'''<br />
<br />
Solución: <br />
<br />
Por la relación <br />
\[<br />
\omega_{0}=(\frac{k}{m})^{\frac{1}{2}}...(a)<br />
\] <br />
<br />
y <br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}...(b)<br />
\]<br />
<br />
donde $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular y $\upsilon_{0}$ la frecuencia; se puede sustituir (a) en (b) para obtener: <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\] <br />
<br />
donde $k$ en la constante del resorte respectivo y $m$ la masa.<br />
<br />
Del problema conocemos la frecuencia, antes y después de ser agregada la segunda masa, <br />
<br />
la cual también conocemos, y la amplitud. <br />
<br />
a)Por lo tanto se puede expresar : <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}m}\ldots(1)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{2}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}(m+.3kg)}\ldots(2)<br />
\]<br />
<br />
Donde $\upsilon_{1}$ y $\upsilon_{2}$ representan las frecuencias antes y después de colocar la segunda masa. <br />
<br />
De las ecs. (1) y (2), podemos despejar $k$ e igualar de la siguiente manera:<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m=\upsilon_{2}^{2}4\pi^{2}(m+.3)<br />
\]<br />
<br />
y despejando $m$ queda <br />
<br />
\[<br />
m=\frac{.3*.5^{2}}{(1^{2}-.5{}^{2})}=.1<br />
\] <br />
<br />
Por lo tanto $m=100g$ y despejando $k$ de (1) tenemos<br />
<br />
\[<br />
k=\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m\ldots\ldots(3)<br />
\] <br />
<br />
\[<br />
k=1^{2}4\pi^{2}(.1)=3.947<br />
\] <br />
<br />
Entonces $K=3.947N/m$<br />
<br />
(b)Para calcular la amplitud en la segunda situación tenemos la relación siguiente: <br />
<br />
Conocemos...<br />
<br />
\[<br />
E_{m1}=\frac{1}{2}kA_{1}^{2}\ldots\ldots\ldots(\alpha)<br />
\] <br />
<br />
Y también sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{m2}=\frac{1}{2}kA_{2}^{2}\ldots\ldots\ldots(\beta)<br />
\] <br />
<br />
Pero como como $E_{m1}=E_{m2}$ entonces al igualar ($\alpha$) y ($\beta$) sabremos que:<br />
<br />
\[<br />
A_{1}^{2}=A_{2}^{2}<br />
\] <br />
<br />
Por lo que $A_{2}^{2}=.05m$<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:54 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
== Problema oscilador armónico ==<br />
'''El desplazamiento de una partícula viene dado por:'''<br />
:<math>x(t) = 0.3 \cos(2 t + \frac{\pi}{6})\,</math> $x$ en metros y $t$ en segundos.<br />
<br />
'''a) Determinar la frecuencia, el periodo, la amplitud, la pulsación y la fase inicial.<br />
'''<br />
<br />
'''b) ¿Dónde se encuentra la partícula en $t$ = 1s?'''<br />
<br />
'''c) Calcula la velocidad y la aceleración en un instante cualquiera $t$.'''<br />
<br />
'''d) Calcula la posición y velocidad inicial.'''<br />
<br />
<br />
:Solución: <br />
<br />
a) Observamos que se trata de un movimiento armónico simple, cuya ecuación general viene dada por:<br />
<br />
<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
<br />
Comparando directamente tenemos que $A=0.3 m$ , $\omega =2Hz$ , $\phi = \frac{\pi}{6} rad$<br />
<br />
La frecuencia se obtiene a partir de la pulsación:<br />
<br />
<math>f = \frac{\omega}{2 \pi }</math><br />
<br />
<br />
el periodo se calcula como la inversa de la frecuencia:<br />
<br />
<math>T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = \pi s</math><br />
<br />
<br />
b) Para saber dónde se encuentra la partícula en el instante $t$ = 1s es suficiente substituir en la ecuación del movimiento:<br />
<br />
<math>x(1s) = 0.3 \cos(2 + \frac{\pi}{6})\ = -0.245m</math><br />
<br />
<br />
c) La velocidad y la aceleración se pueden obtener de la posición derivando respecto del tiempo (una vez para obtener la velocidad, dos para la aceleración).<br />
<br />
<br />
:<math>v(t) = -0.6 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.2 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s^2</math><br />
<br />
<br />
d) únicamente tenemos que substituir t = 0 en las expresiones adecuadas:<br />
<br />
:<math>x(t=0) = 0.3 cos(\frac{\pi}{6})\ = 0.260 m</math><br />
:<math>v(t=0) = -0.6 sen(\frac{\pi}{6})\ = -0.3 m/s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:59 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Corregí el código porque algunas expresiones matemáticas que no se veían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:40 8 jun 2020 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema propuesto en relación al capitulo I ==<br />
<br />
<br />
Se encontró experimentalmente que un peso de <math>4lb<br />
</math> estira un resorte de <math>6 pulgadas<br />
</math>. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de <math>4{pulg}/{s}<br />
</math>, determine:<br />
<br />
a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.<br />
<br />
b) La ecuación de movimiento.<br />
<br />
c) El periodo y la frecuencia.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Recordando que <math>1ft=12in<br />
</math>, realizando las conversiones respectivos, se tiene:<br />
<br />
:<math>x=6in=\frac{1}{2}ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(0\right)=4{in}{s}={1}/{3}{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
Inicialmente el peso está en una posición de reposo <math>x\left(0\right)=0<br />
</math>, y después se suelta desde la posición de equilibrio (reposo) <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math>.<br />
<br />
Además <math>W=mg<br />
</math> <math>\Rightarrow<br />
</math> <math>m=\frac{W}{g}=\frac{4lb}{32}=1/{8}slug<br />
</math>.<br />
<br />
Entonces, por la ley de Hooke y sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>F=kx<br />
</math><br />
<br />
:<math>4lb=k\left({1}/{2}ft\right)<br />
</math> <br />
<br />
:<math>k=8{lb}/{ft}<br />
</math><br />
<br />
a) La ecuación diferencial que describe el movimiento es:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+w^{2}x=0<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
</math> <br />
<br />
Sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+64x=0...\left(1\right)<br />
</math> <br />
<br />
con las condiciones iniciales <math>x\left(0\right)=0<br />
</math> y <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math> <br />
<br />
b) La ecuación auxiliar de (1) es <math>r^{2}+64=0<br />
</math>, cuyas raíces son <math>r=\pm8i<br />
</math>. La solución general de (1) es:<br />
<br />
:<math>x\left(t\right)=c_{1}cos\left(8t\right)+c_{2}sen\left(8t\right)...(2)<br />
</math> <br />
<br />
derivando dos veces la solución general se tiene:<br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(t\right)=-8c_{1}sen\left(8t\right)+8c_{2}cos\left(8t\right)...(3)<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(t\right)=-64c_{1}cos\left(8t\right)-64c_{2}sen\left(8t\right)...(4)<br />
</math><br />
<br />
Para conocer <math>c_{1}<br />
</math> y <math>c_{2}<br />
</math>, sustituímos las condiciones iniciales en (2) y (3)<br />
<br />
:<math>c_{1}=0,c_{2}=\frac{1}{24}\therefore x\left(t\right)=\frac{1}{24}sen\left(8t\right)<br />
</math><br />
<br />
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después, está dado por:<br />
<br />
:<math>x\left(2\right)=\frac{1}{24}sen\left(16\right)=-0.011996ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(2\right)=\frac{1}{3}cos\left(16\right)=-0.31922{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(2\right)=-\frac{8}{3}sen\left(16\right)=0.7677{ft}/{s^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Lo cual indica que el cuerpo se encuentra a <math>0.011996ft<br />
</math> arriba de la posición de equilibrio moviendose hacia arriba.<br />
<br />
Bibliografía<br />
<br />
José Ventura Becerril y David Elizarraraz, ecuaicones diferenciales técncas de solución y aplicaciones, 1ra edición, Universidad Autónoma Metrpolitana Azcapotzalco, México, 2004.<br />
<br />
--Ricardo García Hernández----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:51 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema del serwey==<br />
<br />
un bloque de <math>200g</math> conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de <math>5N/m</math>es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin friccion. El bloque se desplaza <math>5cm</math>desde el equilibrio y se libera del reposo.<br />
<br />
a) Hallar el periodo de movimiento<br />
<br />
primero hay que encontrar la frecuencia angular con la siguiente ecuación<br />
<math>\omega= \sqrt{k \over m} </math> <br />
:<math>\omega=\sqrt{k \over m}= \sqrt{5Nm^{-1} \over 0.2kg} =5 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
el periodo esta dado por <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega}= 1.2s</math><br />
</li><br />
<br />
b) Hallar <math>v</math>(velocidad) y <math>a</math>(aceleracion) máxima<br />
<br />
A=.05m <math>/v=w \ A=.250m/s </math><br />
<br />
<br />
<math>/v={w^{2}} \ A=.1.25m/{s^{2}} </math><br />
<br />
c) Exprese la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo en unidades del SI<br />
<br />
para un tiempo inicial igual a cero la fase es 0<br />
<br />
:<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
:<math>x(t) = 0.05 cos(5 t )\,</math><br />
:<math>v(t) = -0.25 sen(2 t )\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.25 cos(2 t )\ m/s^2</math>--<br />
<br />
--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores 24/02/15 18:03<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.8, The Physics of Vibrations and Waves, A. Pain ==<br />
<br />
''' A plasma consists of an ionized gas of ions and electrons of equal number densities ($n_i = n_e = n$)having charges of opposite sign $\pm e$, and masses $m_i$ and $m_e$ , respectively, where $m_i > m_e$. Relative displacement between the two species sets up a restoring electric field which returns the electrons to equilibrium, the ions being considered stationary. In the diagram, a plasma slab of thickness $l$ has all its electrons displaced a distance $x$ to give a restoring electric field $E=nex/\epsilon_0$ where $\epsilon_0$ is a constant. Show that the restoring force per unit area on the electrons is $xn^2e^2l/\epsilon_0$ and that they oscillate simple harmonically with angular frequency $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. This frequency is called the electron plasma frequency, and only those radio waves of frequency $\omega > \omega_e$ will propagate in such an ionized medium. Hence the reflection of such waves from the ionosphere. '''<br />
<br />
''' Un plasma consiste en gas ionizado formado por iones y electrones con densidades iguales ($n_i = n_e = n$) teniendo cargas del signo opuesto $\pm e$, y masas $m_i$ y $m_e$ respectivamente, donde $m_i > m_e$. El desplazamiento relativo entre dos especies establece un campo eléctrico restaurador que regresa a los electrones al equilibrio, donde los iones se consideran estacionarios. En el diagrama, un bloque de plasma de ancho $l$ tiene todos sus electrones desplazados una distancia $x$, proporcionando un campo eléctrico restaurador $E=nex/\epsilon_0$ donde $\epsilon_0$ es una constante. Muestre que la fuerza restauradora por unidad de área en los electrones es $xn^2e^2l/\epsilon_0$ y que ellos oscilan de manera armónica simple con frecuencia angular $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. Esta frecuencia es llamada frecuencia de plasma y sólo aquellas ondas de radio con frecuencia $\omega > \omega_e$ se propagarán a través del medio ionizado. De este mode se da la reflección de tales ondas desde la ionósfera. '''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que la densidad lineal de los electrones en el plasma está dada por $n_e = n$, entonces, para encontrar la carga de los electrones por unidad de área en el plasma, tenemos que multiplicar por la longitud del bloque($l$) y por la carga de cada electrón($-e$):<br />
<br />
<math><br />
q = -enl<br />
</math><br />
<br />
Ahora, si se quiere calcular la fuerza restauradora por unidad de área, tomamos la definición de la fuerza eléctrica:<br />
<br />
<math><br />
F = qE<br />
</math><br />
<br />
y luego sustimos la expresión dada para el campo eléctrico restaurador y la expresión encontrada para la carga:<br />
<br />
<math><br />
F = (-enl)\left( \dfrac{nex}{\epsilon_0} \right) = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0}<br />
</math><br />
<br />
lo cual es el resultado buscado. También es necesario mostrar que los electrones oscilan de manera armónica simple. Para ello, escribimos las fuerzas involucradas en el sistema. Una es la fuerza de restaurauración por unidad de área y la otra es la aceleración de los electrones por su masa por unidad de área. La masa por unidad de área de los electrones se encuentra multiplicando la densidad lineal $l$, por la masa de cada electrón $m_e$, por el ancho del bloque de plasma. Lo anterior nos da:<br />
<br />
<math><br />
F = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0} = m_e n l \ddot{x}<br />
</math><br />
<br />
Donde simplificando la ecuación anterior, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\ddot{x} + \dfrac{ne^2}{m_e \epsilon_0} x = 0<br />
</math><br />
<br />
lo anterior demuestra que es un movimiento armónico simple.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 11:56 3 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
== ejercicio vibra 1 ==<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 17:40 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez<br />
<br />
==Ejercicio 1==<br />
<br />
'''Un oscilador está formado por un bloque de masa $m=0.5 kg$ conectado a un resorte ideal. Cuando es puesto en oscilación con una amplitud de $A=35 cm$, el oscilador repite su movimiento cada $0.5s$. Encontrar:''' <br />
<li>a. El periodo.</li><br />
<li>b. La frecuencia.</li><br />
<li>c. La frecuencia angular.</li><br />
<li>d. La constante del resorte.</li><br />
<li>e. La magnitud de la velocidad máxima.</li><br />
<li>f. La magnitud de la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el bloque.</li><br />
<li>g. La energía mecánica del sistema.</li><br />
'''Solución propuesta:'''<br />
:Si el tiempo se mide desde que el sistema se suelta estando el bloque en una posición igual a la amplitud, entonces el ángulo de fase es nulo y la ecuación de movimiento es: <br />
:$x(t)=A\cos(wt)$<br />
'''(a)''' Como el periodo es el tiempo en que el movimiento se repite, entonces: <br />
:$T=0.5s$<br />
'''(b)''' Como la frecuencia es igual al inverso del periodo, entonces: <br />
:$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.5s}=2.0Hz$<br />
'''(c)''' La frecuencia angular es $w=2πf$, entonces: <br />
:$w=2πf=\frac{2π}{T}=4π=12.57rad/s$<br />
'''(d)''' La constante del resorte es $k=mw^{2}$, entonces:<br />
:$k=mw^{2}=(0.5kg)(12.57rad/s)^{2}=78.96 N/m$<br />
'''(e)''' La magnitud de la velocidad máxima es $v_{max}=wA$.<br />
:$v_{max}=wA=(12.57rad/s)(0.35m)=4.40m/s$<br />
'''(f)''' Usando la segunda ley de Newton, la fuerza máxima es: <br />
:$F_{max}=ma_{max}=m(w^{2}A)=(78.96N/m)(0.35m)=27.64 N.$<br />
'''(g)''' La energía mecanica del sistema es:<br />
:$E=\frac{1}{2}kA^{2}=(0.5)(78.96N/m)(0.35m)^{2}=4.84J$<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:30 16 jun 2020 (CDT)</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c1&diff=24500Vibra: probs c12020-06-18T03:54:28Z<p>Evamontiel: /* Problema 1.10 */</p>
<hr />
<div>--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)Problemas del capítulo uno <ref name="main"/> [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:42 16 ene 2014 (UTC)<br />
<references><br />
<ref name="main"> Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994 </ref><br />
</references><br />
----<br />
== Problema 1.1 ==<br />
===Solución 1===<br />
'''If the system shown in fig 1.1 has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.'''<br />
<br />
''' Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) El vibrador prototipo en equilibrio. (b) La masa es instantáneamente desplazada una distancia <math>\psi</math> hacia la derecha de su posición de equilibrio.]]<br />
<br />
<ol style="list-style-type:lower-alpha;"><br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li> El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, al efectuar esta perturbación el resorte ejerce una fuerza de restauración (opuesta al desplazamiento de la masa) hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue:<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}=-s{\psi}</math><br />
<br />
donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. Dividiendo entre la masa se obtiene<br />
<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0</math><br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular.<br />
<br />
Entonces la frecuencia angular es: <br />
<br />
:<math>\omega_{0}=\sqrt{s \over m}= \sqrt{36Nm^{-1} \over 0.010kg} = 60 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
<li>Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math>. El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue:<br />
<br />
:<math>\nu_{0}={\omega_{0}\over 2\pi}</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es: <math>\nu_{0}= {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5493 Hz</math><br />
</li><br />
<br />
<li>Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math> , esto sucede cada <math>{ 2 \pi}\over \omega_{0} </math> que es conocido como el período <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega_{0}}= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10472 s</math><br />
</li><br />
<br />
</ol><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 07:10 24 ene 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:34 3 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 17:47 7 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 18:40 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 09:59 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
===Solución 2===<br />
'''Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li>'''a.''' Considerar un sistema oscilatorio que es consistente y es sometido a una fuerza <math>F\left(\varPsi\right)</math>. <br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-s\varPsi...(1)</math><br />
<br />
Donde <math>s</math> es la constante del resorte, y <math>\varPsi</math> es el desplazamiento del sistema. Dicho sistema oscilatorio se denomina oscilador armónico simple.<br />
<br />
La energía potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(\varPsi\right)=\frac{1}{2}s\varPsi^{2}...(2) </math><br />
<br />
<br />
Ya que de '''(2)''', la fuerza y la energía potencial están relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-\frac{dU}{d\varPsi} </math><br />
<br />
<br />
Ahora, aplicando la segunda ley de Newton <math>F=m\ddot{\varPsi}...(3)</math>, sustituyendo '''(1)''' en '''(3)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-s\varPsi=m\ddot{\varPsi} </math><br />
<br />
Dividiendo entre <math>m</math> e igualando la expresión a cero, se tiene :<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0...(4) </math><br />
<br />
<br />
Ahora reescribamos la ecuación como:<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}=-\frac{s}{m}\varPsi...(5) </math><br />
<br />
Requerimos que <math>\varPsi(t)</math> sea una función cuya segunda derivada sea negativa de esta misma; las funciones senos y cosenos cumplen esta propiedad, entonces:<br />
<br />
:<math>\varPsi\left(t\right)=\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\dot{\varPsi}\left(t\right)=-w \mathrm{sen}\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}(t)=-w^{2}\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo en '''(5)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-w^{2} \cos\left(wt\right)=-\frac{s}{m} \cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
:<math>w^{2}=\frac{s}{m} </math><br />
Que es la frecuencia angular, entonces:<br />
<br />
<br />
:<math>w=\sqrt{\frac{36N/m}{0.010Kg}}=60s^{-1} </math> </li><br />
<br />
<li>'''b.''' Para la frecuencia <math>\nu</math> del oscilador es el número de ciclos completos por unidad de tiempo y esta dada por :<br />
<br />
<br />
:<math>\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.1047s}=9.55Hz </math> </li><br />
<br />
<br />
<li>'''c.''' El periodo <math>T</math> de movimiento, se tiene por:<br />
<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{w}=\frac{2\pi}{60s^{-1}}=0.1047s </math> </li><br />
<br />
<br />
Ricardo García Hernández--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:10 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
Entendí y me gustó más esta forma de resolver el ejercicio--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:31 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
<br />
<br />
Sólo cambié la notación [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:37 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 10:04 16 jun 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:32 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.2 ==<br />
<br />
'''For the same vibrator as in problem 1.1 at time t=0, the mass is observed to be displaced 50 mm to the right of its equilibrium position and to be moving to the right at speed 1.7 m s^-1. Calcule''' <br />
'''a) the amplitude''' <br />
'''b) the phase constant''' <br />
'''c) the energy'''<br />
<br />
'''Por el mismo vibrador como en el problema 1.1 en el tiempo t = 0 , se observa la masa ser desplazada 50 mm a la derecha de su posición de equilibrio y estar moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 1.7 ms^-1 Calcule:<br />
'''<br />
<br />
'''(a) la amplitud'''<br />
<br />
'''(b) la constante de fase'''<br />
<br />
'''(c) la energía<br />
'''<br />
<br />
__________________________________Corrección del ejercicio 1.2___________________________________________<br />
<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3)<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.118Nm}{36Nm{}^{-1}}=0.00327m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{0.00327m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) El ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos las ecuaciones <br />
<br />
\begin{equation} <br />
\psi(t)=A{}_{\psi} \cos(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{\psi(t)}={-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Dividiende (5)entre (4) y evaluando en $t=0$:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(0)}}{\psi (0)}=\frac{{-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}<br />
=-\omega \tan (\omega t+\phi)=\frac{1.7}{.05}=-34<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\tan (\omega t+\phi)=\frac{34}{\omega}=\frac{-34}{60}=-0.5666<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\omega t+\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
Hay que recordar que estamos evaluando en $t=0$ por lo que<br />
<br />
\[<br />
\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\phi=-0.52rad<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=30°<br />
\]<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(0.057m)^{2}=0.059J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:13 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:53 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:13 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
'''Para la misma vibración que en el problema 1.1 , en el tiempo $t=0$'''<br />
''', se observa la masa a se desplaza $50mm$ a la derecha de su posición'''<br />
'''de equilibrio y se mueve hacia la derecha a una velocidad de $1.7ms{}^{-1}$.'''<br />
'''Calcúlese (a) la amplitud, (b) el ángulo de fase, y (c) la energía.'''<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3):<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.1189Nm}{36Nm{}^{-1}}=3.30277x10^{-3}m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{3.30277x10^{-3}m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) el ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos la solución:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Tenemos todo lo necesario para despejar el ángulo de fase de la ecuación<br />
(4)<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=(0.0571m)\mathrm{sen}\left[\left(60s{}^{-1}\right)(0)+\phi\right]=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=\mathrm{arcsen}(\frac{0.05m}{0.0571m})=61.122\text{°}<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(3.2604x10^{-3}m^{2})=0.0586J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Ejercicio corregido por Maya Velasco, Definitivamente me equivoque''<br />
''al hacer los cálculos numéricos en el cálculo de la amplitud algo''<br />
''que agradezco mucho que mi compañero Luis Velázquez haya notado. Posteriormente''<br />
''revisando la solución que dio mi compañero y la que yo propuse note''<br />
''lo siguiente:''<br />
<br />
[[Solución Luis Santos]]<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al derivar la expresión anterior obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(t)}=-A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Después mi compañero dividió ambas expresiones de la siguiente manera:''<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}=\frac{-A{}_{\psi}\omega \mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}=-\omega \tan(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
Posteriormente el ángulo $\phi$ es<br />
<br />
\[<br />
\phi=-29.53\text{°}\eqsim-30\text{°}<br />
\]<br />
<br />
''<br />
No encuentro otro error en el trabajo de mi compañero a excepción'<br />
''del signo, y después de su revisión sobre mi trabajo pues creo que''<br />
''aparentemente el mio también es correcto pero los valores en el ángulo''<br />
''de fase son diferentes y puedo explicar por que:''<br />
<br />
Ambas soluciones de la ecuación del oscilador armónico simple son<br />
correctas, sin embargo es más común usar la expresión que involucra<br />
la función coseno, ahora puedo mostrar que ambas soluciones son equivalentes<br />
desfasadas por un cierto ángulo.<br />
<br />
Se sabe que la función seno esta desfasada de la función coseno por<br />
$\frac{\pi}{2}$ ó 90°, hagamos lo siguiente, a la solución<br />
de mi compañero pongamos le el ángulo de fase que calculé yo que es<br />
de aproximadamente 61° y restemos le el desfase de los 90° .<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+61\text{°}-90\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t-29\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Esta es la respuesta de mi compañero que es correcta, entonces podemos''<br />
''concluir que ambos resultados son equivalentes. Si alguien más nota''<br />
''algún otro error mucho les agradeceré que me lo hagan notar, gracias.'' <br />
<br />
Ejercicio resuelto por Rosario Maya. Martes 10 de febrero 2015<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]]<br />
<br />
Ejercicio corregido por Rosario Maya el 12.02.15 a las 22:56 pm<br />
<br />
"El problema 1.2 está correcto; sobre todo al proponer dos formas diferentes de cómo calcular el ángulo de fase". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:46 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:28 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:59 8 jun 2020 (CDT) Cambios en la notación<br />
<br />
== Problema 1.3 ==<br />
'''An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the velocity this second vibrator at time t = 0. (c) At what time will it come to rest.'''<br />
<br />
Un sistema idéntico se pone en vibración con la misma amplitud que el vibrador en el problema 1.2, pero con un avance de fase de 90°. <br />
Calcule a) el desplazamiento y b) la velocidad de este segundo vibrador en el tiempo t=0. c) ¿A qué hora va a llegar al reposo?<br />
<br />
(a) <br />
<br />
Tenemos como ecuación de movimiento a:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi - \frac{\pi}{2})<br />
\]<br />
La cual puede escribise como:<br />
\[<br />
\psi(t)=Asin(\omega t + \phi)<br />
--------(1)\]<br />
<br />
<br />
Para t=0 se tiene:<br />
\[<br />
\psi(t=0s) = (57mm ) sin(-0.52) =-28mm<br />
\]<br />
(El signo indica que el desplazamiento es hacia la izquierda)<br />
<br />
<br />
<br />
(b)<br />
<br />
Al derivar (1) se tiene la ecuación para la velocidad<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t)=A \omega cos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
Para t=0<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)= A\omega cos\phi=(0.057m)(60s^{-1})cos(-0.52)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)=3 m s^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
(c) <br />
<br />
La velocidad del sistema es nula en los extremos, es decir, cuando \[\psi(t)=A\]<br />
\[<br />
Asin(\omega t + \phi)=A<br />
\]<br />
\[<br />
\omega t + \phi = 1.57<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
t=\frac{1.57-\phi}{\omega}= \frac{1.57+0.52}{60}<br />
\]<br />
\[<br />
t=35 ms<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:23 17 feb 2015 (CST)<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 19:03 07 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:17 12 feb 2015 (CST)<br />
"El problema 1.3, te sugiero que les des una descripción física a los resultados que obtuviste." --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:01 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.4 ==<br />
<br />
'''El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es <math>p_{1}</math> y es dado al tiempo <math>t=0</math>, encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando la segunda Ley de Newton se tiene:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}=p_{1}-k\psi...(1)<br />
\] <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) entre la masa y ordenarla, nos resulta una ecuación de segundo orden no homogénea:<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\frac{k}{m} \psi=p_{1}...(2)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde tenemos definida a <math>\omega^{2}</math> y <math>p_{1}</math> a como:<br />
<br />
\[\omega^{2}\equiv \dfrac{k}{m}\]<br />
\[p_{1}\equiv Ft\]<br />
<br />
Como se pondrá en movimiento con una fuerza que actuará sólo un instante de tiempo, se emplea la función delta de Dirac para describir el impulso, por lo cual la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\omega^{2} \psi=\frac{F}{m}\delta(t-t_0)...(3)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la transformada de Laplace<br />
<br />
<br />
\[<br />
\mathcal{L} \lbrace\ddot{x}\rbrace + \omega ^{2} \mathcal {L}\lbrace x \rbrace= \frac{F}{m} \mathcal{L}{\delta\lbrace (t-t_0)}\rbrace <br />
\]<br />
<br />
\[<br />
s^2 X(s) -sx(0)-\dot {x} (0) + \omega ^2 X(s) = \frac{F}{m}e^{-st_0}<br />
\]<br />
<br />
Donde las condiciones iniciales son:<br />
<br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Por lo que la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
\[<br />
X(s) = \frac{F}{m \omega} \frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0} ...(4)\]<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando ahora la transformada inversa en la ecuación (4)<br />
\[<br />
\mathcal{L}^{-1} \lbrace X(s)\rbrace = \frac{F}{m \omega}\mathcal{L}^{-1}\lbrace\frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0}\rbrace<br />
\] <br />
<br />
Resulta <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega}sin(\omega (t-t_0))\mathcal{U}(t-t_0)...(5)<br />
\]<br />
<br />
Y como <br />
\[t_0 =0\]<br />
<br />
Entonces <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega} sin(\omega t) \mathcal{U}(t)...(6) \]<br />
<br />
La cual es equivalente a:<br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m \omega} cos(\omega t + \frac{\pi}{2})..(7)<br />
\]<br />
<br />
haciendo una analogía de la ecuación (7) y la ecuación \[x(t) = A\cos(\omega t -\phi)\] se puede observar que la amplitud es: <br />
<br />
\[<br />
A= \frac{p}{m \omega}<br />
\]<br />
y la fase<br />
<br />
\[<br />
\phi=\frac{\pi}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
----<br />
Otra solución:<br />
----<br />
El impuso que se le imprime se convertirá en energía cinética, por lo que:<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2m\dot{x}^2} = \frac{1}{2 k_e A^2}<br />
\]<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:16 9 jun 2020 (CDT)<br />
Luego:<br />
\[<br />
A^2=\frac{m\dot{x}^2}{\omega_0 ^2 m}=\frac{m^2 \dot{x}^2 }{\omega_0 ^2m^2}=\frac{p^2}{\omega_0 ^2 m^2}<br />
\]<br />
Finalmente :<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{p}{\omega_0 m}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:27 8 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Le di un poco de orden al problema y corregí faltas de ortografía<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:01 18 feb 2015 (CST)Esther Sarai García González<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:07 13 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:54 18 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:00 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.5 ==<br />
<br />
'''The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by: '''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) The prototype vibrator in equilibrium. (b) The mass is instantaneously displaced a distance <math>\psi</math> to the right of its equilibrium position.]]<br />
<br />
<br />
'''El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ecuación de Movimiento Armónico Simple:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades:<br />
\begin{equation}<br />
A_{1}= A \cos{\phi}.....(1)<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.<br />
<br />
Para mostrar que la amplitud del problema está dado por <math>A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}</math>, elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
La ecuación (4) la dividimos por ${w_{0}}^2$ en ambos lados:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) <br />
\end{equation}<br />
<br />
De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), y sumando de la siguiente manera:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ecuación (6) factorizamos $A^2$ <br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado:<br />
\begin{equation}<br />
\boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<math>\therefore</math> la amplitud Q.E.D.<br />
<br />
<br />
<br />
Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener:<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1)<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11)<br />
\end{equation}<br />
<br />
En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: <br />
\begin{equation}<br />
\boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 05:59 31 ene 2014 (UTC)<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:39 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:11 15 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''Otra forma de hacerlo''' <br />
<br />
Tenemos las funciones que definen al desplazamiento y la velocidad <br />
<br />
\[x(t)=C_{1}cos\omega t+ C_{2}sin\omega t<br />
\]<br />
\[\dot{x}(t)=-C_{1}\omega sin \omega t + C_{2} \omega cos \omega t<br />
\]<br />
<br />
Entonces tenemos como condiciones inciales <br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Lo que resulta <br />
<br />
\[x(0)=C_{1}cos\omega (0) + C_{2}sin\omega (0)= C_{1} cos (0) + C_{2} sin (0) = C_{1}<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=-C_{1}\omega sin \omega (0) + C_{2} \omega cos \omega (0) = -C_{1}\omega sin (0) + C_{2}\omega cos (0) = C_2\omega<br />
\]<br />
<br />
<br />
de donde<br />
<br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
Y finalmente se obtiene<br />
<br />
\[x(t)= A_{0}cos\omega t + \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} sen \omega t<br />
\]<br />
La cual se puede escribir de las siguientes formas:<br />
<br />
\[x(t)= A sin (\omega + \phi)\] o bien \[x(t)= Acos(\omega - \phi)\]<br />
<br />
Esto se demuetra por las siguentes identidades:<br />
\[C_{1}cos \omega t + C_{2} sen \omega t = A sen (\omega t+ \phi) = A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)\]<br />
<br />
Y luego usamos las siguientes identidades también:<br />
<br />
<br />
\[ A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)= (A cos\phi)sen \omega t + (Asen \phi)cos\omega = <br />
(A sen\phi)cos\omega t + (A cos\phi )sen\omega t \]<br />
<br />
<br />
<br />
\[ Asen \phi = C_{1}\] y \[A cos\phi = C_{2}\]<br />
<br />
\[ C_{1}^{2} + C_{2}^{2} = A^{2}sen^{2}\phi + A^{2}cos^{2}\phi = A^{2}(sen^{2}\phi + cos^{2}\phi)= A^{2}\]<br />
<br />
\[A= \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}\]<br />
<br />
por lo tanto<br />
\[\phi = arctan\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\]<br />
y como <br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<br />
\[A= [A_{0}^{2}+\dfrac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}]^{\dfrac{1}{2}}\]<br />
\[ tan\phi = \dfrac{A_{0} \omega}{v_{0}}\]<br />
O bien <br />
\[ tan\phi = - \dfrac{v_{0}}{A_{0}\omega}\]<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase queda demostrada por este método alternativo. <br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)Esther Sarai Garcia Gonzalez (UAM-I)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST<br />
-- La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:07 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
'''Solución alternativa utilizando energías'''<br />
<br />
Para demostrar la primera identidad se tiene que la energía mecánica del sistema es igual a la suma de la energía cinética y potencial:<br />
<br />
$ W = K + U.....(eq.1)$ <br />
<br />
Donde $W$, $K$, y $U$ son la energía mecánica, la cinética y la potencial, respectivamente. Tenemos que estas están dadas por:<br />
<br />
$W = {1\over 2}{s}{A}^{2}....(eq.2)$<br />
<br />
$K = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}}.....(eq.3)$<br />
<br />
$U = {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq.4)$<br />
<br />
Donde $s$ es la constante del resorte. Si reemplaza las ecuaciones $2, 3, 4$ en la ecuación $1$ se tiene:<br />
<br />
${1\over 2}{s}{A}^{2} = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}} + {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq. 5)$<br />
<br />
Despejando A de esta última ecuación se tiene:<br />
<br />
$A^{2} = {m \over s}{v_{1}^{2}} + {A_{1}^{2}}$<br />
<br />
$A^{2} = (\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}$<br />
<br />
$A = {[(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}]}^{1/2}$<br />
<br />
Para la segunda identidad se utilizará las ecuaciones de posición y velocidad del cuerpo oscilante:<br />
<br />
$\psi(t)=A\cos{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 6)$<br />
<br />
$\dot{\psi}(t)={-}\omega_{0}A\sin{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 7)$<br />
<br />
Reemplazando en las ecuaciones los valores iniciales, se tiene que en $t = 0$ la posición es $A_{1}$ y la velocidad es $v_{1}$. Entonces:<br />
<br />
$A_{1} = Acos{\phi}.....(eq.7)$<br />
<br />
$v_{1} = {-}{A}{\omega_{0}}{sin{\phi}}.....(eq.8)$<br />
<br />
Despejando $A$ de ambas ecuaciones, la ecuación 7 y 8 se convierten en:<br />
<br />
$A = {A_{1} \over cos{\phi}}.....(eq.9)$<br />
<br />
$A = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}.....(eq.10)$<br />
<br />
Respectivamente. Ahora solo se igualan estas dos ecuaciones y se tiene:<br />
<br />
${A_{1} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}$<br />
<br />
Y esta igualdad se puede convertir en:<br />
<br />
${sin{\phi} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
$tan{\phi} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
Resolviendo el Problema.<br />
<br />
--[[Usuario:Gustavo.uami12|Gustavo.uami12]] ([[Usuario discusión:Gustavo.uami12|discusión]]) 09:55 9 jun 2020 (CDT)<br />
--Propuse una solución alternativa mucho más corta que las dos anteriores.<br />
<br />
== Problema 1.6 ==<br />
'''Calculate (a)the amplitude, (b)the phase constant, and (c)the complex amplitud, for the vibration by''' $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$<br />
<br />
'''Calcular:'''<br />
'''a) La amplitud.'''<br />
<br />
'''b) La constante de fase.'''<br />
<br />
'''c) La amplitud compleja para la vibración dada: <br />
$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.'''<br />
<br />
Solución: <br />
(a)La solución general del movimiento armónico simple considerando las condiciones iniciales, está dada por:<br />
<math>\psi=A_{0}\sin(\omega_{0}t+\phi)</math><br />
<br />
donde <br />
$\mathit{A_{0}}$ es la amplitud que queremos encontrar.<br />
<br />
Desarrollando la función en términos de seno:<br />
\[A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
Igualando se obtiene entonces que:<br />
\[A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
De aquí obtenemos las siguientes dos ecuaciones:<br />
<br />
\[A=A_{0}\cos\left(\phi\right)................ (1) \]<br />
<br />
\[B=A_{0}\sin\left(\phi\right)................ (2) \]<br />
<br />
Se identifica, $A=10 \, mm$ y $B= 17 \, mm$.<br />
<br />
Elevamos al cuadrado (1) y (2), y sumamos:<br />
<br />
\[A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)\]<br />
<br />
:<math>A^{2}+B^{2}=A_0^2</math> dado que <math>\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\phi)=1</math><br />
<br />
:<math>A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}</math><br />
<br />
Procedemos a sustituir y operar, lo que resulta<br />
<br />
:<math> A_{0}=19.7 \, mm </math><br />
<br />
(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2)<br />
<br />
<br />
dividimos $\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$<br />
<br />
<br />
y despejando $\phi$ obtenemos:<br />
<br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)\]<br />
<br />
Sustituyendo tenemos que: <br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{17}{10}\right)\]<br />
<br />
<br />
Por tanto, $\phi=59.5$<br />
<br />
(c) Por la relación matemática que existe entre los números complejos y las vibraciones (ver fasores) podemos ver que la amplitud compleja será:<br />
<br />
\[A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)\]<br />
<br />
<br />
----<br />
En el enunciado del problema 1.6 lo reescribí en español [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 21:51 27 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 13:32 17 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:22 18 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregí algunas faltas de ortografía y poco de la teoría--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:16 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
----<br />
Esta muy bien desarrollado y la teoría explica el planteamiento del ejercicio<br />
[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:19 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregi algunas ecuaciones y edite un poco. --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:43 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.7 ==<br />
<br />
<br />
===Solución 1===<br />
<br />
'''During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 18:53 15 may 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 2===<br />
<br />
Fe de erratas. '''Correcciones sobre el problema 1.7.'''<br />
<br />
En efecto, la frecuencia angular está dada por:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi\nu</math><br />
<br />
<br />
al sustituir las cantidades,<br />
<br />
<math>\omega=134.15Hz</math><br />
<br />
<br />
Y, además, haciendo una conversión:<br />
<br />
<math>1ms=0.001s</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow12ms=0.012s</math><br />
<br />
<br />
Así, pues, dadas las condiciones iniciales<br />
<br />
<math>\psi(0)=0.03m</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow Acos\phi=0.03m</math><br />
<br />
<br />
entonces, tomando la siguiente condición <br />
<br />
<math>\psi(0.012)=-0.014m</math><br />
<br />
<br />
se obtiene.<br />
<br />
<math>-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.02+C_{2}0.06</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow C_{2}=-0.56</math><br />
Dado que<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen\phi</math><br />
<br />
por tanto, en la ec. (1.1), resulta:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath0.56m</math><br />
<br />
En el 1.7 realicé la traducción [[Usuario:Aura Yazmin Bejarano Olvera|Aura Yazmin Bejarano Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarano Olvera|discusión]])<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 3===<br />
<br />
La solución a este problema la realice de la siguiente manera:<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\& <br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=\nu_{0}2\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con las condiciones iniciales $\psi(0s)=x_{1}=30$ mm y $\psi(12ms)=x_{2}=-14$mm<br />
tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0s)=x_{1}=Acos(\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(0.012s)=x_{2}=Acos(\omega_{0}(12ms)+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=Acos(\phi)cos(\omega_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(\omega_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero $Acos(\phi)=x_{1}$, asi:<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=x_{1}cos(2\pi\nu_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(2\pi\nu_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tenemos también que:<br />
<br />
\[<br />
cos(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.99<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
sen(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.06<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi:<br />
<br />
\[<br />
-0.014m=(0.03m)(0.99)-Asen(\phi)(0.06)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)(0.06)=0.029m+0.014m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)=\frac{0.043m}{0.06}=0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cual la amplitud compleja es igual a:<br />
<br />
\[<br />
D=0.03m+i0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
La nueva solución fue realizada por: [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] el 19 de Febrero de 2014.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 4===<br />
<br />
'''During a vibration with frequency of $50 Hz$, the displacement is observed to be $30 mm$ at time $t=0$, and $-14 mm$ at $t=12 \, ms$. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración de frecuencia $50 Hz$, el desplazamiento observado es $30 mm$ al tiempo $t=0$, y $-14 mm$ al tiempo $t=12 \, ms$. Encuentre la amplitud compleja.'''<br />
<br />
<br />
Para empezar tenemos que calcular la frecuencia angular a partir de la frecuencia dada.<br />
$w_0=2 \pi v=2 \pi (50 Hz) =100 \pi \,s^{-1}$ <br />
<br />
Luego sabemos que la forma compleja (forma D en el Main, Iain G., ''Vibrations and Waves in Physics'', 1993) es $ \psi (t)=Re[D \, e^{i w_0 t}] $, donde $D=a+i \, b$. Además sabemos dos condiciones iniciales, por lo que podemos determinar dos constantes $a$ y $b$.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{1}<br />
\psi (0 \, s)=30 \, mm <br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{2}<br />
\psi (12 \, ms)= \psi (.012\,s)=-14 \, mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ec. $(1)$ obtenemos la constante $a$.<br />
$\psi (0)=Re[D e^{i w_0 (0)}]=Re[(a+ib) (1)]=30\,mm$<br />
<br />
Evaluando la parte real, entonces...<br />
\begin{equation}<br />
\label{3}<br />
a=30\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si utilizamos la ec. $(2)$, encontraremos la constante faltante, $b$.<br />
$\psi (.012 \,s)=Re[D \, e^{i (100 \pi \, s^{-1}) (0.012 \, s)}]=-14 \, mm$<br />
$Re[(a+ib)(cos(1.2 \pi)+i\,sen(1.2 \pi))]=-14 \, mm$<br />
<br />
De nuevo se evalua la parte real del número complejo y luego se despeja $b$.<br />
$ a \, cos(1.2 \pi)-b \, sen(1.2 \pi)=-14 \, mm $<br />
$ b=\frac{14\,mm+(30\,mm)\,cos(1.2 \pi)}{sen(1.2 \pi)} $<br />
\begin{equation}<br />
\label{4}<br />
\,<br />
b \approx 17.47323498\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si juntamos $(3)$ y $(4)$, la amplitud compleja es<br />
$D=30\,mm+i\,17.47323498\,mm$<br />
Y la función es <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{5}<br />
\psi (t)=Re[(30\,mm+i\,17.47323498\,mm)\, e^{i\, (100\pi \,s^{-1}) \, t}]<br />
\end{equation}<br />
<br />
La comprobación se realiza evaluando la ecuación $(5)$ a los tiempos $t=0 \, s$ y $t=0.012 \, s$, lo cual nos da las condiciones iniciales de $(1)$ y $(2)$.<br />
$ \, $<br />
<br />
Solución realizada por: [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]]([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) el 14 de Febrero de 2014<br />
<br />
<br />
----<br />
Separé la solución de César Iván e hice algunas correcciones ortográficas. --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:56 19 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Algunas correciones --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:32 20 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Falta un poco de teoría del planteamiento del problema--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:23 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Agregado un nuevo subíndice, espero que no sea confuso.--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:48 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
Arreglé el código porque varias expresiones matemáticas no salían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 20:26 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.8 ==<br />
'''Calculate the maximum acceleration (in units of $g$) of pickup stylus reproducing a frequency of $16 kHz$, with an amplitude of $0.01mm$.'''<br />
<br />
'''Calcule la aceleración máxima (en unidades de $g$) de una aguja que reproduce una frecuencia de $16 kHz$, con una amplitud de $0,01 mm$.'''<br />
<br />
El problema nos proporciona los siguientes datos:<br />
$f =16kHz = 16000Hz$<br />
$A = 0.01mm = 0.00001m$<br />
<br />
Resultado:<br />
<br />
Sabemos que podemos expresar la frecuencia angular como la frecuencia por $2\pi$:<br />
\[<br />
\omega=2\pi f...(1)<br />
\]<br />
<br />
Ahora sustituimos el valor de la frecuencia($f =16000Hz$) en la ecuación 1:<br />
<br />
\[\omega=2\pi(16000Hz)\]<br />
<br />
Luego obtenemos una nueva ecuación ya con el valor de $f$ evaluado:<br />
<br />
\[\omega=32000\pi<br />
\frac{rad}{s}\]<br />
<br />
<br />
\[{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}...(2)\]<br />
<br />
Un dato importante en este momento, es la expresión para la aceleración máxima en el movimiento armónico simple:<br />
<br />
\[ \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x\]<br />
<br />
Donde $x$ es la solución para el movimiento armónico simple ,osea , $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. El valor de $x$ será máximo cuando el $\cos(\omega t + \phi)=1$ alcance su valor máximo y esto sucede cuando es igual uno. Por tal razón podemos expresar la aceleración máxima como sigue:<br />
<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos el valor de $\omega$ elevado al cuadrado proveniente de la ecuación 2:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\]<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\]<br />
<br />
Ahora hay que dividir el resultado obtenido en la ecuación 3 entre $g$ para expresarlo en unidades de $g$.Usamos primero:<br />
<br />
\[g=9.8\frac{m}{s^2}\]<br />
<br />
Y obtenemos la aceleración máxima en unidades de $g$:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =10312.729g\]<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:51 21 feb 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 20:22 18 feb 2015 (CST)<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
--Entendible y bien desarrollado----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:32 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.9 ==<br />
<br />
1.9.- '''Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta<br />
'''a un muelle '''de constante de recuperación de 4 dinas/cm.<br />
'''Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo.<br />
Calcular:''' a) la frecuencia propia y el periodo, ''' b) la energía total<br />
y '''c) la velocidad máxima.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía<br />
la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra<br />
ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber<br />
que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento<br />
es la fuerza del resorte, entonces tenemos:<br />
La energia potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(x\right)=\frac{1}{2}kx^{2}</math><br />
<br />
<br />
La fuerza y la energia potencial estan relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(x\right)=-\frac{dU}{dx}<br />
x</math><br />
<br />
Ahora , aplicando la segunda ley de Newton: :<math>F=m\ddot{x}:</math><br />
<br />
:<math>kx=m\ddot{x}</math><br />
<br />
Ahora, dividiendo entre “m” e igualando la expresion a cero, se tiene :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución<br />
<br />
\[<br />
x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además de las condiciones iniciales tenemos:<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$<br />
la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$<br />
<br />
\[<br />
x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt)<br />
\]<br />
<br />
<br />
de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$<br />
y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque<br />
no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$ <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad<br />
máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad<br />
energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene<br />
energía potencial.<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a<br />
\]<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima<br />
obtenemos la velocidad máxima<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$<br />
y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$<br />
<br />
y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$<br />
<br />
b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$<br />
<br />
\[<br />
\dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 21:59 25 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--Falta explicar como obtiene la ecuación diferencial del oscilador armonico simple, y como obtiene las condiciones iniciales partiendo del problema----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:35 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--Solo cambio y completo mas la teoría de como obtiene la ecuación diferencial del oscilador----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:03 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema 1.10==<br />
1.10 Comprobar que la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dx^{2}=-ky}$ tiene<br />
por solución $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$ siendo A y B constantes arbitrarias.<br />
Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma $y=Ccos(kx+\alpha)=C$<br />
$\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
y expresar C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
Por segunda ley de Newton tenemos:<br />
<br />
\[<br />
|\overrightarrow{F}|=m|\vec{a}|\rightarrow-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
\]<br />
<br />
entonces derivamos dos veces a $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$<br />
<br />
\[<br />
\frac{dy}{dx}=-kAsen(kx)+kBcos(kx)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2y}}{dx^{2}}=y=-k^{2}Acos(kx)-k^{2}Bsen(kx)=-k^{2}\left[Acos(kx)+Bsen(kx)\right]=-k^{2}y<br />
\]<br />
<br />
donde <br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Sean<br />
\begin{equation}<br />
A=Ccos(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B=-Csen(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entoces:<br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(\theta)cos(kx)-Csen(\theta)sen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la propiedad trigonometrica de la suma de los ángulos del<br />
coceno<br />
<br />
\[<br />
cos\left(a+b\right)=cos\left(a\right)cos\left(b\right)-sen\left(a\right)sen\left(b\right)<br />
\]<br />
<br />
tenemos:<br />
<br />
\[<br />
=C[cos(kx)cos(\theta)-Csen(kx)sen(\theta)]=C[cos(kx+\theta)]<br />
\]<br />
<br />
quedando asi demostrada la primera parte.<br />
<br />
Ahora demostraremod que $y=Ccos(kx+\alpha)=C\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
<br />
De los números complejos sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
z=e^{i\alpha}=cos(\alpha)+isen(\alpha)<br />
\]<br />
<br />
aplicando propiedades de los expenontes, y teniendo en cuenta que<br />
la parte real de $z=cos(\alpha)$ y el resultado anterior tenemos<br />
que:<br />
<br />
\[<br />
y=C\mathbb{R}\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[Ce^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]<br />
\]<br />
<br />
demoatrando lo pedido.<br />
<br />
Por último expresaremos C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
Si elevamos al cuadrado las ecuaciones 1 y 2 tenemos que<br />
<br />
\[<br />
A^{2}+B^{2}=C^{2}cos^{2}\left(\theta\right)+\left(-C\right)^{2}sen^{2}\left(\theta\right)=\left[C^{2}(cos^{2}\left(\theta\right)+sen^{2}\left(\theta\right))\right]=C^{2}<br />
\]<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
C^{2}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
para \textgreek{j} tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\left(\theta\right)=\frac{A}{B}=\frac{-Csen(\theta)}{Ccos(\theta)}=-tan\left(\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta=arctan\left(-\frac{B}{A}\right)<br />
\]<br />
--Añadi un nuevo problema----<br />
<br />
== Problema I.I ==<br />
'''A piston executes harmonic motion with an amplitude of $0.1m$. If it passes through the center of its motion with a speed of $0.5m/s$, what is the period of oscillation?'''<br />
<br />
'''Un pistón realiza un movimiento armónico con una amplitud de $0.1m$. Si pasa por el centro de su movimiento con una velocidad de $0.5m/s$, ¿cuál es su periodo de oscilación?.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que para el movimiento armónico simple('''MAS'''), podemos proponer una solución del tipo:<br />
<br />
<math><br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
por lo que, al derivar la función de posición, obtenemos la velocidad como función del tiempo:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, dadas las condiciones del problema, tenemos que resolver las ecuaciones para la posición y la velocidad de manera simultanea. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi) \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo las condiciones de frontera del problema, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = (0.1m) \cos(\omega t + \phi) = 0 \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega (0.1m) \sin(\omega t + \phi) = 0.5m/s<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
Para que se cumpla la primera ecuación, la única posibilidad es que $\cos(\omega t + \phi) = 0$ y para ello, $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. <br />
<br />
Si tomamos ahora la segunda ecuación:<br />
<br />
<math><br />
-\omega \sin(\omega t + \phi) = \dfrac{0.5m/s}{0.1m} \Rightarrow -\omega \sin(\omega t + \phi) = 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Pero al estar resolviendo un sistema de ecuaciones, debemos considerar la condición de que $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. Y bajo las condiciones anteriores, $\sin(\omega t + \phi) = \pm 1$, por lo que la segunda ecuación queda como:<br />
<br />
<math><br />
w = \pm 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Tomando $|\omega|$ y la definición de $T=2\pi / \omega \Rightarrow T = 2\pi / (5s^{-1})$, con lo que tendremos la solución deseada:<br />
<br />
<math><br />
T = \dfrac{2\pi}{5s^{-1}} \approx 1.25663<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:09 14 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema I.II ==<br />
'''A particle undergoes harmonic motion with a frequency of $10$Hz. Find the displacement $\psi$ at any time $t$ for the following initial condition: $t=0$, $\psi=0.25m$, $\dot{\psi}=0.1m/s$.'''<br />
<br />
'''Una partícula sigue un movimiento armónico con una frecuencia de $10Hz$. Encuentre el desplazamiento $\psi$ para cualquier tiempo $t$ con las condiciones iniciales: $\psi(t=0)=0.25m,\dot{\psi}(t=0)=0.1m/s$.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Proponemos la siguiente solución:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi)...(1)<br />
</math><br />
<br />
con lo que la velocidad será:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi}(t) = -\omega A\sin(\omega t + \phi)...(2)<br />
</math><br />
<br />
y aplicando las condiciones iniciales y sabiendo que $\omega = 2\pi \nu = 2\pi (10Hz) = 20\pi s^{-1}$ tendremos lo siguiente:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t=0) = A\cos(\phi) = 0.25m \\<br />
\dot{\psi}(t=0) = -(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi) = 0.1m/s<br />
</math><br />
<br />
Y dividiendo la ecuación (2) entre la (1):<br />
<br />
<math><br />
\dfrac{-(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi)}{A\cos(\phi)} = \dfrac{0.1m/s}{0.25m} <br />
\Rightarrow \tan(\phi) = \dfrac{0.1m/s}{-(2\pi)(10Hz)(0.25m)}<br />
</math><br />
<br />
y realizando los cálculos:<br />
<br />
<math><br />
tan(\phi) \approx -6.3661x10^{-3} \Rightarrow \phi \approx \arctan(-6.3661x10^{-3}) <br />
\Rightarrow \phi \approx -6.3661x10^{-3}<br />
</math><br />
<br />
Retomando la ecuación para el desplazamiento y el valor de $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
A \cos(\phi) = 0.25m \Rightarrow A = \dfrac{0.25m}{\cos(-6.3661x10^{-3})} \Rightarrow A = 0.25m<br />
</math><br />
<br />
De tal forma que la función $\psi(t)$ se puede escribir como:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi) = (0.25m) \cos\left((20\pi s^{-1})t -6.3661x10^{-3}\right)...(4)<br />
</math><br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:39 14 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:26 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Solución vectorial del oscilador armónico del capítulo 1 ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
En esta parte lo que pretendo es llegar a la solución vectorial del oscilador armónico de la forma: <br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}</math> para la ecuación diferencial de segundo orden<br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Descomponiendo esta ecuación en un sistema de ecuaciones de primer orden <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{1}=\psi_{2}....(1)</math> <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{2}=-\omega_{0}^{2}\psi....(2)</math> <br />
<br />
<br />
A este sistema le asociamos una matriz <math>A</math> <br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Los valores propios para esta matriz son: <br />
<br />
<br />
:<math>\lambda=\pm\omega_{0}i</math><br />
<br />
<br />
Buscamos ahora los vectores propios para los valores de <math>\lambda</math>. De hecho,<br />
sólo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado<br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
-\omega_{0}i & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & -\omega_{0i} \\<br />
\end{array}<br />
\right)=<br />
\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
<br />
</math><br />
<br />
<br />
El vector propio asociado a <br />
<br />
:<math>\lambda=\omega_{0}i</math> es<br />
<br />
<br />
:<math>V=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
1 \\<br />
\omega_{0}i \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
Entonces formando la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>P=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\frac{1}{\omega_{0}} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Su inversa de <math>P</math> es <br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math> <br />
<br />
<br />
Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos<br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}AP=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & -\omega_{0} \\<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Que es una diagonalización y la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>B=e^{0}\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & -\sin\omega_{0}t \\<br />
\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
La utilizamos para calcular <br />
<br />
<br />
:<math>e^{At}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}=PBP^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & \frac{1}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t \\<br />
-\omega_{0}\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Esta es la solución vectorial para la ecuación <br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Resuelto por Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:22 17 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:35 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:48 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema l.lll==<br />
<br />
<br />
<br />
'''Una partícula de 12.3 Kg experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 1.86mm. Su aceleración máxima es <math>7.93 km/s^2</math>. a)Encuentre el periodo de movimiento. b)¿Cúal es la velocidad máxima? c) Calcule la energía mecánica total de este oscilador armónico simple.'''<br />
<br />
Tratándose de un movimiento armónico simple recurriremos a la siguiente expresión diferencial, que modela el movimiento armónico simple :<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}+s{\psi}=0 ... (1)</math><br />
Donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) por <math>m</math> obtenemos que:<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0 ... (2)</math><br />
<br />
Donde la expresión (2) queda satisfecha por:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular. Al calcular la primera derivada de <math>\psi</math> obtenemos la velocidad y la aceleración al volverla a derivar por segunda vez, es decir que:<br />
\[\dot{\psi}(t)=-A \omega Sen(\omega t + \phi)...(3)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)=-A \omega^2 Cos(\omega t + \phi)...(4)\]<br />
<br />
Analizando las ecuaciones (3) y (4), notamos que las funciones seno y coseno oscilan entre <math>\pm1</math>, por lo que los valores extremos para la velocidad son <math>\pm A\omega</math>. De una forma análoga para la aceleración, los valores extremos que puede tomar son <math>\pm A\omega^2</math>, en consecuencia los valores ''máximos'' para la aceleración y la velocidad:<br />
<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega ...(5)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)= A \omega^2 ...(6)\]<br />
<br />
La energía ó [[Ondas: conservacion]] está dada por:<br />
\begin{equation}<br />
W = T + V =Cte<br />
\end{equation}<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial, por lo que podemos redefinirla como:<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA^{2}= \frac{1}{2} \omega^2 mA^{2}...(7)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
a) El periodo del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la partícula realize un ciclo completo de su movimiento, por lo que:<br />
<br />
<math>\tau= \frac{2\pi}{\omega}...(8)</math> <br />
<br />
Como tenemos los valores de la aceleración máxima y la amplitud, despejamos a <math>\omega</math> de la ecuación (6), luego sustituimos los valores conocidos para obtener el valor de <math>\omega</math>.<br />
\[\omega= \sqrt{\ddot{\psi} \over A} = \sqrt{7.93x10^3 {m \over s^2} \over 1.8x10^{-3} m} = 2.10x10^{3} \frac{rad}{s} \]<br />
<br />
por lo que al sustituir el valor de <math>\omega</math> en (8) obtenemos que:<br />
<br />
<br />
<math>\tau= {{2 \pi} \over {2.10x10^{3} \frac{rad}{s}} = 3.00x10^{-3} s = 3.00 ms </math> <br />
<br />
b) Para la velocidad usaremos la expresión (5):<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega = (1.86x10^{-3}m)(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})=3.90 {m \over s} \]<br />
<br />
c) Para la enegía mecánica total usaremos la expresion (7):<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}\omega^2 m A^{2}=\frac{1}{2}(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})^2 (12.3 Kg)(1.86x10^{-3} m)^{2} =90.7 J<br />
</math><br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:33 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:28 9 jun 2020 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1-12, French ==<br />
<br />
'''Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm/s. El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t=0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un angulo 30° con el eje x. '''<br />
<br />
'''(a) Obtener la ecuación de la coordenada x del punto en función del tiempo en la forma <math>x=A\cos(\omega t+\alpha)</math>, conocidos los valores numéricos de A, <math>\omega</math> y <math>\alpha</math> '''<br />
<br />
'''(b) Hallar los valores de $x$, <math>\frac{dx}{dt}</math> y <math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math> para t=2 s'''<br />
<br />
Dado que el punto tarda 6 seg en dar una vuelta completa y este se mueve con una velocidad de 50 cm/s; la circunferencia mide,<br />
<br />
:<math>l=50\frac{cm}{s}\times6seg=300cm</math><br />
<br />
y dado que...<br />
<br />
:<math>l=2\pi r</math><br />
<br />
:<math>r=\frac{l}{2\pi}=\frac{300cm}{2\pi}\backsimeq47.7cm</math><br />
<br />
el resultado anterior es la máxima distancia del punto en el eje x, es<br />
decir es la amplitud.<br />
<br />
Ahora,<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
:<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{6s}=\frac{\pi}{3}s^{-1}</math><br />
<br />
Dado que en $t=0$ el punto forma un ángulo de<br />
<br />
:<math>\frac{\pi}{6}</math> <br />
<br />
con en eje x, y pensando que el ángulo fue medido de la forma normal, anti-horaria se tiene que <br />
<br />
:<math>\alpha=-\frac{\pi}{6}</math><br />
<br />
y,<br />
<br />
:<math>x(t)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Ahora se calculara su posición, velocidad y aceleración en $t=2 s$.<br />
<br />
Para calcular la posición primero sustituimos $t=2$<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar el argumento del argumento del coseno, calcular el resultado es trivial:<br />
<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0</math><br />
<br />
Para la velocidad, primero debemos derivar la función de la posición,<br />
<br />
<br />
:<math>\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=-\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(\frac{150}{\pi}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar nos queda:<br />
<br />
:<math>v(t)=-50\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$,simplificamos el argumento del seno y calcular el resultado es trivial,<br />
<br />
:<math>v(t=2s)=-50\sin\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-50\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-50\frac{cm}{s}</math><br />
<br />
<br />
Para la aceleración primero derivamos la velocidad<br />
<br />
:<math>\frac{dv(t)}{dt}=a(t)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$, simplificamos en argumento del coseno y calcular el resultado se hace trivial:<br />
<br />
:<math>a(t=2s)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{50}{3}\pi\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0<br />
</math><br />
<br />
--[[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 02:10 20 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:28 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Sólo reescribí la solución de los últimos cálculos explicando un poco más[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:30 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 11-21, Física general Sears-Zemansky Ed. 4ta ==<br />
<br />
<br />
'''Una masa $m$ oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:'''<br />
<br />
'''a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte. '''<br />
<br />
'''b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos'''<br />
<br />
Solución: <br />
<br />
Por la relación <br />
\[<br />
\omega_{0}=(\frac{k}{m})^{\frac{1}{2}}...(a)<br />
\] <br />
<br />
y <br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}...(b)<br />
\]<br />
<br />
donde $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular y $\upsilon_{0}$ la frecuencia; se puede sustituir (a) en (b) para obtener: <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\] <br />
<br />
donde $k$ en la constante del resorte respectivo y $m$ la masa.<br />
<br />
Del problema conocemos la frecuencia, antes y después de ser agregada la segunda masa, <br />
<br />
la cual también conocemos, y la amplitud. <br />
<br />
a)Por lo tanto se puede expresar : <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}m}\ldots(1)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{2}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}(m+.3kg)}\ldots(2)<br />
\]<br />
<br />
Donde $\upsilon_{1}$ y $\upsilon_{2}$ representan las frecuencias antes y después de colocar la segunda masa. <br />
<br />
De las ecs. (1) y (2), podemos despejar $k$ e igualar de la siguiente manera:<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m=\upsilon_{2}^{2}4\pi^{2}(m+.3)<br />
\]<br />
<br />
y despejando $m$ queda <br />
<br />
\[<br />
m=\frac{.3*.5^{2}}{(1^{2}-.5{}^{2})}=.1<br />
\] <br />
<br />
Por lo tanto $m=100g$ y despejando $k$ de (1) tenemos<br />
<br />
\[<br />
k=\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m\ldots\ldots(3)<br />
\] <br />
<br />
\[<br />
k=1^{2}4\pi^{2}(.1)=3.947<br />
\] <br />
<br />
Entonces $K=3.947N/m$<br />
<br />
(b)Para calcular la amplitud en la segunda situación tenemos la relación siguiente: <br />
<br />
Conocemos...<br />
<br />
\[<br />
E_{m1}=\frac{1}{2}kA_{1}^{2}\ldots\ldots\ldots(\alpha)<br />
\] <br />
<br />
Y también sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{m2}=\frac{1}{2}kA_{2}^{2}\ldots\ldots\ldots(\beta)<br />
\] <br />
<br />
Pero como como $E_{m1}=E_{m2}$ entonces al igualar ($\alpha$) y ($\beta$) sabremos que:<br />
<br />
\[<br />
A_{1}^{2}=A_{2}^{2}<br />
\] <br />
<br />
Por lo que $A_{2}^{2}=.05m$<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:54 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
== Problema oscilador armónico ==<br />
'''El desplazamiento de una partícula viene dado por:'''<br />
:<math>x(t) = 0.3 \cos(2 t + \frac{\pi}{6})\,</math> $x$ en metros y $t$ en segundos.<br />
<br />
'''a) Determinar la frecuencia, el periodo, la amplitud, la pulsación y la fase inicial.<br />
'''<br />
<br />
'''b) ¿Dónde se encuentra la partícula en $t$ = 1s?'''<br />
<br />
'''c) Calcula la velocidad y la aceleración en un instante cualquiera $t$.'''<br />
<br />
'''d) Calcula la posición y velocidad inicial.'''<br />
<br />
<br />
:Solución: <br />
<br />
a) Observamos que se trata de un movimiento armónico simple, cuya ecuación general viene dada por:<br />
<br />
<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
<br />
Comparando directamente tenemos que $A=0.3 m$ , $\omega =2Hz$ , $\phi = \frac{\pi}{6} rad$<br />
<br />
La frecuencia se obtiene a partir de la pulsación:<br />
<br />
<math>f = \frac{\omega}{2 \pi }</math><br />
<br />
<br />
el periodo se calcula como la inversa de la frecuencia:<br />
<br />
<math>T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = \pi s</math><br />
<br />
<br />
b) Para saber dónde se encuentra la partícula en el instante $t$ = 1s es suficiente substituir en la ecuación del movimiento:<br />
<br />
<math>x(1s) = 0.3 \cos(2 + \frac{\pi}{6})\ = -0.245m</math><br />
<br />
<br />
c) La velocidad y la aceleración se pueden obtener de la posición derivando respecto del tiempo (una vez para obtener la velocidad, dos para la aceleración).<br />
<br />
<br />
:<math>v(t) = -0.6 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.2 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s^2</math><br />
<br />
<br />
d) únicamente tenemos que substituir t = 0 en las expresiones adecuadas:<br />
<br />
:<math>x(t=0) = 0.3 cos(\frac{\pi}{6})\ = 0.260 m</math><br />
:<math>v(t=0) = -0.6 sen(\frac{\pi}{6})\ = -0.3 m/s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:59 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Corregí el código porque algunas expresiones matemáticas que no se veían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:40 8 jun 2020 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema propuesto en relación al capitulo I ==<br />
<br />
<br />
Se encontró experimentalmente que un peso de <math>4lb<br />
</math> estira un resorte de <math>6 pulgadas<br />
</math>. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de <math>4{pulg}/{s}<br />
</math>, determine:<br />
<br />
a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.<br />
<br />
b) La ecuación de movimiento.<br />
<br />
c) El periodo y la frecuencia.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Recordando que <math>1ft=12in<br />
</math>, realizando las conversiones respectivos, se tiene:<br />
<br />
:<math>x=6in=\frac{1}{2}ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(0\right)=4{in}{s}={1}/{3}{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
Inicialmente el peso está en una posición de reposo <math>x\left(0\right)=0<br />
</math>, y después se suelta desde la posición de equilibrio (reposo) <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math>.<br />
<br />
Además <math>W=mg<br />
</math> <math>\Rightarrow<br />
</math> <math>m=\frac{W}{g}=\frac{4lb}{32}=1/{8}slug<br />
</math>.<br />
<br />
Entonces, por la ley de Hooke y sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>F=kx<br />
</math><br />
<br />
:<math>4lb=k\left({1}/{2}ft\right)<br />
</math> <br />
<br />
:<math>k=8{lb}/{ft}<br />
</math><br />
<br />
a) La ecuación diferencial que describe el movimiento es:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+w^{2}x=0<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
</math> <br />
<br />
Sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+64x=0...\left(1\right)<br />
</math> <br />
<br />
con las condiciones iniciales <math>x\left(0\right)=0<br />
</math> y <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math> <br />
<br />
b) La ecuación auxiliar de (1) es <math>r^{2}+64=0<br />
</math>, cuyas raíces son <math>r=\pm8i<br />
</math>. La solución general de (1) es:<br />
<br />
:<math>x\left(t\right)=c_{1}cos\left(8t\right)+c_{2}sen\left(8t\right)...(2)<br />
</math> <br />
<br />
derivando dos veces la solución general se tiene:<br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(t\right)=-8c_{1}sen\left(8t\right)+8c_{2}cos\left(8t\right)...(3)<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(t\right)=-64c_{1}cos\left(8t\right)-64c_{2}sen\left(8t\right)...(4)<br />
</math><br />
<br />
Para conocer <math>c_{1}<br />
</math> y <math>c_{2}<br />
</math>, sustituímos las condiciones iniciales en (2) y (3)<br />
<br />
:<math>c_{1}=0,c_{2}=\frac{1}{24}\therefore x\left(t\right)=\frac{1}{24}sen\left(8t\right)<br />
</math><br />
<br />
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después, está dado por:<br />
<br />
:<math>x\left(2\right)=\frac{1}{24}sen\left(16\right)=-0.011996ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(2\right)=\frac{1}{3}cos\left(16\right)=-0.31922{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(2\right)=-\frac{8}{3}sen\left(16\right)=0.7677{ft}/{s^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Lo cual indica que el cuerpo se encuentra a <math>0.011996ft<br />
</math> arriba de la posición de equilibrio moviendose hacia arriba.<br />
<br />
Bibliografía<br />
<br />
José Ventura Becerril y David Elizarraraz, ecuaicones diferenciales técncas de solución y aplicaciones, 1ra edición, Universidad Autónoma Metrpolitana Azcapotzalco, México, 2004.<br />
<br />
--Ricardo García Hernández----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:51 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema del serwey==<br />
<br />
un bloque de <math>200g</math> conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de <math>5N/m</math>es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin friccion. El bloque se desplaza <math>5cm</math>desde el equilibrio y se libera del reposo.<br />
<br />
a) Hallar el periodo de movimiento<br />
<br />
primero hay que encontrar la frecuencia angular con la siguiente ecuación<br />
<math>\omega= \sqrt{k \over m} </math> <br />
:<math>\omega=\sqrt{k \over m}= \sqrt{5Nm^{-1} \over 0.2kg} =5 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
el periodo esta dado por <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega}= 1.2s</math><br />
</li><br />
<br />
b) Hallar <math>v</math>(velocidad) y <math>a</math>(aceleracion) máxima<br />
<br />
A=.05m <math>/v=w \ A=.250m/s </math><br />
<br />
<br />
<math>/v={w^{2}} \ A=.1.25m/{s^{2}} </math><br />
<br />
c) Exprese la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo en unidades del SI<br />
<br />
para un tiempo inicial igual a cero la fase es 0<br />
<br />
:<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
:<math>x(t) = 0.05 cos(5 t )\,</math><br />
:<math>v(t) = -0.25 sen(2 t )\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.25 cos(2 t )\ m/s^2</math>--<br />
<br />
--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores 24/02/15 18:03<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.8, The Physics of Vibrations and Waves, A. Pain ==<br />
<br />
''' A plasma consists of an ionized gas of ions and electrons of equal number densities ($n_i = n_e = n$)having charges of opposite sign $\pm e$, and masses $m_i$ and $m_e$ , respectively, where $m_i > m_e$. Relative displacement between the two species sets up a restoring electric field which returns the electrons to equilibrium, the ions being considered stationary. In the diagram, a plasma slab of thickness $l$ has all its electrons displaced a distance $x$ to give a restoring electric field $E=nex/\epsilon_0$ where $\epsilon_0$ is a constant. Show that the restoring force per unit area on the electrons is $xn^2e^2l/\epsilon_0$ and that they oscillate simple harmonically with angular frequency $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. This frequency is called the electron plasma frequency, and only those radio waves of frequency $\omega > \omega_e$ will propagate in such an ionized medium. Hence the reflection of such waves from the ionosphere. '''<br />
<br />
''' Un plasma consiste en gas ionizado formado por iones y electrones con densidades iguales ($n_i = n_e = n$) teniendo cargas del signo opuesto $\pm e$, y masas $m_i$ y $m_e$ respectivamente, donde $m_i > m_e$. El desplazamiento relativo entre dos especies establece un campo eléctrico restaurador que regresa a los electrones al equilibrio, donde los iones se consideran estacionarios. En el diagrama, un bloque de plasma de ancho $l$ tiene todos sus electrones desplazados una distancia $x$, proporcionando un campo eléctrico restaurador $E=nex/\epsilon_0$ donde $\epsilon_0$ es una constante. Muestre que la fuerza restauradora por unidad de área en los electrones es $xn^2e^2l/\epsilon_0$ y que ellos oscilan de manera armónica simple con frecuencia angular $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. Esta frecuencia es llamada frecuencia de plasma y sólo aquellas ondas de radio con frecuencia $\omega > \omega_e$ se propagarán a través del medio ionizado. De este mode se da la reflección de tales ondas desde la ionósfera. '''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que la densidad lineal de los electrones en el plasma está dada por $n_e = n$, entonces, para encontrar la carga de los electrones por unidad de área en el plasma, tenemos que multiplicar por la longitud del bloque($l$) y por la carga de cada electrón($-e$):<br />
<br />
<math><br />
q = -enl<br />
</math><br />
<br />
Ahora, si se quiere calcular la fuerza restauradora por unidad de área, tomamos la definición de la fuerza eléctrica:<br />
<br />
<math><br />
F = qE<br />
</math><br />
<br />
y luego sustimos la expresión dada para el campo eléctrico restaurador y la expresión encontrada para la carga:<br />
<br />
<math><br />
F = (-enl)\left( \dfrac{nex}{\epsilon_0} \right) = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0}<br />
</math><br />
<br />
lo cual es el resultado buscado. También es necesario mostrar que los electrones oscilan de manera armónica simple. Para ello, escribimos las fuerzas involucradas en el sistema. Una es la fuerza de restaurauración por unidad de área y la otra es la aceleración de los electrones por su masa por unidad de área. La masa por unidad de área de los electrones se encuentra multiplicando la densidad lineal $l$, por la masa de cada electrón $m_e$, por el ancho del bloque de plasma. Lo anterior nos da:<br />
<br />
<math><br />
F = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0} = m_e n l \ddot{x}<br />
</math><br />
<br />
Donde simplificando la ecuación anterior, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\ddot{x} + \dfrac{ne^2}{m_e \epsilon_0} x = 0<br />
</math><br />
<br />
lo anterior demuestra que es un movimiento armónico simple.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 11:56 3 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
== ejercicio vibra 1 ==<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 17:40 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez<br />
<br />
==Ejercicio 1==<br />
<br />
'''Un oscilador está formado por un bloque de masa $m=0.5 kg$ conectado a un resorte ideal. Cuando es puesto en oscilación con una amplitud de $A=35 cm$, el oscilador repite su movimiento cada $0.5s$. Encontrar:''' <br />
<li>a. El periodo.</li><br />
<li>b. La frecuencia.</li><br />
<li>c. La frecuencia angular.</li><br />
<li>d. La constante del resorte.</li><br />
<li>e. La magnitud de la velocidad máxima.</li><br />
<li>f. La magnitud de la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el bloque.</li><br />
<li>g. La energía mecánica del sistema.</li><br />
'''Solución propuesta:'''<br />
:Si el tiempo se mide desde que el sistema se suelta estando el bloque en una posición igual a la amplitud, entonces el ángulo de fase es nulo y la ecuación de movimiento es: <br />
:$x(t)=A\cos(wt)$<br />
'''(a)''' Como el periodo es el tiempo en que el movimiento se repite, entonces: <br />
:$T=0.5s$<br />
'''(b)''' Como la frecuencia es igual al inverso del periodo, entonces: <br />
:$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.5s}=2.0Hz$<br />
'''(c)''' La frecuencia angular es $w=2πf$, entonces: <br />
:$w=2πf=\frac{2π}{T}=4π=12.57rad/s$<br />
'''(d)''' La constante del resorte es $k=mw^{2}$, entonces:<br />
:$k=mw^{2}=(0.5kg)(12.57rad/s)^{2}=78.96 N/m$<br />
'''(e)''' La magnitud de la velocidad máxima es $v_{max}=wA$.<br />
:$v_{max}=wA=(12.57rad/s)(0.35m)=4.40m/s$<br />
'''(f)''' Usando la segunda ley de Newton, la fuerza máxima es: <br />
:$F_{max}=ma_{max}=m(w^{2}A)=(78.96N/m)(0.35m)=27.64 N.$<br />
'''(g)''' La energía mecanica del sistema es:<br />
:$E=\frac{1}{2}kA^{2}=(0.5)(78.96N/m)(0.35m)^{2}=4.84J$<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:30 16 jun 2020 (CDT)</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c1&diff=24499Vibra: probs c12020-06-18T03:52:36Z<p>Evamontiel: /* Problema 1.10 */</p>
<hr />
<div>--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)Problemas del capítulo uno <ref name="main"/> [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:42 16 ene 2014 (UTC)<br />
<references><br />
<ref name="main"> Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994 </ref><br />
</references><br />
----<br />
== Problema 1.1 ==<br />
===Solución 1===<br />
'''If the system shown in fig 1.1 has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.'''<br />
<br />
''' Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) El vibrador prototipo en equilibrio. (b) La masa es instantáneamente desplazada una distancia <math>\psi</math> hacia la derecha de su posición de equilibrio.]]<br />
<br />
<ol style="list-style-type:lower-alpha;"><br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li> El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, al efectuar esta perturbación el resorte ejerce una fuerza de restauración (opuesta al desplazamiento de la masa) hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue:<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}=-s{\psi}</math><br />
<br />
donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. Dividiendo entre la masa se obtiene<br />
<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0</math><br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular.<br />
<br />
Entonces la frecuencia angular es: <br />
<br />
:<math>\omega_{0}=\sqrt{s \over m}= \sqrt{36Nm^{-1} \over 0.010kg} = 60 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
<li>Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math>. El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue:<br />
<br />
:<math>\nu_{0}={\omega_{0}\over 2\pi}</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es: <math>\nu_{0}= {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5493 Hz</math><br />
</li><br />
<br />
<li>Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math> , esto sucede cada <math>{ 2 \pi}\over \omega_{0} </math> que es conocido como el período <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega_{0}}= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10472 s</math><br />
</li><br />
<br />
</ol><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 07:10 24 ene 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:34 3 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 17:47 7 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 18:40 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 09:59 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
===Solución 2===<br />
'''Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li>'''a.''' Considerar un sistema oscilatorio que es consistente y es sometido a una fuerza <math>F\left(\varPsi\right)</math>. <br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-s\varPsi...(1)</math><br />
<br />
Donde <math>s</math> es la constante del resorte, y <math>\varPsi</math> es el desplazamiento del sistema. Dicho sistema oscilatorio se denomina oscilador armónico simple.<br />
<br />
La energía potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(\varPsi\right)=\frac{1}{2}s\varPsi^{2}...(2) </math><br />
<br />
<br />
Ya que de '''(2)''', la fuerza y la energía potencial están relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-\frac{dU}{d\varPsi} </math><br />
<br />
<br />
Ahora, aplicando la segunda ley de Newton <math>F=m\ddot{\varPsi}...(3)</math>, sustituyendo '''(1)''' en '''(3)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-s\varPsi=m\ddot{\varPsi} </math><br />
<br />
Dividiendo entre <math>m</math> e igualando la expresión a cero, se tiene :<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0...(4) </math><br />
<br />
<br />
Ahora reescribamos la ecuación como:<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}=-\frac{s}{m}\varPsi...(5) </math><br />
<br />
Requerimos que <math>\varPsi(t)</math> sea una función cuya segunda derivada sea negativa de esta misma; las funciones senos y cosenos cumplen esta propiedad, entonces:<br />
<br />
:<math>\varPsi\left(t\right)=\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\dot{\varPsi}\left(t\right)=-w \mathrm{sen}\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}(t)=-w^{2}\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo en '''(5)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-w^{2} \cos\left(wt\right)=-\frac{s}{m} \cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
:<math>w^{2}=\frac{s}{m} </math><br />
Que es la frecuencia angular, entonces:<br />
<br />
<br />
:<math>w=\sqrt{\frac{36N/m}{0.010Kg}}=60s^{-1} </math> </li><br />
<br />
<li>'''b.''' Para la frecuencia <math>\nu</math> del oscilador es el número de ciclos completos por unidad de tiempo y esta dada por :<br />
<br />
<br />
:<math>\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.1047s}=9.55Hz </math> </li><br />
<br />
<br />
<li>'''c.''' El periodo <math>T</math> de movimiento, se tiene por:<br />
<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{w}=\frac{2\pi}{60s^{-1}}=0.1047s </math> </li><br />
<br />
<br />
Ricardo García Hernández--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:10 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
Entendí y me gustó más esta forma de resolver el ejercicio--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:31 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
<br />
<br />
Sólo cambié la notación [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:37 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 10:04 16 jun 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:32 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.2 ==<br />
<br />
'''For the same vibrator as in problem 1.1 at time t=0, the mass is observed to be displaced 50 mm to the right of its equilibrium position and to be moving to the right at speed 1.7 m s^-1. Calcule''' <br />
'''a) the amplitude''' <br />
'''b) the phase constant''' <br />
'''c) the energy'''<br />
<br />
'''Por el mismo vibrador como en el problema 1.1 en el tiempo t = 0 , se observa la masa ser desplazada 50 mm a la derecha de su posición de equilibrio y estar moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 1.7 ms^-1 Calcule:<br />
'''<br />
<br />
'''(a) la amplitud'''<br />
<br />
'''(b) la constante de fase'''<br />
<br />
'''(c) la energía<br />
'''<br />
<br />
__________________________________Corrección del ejercicio 1.2___________________________________________<br />
<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3)<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.118Nm}{36Nm{}^{-1}}=0.00327m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{0.00327m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) El ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos las ecuaciones <br />
<br />
\begin{equation} <br />
\psi(t)=A{}_{\psi} \cos(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{\psi(t)}={-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Dividiende (5)entre (4) y evaluando en $t=0$:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(0)}}{\psi (0)}=\frac{{-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}<br />
=-\omega \tan (\omega t+\phi)=\frac{1.7}{.05}=-34<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\tan (\omega t+\phi)=\frac{34}{\omega}=\frac{-34}{60}=-0.5666<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\omega t+\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
Hay que recordar que estamos evaluando en $t=0$ por lo que<br />
<br />
\[<br />
\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\phi=-0.52rad<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=30°<br />
\]<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(0.057m)^{2}=0.059J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:13 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:53 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:13 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
'''Para la misma vibración que en el problema 1.1 , en el tiempo $t=0$'''<br />
''', se observa la masa a se desplaza $50mm$ a la derecha de su posición'''<br />
'''de equilibrio y se mueve hacia la derecha a una velocidad de $1.7ms{}^{-1}$.'''<br />
'''Calcúlese (a) la amplitud, (b) el ángulo de fase, y (c) la energía.'''<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3):<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.1189Nm}{36Nm{}^{-1}}=3.30277x10^{-3}m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{3.30277x10^{-3}m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) el ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos la solución:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Tenemos todo lo necesario para despejar el ángulo de fase de la ecuación<br />
(4)<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=(0.0571m)\mathrm{sen}\left[\left(60s{}^{-1}\right)(0)+\phi\right]=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=\mathrm{arcsen}(\frac{0.05m}{0.0571m})=61.122\text{°}<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(3.2604x10^{-3}m^{2})=0.0586J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Ejercicio corregido por Maya Velasco, Definitivamente me equivoque''<br />
''al hacer los cálculos numéricos en el cálculo de la amplitud algo''<br />
''que agradezco mucho que mi compañero Luis Velázquez haya notado. Posteriormente''<br />
''revisando la solución que dio mi compañero y la que yo propuse note''<br />
''lo siguiente:''<br />
<br />
[[Solución Luis Santos]]<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al derivar la expresión anterior obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(t)}=-A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Después mi compañero dividió ambas expresiones de la siguiente manera:''<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}=\frac{-A{}_{\psi}\omega \mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}=-\omega \tan(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
Posteriormente el ángulo $\phi$ es<br />
<br />
\[<br />
\phi=-29.53\text{°}\eqsim-30\text{°}<br />
\]<br />
<br />
''<br />
No encuentro otro error en el trabajo de mi compañero a excepción'<br />
''del signo, y después de su revisión sobre mi trabajo pues creo que''<br />
''aparentemente el mio también es correcto pero los valores en el ángulo''<br />
''de fase son diferentes y puedo explicar por que:''<br />
<br />
Ambas soluciones de la ecuación del oscilador armónico simple son<br />
correctas, sin embargo es más común usar la expresión que involucra<br />
la función coseno, ahora puedo mostrar que ambas soluciones son equivalentes<br />
desfasadas por un cierto ángulo.<br />
<br />
Se sabe que la función seno esta desfasada de la función coseno por<br />
$\frac{\pi}{2}$ ó 90°, hagamos lo siguiente, a la solución<br />
de mi compañero pongamos le el ángulo de fase que calculé yo que es<br />
de aproximadamente 61° y restemos le el desfase de los 90° .<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+61\text{°}-90\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t-29\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Esta es la respuesta de mi compañero que es correcta, entonces podemos''<br />
''concluir que ambos resultados son equivalentes. Si alguien más nota''<br />
''algún otro error mucho les agradeceré que me lo hagan notar, gracias.'' <br />
<br />
Ejercicio resuelto por Rosario Maya. Martes 10 de febrero 2015<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]]<br />
<br />
Ejercicio corregido por Rosario Maya el 12.02.15 a las 22:56 pm<br />
<br />
"El problema 1.2 está correcto; sobre todo al proponer dos formas diferentes de cómo calcular el ángulo de fase". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:46 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:28 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:59 8 jun 2020 (CDT) Cambios en la notación<br />
<br />
== Problema 1.3 ==<br />
'''An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the velocity this second vibrator at time t = 0. (c) At what time will it come to rest.'''<br />
<br />
Un sistema idéntico se pone en vibración con la misma amplitud que el vibrador en el problema 1.2, pero con un avance de fase de 90°. <br />
Calcule a) el desplazamiento y b) la velocidad de este segundo vibrador en el tiempo t=0. c) ¿A qué hora va a llegar al reposo?<br />
<br />
(a) <br />
<br />
Tenemos como ecuación de movimiento a:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi - \frac{\pi}{2})<br />
\]<br />
La cual puede escribise como:<br />
\[<br />
\psi(t)=Asin(\omega t + \phi)<br />
--------(1)\]<br />
<br />
<br />
Para t=0 se tiene:<br />
\[<br />
\psi(t=0s) = (57mm ) sin(-0.52) =-28mm<br />
\]<br />
(El signo indica que el desplazamiento es hacia la izquierda)<br />
<br />
<br />
<br />
(b)<br />
<br />
Al derivar (1) se tiene la ecuación para la velocidad<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t)=A \omega cos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
Para t=0<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)= A\omega cos\phi=(0.057m)(60s^{-1})cos(-0.52)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)=3 m s^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
(c) <br />
<br />
La velocidad del sistema es nula en los extremos, es decir, cuando \[\psi(t)=A\]<br />
\[<br />
Asin(\omega t + \phi)=A<br />
\]<br />
\[<br />
\omega t + \phi = 1.57<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
t=\frac{1.57-\phi}{\omega}= \frac{1.57+0.52}{60}<br />
\]<br />
\[<br />
t=35 ms<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:23 17 feb 2015 (CST)<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 19:03 07 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:17 12 feb 2015 (CST)<br />
"El problema 1.3, te sugiero que les des una descripción física a los resultados que obtuviste." --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:01 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.4 ==<br />
<br />
'''El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es <math>p_{1}</math> y es dado al tiempo <math>t=0</math>, encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando la segunda Ley de Newton se tiene:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}=p_{1}-k\psi...(1)<br />
\] <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) entre la masa y ordenarla, nos resulta una ecuación de segundo orden no homogénea:<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\frac{k}{m} \psi=p_{1}...(2)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde tenemos definida a <math>\omega^{2}</math> y <math>p_{1}</math> a como:<br />
<br />
\[\omega^{2}\equiv \dfrac{k}{m}\]<br />
\[p_{1}\equiv Ft\]<br />
<br />
Como se pondrá en movimiento con una fuerza que actuará sólo un instante de tiempo, se emplea la función delta de Dirac para describir el impulso, por lo cual la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\omega^{2} \psi=\frac{F}{m}\delta(t-t_0)...(3)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la transformada de Laplace<br />
<br />
<br />
\[<br />
\mathcal{L} \lbrace\ddot{x}\rbrace + \omega ^{2} \mathcal {L}\lbrace x \rbrace= \frac{F}{m} \mathcal{L}{\delta\lbrace (t-t_0)}\rbrace <br />
\]<br />
<br />
\[<br />
s^2 X(s) -sx(0)-\dot {x} (0) + \omega ^2 X(s) = \frac{F}{m}e^{-st_0}<br />
\]<br />
<br />
Donde las condiciones iniciales son:<br />
<br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Por lo que la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
\[<br />
X(s) = \frac{F}{m \omega} \frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0} ...(4)\]<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando ahora la transformada inversa en la ecuación (4)<br />
\[<br />
\mathcal{L}^{-1} \lbrace X(s)\rbrace = \frac{F}{m \omega}\mathcal{L}^{-1}\lbrace\frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0}\rbrace<br />
\] <br />
<br />
Resulta <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega}sin(\omega (t-t_0))\mathcal{U}(t-t_0)...(5)<br />
\]<br />
<br />
Y como <br />
\[t_0 =0\]<br />
<br />
Entonces <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega} sin(\omega t) \mathcal{U}(t)...(6) \]<br />
<br />
La cual es equivalente a:<br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m \omega} cos(\omega t + \frac{\pi}{2})..(7)<br />
\]<br />
<br />
haciendo una analogía de la ecuación (7) y la ecuación \[x(t) = A\cos(\omega t -\phi)\] se puede observar que la amplitud es: <br />
<br />
\[<br />
A= \frac{p}{m \omega}<br />
\]<br />
y la fase<br />
<br />
\[<br />
\phi=\frac{\pi}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
----<br />
Otra solución:<br />
----<br />
El impuso que se le imprime se convertirá en energía cinética, por lo que:<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2m\dot{x}^2} = \frac{1}{2 k_e A^2}<br />
\]<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:16 9 jun 2020 (CDT)<br />
Luego:<br />
\[<br />
A^2=\frac{m\dot{x}^2}{\omega_0 ^2 m}=\frac{m^2 \dot{x}^2 }{\omega_0 ^2m^2}=\frac{p^2}{\omega_0 ^2 m^2}<br />
\]<br />
Finalmente :<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{p}{\omega_0 m}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:27 8 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Le di un poco de orden al problema y corregí faltas de ortografía<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:01 18 feb 2015 (CST)Esther Sarai García González<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:07 13 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:54 18 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:00 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.5 ==<br />
<br />
'''The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by: '''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) The prototype vibrator in equilibrium. (b) The mass is instantaneously displaced a distance <math>\psi</math> to the right of its equilibrium position.]]<br />
<br />
<br />
'''El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ecuación de Movimiento Armónico Simple:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades:<br />
\begin{equation}<br />
A_{1}= A \cos{\phi}.....(1)<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.<br />
<br />
Para mostrar que la amplitud del problema está dado por <math>A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}</math>, elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
La ecuación (4) la dividimos por ${w_{0}}^2$ en ambos lados:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) <br />
\end{equation}<br />
<br />
De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), y sumando de la siguiente manera:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ecuación (6) factorizamos $A^2$ <br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado:<br />
\begin{equation}<br />
\boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<math>\therefore</math> la amplitud Q.E.D.<br />
<br />
<br />
<br />
Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener:<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1)<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11)<br />
\end{equation}<br />
<br />
En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: <br />
\begin{equation}<br />
\boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 05:59 31 ene 2014 (UTC)<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:39 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:11 15 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''Otra forma de hacerlo''' <br />
<br />
Tenemos las funciones que definen al desplazamiento y la velocidad <br />
<br />
\[x(t)=C_{1}cos\omega t+ C_{2}sin\omega t<br />
\]<br />
\[\dot{x}(t)=-C_{1}\omega sin \omega t + C_{2} \omega cos \omega t<br />
\]<br />
<br />
Entonces tenemos como condiciones inciales <br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Lo que resulta <br />
<br />
\[x(0)=C_{1}cos\omega (0) + C_{2}sin\omega (0)= C_{1} cos (0) + C_{2} sin (0) = C_{1}<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=-C_{1}\omega sin \omega (0) + C_{2} \omega cos \omega (0) = -C_{1}\omega sin (0) + C_{2}\omega cos (0) = C_2\omega<br />
\]<br />
<br />
<br />
de donde<br />
<br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
Y finalmente se obtiene<br />
<br />
\[x(t)= A_{0}cos\omega t + \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} sen \omega t<br />
\]<br />
La cual se puede escribir de las siguientes formas:<br />
<br />
\[x(t)= A sin (\omega + \phi)\] o bien \[x(t)= Acos(\omega - \phi)\]<br />
<br />
Esto se demuetra por las siguentes identidades:<br />
\[C_{1}cos \omega t + C_{2} sen \omega t = A sen (\omega t+ \phi) = A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)\]<br />
<br />
Y luego usamos las siguientes identidades también:<br />
<br />
<br />
\[ A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)= (A cos\phi)sen \omega t + (Asen \phi)cos\omega = <br />
(A sen\phi)cos\omega t + (A cos\phi )sen\omega t \]<br />
<br />
<br />
<br />
\[ Asen \phi = C_{1}\] y \[A cos\phi = C_{2}\]<br />
<br />
\[ C_{1}^{2} + C_{2}^{2} = A^{2}sen^{2}\phi + A^{2}cos^{2}\phi = A^{2}(sen^{2}\phi + cos^{2}\phi)= A^{2}\]<br />
<br />
\[A= \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}\]<br />
<br />
por lo tanto<br />
\[\phi = arctan\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\]<br />
y como <br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<br />
\[A= [A_{0}^{2}+\dfrac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}]^{\dfrac{1}{2}}\]<br />
\[ tan\phi = \dfrac{A_{0} \omega}{v_{0}}\]<br />
O bien <br />
\[ tan\phi = - \dfrac{v_{0}}{A_{0}\omega}\]<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase queda demostrada por este método alternativo. <br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)Esther Sarai Garcia Gonzalez (UAM-I)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST<br />
-- La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:07 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
'''Solución alternativa utilizando energías'''<br />
<br />
Para demostrar la primera identidad se tiene que la energía mecánica del sistema es igual a la suma de la energía cinética y potencial:<br />
<br />
$ W = K + U.....(eq.1)$ <br />
<br />
Donde $W$, $K$, y $U$ son la energía mecánica, la cinética y la potencial, respectivamente. Tenemos que estas están dadas por:<br />
<br />
$W = {1\over 2}{s}{A}^{2}....(eq.2)$<br />
<br />
$K = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}}.....(eq.3)$<br />
<br />
$U = {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq.4)$<br />
<br />
Donde $s$ es la constante del resorte. Si reemplaza las ecuaciones $2, 3, 4$ en la ecuación $1$ se tiene:<br />
<br />
${1\over 2}{s}{A}^{2} = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}} + {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq. 5)$<br />
<br />
Despejando A de esta última ecuación se tiene:<br />
<br />
$A^{2} = {m \over s}{v_{1}^{2}} + {A_{1}^{2}}$<br />
<br />
$A^{2} = (\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}$<br />
<br />
$A = {[(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}]}^{1/2}$<br />
<br />
Para la segunda identidad se utilizará las ecuaciones de posición y velocidad del cuerpo oscilante:<br />
<br />
$\psi(t)=A\cos{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 6)$<br />
<br />
$\dot{\psi}(t)={-}\omega_{0}A\sin{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 7)$<br />
<br />
Reemplazando en las ecuaciones los valores iniciales, se tiene que en $t = 0$ la posición es $A_{1}$ y la velocidad es $v_{1}$. Entonces:<br />
<br />
$A_{1} = Acos{\phi}.....(eq.7)$<br />
<br />
$v_{1} = {-}{A}{\omega_{0}}{sin{\phi}}.....(eq.8)$<br />
<br />
Despejando $A$ de ambas ecuaciones, la ecuación 7 y 8 se convierten en:<br />
<br />
$A = {A_{1} \over cos{\phi}}.....(eq.9)$<br />
<br />
$A = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}.....(eq.10)$<br />
<br />
Respectivamente. Ahora solo se igualan estas dos ecuaciones y se tiene:<br />
<br />
${A_{1} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}$<br />
<br />
Y esta igualdad se puede convertir en:<br />
<br />
${sin{\phi} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
$tan{\phi} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
Resolviendo el Problema.<br />
<br />
--[[Usuario:Gustavo.uami12|Gustavo.uami12]] ([[Usuario discusión:Gustavo.uami12|discusión]]) 09:55 9 jun 2020 (CDT)<br />
--Propuse una solución alternativa mucho más corta que las dos anteriores.<br />
<br />
== Problema 1.6 ==<br />
'''Calculate (a)the amplitude, (b)the phase constant, and (c)the complex amplitud, for the vibration by''' $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$<br />
<br />
'''Calcular:'''<br />
'''a) La amplitud.'''<br />
<br />
'''b) La constante de fase.'''<br />
<br />
'''c) La amplitud compleja para la vibración dada: <br />
$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.'''<br />
<br />
Solución: <br />
(a)La solución general del movimiento armónico simple considerando las condiciones iniciales, está dada por:<br />
<math>\psi=A_{0}\sin(\omega_{0}t+\phi)</math><br />
<br />
donde <br />
$\mathit{A_{0}}$ es la amplitud que queremos encontrar.<br />
<br />
Desarrollando la función en términos de seno:<br />
\[A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
Igualando se obtiene entonces que:<br />
\[A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
De aquí obtenemos las siguientes dos ecuaciones:<br />
<br />
\[A=A_{0}\cos\left(\phi\right)................ (1) \]<br />
<br />
\[B=A_{0}\sin\left(\phi\right)................ (2) \]<br />
<br />
Se identifica, $A=10 \, mm$ y $B= 17 \, mm$.<br />
<br />
Elevamos al cuadrado (1) y (2), y sumamos:<br />
<br />
\[A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)\]<br />
<br />
:<math>A^{2}+B^{2}=A_0^2</math> dado que <math>\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\phi)=1</math><br />
<br />
:<math>A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}</math><br />
<br />
Procedemos a sustituir y operar, lo que resulta<br />
<br />
:<math> A_{0}=19.7 \, mm </math><br />
<br />
(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2)<br />
<br />
<br />
dividimos $\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$<br />
<br />
<br />
y despejando $\phi$ obtenemos:<br />
<br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)\]<br />
<br />
Sustituyendo tenemos que: <br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{17}{10}\right)\]<br />
<br />
<br />
Por tanto, $\phi=59.5$<br />
<br />
(c) Por la relación matemática que existe entre los números complejos y las vibraciones (ver fasores) podemos ver que la amplitud compleja será:<br />
<br />
\[A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)\]<br />
<br />
<br />
----<br />
En el enunciado del problema 1.6 lo reescribí en español [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 21:51 27 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 13:32 17 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:22 18 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregí algunas faltas de ortografía y poco de la teoría--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:16 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
----<br />
Esta muy bien desarrollado y la teoría explica el planteamiento del ejercicio<br />
[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:19 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregi algunas ecuaciones y edite un poco. --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:43 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.7 ==<br />
<br />
<br />
===Solución 1===<br />
<br />
'''During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 18:53 15 may 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 2===<br />
<br />
Fe de erratas. '''Correcciones sobre el problema 1.7.'''<br />
<br />
En efecto, la frecuencia angular está dada por:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi\nu</math><br />
<br />
<br />
al sustituir las cantidades,<br />
<br />
<math>\omega=134.15Hz</math><br />
<br />
<br />
Y, además, haciendo una conversión:<br />
<br />
<math>1ms=0.001s</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow12ms=0.012s</math><br />
<br />
<br />
Así, pues, dadas las condiciones iniciales<br />
<br />
<math>\psi(0)=0.03m</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow Acos\phi=0.03m</math><br />
<br />
<br />
entonces, tomando la siguiente condición <br />
<br />
<math>\psi(0.012)=-0.014m</math><br />
<br />
<br />
se obtiene.<br />
<br />
<math>-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.02+C_{2}0.06</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow C_{2}=-0.56</math><br />
Dado que<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen\phi</math><br />
<br />
por tanto, en la ec. (1.1), resulta:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath0.56m</math><br />
<br />
En el 1.7 realicé la traducción [[Usuario:Aura Yazmin Bejarano Olvera|Aura Yazmin Bejarano Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarano Olvera|discusión]])<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 3===<br />
<br />
La solución a este problema la realice de la siguiente manera:<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\& <br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=\nu_{0}2\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con las condiciones iniciales $\psi(0s)=x_{1}=30$ mm y $\psi(12ms)=x_{2}=-14$mm<br />
tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0s)=x_{1}=Acos(\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(0.012s)=x_{2}=Acos(\omega_{0}(12ms)+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=Acos(\phi)cos(\omega_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(\omega_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero $Acos(\phi)=x_{1}$, asi:<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=x_{1}cos(2\pi\nu_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(2\pi\nu_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tenemos también que:<br />
<br />
\[<br />
cos(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.99<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
sen(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.06<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi:<br />
<br />
\[<br />
-0.014m=(0.03m)(0.99)-Asen(\phi)(0.06)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)(0.06)=0.029m+0.014m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)=\frac{0.043m}{0.06}=0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cual la amplitud compleja es igual a:<br />
<br />
\[<br />
D=0.03m+i0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
La nueva solución fue realizada por: [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] el 19 de Febrero de 2014.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 4===<br />
<br />
'''During a vibration with frequency of $50 Hz$, the displacement is observed to be $30 mm$ at time $t=0$, and $-14 mm$ at $t=12 \, ms$. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración de frecuencia $50 Hz$, el desplazamiento observado es $30 mm$ al tiempo $t=0$, y $-14 mm$ al tiempo $t=12 \, ms$. Encuentre la amplitud compleja.'''<br />
<br />
<br />
Para empezar tenemos que calcular la frecuencia angular a partir de la frecuencia dada.<br />
$w_0=2 \pi v=2 \pi (50 Hz) =100 \pi \,s^{-1}$ <br />
<br />
Luego sabemos que la forma compleja (forma D en el Main, Iain G., ''Vibrations and Waves in Physics'', 1993) es $ \psi (t)=Re[D \, e^{i w_0 t}] $, donde $D=a+i \, b$. Además sabemos dos condiciones iniciales, por lo que podemos determinar dos constantes $a$ y $b$.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{1}<br />
\psi (0 \, s)=30 \, mm <br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{2}<br />
\psi (12 \, ms)= \psi (.012\,s)=-14 \, mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ec. $(1)$ obtenemos la constante $a$.<br />
$\psi (0)=Re[D e^{i w_0 (0)}]=Re[(a+ib) (1)]=30\,mm$<br />
<br />
Evaluando la parte real, entonces...<br />
\begin{equation}<br />
\label{3}<br />
a=30\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si utilizamos la ec. $(2)$, encontraremos la constante faltante, $b$.<br />
$\psi (.012 \,s)=Re[D \, e^{i (100 \pi \, s^{-1}) (0.012 \, s)}]=-14 \, mm$<br />
$Re[(a+ib)(cos(1.2 \pi)+i\,sen(1.2 \pi))]=-14 \, mm$<br />
<br />
De nuevo se evalua la parte real del número complejo y luego se despeja $b$.<br />
$ a \, cos(1.2 \pi)-b \, sen(1.2 \pi)=-14 \, mm $<br />
$ b=\frac{14\,mm+(30\,mm)\,cos(1.2 \pi)}{sen(1.2 \pi)} $<br />
\begin{equation}<br />
\label{4}<br />
\,<br />
b \approx 17.47323498\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si juntamos $(3)$ y $(4)$, la amplitud compleja es<br />
$D=30\,mm+i\,17.47323498\,mm$<br />
Y la función es <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{5}<br />
\psi (t)=Re[(30\,mm+i\,17.47323498\,mm)\, e^{i\, (100\pi \,s^{-1}) \, t}]<br />
\end{equation}<br />
<br />
La comprobación se realiza evaluando la ecuación $(5)$ a los tiempos $t=0 \, s$ y $t=0.012 \, s$, lo cual nos da las condiciones iniciales de $(1)$ y $(2)$.<br />
$ \, $<br />
<br />
Solución realizada por: [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]]([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) el 14 de Febrero de 2014<br />
<br />
<br />
----<br />
Separé la solución de César Iván e hice algunas correcciones ortográficas. --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:56 19 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Algunas correciones --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:32 20 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Falta un poco de teoría del planteamiento del problema--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:23 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Agregado un nuevo subíndice, espero que no sea confuso.--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:48 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
Arreglé el código porque varias expresiones matemáticas no salían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 20:26 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.8 ==<br />
'''Calculate the maximum acceleration (in units of $g$) of pickup stylus reproducing a frequency of $16 kHz$, with an amplitude of $0.01mm$.'''<br />
<br />
'''Calcule la aceleración máxima (en unidades de $g$) de una aguja que reproduce una frecuencia de $16 kHz$, con una amplitud de $0,01 mm$.'''<br />
<br />
El problema nos proporciona los siguientes datos:<br />
$f =16kHz = 16000Hz$<br />
$A = 0.01mm = 0.00001m$<br />
<br />
Resultado:<br />
<br />
Sabemos que podemos expresar la frecuencia angular como la frecuencia por $2\pi$:<br />
\[<br />
\omega=2\pi f...(1)<br />
\]<br />
<br />
Ahora sustituimos el valor de la frecuencia($f =16000Hz$) en la ecuación 1:<br />
<br />
\[\omega=2\pi(16000Hz)\]<br />
<br />
Luego obtenemos una nueva ecuación ya con el valor de $f$ evaluado:<br />
<br />
\[\omega=32000\pi<br />
\frac{rad}{s}\]<br />
<br />
<br />
\[{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}...(2)\]<br />
<br />
Un dato importante en este momento, es la expresión para la aceleración máxima en el movimiento armónico simple:<br />
<br />
\[ \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x\]<br />
<br />
Donde $x$ es la solución para el movimiento armónico simple ,osea , $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. El valor de $x$ será máximo cuando el $\cos(\omega t + \phi)=1$ alcance su valor máximo y esto sucede cuando es igual uno. Por tal razón podemos expresar la aceleración máxima como sigue:<br />
<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos el valor de $\omega$ elevado al cuadrado proveniente de la ecuación 2:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\]<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\]<br />
<br />
Ahora hay que dividir el resultado obtenido en la ecuación 3 entre $g$ para expresarlo en unidades de $g$.Usamos primero:<br />
<br />
\[g=9.8\frac{m}{s^2}\]<br />
<br />
Y obtenemos la aceleración máxima en unidades de $g$:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =10312.729g\]<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:51 21 feb 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 20:22 18 feb 2015 (CST)<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
--Entendible y bien desarrollado----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:32 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.9 ==<br />
<br />
1.9.- '''Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta<br />
'''a un muelle '''de constante de recuperación de 4 dinas/cm.<br />
'''Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo.<br />
Calcular:''' a) la frecuencia propia y el periodo, ''' b) la energía total<br />
y '''c) la velocidad máxima.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía<br />
la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra<br />
ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber<br />
que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento<br />
es la fuerza del resorte, entonces tenemos:<br />
La energia potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(x\right)=\frac{1}{2}kx^{2}</math><br />
<br />
<br />
La fuerza y la energia potencial estan relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(x\right)=-\frac{dU}{dx}<br />
x</math><br />
<br />
Ahora , aplicando la segunda ley de Newton: :<math>F=m\ddot{x}:</math><br />
<br />
:<math>kx=m\ddot{x}</math><br />
<br />
Ahora, dividiendo entre “m” e igualando la expresion a cero, se tiene :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución<br />
<br />
\[<br />
x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además de las condiciones iniciales tenemos:<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$<br />
la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$<br />
<br />
\[<br />
x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt)<br />
\]<br />
<br />
<br />
de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$<br />
y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque<br />
no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$ <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad<br />
máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad<br />
energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene<br />
energía potencial.<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a<br />
\]<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima<br />
obtenemos la velocidad máxima<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$<br />
y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$<br />
<br />
y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$<br />
<br />
b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$<br />
<br />
\[<br />
\dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 21:59 25 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--Falta explicar como obtiene la ecuación diferencial del oscilador armonico simple, y como obtiene las condiciones iniciales partiendo del problema----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:35 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--Solo cambio y completo mas la teoría de como obtiene la ecuación diferencial del oscilador----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:03 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema 1.10==<br />
1.10 Comprobar que la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dx^{2}=-ky}$tiene<br />
por solución $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$ siendo A y B constantes arbitrarias.<br />
Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma $y=Ccos(kx+\alpha)=C$<br />
$\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
y expresar C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
Por segunda ley de Newton tenemos:<br />
<br />
\[<br />
|\overrightarrow{F}|=m|\vec{a}|\rightarrow-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
\]<br />
<br />
entonces derivamos dos veces a $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$<br />
<br />
\[<br />
\frac{dy}{dx}=-kAsen(kx)+kBcos(kx)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2y}}{dx^{2}}=y=-k^{2}Acos(kx)-k^{2}Bsen(kx)=-k^{2}\left[Acos(kx)+Bsen(kx)\right]=-k^{2}y<br />
\]<br />
<br />
donde <br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Sean<br />
\begin{equation}<br />
A=Ccos(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B=-Csen(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entoces:<br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(\theta)cos(kx)-Csen(\theta)sen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la propiedad trigonometrica de la suma de los ángulos del<br />
coceno<br />
<br />
\[<br />
cos\left(a+b\right)=cos\left(a\right)cos\left(b\right)-sen\left(a\right)sen\left(b\right)<br />
\]<br />
<br />
tenemos:<br />
<br />
\[<br />
=C[cos(kx)cos(\theta)-Csen(kx)sen(\theta)]=C[cos(kx+\theta)]<br />
\]<br />
<br />
quedando asi demostrada la primera parte.<br />
<br />
Ahora demostraremod que $y=Ccos(kx+\alpha)=C\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
<br />
De los números complejos sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
z=e^{i\alpha}=cos(\alpha)+isen(\alpha)<br />
\]<br />
<br />
aplicando propiedades de los expenontes, y teniendo en cuenta que<br />
la parte real de $z=cos(\alpha)$ y el resultado anterior tenemos<br />
que:<br />
<br />
\[<br />
y=C\mathbb{R}\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[Ce^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]<br />
\]<br />
<br />
demoatrando lo pedido.<br />
<br />
Por último expresaremos C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
Si elevamos al cuadrado las ecuaciones 1 y 2 tenemos que<br />
<br />
\[<br />
A^{2}+B^{2}=C^{2}cos^{2}\left(\theta\right)+\left(-C\right)^{2}sen^{2}\left(\theta\right)=\left[C^{2}(cos^{2}\left(\theta\right)+sen^{2}\left(\theta\right))\right]=C^{2}<br />
\]<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
C^{2}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
para \textgreek{j} tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\left(\theta\right)=\frac{A}{B}=\frac{-Csen(\theta)}{Ccos(\theta)}=-tan\left(\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta=arctan\left(-\frac{B}{A}\right)<br />
\]<br />
--Añadi un nuevo problema----<br />
<br />
== Problema I.I ==<br />
'''A piston executes harmonic motion with an amplitude of $0.1m$. If it passes through the center of its motion with a speed of $0.5m/s$, what is the period of oscillation?'''<br />
<br />
'''Un pistón realiza un movimiento armónico con una amplitud de $0.1m$. Si pasa por el centro de su movimiento con una velocidad de $0.5m/s$, ¿cuál es su periodo de oscilación?.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que para el movimiento armónico simple('''MAS'''), podemos proponer una solución del tipo:<br />
<br />
<math><br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
por lo que, al derivar la función de posición, obtenemos la velocidad como función del tiempo:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, dadas las condiciones del problema, tenemos que resolver las ecuaciones para la posición y la velocidad de manera simultanea. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi) \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo las condiciones de frontera del problema, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = (0.1m) \cos(\omega t + \phi) = 0 \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega (0.1m) \sin(\omega t + \phi) = 0.5m/s<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
Para que se cumpla la primera ecuación, la única posibilidad es que $\cos(\omega t + \phi) = 0$ y para ello, $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. <br />
<br />
Si tomamos ahora la segunda ecuación:<br />
<br />
<math><br />
-\omega \sin(\omega t + \phi) = \dfrac{0.5m/s}{0.1m} \Rightarrow -\omega \sin(\omega t + \phi) = 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Pero al estar resolviendo un sistema de ecuaciones, debemos considerar la condición de que $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. Y bajo las condiciones anteriores, $\sin(\omega t + \phi) = \pm 1$, por lo que la segunda ecuación queda como:<br />
<br />
<math><br />
w = \pm 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Tomando $|\omega|$ y la definición de $T=2\pi / \omega \Rightarrow T = 2\pi / (5s^{-1})$, con lo que tendremos la solución deseada:<br />
<br />
<math><br />
T = \dfrac{2\pi}{5s^{-1}} \approx 1.25663<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:09 14 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema I.II ==<br />
'''A particle undergoes harmonic motion with a frequency of $10$Hz. Find the displacement $\psi$ at any time $t$ for the following initial condition: $t=0$, $\psi=0.25m$, $\dot{\psi}=0.1m/s$.'''<br />
<br />
'''Una partícula sigue un movimiento armónico con una frecuencia de $10Hz$. Encuentre el desplazamiento $\psi$ para cualquier tiempo $t$ con las condiciones iniciales: $\psi(t=0)=0.25m,\dot{\psi}(t=0)=0.1m/s$.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Proponemos la siguiente solución:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi)...(1)<br />
</math><br />
<br />
con lo que la velocidad será:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi}(t) = -\omega A\sin(\omega t + \phi)...(2)<br />
</math><br />
<br />
y aplicando las condiciones iniciales y sabiendo que $\omega = 2\pi \nu = 2\pi (10Hz) = 20\pi s^{-1}$ tendremos lo siguiente:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t=0) = A\cos(\phi) = 0.25m \\<br />
\dot{\psi}(t=0) = -(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi) = 0.1m/s<br />
</math><br />
<br />
Y dividiendo la ecuación (2) entre la (1):<br />
<br />
<math><br />
\dfrac{-(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi)}{A\cos(\phi)} = \dfrac{0.1m/s}{0.25m} <br />
\Rightarrow \tan(\phi) = \dfrac{0.1m/s}{-(2\pi)(10Hz)(0.25m)}<br />
</math><br />
<br />
y realizando los cálculos:<br />
<br />
<math><br />
tan(\phi) \approx -6.3661x10^{-3} \Rightarrow \phi \approx \arctan(-6.3661x10^{-3}) <br />
\Rightarrow \phi \approx -6.3661x10^{-3}<br />
</math><br />
<br />
Retomando la ecuación para el desplazamiento y el valor de $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
A \cos(\phi) = 0.25m \Rightarrow A = \dfrac{0.25m}{\cos(-6.3661x10^{-3})} \Rightarrow A = 0.25m<br />
</math><br />
<br />
De tal forma que la función $\psi(t)$ se puede escribir como:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi) = (0.25m) \cos\left((20\pi s^{-1})t -6.3661x10^{-3}\right)...(4)<br />
</math><br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:39 14 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:26 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Solución vectorial del oscilador armónico del capítulo 1 ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
En esta parte lo que pretendo es llegar a la solución vectorial del oscilador armónico de la forma: <br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}</math> para la ecuación diferencial de segundo orden<br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Descomponiendo esta ecuación en un sistema de ecuaciones de primer orden <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{1}=\psi_{2}....(1)</math> <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{2}=-\omega_{0}^{2}\psi....(2)</math> <br />
<br />
<br />
A este sistema le asociamos una matriz <math>A</math> <br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Los valores propios para esta matriz son: <br />
<br />
<br />
:<math>\lambda=\pm\omega_{0}i</math><br />
<br />
<br />
Buscamos ahora los vectores propios para los valores de <math>\lambda</math>. De hecho,<br />
sólo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado<br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
-\omega_{0}i & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & -\omega_{0i} \\<br />
\end{array}<br />
\right)=<br />
\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
<br />
</math><br />
<br />
<br />
El vector propio asociado a <br />
<br />
:<math>\lambda=\omega_{0}i</math> es<br />
<br />
<br />
:<math>V=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
1 \\<br />
\omega_{0}i \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
Entonces formando la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>P=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\frac{1}{\omega_{0}} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Su inversa de <math>P</math> es <br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math> <br />
<br />
<br />
Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos<br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}AP=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & -\omega_{0} \\<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Que es una diagonalización y la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>B=e^{0}\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & -\sin\omega_{0}t \\<br />
\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
La utilizamos para calcular <br />
<br />
<br />
:<math>e^{At}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}=PBP^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & \frac{1}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t \\<br />
-\omega_{0}\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Esta es la solución vectorial para la ecuación <br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Resuelto por Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:22 17 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:35 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:48 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema l.lll==<br />
<br />
<br />
<br />
'''Una partícula de 12.3 Kg experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 1.86mm. Su aceleración máxima es <math>7.93 km/s^2</math>. a)Encuentre el periodo de movimiento. b)¿Cúal es la velocidad máxima? c) Calcule la energía mecánica total de este oscilador armónico simple.'''<br />
<br />
Tratándose de un movimiento armónico simple recurriremos a la siguiente expresión diferencial, que modela el movimiento armónico simple :<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}+s{\psi}=0 ... (1)</math><br />
Donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) por <math>m</math> obtenemos que:<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0 ... (2)</math><br />
<br />
Donde la expresión (2) queda satisfecha por:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular. Al calcular la primera derivada de <math>\psi</math> obtenemos la velocidad y la aceleración al volverla a derivar por segunda vez, es decir que:<br />
\[\dot{\psi}(t)=-A \omega Sen(\omega t + \phi)...(3)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)=-A \omega^2 Cos(\omega t + \phi)...(4)\]<br />
<br />
Analizando las ecuaciones (3) y (4), notamos que las funciones seno y coseno oscilan entre <math>\pm1</math>, por lo que los valores extremos para la velocidad son <math>\pm A\omega</math>. De una forma análoga para la aceleración, los valores extremos que puede tomar son <math>\pm A\omega^2</math>, en consecuencia los valores ''máximos'' para la aceleración y la velocidad:<br />
<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega ...(5)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)= A \omega^2 ...(6)\]<br />
<br />
La energía ó [[Ondas: conservacion]] está dada por:<br />
\begin{equation}<br />
W = T + V =Cte<br />
\end{equation}<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial, por lo que podemos redefinirla como:<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA^{2}= \frac{1}{2} \omega^2 mA^{2}...(7)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
a) El periodo del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la partícula realize un ciclo completo de su movimiento, por lo que:<br />
<br />
<math>\tau= \frac{2\pi}{\omega}...(8)</math> <br />
<br />
Como tenemos los valores de la aceleración máxima y la amplitud, despejamos a <math>\omega</math> de la ecuación (6), luego sustituimos los valores conocidos para obtener el valor de <math>\omega</math>.<br />
\[\omega= \sqrt{\ddot{\psi} \over A} = \sqrt{7.93x10^3 {m \over s^2} \over 1.8x10^{-3} m} = 2.10x10^{3} \frac{rad}{s} \]<br />
<br />
por lo que al sustituir el valor de <math>\omega</math> en (8) obtenemos que:<br />
<br />
<br />
<math>\tau= {{2 \pi} \over {2.10x10^{3} \frac{rad}{s}} = 3.00x10^{-3} s = 3.00 ms </math> <br />
<br />
b) Para la velocidad usaremos la expresión (5):<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega = (1.86x10^{-3}m)(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})=3.90 {m \over s} \]<br />
<br />
c) Para la enegía mecánica total usaremos la expresion (7):<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}\omega^2 m A^{2}=\frac{1}{2}(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})^2 (12.3 Kg)(1.86x10^{-3} m)^{2} =90.7 J<br />
</math><br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:33 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:28 9 jun 2020 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1-12, French ==<br />
<br />
'''Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm/s. El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t=0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un angulo 30° con el eje x. '''<br />
<br />
'''(a) Obtener la ecuación de la coordenada x del punto en función del tiempo en la forma <math>x=A\cos(\omega t+\alpha)</math>, conocidos los valores numéricos de A, <math>\omega</math> y <math>\alpha</math> '''<br />
<br />
'''(b) Hallar los valores de $x$, <math>\frac{dx}{dt}</math> y <math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math> para t=2 s'''<br />
<br />
Dado que el punto tarda 6 seg en dar una vuelta completa y este se mueve con una velocidad de 50 cm/s; la circunferencia mide,<br />
<br />
:<math>l=50\frac{cm}{s}\times6seg=300cm</math><br />
<br />
y dado que...<br />
<br />
:<math>l=2\pi r</math><br />
<br />
:<math>r=\frac{l}{2\pi}=\frac{300cm}{2\pi}\backsimeq47.7cm</math><br />
<br />
el resultado anterior es la máxima distancia del punto en el eje x, es<br />
decir es la amplitud.<br />
<br />
Ahora,<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
:<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{6s}=\frac{\pi}{3}s^{-1}</math><br />
<br />
Dado que en $t=0$ el punto forma un ángulo de<br />
<br />
:<math>\frac{\pi}{6}</math> <br />
<br />
con en eje x, y pensando que el ángulo fue medido de la forma normal, anti-horaria se tiene que <br />
<br />
:<math>\alpha=-\frac{\pi}{6}</math><br />
<br />
y,<br />
<br />
:<math>x(t)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Ahora se calculara su posición, velocidad y aceleración en $t=2 s$.<br />
<br />
Para calcular la posición primero sustituimos $t=2$<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar el argumento del argumento del coseno, calcular el resultado es trivial:<br />
<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0</math><br />
<br />
Para la velocidad, primero debemos derivar la función de la posición,<br />
<br />
<br />
:<math>\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=-\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(\frac{150}{\pi}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar nos queda:<br />
<br />
:<math>v(t)=-50\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$,simplificamos el argumento del seno y calcular el resultado es trivial,<br />
<br />
:<math>v(t=2s)=-50\sin\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-50\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-50\frac{cm}{s}</math><br />
<br />
<br />
Para la aceleración primero derivamos la velocidad<br />
<br />
:<math>\frac{dv(t)}{dt}=a(t)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$, simplificamos en argumento del coseno y calcular el resultado se hace trivial:<br />
<br />
:<math>a(t=2s)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{50}{3}\pi\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0<br />
</math><br />
<br />
--[[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 02:10 20 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:28 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Sólo reescribí la solución de los últimos cálculos explicando un poco más[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:30 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 11-21, Física general Sears-Zemansky Ed. 4ta ==<br />
<br />
<br />
'''Una masa $m$ oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:'''<br />
<br />
'''a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte. '''<br />
<br />
'''b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos'''<br />
<br />
Solución: <br />
<br />
Por la relación <br />
\[<br />
\omega_{0}=(\frac{k}{m})^{\frac{1}{2}}...(a)<br />
\] <br />
<br />
y <br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}...(b)<br />
\]<br />
<br />
donde $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular y $\upsilon_{0}$ la frecuencia; se puede sustituir (a) en (b) para obtener: <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\] <br />
<br />
donde $k$ en la constante del resorte respectivo y $m$ la masa.<br />
<br />
Del problema conocemos la frecuencia, antes y después de ser agregada la segunda masa, <br />
<br />
la cual también conocemos, y la amplitud. <br />
<br />
a)Por lo tanto se puede expresar : <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}m}\ldots(1)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{2}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}(m+.3kg)}\ldots(2)<br />
\]<br />
<br />
Donde $\upsilon_{1}$ y $\upsilon_{2}$ representan las frecuencias antes y después de colocar la segunda masa. <br />
<br />
De las ecs. (1) y (2), podemos despejar $k$ e igualar de la siguiente manera:<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m=\upsilon_{2}^{2}4\pi^{2}(m+.3)<br />
\]<br />
<br />
y despejando $m$ queda <br />
<br />
\[<br />
m=\frac{.3*.5^{2}}{(1^{2}-.5{}^{2})}=.1<br />
\] <br />
<br />
Por lo tanto $m=100g$ y despejando $k$ de (1) tenemos<br />
<br />
\[<br />
k=\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m\ldots\ldots(3)<br />
\] <br />
<br />
\[<br />
k=1^{2}4\pi^{2}(.1)=3.947<br />
\] <br />
<br />
Entonces $K=3.947N/m$<br />
<br />
(b)Para calcular la amplitud en la segunda situación tenemos la relación siguiente: <br />
<br />
Conocemos...<br />
<br />
\[<br />
E_{m1}=\frac{1}{2}kA_{1}^{2}\ldots\ldots\ldots(\alpha)<br />
\] <br />
<br />
Y también sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{m2}=\frac{1}{2}kA_{2}^{2}\ldots\ldots\ldots(\beta)<br />
\] <br />
<br />
Pero como como $E_{m1}=E_{m2}$ entonces al igualar ($\alpha$) y ($\beta$) sabremos que:<br />
<br />
\[<br />
A_{1}^{2}=A_{2}^{2}<br />
\] <br />
<br />
Por lo que $A_{2}^{2}=.05m$<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:54 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
== Problema oscilador armónico ==<br />
'''El desplazamiento de una partícula viene dado por:'''<br />
:<math>x(t) = 0.3 \cos(2 t + \frac{\pi}{6})\,</math> $x$ en metros y $t$ en segundos.<br />
<br />
'''a) Determinar la frecuencia, el periodo, la amplitud, la pulsación y la fase inicial.<br />
'''<br />
<br />
'''b) ¿Dónde se encuentra la partícula en $t$ = 1s?'''<br />
<br />
'''c) Calcula la velocidad y la aceleración en un instante cualquiera $t$.'''<br />
<br />
'''d) Calcula la posición y velocidad inicial.'''<br />
<br />
<br />
:Solución: <br />
<br />
a) Observamos que se trata de un movimiento armónico simple, cuya ecuación general viene dada por:<br />
<br />
<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
<br />
Comparando directamente tenemos que $A=0.3 m$ , $\omega =2Hz$ , $\phi = \frac{\pi}{6} rad$<br />
<br />
La frecuencia se obtiene a partir de la pulsación:<br />
<br />
<math>f = \frac{\omega}{2 \pi }</math><br />
<br />
<br />
el periodo se calcula como la inversa de la frecuencia:<br />
<br />
<math>T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = \pi s</math><br />
<br />
<br />
b) Para saber dónde se encuentra la partícula en el instante $t$ = 1s es suficiente substituir en la ecuación del movimiento:<br />
<br />
<math>x(1s) = 0.3 \cos(2 + \frac{\pi}{6})\ = -0.245m</math><br />
<br />
<br />
c) La velocidad y la aceleración se pueden obtener de la posición derivando respecto del tiempo (una vez para obtener la velocidad, dos para la aceleración).<br />
<br />
<br />
:<math>v(t) = -0.6 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.2 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s^2</math><br />
<br />
<br />
d) únicamente tenemos que substituir t = 0 en las expresiones adecuadas:<br />
<br />
:<math>x(t=0) = 0.3 cos(\frac{\pi}{6})\ = 0.260 m</math><br />
:<math>v(t=0) = -0.6 sen(\frac{\pi}{6})\ = -0.3 m/s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:59 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Corregí el código porque algunas expresiones matemáticas que no se veían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:40 8 jun 2020 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema propuesto en relación al capitulo I ==<br />
<br />
<br />
Se encontró experimentalmente que un peso de <math>4lb<br />
</math> estira un resorte de <math>6 pulgadas<br />
</math>. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de <math>4{pulg}/{s}<br />
</math>, determine:<br />
<br />
a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.<br />
<br />
b) La ecuación de movimiento.<br />
<br />
c) El periodo y la frecuencia.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Recordando que <math>1ft=12in<br />
</math>, realizando las conversiones respectivos, se tiene:<br />
<br />
:<math>x=6in=\frac{1}{2}ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(0\right)=4{in}{s}={1}/{3}{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
Inicialmente el peso está en una posición de reposo <math>x\left(0\right)=0<br />
</math>, y después se suelta desde la posición de equilibrio (reposo) <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math>.<br />
<br />
Además <math>W=mg<br />
</math> <math>\Rightarrow<br />
</math> <math>m=\frac{W}{g}=\frac{4lb}{32}=1/{8}slug<br />
</math>.<br />
<br />
Entonces, por la ley de Hooke y sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>F=kx<br />
</math><br />
<br />
:<math>4lb=k\left({1}/{2}ft\right)<br />
</math> <br />
<br />
:<math>k=8{lb}/{ft}<br />
</math><br />
<br />
a) La ecuación diferencial que describe el movimiento es:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+w^{2}x=0<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
</math> <br />
<br />
Sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+64x=0...\left(1\right)<br />
</math> <br />
<br />
con las condiciones iniciales <math>x\left(0\right)=0<br />
</math> y <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math> <br />
<br />
b) La ecuación auxiliar de (1) es <math>r^{2}+64=0<br />
</math>, cuyas raíces son <math>r=\pm8i<br />
</math>. La solución general de (1) es:<br />
<br />
:<math>x\left(t\right)=c_{1}cos\left(8t\right)+c_{2}sen\left(8t\right)...(2)<br />
</math> <br />
<br />
derivando dos veces la solución general se tiene:<br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(t\right)=-8c_{1}sen\left(8t\right)+8c_{2}cos\left(8t\right)...(3)<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(t\right)=-64c_{1}cos\left(8t\right)-64c_{2}sen\left(8t\right)...(4)<br />
</math><br />
<br />
Para conocer <math>c_{1}<br />
</math> y <math>c_{2}<br />
</math>, sustituímos las condiciones iniciales en (2) y (3)<br />
<br />
:<math>c_{1}=0,c_{2}=\frac{1}{24}\therefore x\left(t\right)=\frac{1}{24}sen\left(8t\right)<br />
</math><br />
<br />
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después, está dado por:<br />
<br />
:<math>x\left(2\right)=\frac{1}{24}sen\left(16\right)=-0.011996ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(2\right)=\frac{1}{3}cos\left(16\right)=-0.31922{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(2\right)=-\frac{8}{3}sen\left(16\right)=0.7677{ft}/{s^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Lo cual indica que el cuerpo se encuentra a <math>0.011996ft<br />
</math> arriba de la posición de equilibrio moviendose hacia arriba.<br />
<br />
Bibliografía<br />
<br />
José Ventura Becerril y David Elizarraraz, ecuaicones diferenciales técncas de solución y aplicaciones, 1ra edición, Universidad Autónoma Metrpolitana Azcapotzalco, México, 2004.<br />
<br />
--Ricardo García Hernández----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:51 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema del serwey==<br />
<br />
un bloque de <math>200g</math> conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de <math>5N/m</math>es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin friccion. El bloque se desplaza <math>5cm</math>desde el equilibrio y se libera del reposo.<br />
<br />
a) Hallar el periodo de movimiento<br />
<br />
primero hay que encontrar la frecuencia angular con la siguiente ecuación<br />
<math>\omega= \sqrt{k \over m} </math> <br />
:<math>\omega=\sqrt{k \over m}= \sqrt{5Nm^{-1} \over 0.2kg} =5 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
el periodo esta dado por <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega}= 1.2s</math><br />
</li><br />
<br />
b) Hallar <math>v</math>(velocidad) y <math>a</math>(aceleracion) máxima<br />
<br />
A=.05m <math>/v=w \ A=.250m/s </math><br />
<br />
<br />
<math>/v={w^{2}} \ A=.1.25m/{s^{2}} </math><br />
<br />
c) Exprese la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo en unidades del SI<br />
<br />
para un tiempo inicial igual a cero la fase es 0<br />
<br />
:<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
:<math>x(t) = 0.05 cos(5 t )\,</math><br />
:<math>v(t) = -0.25 sen(2 t )\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.25 cos(2 t )\ m/s^2</math>--<br />
<br />
--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores 24/02/15 18:03<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.8, The Physics of Vibrations and Waves, A. Pain ==<br />
<br />
''' A plasma consists of an ionized gas of ions and electrons of equal number densities ($n_i = n_e = n$)having charges of opposite sign $\pm e$, and masses $m_i$ and $m_e$ , respectively, where $m_i > m_e$. Relative displacement between the two species sets up a restoring electric field which returns the electrons to equilibrium, the ions being considered stationary. In the diagram, a plasma slab of thickness $l$ has all its electrons displaced a distance $x$ to give a restoring electric field $E=nex/\epsilon_0$ where $\epsilon_0$ is a constant. Show that the restoring force per unit area on the electrons is $xn^2e^2l/\epsilon_0$ and that they oscillate simple harmonically with angular frequency $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. This frequency is called the electron plasma frequency, and only those radio waves of frequency $\omega > \omega_e$ will propagate in such an ionized medium. Hence the reflection of such waves from the ionosphere. '''<br />
<br />
''' Un plasma consiste en gas ionizado formado por iones y electrones con densidades iguales ($n_i = n_e = n$) teniendo cargas del signo opuesto $\pm e$, y masas $m_i$ y $m_e$ respectivamente, donde $m_i > m_e$. El desplazamiento relativo entre dos especies establece un campo eléctrico restaurador que regresa a los electrones al equilibrio, donde los iones se consideran estacionarios. En el diagrama, un bloque de plasma de ancho $l$ tiene todos sus electrones desplazados una distancia $x$, proporcionando un campo eléctrico restaurador $E=nex/\epsilon_0$ donde $\epsilon_0$ es una constante. Muestre que la fuerza restauradora por unidad de área en los electrones es $xn^2e^2l/\epsilon_0$ y que ellos oscilan de manera armónica simple con frecuencia angular $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. Esta frecuencia es llamada frecuencia de plasma y sólo aquellas ondas de radio con frecuencia $\omega > \omega_e$ se propagarán a través del medio ionizado. De este mode se da la reflección de tales ondas desde la ionósfera. '''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que la densidad lineal de los electrones en el plasma está dada por $n_e = n$, entonces, para encontrar la carga de los electrones por unidad de área en el plasma, tenemos que multiplicar por la longitud del bloque($l$) y por la carga de cada electrón($-e$):<br />
<br />
<math><br />
q = -enl<br />
</math><br />
<br />
Ahora, si se quiere calcular la fuerza restauradora por unidad de área, tomamos la definición de la fuerza eléctrica:<br />
<br />
<math><br />
F = qE<br />
</math><br />
<br />
y luego sustimos la expresión dada para el campo eléctrico restaurador y la expresión encontrada para la carga:<br />
<br />
<math><br />
F = (-enl)\left( \dfrac{nex}{\epsilon_0} \right) = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0}<br />
</math><br />
<br />
lo cual es el resultado buscado. También es necesario mostrar que los electrones oscilan de manera armónica simple. Para ello, escribimos las fuerzas involucradas en el sistema. Una es la fuerza de restaurauración por unidad de área y la otra es la aceleración de los electrones por su masa por unidad de área. La masa por unidad de área de los electrones se encuentra multiplicando la densidad lineal $l$, por la masa de cada electrón $m_e$, por el ancho del bloque de plasma. Lo anterior nos da:<br />
<br />
<math><br />
F = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0} = m_e n l \ddot{x}<br />
</math><br />
<br />
Donde simplificando la ecuación anterior, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\ddot{x} + \dfrac{ne^2}{m_e \epsilon_0} x = 0<br />
</math><br />
<br />
lo anterior demuestra que es un movimiento armónico simple.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 11:56 3 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
== ejercicio vibra 1 ==<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 17:40 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez<br />
<br />
==Ejercicio 1==<br />
<br />
'''Un oscilador está formado por un bloque de masa $m=0.5 kg$ conectado a un resorte ideal. Cuando es puesto en oscilación con una amplitud de $A=35 cm$, el oscilador repite su movimiento cada $0.5s$. Encontrar:''' <br />
<li>a. El periodo.</li><br />
<li>b. La frecuencia.</li><br />
<li>c. La frecuencia angular.</li><br />
<li>d. La constante del resorte.</li><br />
<li>e. La magnitud de la velocidad máxima.</li><br />
<li>f. La magnitud de la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el bloque.</li><br />
<li>g. La energía mecánica del sistema.</li><br />
'''Solución propuesta:'''<br />
:Si el tiempo se mide desde que el sistema se suelta estando el bloque en una posición igual a la amplitud, entonces el ángulo de fase es nulo y la ecuación de movimiento es: <br />
:$x(t)=A\cos(wt)$<br />
'''(a)''' Como el periodo es el tiempo en que el movimiento se repite, entonces: <br />
:$T=0.5s$<br />
'''(b)''' Como la frecuencia es igual al inverso del periodo, entonces: <br />
:$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.5s}=2.0Hz$<br />
'''(c)''' La frecuencia angular es $w=2πf$, entonces: <br />
:$w=2πf=\frac{2π}{T}=4π=12.57rad/s$<br />
'''(d)''' La constante del resorte es $k=mw^{2}$, entonces:<br />
:$k=mw^{2}=(0.5kg)(12.57rad/s)^{2}=78.96 N/m$<br />
'''(e)''' La magnitud de la velocidad máxima es $v_{max}=wA$.<br />
:$v_{max}=wA=(12.57rad/s)(0.35m)=4.40m/s$<br />
'''(f)''' Usando la segunda ley de Newton, la fuerza máxima es: <br />
:$F_{max}=ma_{max}=m(w^{2}A)=(78.96N/m)(0.35m)=27.64 N.$<br />
'''(g)''' La energía mecanica del sistema es:<br />
:$E=\frac{1}{2}kA^{2}=(0.5)(78.96N/m)(0.35m)^{2}=4.84J$<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:30 16 jun 2020 (CDT)</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c1&diff=24498Vibra: probs c12020-06-18T03:49:41Z<p>Evamontiel: /* Problema 1.10 */</p>
<hr />
<div>--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)Problemas del capítulo uno <ref name="main"/> [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:42 16 ene 2014 (UTC)<br />
<references><br />
<ref name="main"> Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994 </ref><br />
</references><br />
----<br />
== Problema 1.1 ==<br />
===Solución 1===<br />
'''If the system shown in fig 1.1 has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.'''<br />
<br />
''' Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) El vibrador prototipo en equilibrio. (b) La masa es instantáneamente desplazada una distancia <math>\psi</math> hacia la derecha de su posición de equilibrio.]]<br />
<br />
<ol style="list-style-type:lower-alpha;"><br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li> El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, al efectuar esta perturbación el resorte ejerce una fuerza de restauración (opuesta al desplazamiento de la masa) hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue:<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}=-s{\psi}</math><br />
<br />
donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. Dividiendo entre la masa se obtiene<br />
<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0</math><br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular.<br />
<br />
Entonces la frecuencia angular es: <br />
<br />
:<math>\omega_{0}=\sqrt{s \over m}= \sqrt{36Nm^{-1} \over 0.010kg} = 60 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
<li>Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math>. El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue:<br />
<br />
:<math>\nu_{0}={\omega_{0}\over 2\pi}</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es: <math>\nu_{0}= {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5493 Hz</math><br />
</li><br />
<br />
<li>Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math> , esto sucede cada <math>{ 2 \pi}\over \omega_{0} </math> que es conocido como el período <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega_{0}}= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10472 s</math><br />
</li><br />
<br />
</ol><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 07:10 24 ene 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:34 3 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 17:47 7 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 18:40 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 09:59 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
===Solución 2===<br />
'''Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li>'''a.''' Considerar un sistema oscilatorio que es consistente y es sometido a una fuerza <math>F\left(\varPsi\right)</math>. <br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-s\varPsi...(1)</math><br />
<br />
Donde <math>s</math> es la constante del resorte, y <math>\varPsi</math> es el desplazamiento del sistema. Dicho sistema oscilatorio se denomina oscilador armónico simple.<br />
<br />
La energía potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(\varPsi\right)=\frac{1}{2}s\varPsi^{2}...(2) </math><br />
<br />
<br />
Ya que de '''(2)''', la fuerza y la energía potencial están relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-\frac{dU}{d\varPsi} </math><br />
<br />
<br />
Ahora, aplicando la segunda ley de Newton <math>F=m\ddot{\varPsi}...(3)</math>, sustituyendo '''(1)''' en '''(3)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-s\varPsi=m\ddot{\varPsi} </math><br />
<br />
Dividiendo entre <math>m</math> e igualando la expresión a cero, se tiene :<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0...(4) </math><br />
<br />
<br />
Ahora reescribamos la ecuación como:<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}=-\frac{s}{m}\varPsi...(5) </math><br />
<br />
Requerimos que <math>\varPsi(t)</math> sea una función cuya segunda derivada sea negativa de esta misma; las funciones senos y cosenos cumplen esta propiedad, entonces:<br />
<br />
:<math>\varPsi\left(t\right)=\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\dot{\varPsi}\left(t\right)=-w \mathrm{sen}\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}(t)=-w^{2}\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo en '''(5)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-w^{2} \cos\left(wt\right)=-\frac{s}{m} \cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
:<math>w^{2}=\frac{s}{m} </math><br />
Que es la frecuencia angular, entonces:<br />
<br />
<br />
:<math>w=\sqrt{\frac{36N/m}{0.010Kg}}=60s^{-1} </math> </li><br />
<br />
<li>'''b.''' Para la frecuencia <math>\nu</math> del oscilador es el número de ciclos completos por unidad de tiempo y esta dada por :<br />
<br />
<br />
:<math>\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.1047s}=9.55Hz </math> </li><br />
<br />
<br />
<li>'''c.''' El periodo <math>T</math> de movimiento, se tiene por:<br />
<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{w}=\frac{2\pi}{60s^{-1}}=0.1047s </math> </li><br />
<br />
<br />
Ricardo García Hernández--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:10 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
Entendí y me gustó más esta forma de resolver el ejercicio--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:31 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
<br />
<br />
Sólo cambié la notación [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:37 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 10:04 16 jun 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:32 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.2 ==<br />
<br />
'''For the same vibrator as in problem 1.1 at time t=0, the mass is observed to be displaced 50 mm to the right of its equilibrium position and to be moving to the right at speed 1.7 m s^-1. Calcule''' <br />
'''a) the amplitude''' <br />
'''b) the phase constant''' <br />
'''c) the energy'''<br />
<br />
'''Por el mismo vibrador como en el problema 1.1 en el tiempo t = 0 , se observa la masa ser desplazada 50 mm a la derecha de su posición de equilibrio y estar moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 1.7 ms^-1 Calcule:<br />
'''<br />
<br />
'''(a) la amplitud'''<br />
<br />
'''(b) la constante de fase'''<br />
<br />
'''(c) la energía<br />
'''<br />
<br />
__________________________________Corrección del ejercicio 1.2___________________________________________<br />
<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3)<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.118Nm}{36Nm{}^{-1}}=0.00327m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{0.00327m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) El ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos las ecuaciones <br />
<br />
\begin{equation} <br />
\psi(t)=A{}_{\psi} \cos(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{\psi(t)}={-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Dividiende (5)entre (4) y evaluando en $t=0$:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(0)}}{\psi (0)}=\frac{{-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}<br />
=-\omega \tan (\omega t+\phi)=\frac{1.7}{.05}=-34<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\tan (\omega t+\phi)=\frac{34}{\omega}=\frac{-34}{60}=-0.5666<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\omega t+\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
Hay que recordar que estamos evaluando en $t=0$ por lo que<br />
<br />
\[<br />
\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\phi=-0.52rad<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=30°<br />
\]<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(0.057m)^{2}=0.059J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:13 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:53 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:13 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
'''Para la misma vibración que en el problema 1.1 , en el tiempo $t=0$'''<br />
''', se observa la masa a se desplaza $50mm$ a la derecha de su posición'''<br />
'''de equilibrio y se mueve hacia la derecha a una velocidad de $1.7ms{}^{-1}$.'''<br />
'''Calcúlese (a) la amplitud, (b) el ángulo de fase, y (c) la energía.'''<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3):<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.1189Nm}{36Nm{}^{-1}}=3.30277x10^{-3}m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{3.30277x10^{-3}m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) el ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos la solución:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Tenemos todo lo necesario para despejar el ángulo de fase de la ecuación<br />
(4)<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=(0.0571m)\mathrm{sen}\left[\left(60s{}^{-1}\right)(0)+\phi\right]=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=\mathrm{arcsen}(\frac{0.05m}{0.0571m})=61.122\text{°}<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(3.2604x10^{-3}m^{2})=0.0586J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Ejercicio corregido por Maya Velasco, Definitivamente me equivoque''<br />
''al hacer los cálculos numéricos en el cálculo de la amplitud algo''<br />
''que agradezco mucho que mi compañero Luis Velázquez haya notado. Posteriormente''<br />
''revisando la solución que dio mi compañero y la que yo propuse note''<br />
''lo siguiente:''<br />
<br />
[[Solución Luis Santos]]<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al derivar la expresión anterior obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(t)}=-A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Después mi compañero dividió ambas expresiones de la siguiente manera:''<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}=\frac{-A{}_{\psi}\omega \mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}=-\omega \tan(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
Posteriormente el ángulo $\phi$ es<br />
<br />
\[<br />
\phi=-29.53\text{°}\eqsim-30\text{°}<br />
\]<br />
<br />
''<br />
No encuentro otro error en el trabajo de mi compañero a excepción'<br />
''del signo, y después de su revisión sobre mi trabajo pues creo que''<br />
''aparentemente el mio también es correcto pero los valores en el ángulo''<br />
''de fase son diferentes y puedo explicar por que:''<br />
<br />
Ambas soluciones de la ecuación del oscilador armónico simple son<br />
correctas, sin embargo es más común usar la expresión que involucra<br />
la función coseno, ahora puedo mostrar que ambas soluciones son equivalentes<br />
desfasadas por un cierto ángulo.<br />
<br />
Se sabe que la función seno esta desfasada de la función coseno por<br />
$\frac{\pi}{2}$ ó 90°, hagamos lo siguiente, a la solución<br />
de mi compañero pongamos le el ángulo de fase que calculé yo que es<br />
de aproximadamente 61° y restemos le el desfase de los 90° .<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+61\text{°}-90\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t-29\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Esta es la respuesta de mi compañero que es correcta, entonces podemos''<br />
''concluir que ambos resultados son equivalentes. Si alguien más nota''<br />
''algún otro error mucho les agradeceré que me lo hagan notar, gracias.'' <br />
<br />
Ejercicio resuelto por Rosario Maya. Martes 10 de febrero 2015<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]]<br />
<br />
Ejercicio corregido por Rosario Maya el 12.02.15 a las 22:56 pm<br />
<br />
"El problema 1.2 está correcto; sobre todo al proponer dos formas diferentes de cómo calcular el ángulo de fase". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:46 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:28 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:59 8 jun 2020 (CDT) Cambios en la notación<br />
<br />
== Problema 1.3 ==<br />
'''An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the velocity this second vibrator at time t = 0. (c) At what time will it come to rest.'''<br />
<br />
Un sistema idéntico se pone en vibración con la misma amplitud que el vibrador en el problema 1.2, pero con un avance de fase de 90°. <br />
Calcule a) el desplazamiento y b) la velocidad de este segundo vibrador en el tiempo t=0. c) ¿A qué hora va a llegar al reposo?<br />
<br />
(a) <br />
<br />
Tenemos como ecuación de movimiento a:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi - \frac{\pi}{2})<br />
\]<br />
La cual puede escribise como:<br />
\[<br />
\psi(t)=Asin(\omega t + \phi)<br />
--------(1)\]<br />
<br />
<br />
Para t=0 se tiene:<br />
\[<br />
\psi(t=0s) = (57mm ) sin(-0.52) =-28mm<br />
\]<br />
(El signo indica que el desplazamiento es hacia la izquierda)<br />
<br />
<br />
<br />
(b)<br />
<br />
Al derivar (1) se tiene la ecuación para la velocidad<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t)=A \omega cos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
Para t=0<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)= A\omega cos\phi=(0.057m)(60s^{-1})cos(-0.52)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)=3 m s^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
(c) <br />
<br />
La velocidad del sistema es nula en los extremos, es decir, cuando \[\psi(t)=A\]<br />
\[<br />
Asin(\omega t + \phi)=A<br />
\]<br />
\[<br />
\omega t + \phi = 1.57<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
t=\frac{1.57-\phi}{\omega}= \frac{1.57+0.52}{60}<br />
\]<br />
\[<br />
t=35 ms<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:23 17 feb 2015 (CST)<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 19:03 07 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:17 12 feb 2015 (CST)<br />
"El problema 1.3, te sugiero que les des una descripción física a los resultados que obtuviste." --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:01 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.4 ==<br />
<br />
'''El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es <math>p_{1}</math> y es dado al tiempo <math>t=0</math>, encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando la segunda Ley de Newton se tiene:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}=p_{1}-k\psi...(1)<br />
\] <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) entre la masa y ordenarla, nos resulta una ecuación de segundo orden no homogénea:<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\frac{k}{m} \psi=p_{1}...(2)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde tenemos definida a <math>\omega^{2}</math> y <math>p_{1}</math> a como:<br />
<br />
\[\omega^{2}\equiv \dfrac{k}{m}\]<br />
\[p_{1}\equiv Ft\]<br />
<br />
Como se pondrá en movimiento con una fuerza que actuará sólo un instante de tiempo, se emplea la función delta de Dirac para describir el impulso, por lo cual la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\omega^{2} \psi=\frac{F}{m}\delta(t-t_0)...(3)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la transformada de Laplace<br />
<br />
<br />
\[<br />
\mathcal{L} \lbrace\ddot{x}\rbrace + \omega ^{2} \mathcal {L}\lbrace x \rbrace= \frac{F}{m} \mathcal{L}{\delta\lbrace (t-t_0)}\rbrace <br />
\]<br />
<br />
\[<br />
s^2 X(s) -sx(0)-\dot {x} (0) + \omega ^2 X(s) = \frac{F}{m}e^{-st_0}<br />
\]<br />
<br />
Donde las condiciones iniciales son:<br />
<br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Por lo que la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
\[<br />
X(s) = \frac{F}{m \omega} \frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0} ...(4)\]<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando ahora la transformada inversa en la ecuación (4)<br />
\[<br />
\mathcal{L}^{-1} \lbrace X(s)\rbrace = \frac{F}{m \omega}\mathcal{L}^{-1}\lbrace\frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0}\rbrace<br />
\] <br />
<br />
Resulta <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega}sin(\omega (t-t_0))\mathcal{U}(t-t_0)...(5)<br />
\]<br />
<br />
Y como <br />
\[t_0 =0\]<br />
<br />
Entonces <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega} sin(\omega t) \mathcal{U}(t)...(6) \]<br />
<br />
La cual es equivalente a:<br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m \omega} cos(\omega t + \frac{\pi}{2})..(7)<br />
\]<br />
<br />
haciendo una analogía de la ecuación (7) y la ecuación \[x(t) = A\cos(\omega t -\phi)\] se puede observar que la amplitud es: <br />
<br />
\[<br />
A= \frac{p}{m \omega}<br />
\]<br />
y la fase<br />
<br />
\[<br />
\phi=\frac{\pi}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
----<br />
Otra solución:<br />
----<br />
El impuso que se le imprime se convertirá en energía cinética, por lo que:<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2m\dot{x}^2} = \frac{1}{2 k_e A^2}<br />
\]<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:16 9 jun 2020 (CDT)<br />
Luego:<br />
\[<br />
A^2=\frac{m\dot{x}^2}{\omega_0 ^2 m}=\frac{m^2 \dot{x}^2 }{\omega_0 ^2m^2}=\frac{p^2}{\omega_0 ^2 m^2}<br />
\]<br />
Finalmente :<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{p}{\omega_0 m}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:27 8 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Le di un poco de orden al problema y corregí faltas de ortografía<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:01 18 feb 2015 (CST)Esther Sarai García González<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:07 13 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:54 18 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:00 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.5 ==<br />
<br />
'''The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by: '''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) The prototype vibrator in equilibrium. (b) The mass is instantaneously displaced a distance <math>\psi</math> to the right of its equilibrium position.]]<br />
<br />
<br />
'''El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ecuación de Movimiento Armónico Simple:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades:<br />
\begin{equation}<br />
A_{1}= A \cos{\phi}.....(1)<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.<br />
<br />
Para mostrar que la amplitud del problema está dado por <math>A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}</math>, elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
La ecuación (4) la dividimos por ${w_{0}}^2$ en ambos lados:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) <br />
\end{equation}<br />
<br />
De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), y sumando de la siguiente manera:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ecuación (6) factorizamos $A^2$ <br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado:<br />
\begin{equation}<br />
\boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<math>\therefore</math> la amplitud Q.E.D.<br />
<br />
<br />
<br />
Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener:<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1)<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11)<br />
\end{equation}<br />
<br />
En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: <br />
\begin{equation}<br />
\boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 05:59 31 ene 2014 (UTC)<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:39 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:11 15 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''Otra forma de hacerlo''' <br />
<br />
Tenemos las funciones que definen al desplazamiento y la velocidad <br />
<br />
\[x(t)=C_{1}cos\omega t+ C_{2}sin\omega t<br />
\]<br />
\[\dot{x}(t)=-C_{1}\omega sin \omega t + C_{2} \omega cos \omega t<br />
\]<br />
<br />
Entonces tenemos como condiciones inciales <br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Lo que resulta <br />
<br />
\[x(0)=C_{1}cos\omega (0) + C_{2}sin\omega (0)= C_{1} cos (0) + C_{2} sin (0) = C_{1}<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=-C_{1}\omega sin \omega (0) + C_{2} \omega cos \omega (0) = -C_{1}\omega sin (0) + C_{2}\omega cos (0) = C_2\omega<br />
\]<br />
<br />
<br />
de donde<br />
<br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
Y finalmente se obtiene<br />
<br />
\[x(t)= A_{0}cos\omega t + \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} sen \omega t<br />
\]<br />
La cual se puede escribir de las siguientes formas:<br />
<br />
\[x(t)= A sin (\omega + \phi)\] o bien \[x(t)= Acos(\omega - \phi)\]<br />
<br />
Esto se demuetra por las siguentes identidades:<br />
\[C_{1}cos \omega t + C_{2} sen \omega t = A sen (\omega t+ \phi) = A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)\]<br />
<br />
Y luego usamos las siguientes identidades también:<br />
<br />
<br />
\[ A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)= (A cos\phi)sen \omega t + (Asen \phi)cos\omega = <br />
(A sen\phi)cos\omega t + (A cos\phi )sen\omega t \]<br />
<br />
<br />
<br />
\[ Asen \phi = C_{1}\] y \[A cos\phi = C_{2}\]<br />
<br />
\[ C_{1}^{2} + C_{2}^{2} = A^{2}sen^{2}\phi + A^{2}cos^{2}\phi = A^{2}(sen^{2}\phi + cos^{2}\phi)= A^{2}\]<br />
<br />
\[A= \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}\]<br />
<br />
por lo tanto<br />
\[\phi = arctan\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\]<br />
y como <br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<br />
\[A= [A_{0}^{2}+\dfrac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}]^{\dfrac{1}{2}}\]<br />
\[ tan\phi = \dfrac{A_{0} \omega}{v_{0}}\]<br />
O bien <br />
\[ tan\phi = - \dfrac{v_{0}}{A_{0}\omega}\]<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase queda demostrada por este método alternativo. <br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)Esther Sarai Garcia Gonzalez (UAM-I)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST<br />
-- La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:07 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
'''Solución alternativa utilizando energías'''<br />
<br />
Para demostrar la primera identidad se tiene que la energía mecánica del sistema es igual a la suma de la energía cinética y potencial:<br />
<br />
$ W = K + U.....(eq.1)$ <br />
<br />
Donde $W$, $K$, y $U$ son la energía mecánica, la cinética y la potencial, respectivamente. Tenemos que estas están dadas por:<br />
<br />
$W = {1\over 2}{s}{A}^{2}....(eq.2)$<br />
<br />
$K = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}}.....(eq.3)$<br />
<br />
$U = {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq.4)$<br />
<br />
Donde $s$ es la constante del resorte. Si reemplaza las ecuaciones $2, 3, 4$ en la ecuación $1$ se tiene:<br />
<br />
${1\over 2}{s}{A}^{2} = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}} + {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq. 5)$<br />
<br />
Despejando A de esta última ecuación se tiene:<br />
<br />
$A^{2} = {m \over s}{v_{1}^{2}} + {A_{1}^{2}}$<br />
<br />
$A^{2} = (\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}$<br />
<br />
$A = {[(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}]}^{1/2}$<br />
<br />
Para la segunda identidad se utilizará las ecuaciones de posición y velocidad del cuerpo oscilante:<br />
<br />
$\psi(t)=A\cos{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 6)$<br />
<br />
$\dot{\psi}(t)={-}\omega_{0}A\sin{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 7)$<br />
<br />
Reemplazando en las ecuaciones los valores iniciales, se tiene que en $t = 0$ la posición es $A_{1}$ y la velocidad es $v_{1}$. Entonces:<br />
<br />
$A_{1} = Acos{\phi}.....(eq.7)$<br />
<br />
$v_{1} = {-}{A}{\omega_{0}}{sin{\phi}}.....(eq.8)$<br />
<br />
Despejando $A$ de ambas ecuaciones, la ecuación 7 y 8 se convierten en:<br />
<br />
$A = {A_{1} \over cos{\phi}}.....(eq.9)$<br />
<br />
$A = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}.....(eq.10)$<br />
<br />
Respectivamente. Ahora solo se igualan estas dos ecuaciones y se tiene:<br />
<br />
${A_{1} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}$<br />
<br />
Y esta igualdad se puede convertir en:<br />
<br />
${sin{\phi} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
$tan{\phi} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
Resolviendo el Problema.<br />
<br />
--[[Usuario:Gustavo.uami12|Gustavo.uami12]] ([[Usuario discusión:Gustavo.uami12|discusión]]) 09:55 9 jun 2020 (CDT)<br />
--Propuse una solución alternativa mucho más corta que las dos anteriores.<br />
<br />
== Problema 1.6 ==<br />
'''Calculate (a)the amplitude, (b)the phase constant, and (c)the complex amplitud, for the vibration by''' $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$<br />
<br />
'''Calcular:'''<br />
'''a) La amplitud.'''<br />
<br />
'''b) La constante de fase.'''<br />
<br />
'''c) La amplitud compleja para la vibración dada: <br />
$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.'''<br />
<br />
Solución: <br />
(a)La solución general del movimiento armónico simple considerando las condiciones iniciales, está dada por:<br />
<math>\psi=A_{0}\sin(\omega_{0}t+\phi)</math><br />
<br />
donde <br />
$\mathit{A_{0}}$ es la amplitud que queremos encontrar.<br />
<br />
Desarrollando la función en términos de seno:<br />
\[A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
Igualando se obtiene entonces que:<br />
\[A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
De aquí obtenemos las siguientes dos ecuaciones:<br />
<br />
\[A=A_{0}\cos\left(\phi\right)................ (1) \]<br />
<br />
\[B=A_{0}\sin\left(\phi\right)................ (2) \]<br />
<br />
Se identifica, $A=10 \, mm$ y $B= 17 \, mm$.<br />
<br />
Elevamos al cuadrado (1) y (2), y sumamos:<br />
<br />
\[A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)\]<br />
<br />
:<math>A^{2}+B^{2}=A_0^2</math> dado que <math>\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\phi)=1</math><br />
<br />
:<math>A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}</math><br />
<br />
Procedemos a sustituir y operar, lo que resulta<br />
<br />
:<math> A_{0}=19.7 \, mm </math><br />
<br />
(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2)<br />
<br />
<br />
dividimos $\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$<br />
<br />
<br />
y despejando $\phi$ obtenemos:<br />
<br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)\]<br />
<br />
Sustituyendo tenemos que: <br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{17}{10}\right)\]<br />
<br />
<br />
Por tanto, $\phi=59.5$<br />
<br />
(c) Por la relación matemática que existe entre los números complejos y las vibraciones (ver fasores) podemos ver que la amplitud compleja será:<br />
<br />
\[A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)\]<br />
<br />
<br />
----<br />
En el enunciado del problema 1.6 lo reescribí en español [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 21:51 27 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 13:32 17 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:22 18 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregí algunas faltas de ortografía y poco de la teoría--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:16 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
----<br />
Esta muy bien desarrollado y la teoría explica el planteamiento del ejercicio<br />
[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:19 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregi algunas ecuaciones y edite un poco. --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:43 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.7 ==<br />
<br />
<br />
===Solución 1===<br />
<br />
'''During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 18:53 15 may 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 2===<br />
<br />
Fe de erratas. '''Correcciones sobre el problema 1.7.'''<br />
<br />
En efecto, la frecuencia angular está dada por:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi\nu</math><br />
<br />
<br />
al sustituir las cantidades,<br />
<br />
<math>\omega=134.15Hz</math><br />
<br />
<br />
Y, además, haciendo una conversión:<br />
<br />
<math>1ms=0.001s</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow12ms=0.012s</math><br />
<br />
<br />
Así, pues, dadas las condiciones iniciales<br />
<br />
<math>\psi(0)=0.03m</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow Acos\phi=0.03m</math><br />
<br />
<br />
entonces, tomando la siguiente condición <br />
<br />
<math>\psi(0.012)=-0.014m</math><br />
<br />
<br />
se obtiene.<br />
<br />
<math>-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.02+C_{2}0.06</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow C_{2}=-0.56</math><br />
Dado que<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen\phi</math><br />
<br />
por tanto, en la ec. (1.1), resulta:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath0.56m</math><br />
<br />
En el 1.7 realicé la traducción [[Usuario:Aura Yazmin Bejarano Olvera|Aura Yazmin Bejarano Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarano Olvera|discusión]])<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 3===<br />
<br />
La solución a este problema la realice de la siguiente manera:<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\& <br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=\nu_{0}2\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con las condiciones iniciales $\psi(0s)=x_{1}=30$ mm y $\psi(12ms)=x_{2}=-14$mm<br />
tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0s)=x_{1}=Acos(\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(0.012s)=x_{2}=Acos(\omega_{0}(12ms)+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=Acos(\phi)cos(\omega_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(\omega_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero $Acos(\phi)=x_{1}$, asi:<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=x_{1}cos(2\pi\nu_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(2\pi\nu_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tenemos también que:<br />
<br />
\[<br />
cos(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.99<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
sen(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.06<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi:<br />
<br />
\[<br />
-0.014m=(0.03m)(0.99)-Asen(\phi)(0.06)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)(0.06)=0.029m+0.014m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)=\frac{0.043m}{0.06}=0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cual la amplitud compleja es igual a:<br />
<br />
\[<br />
D=0.03m+i0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
La nueva solución fue realizada por: [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] el 19 de Febrero de 2014.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 4===<br />
<br />
'''During a vibration with frequency of $50 Hz$, the displacement is observed to be $30 mm$ at time $t=0$, and $-14 mm$ at $t=12 \, ms$. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración de frecuencia $50 Hz$, el desplazamiento observado es $30 mm$ al tiempo $t=0$, y $-14 mm$ al tiempo $t=12 \, ms$. Encuentre la amplitud compleja.'''<br />
<br />
<br />
Para empezar tenemos que calcular la frecuencia angular a partir de la frecuencia dada.<br />
$w_0=2 \pi v=2 \pi (50 Hz) =100 \pi \,s^{-1}$ <br />
<br />
Luego sabemos que la forma compleja (forma D en el Main, Iain G., ''Vibrations and Waves in Physics'', 1993) es $ \psi (t)=Re[D \, e^{i w_0 t}] $, donde $D=a+i \, b$. Además sabemos dos condiciones iniciales, por lo que podemos determinar dos constantes $a$ y $b$.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{1}<br />
\psi (0 \, s)=30 \, mm <br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{2}<br />
\psi (12 \, ms)= \psi (.012\,s)=-14 \, mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ec. $(1)$ obtenemos la constante $a$.<br />
$\psi (0)=Re[D e^{i w_0 (0)}]=Re[(a+ib) (1)]=30\,mm$<br />
<br />
Evaluando la parte real, entonces...<br />
\begin{equation}<br />
\label{3}<br />
a=30\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si utilizamos la ec. $(2)$, encontraremos la constante faltante, $b$.<br />
$\psi (.012 \,s)=Re[D \, e^{i (100 \pi \, s^{-1}) (0.012 \, s)}]=-14 \, mm$<br />
$Re[(a+ib)(cos(1.2 \pi)+i\,sen(1.2 \pi))]=-14 \, mm$<br />
<br />
De nuevo se evalua la parte real del número complejo y luego se despeja $b$.<br />
$ a \, cos(1.2 \pi)-b \, sen(1.2 \pi)=-14 \, mm $<br />
$ b=\frac{14\,mm+(30\,mm)\,cos(1.2 \pi)}{sen(1.2 \pi)} $<br />
\begin{equation}<br />
\label{4}<br />
\,<br />
b \approx 17.47323498\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si juntamos $(3)$ y $(4)$, la amplitud compleja es<br />
$D=30\,mm+i\,17.47323498\,mm$<br />
Y la función es <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{5}<br />
\psi (t)=Re[(30\,mm+i\,17.47323498\,mm)\, e^{i\, (100\pi \,s^{-1}) \, t}]<br />
\end{equation}<br />
<br />
La comprobación se realiza evaluando la ecuación $(5)$ a los tiempos $t=0 \, s$ y $t=0.012 \, s$, lo cual nos da las condiciones iniciales de $(1)$ y $(2)$.<br />
$ \, $<br />
<br />
Solución realizada por: [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]]([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) el 14 de Febrero de 2014<br />
<br />
<br />
----<br />
Separé la solución de César Iván e hice algunas correcciones ortográficas. --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:56 19 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Algunas correciones --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:32 20 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Falta un poco de teoría del planteamiento del problema--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:23 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Agregado un nuevo subíndice, espero que no sea confuso.--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:48 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
Arreglé el código porque varias expresiones matemáticas no salían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 20:26 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.8 ==<br />
'''Calculate the maximum acceleration (in units of $g$) of pickup stylus reproducing a frequency of $16 kHz$, with an amplitude of $0.01mm$.'''<br />
<br />
'''Calcule la aceleración máxima (en unidades de $g$) de una aguja que reproduce una frecuencia de $16 kHz$, con una amplitud de $0,01 mm$.'''<br />
<br />
El problema nos proporciona los siguientes datos:<br />
$f =16kHz = 16000Hz$<br />
$A = 0.01mm = 0.00001m$<br />
<br />
Resultado:<br />
<br />
Sabemos que podemos expresar la frecuencia angular como la frecuencia por $2\pi$:<br />
\[<br />
\omega=2\pi f...(1)<br />
\]<br />
<br />
Ahora sustituimos el valor de la frecuencia($f =16000Hz$) en la ecuación 1:<br />
<br />
\[\omega=2\pi(16000Hz)\]<br />
<br />
Luego obtenemos una nueva ecuación ya con el valor de $f$ evaluado:<br />
<br />
\[\omega=32000\pi<br />
\frac{rad}{s}\]<br />
<br />
<br />
\[{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}...(2)\]<br />
<br />
Un dato importante en este momento, es la expresión para la aceleración máxima en el movimiento armónico simple:<br />
<br />
\[ \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x\]<br />
<br />
Donde $x$ es la solución para el movimiento armónico simple ,osea , $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. El valor de $x$ será máximo cuando el $\cos(\omega t + \phi)=1$ alcance su valor máximo y esto sucede cuando es igual uno. Por tal razón podemos expresar la aceleración máxima como sigue:<br />
<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos el valor de $\omega$ elevado al cuadrado proveniente de la ecuación 2:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\]<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\]<br />
<br />
Ahora hay que dividir el resultado obtenido en la ecuación 3 entre $g$ para expresarlo en unidades de $g$.Usamos primero:<br />
<br />
\[g=9.8\frac{m}{s^2}\]<br />
<br />
Y obtenemos la aceleración máxima en unidades de $g$:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =10312.729g\]<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:51 21 feb 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 20:22 18 feb 2015 (CST)<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
--Entendible y bien desarrollado----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:32 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.9 ==<br />
<br />
1.9.- '''Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta<br />
'''a un muelle '''de constante de recuperación de 4 dinas/cm.<br />
'''Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo.<br />
Calcular:''' a) la frecuencia propia y el periodo, ''' b) la energía total<br />
y '''c) la velocidad máxima.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía<br />
la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra<br />
ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber<br />
que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento<br />
es la fuerza del resorte, entonces tenemos:<br />
La energia potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(x\right)=\frac{1}{2}kx^{2}</math><br />
<br />
<br />
La fuerza y la energia potencial estan relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(x\right)=-\frac{dU}{dx}<br />
x</math><br />
<br />
Ahora , aplicando la segunda ley de Newton: :<math>F=m\ddot{x}:</math><br />
<br />
:<math>kx=m\ddot{x}</math><br />
<br />
Ahora, dividiendo entre “m” e igualando la expresion a cero, se tiene :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución<br />
<br />
\[<br />
x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además de las condiciones iniciales tenemos:<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$<br />
la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$<br />
<br />
\[<br />
x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt)<br />
\]<br />
<br />
<br />
de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$<br />
y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque<br />
no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$ <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad<br />
máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad<br />
energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene<br />
energía potencial.<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a<br />
\]<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima<br />
obtenemos la velocidad máxima<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$<br />
y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$<br />
<br />
y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$<br />
<br />
b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$<br />
<br />
\[<br />
\dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 21:59 25 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--Falta explicar como obtiene la ecuación diferencial del oscilador armonico simple, y como obtiene las condiciones iniciales partiendo del problema----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:35 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--Solo cambio y completo mas la teoría de como obtiene la ecuación diferencial del oscilador----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:03 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema 1.10==<br />
1.10 Comprobar que la ecuación diferencial $\nicefrac{d^{2}y}{dx^{2}=-ky}$tiene<br />
por solución $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$ siendo A y B constantes arbitrarias.<br />
Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma $y=Ccos(kx+\alpha)=C$<br />
$\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
y expresar C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
Por segunda ley de Newton tenemos:<br />
<br />
\[<br />
|\overrightarrow{F}|=m|\vec{a}|\rightarrow-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
\]<br />
<br />
entonces derivamos dos veces a $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$<br />
<br />
\[<br />
\frac{dy}{dx}=-kAsen(kx)+kBcos(kx)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2y}}{dx^{2}}=y=-k^{2}Acos(kx)-k^{2}Bsen(kx)=-k^{2}\left[Acos(kx)+Bsen(kx)\right]=-k^{2}y<br />
\]<br />
<br />
donde <br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Sean<br />
\begin{equation}<br />
A=Ccos(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B=-Csen(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entoces:<br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(\theta)cos(kx)-Csen(\theta)sen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la propiedad trigonometrica de la suma de los ángulos del<br />
coceno<br />
<br />
\[<br />
cos\left(a+b\right)=cos\left(a\right)cos\left(b\right)-sen\left(a\right)sen\left(b\right)<br />
\]<br />
<br />
tenemos:<br />
<br />
\[<br />
=C[cos(kx)cos(\theta)-Csen(kx)sen(\theta)]=C[cos(kx+\theta)]<br />
\]<br />
<br />
quedando asi demostrada la primera parte.<br />
<br />
Ahora demostraremod que $y=Ccos(kx+\alpha)=C\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
<br />
De los números complejos sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
z=e^{i\alpha}=cos(\alpha)+isen(\alpha)<br />
\]<br />
<br />
aplicando propiedades de los expenontes, y teniendo en cuenta que<br />
la parte real de $z=cos(\alpha)$ y el resultado anterior tenemos<br />
que:<br />
<br />
\[<br />
y=C\mathbb{R}\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[Ce^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]<br />
\]<br />
<br />
demoatrando lo pedido.<br />
<br />
Por último expresaremos C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
Si elevamos al cuadrado las ecuaciones 1 y 2 tenemos que<br />
<br />
\[<br />
A^{2}+B^{2}=C^{2}cos^{2}\left(\theta\right)+\left(-C\right)^{2}sen^{2}\left(\theta\right)=\left[C^{2}(cos^{2}\left(\theta\right)+sen^{2}\left(\theta\right))\right]=C^{2}<br />
\]<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
C^{2}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
para \textgreek{j} tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\left(\theta\right)=\frac{A}{B}=\frac{-Csen(\theta)}{Ccos(\theta)}=-tan\left(\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta=arctan\left(-\frac{B}{A}\right)<br />
\]<br />
--Añadi un nuevo problema----<br />
<br />
== Problema I.I ==<br />
'''A piston executes harmonic motion with an amplitude of $0.1m$. If it passes through the center of its motion with a speed of $0.5m/s$, what is the period of oscillation?'''<br />
<br />
'''Un pistón realiza un movimiento armónico con una amplitud de $0.1m$. Si pasa por el centro de su movimiento con una velocidad de $0.5m/s$, ¿cuál es su periodo de oscilación?.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que para el movimiento armónico simple('''MAS'''), podemos proponer una solución del tipo:<br />
<br />
<math><br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
por lo que, al derivar la función de posición, obtenemos la velocidad como función del tiempo:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, dadas las condiciones del problema, tenemos que resolver las ecuaciones para la posición y la velocidad de manera simultanea. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi) \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo las condiciones de frontera del problema, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = (0.1m) \cos(\omega t + \phi) = 0 \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega (0.1m) \sin(\omega t + \phi) = 0.5m/s<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
Para que se cumpla la primera ecuación, la única posibilidad es que $\cos(\omega t + \phi) = 0$ y para ello, $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. <br />
<br />
Si tomamos ahora la segunda ecuación:<br />
<br />
<math><br />
-\omega \sin(\omega t + \phi) = \dfrac{0.5m/s}{0.1m} \Rightarrow -\omega \sin(\omega t + \phi) = 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Pero al estar resolviendo un sistema de ecuaciones, debemos considerar la condición de que $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. Y bajo las condiciones anteriores, $\sin(\omega t + \phi) = \pm 1$, por lo que la segunda ecuación queda como:<br />
<br />
<math><br />
w = \pm 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Tomando $|\omega|$ y la definición de $T=2\pi / \omega \Rightarrow T = 2\pi / (5s^{-1})$, con lo que tendremos la solución deseada:<br />
<br />
<math><br />
T = \dfrac{2\pi}{5s^{-1}} \approx 1.25663<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:09 14 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema I.II ==<br />
'''A particle undergoes harmonic motion with a frequency of $10$Hz. Find the displacement $\psi$ at any time $t$ for the following initial condition: $t=0$, $\psi=0.25m$, $\dot{\psi}=0.1m/s$.'''<br />
<br />
'''Una partícula sigue un movimiento armónico con una frecuencia de $10Hz$. Encuentre el desplazamiento $\psi$ para cualquier tiempo $t$ con las condiciones iniciales: $\psi(t=0)=0.25m,\dot{\psi}(t=0)=0.1m/s$.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Proponemos la siguiente solución:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi)...(1)<br />
</math><br />
<br />
con lo que la velocidad será:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi}(t) = -\omega A\sin(\omega t + \phi)...(2)<br />
</math><br />
<br />
y aplicando las condiciones iniciales y sabiendo que $\omega = 2\pi \nu = 2\pi (10Hz) = 20\pi s^{-1}$ tendremos lo siguiente:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t=0) = A\cos(\phi) = 0.25m \\<br />
\dot{\psi}(t=0) = -(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi) = 0.1m/s<br />
</math><br />
<br />
Y dividiendo la ecuación (2) entre la (1):<br />
<br />
<math><br />
\dfrac{-(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi)}{A\cos(\phi)} = \dfrac{0.1m/s}{0.25m} <br />
\Rightarrow \tan(\phi) = \dfrac{0.1m/s}{-(2\pi)(10Hz)(0.25m)}<br />
</math><br />
<br />
y realizando los cálculos:<br />
<br />
<math><br />
tan(\phi) \approx -6.3661x10^{-3} \Rightarrow \phi \approx \arctan(-6.3661x10^{-3}) <br />
\Rightarrow \phi \approx -6.3661x10^{-3}<br />
</math><br />
<br />
Retomando la ecuación para el desplazamiento y el valor de $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
A \cos(\phi) = 0.25m \Rightarrow A = \dfrac{0.25m}{\cos(-6.3661x10^{-3})} \Rightarrow A = 0.25m<br />
</math><br />
<br />
De tal forma que la función $\psi(t)$ se puede escribir como:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi) = (0.25m) \cos\left((20\pi s^{-1})t -6.3661x10^{-3}\right)...(4)<br />
</math><br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:39 14 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:26 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Solución vectorial del oscilador armónico del capítulo 1 ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
En esta parte lo que pretendo es llegar a la solución vectorial del oscilador armónico de la forma: <br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}</math> para la ecuación diferencial de segundo orden<br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Descomponiendo esta ecuación en un sistema de ecuaciones de primer orden <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{1}=\psi_{2}....(1)</math> <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{2}=-\omega_{0}^{2}\psi....(2)</math> <br />
<br />
<br />
A este sistema le asociamos una matriz <math>A</math> <br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Los valores propios para esta matriz son: <br />
<br />
<br />
:<math>\lambda=\pm\omega_{0}i</math><br />
<br />
<br />
Buscamos ahora los vectores propios para los valores de <math>\lambda</math>. De hecho,<br />
sólo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado<br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
-\omega_{0}i & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & -\omega_{0i} \\<br />
\end{array}<br />
\right)=<br />
\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
<br />
</math><br />
<br />
<br />
El vector propio asociado a <br />
<br />
:<math>\lambda=\omega_{0}i</math> es<br />
<br />
<br />
:<math>V=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
1 \\<br />
\omega_{0}i \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
Entonces formando la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>P=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\frac{1}{\omega_{0}} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Su inversa de <math>P</math> es <br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math> <br />
<br />
<br />
Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos<br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}AP=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & -\omega_{0} \\<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Que es una diagonalización y la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>B=e^{0}\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & -\sin\omega_{0}t \\<br />
\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
La utilizamos para calcular <br />
<br />
<br />
:<math>e^{At}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}=PBP^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & \frac{1}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t \\<br />
-\omega_{0}\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Esta es la solución vectorial para la ecuación <br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Resuelto por Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:22 17 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:35 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:48 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema l.lll==<br />
<br />
<br />
<br />
'''Una partícula de 12.3 Kg experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 1.86mm. Su aceleración máxima es <math>7.93 km/s^2</math>. a)Encuentre el periodo de movimiento. b)¿Cúal es la velocidad máxima? c) Calcule la energía mecánica total de este oscilador armónico simple.'''<br />
<br />
Tratándose de un movimiento armónico simple recurriremos a la siguiente expresión diferencial, que modela el movimiento armónico simple :<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}+s{\psi}=0 ... (1)</math><br />
Donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) por <math>m</math> obtenemos que:<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0 ... (2)</math><br />
<br />
Donde la expresión (2) queda satisfecha por:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular. Al calcular la primera derivada de <math>\psi</math> obtenemos la velocidad y la aceleración al volverla a derivar por segunda vez, es decir que:<br />
\[\dot{\psi}(t)=-A \omega Sen(\omega t + \phi)...(3)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)=-A \omega^2 Cos(\omega t + \phi)...(4)\]<br />
<br />
Analizando las ecuaciones (3) y (4), notamos que las funciones seno y coseno oscilan entre <math>\pm1</math>, por lo que los valores extremos para la velocidad son <math>\pm A\omega</math>. De una forma análoga para la aceleración, los valores extremos que puede tomar son <math>\pm A\omega^2</math>, en consecuencia los valores ''máximos'' para la aceleración y la velocidad:<br />
<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega ...(5)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)= A \omega^2 ...(6)\]<br />
<br />
La energía ó [[Ondas: conservacion]] está dada por:<br />
\begin{equation}<br />
W = T + V =Cte<br />
\end{equation}<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial, por lo que podemos redefinirla como:<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA^{2}= \frac{1}{2} \omega^2 mA^{2}...(7)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
a) El periodo del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la partícula realize un ciclo completo de su movimiento, por lo que:<br />
<br />
<math>\tau= \frac{2\pi}{\omega}...(8)</math> <br />
<br />
Como tenemos los valores de la aceleración máxima y la amplitud, despejamos a <math>\omega</math> de la ecuación (6), luego sustituimos los valores conocidos para obtener el valor de <math>\omega</math>.<br />
\[\omega= \sqrt{\ddot{\psi} \over A} = \sqrt{7.93x10^3 {m \over s^2} \over 1.8x10^{-3} m} = 2.10x10^{3} \frac{rad}{s} \]<br />
<br />
por lo que al sustituir el valor de <math>\omega</math> en (8) obtenemos que:<br />
<br />
<br />
<math>\tau= {{2 \pi} \over {2.10x10^{3} \frac{rad}{s}} = 3.00x10^{-3} s = 3.00 ms </math> <br />
<br />
b) Para la velocidad usaremos la expresión (5):<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega = (1.86x10^{-3}m)(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})=3.90 {m \over s} \]<br />
<br />
c) Para la enegía mecánica total usaremos la expresion (7):<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}\omega^2 m A^{2}=\frac{1}{2}(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})^2 (12.3 Kg)(1.86x10^{-3} m)^{2} =90.7 J<br />
</math><br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:33 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:28 9 jun 2020 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1-12, French ==<br />
<br />
'''Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm/s. El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t=0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un angulo 30° con el eje x. '''<br />
<br />
'''(a) Obtener la ecuación de la coordenada x del punto en función del tiempo en la forma <math>x=A\cos(\omega t+\alpha)</math>, conocidos los valores numéricos de A, <math>\omega</math> y <math>\alpha</math> '''<br />
<br />
'''(b) Hallar los valores de $x$, <math>\frac{dx}{dt}</math> y <math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math> para t=2 s'''<br />
<br />
Dado que el punto tarda 6 seg en dar una vuelta completa y este se mueve con una velocidad de 50 cm/s; la circunferencia mide,<br />
<br />
:<math>l=50\frac{cm}{s}\times6seg=300cm</math><br />
<br />
y dado que...<br />
<br />
:<math>l=2\pi r</math><br />
<br />
:<math>r=\frac{l}{2\pi}=\frac{300cm}{2\pi}\backsimeq47.7cm</math><br />
<br />
el resultado anterior es la máxima distancia del punto en el eje x, es<br />
decir es la amplitud.<br />
<br />
Ahora,<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
:<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{6s}=\frac{\pi}{3}s^{-1}</math><br />
<br />
Dado que en $t=0$ el punto forma un ángulo de<br />
<br />
:<math>\frac{\pi}{6}</math> <br />
<br />
con en eje x, y pensando que el ángulo fue medido de la forma normal, anti-horaria se tiene que <br />
<br />
:<math>\alpha=-\frac{\pi}{6}</math><br />
<br />
y,<br />
<br />
:<math>x(t)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Ahora se calculara su posición, velocidad y aceleración en $t=2 s$.<br />
<br />
Para calcular la posición primero sustituimos $t=2$<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar el argumento del argumento del coseno, calcular el resultado es trivial:<br />
<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0</math><br />
<br />
Para la velocidad, primero debemos derivar la función de la posición,<br />
<br />
<br />
:<math>\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=-\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(\frac{150}{\pi}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar nos queda:<br />
<br />
:<math>v(t)=-50\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$,simplificamos el argumento del seno y calcular el resultado es trivial,<br />
<br />
:<math>v(t=2s)=-50\sin\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-50\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-50\frac{cm}{s}</math><br />
<br />
<br />
Para la aceleración primero derivamos la velocidad<br />
<br />
:<math>\frac{dv(t)}{dt}=a(t)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$, simplificamos en argumento del coseno y calcular el resultado se hace trivial:<br />
<br />
:<math>a(t=2s)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{50}{3}\pi\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0<br />
</math><br />
<br />
--[[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 02:10 20 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:28 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Sólo reescribí la solución de los últimos cálculos explicando un poco más[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:30 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 11-21, Física general Sears-Zemansky Ed. 4ta ==<br />
<br />
<br />
'''Una masa $m$ oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:'''<br />
<br />
'''a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte. '''<br />
<br />
'''b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos'''<br />
<br />
Solución: <br />
<br />
Por la relación <br />
\[<br />
\omega_{0}=(\frac{k}{m})^{\frac{1}{2}}...(a)<br />
\] <br />
<br />
y <br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}...(b)<br />
\]<br />
<br />
donde $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular y $\upsilon_{0}$ la frecuencia; se puede sustituir (a) en (b) para obtener: <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\] <br />
<br />
donde $k$ en la constante del resorte respectivo y $m$ la masa.<br />
<br />
Del problema conocemos la frecuencia, antes y después de ser agregada la segunda masa, <br />
<br />
la cual también conocemos, y la amplitud. <br />
<br />
a)Por lo tanto se puede expresar : <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}m}\ldots(1)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{2}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}(m+.3kg)}\ldots(2)<br />
\]<br />
<br />
Donde $\upsilon_{1}$ y $\upsilon_{2}$ representan las frecuencias antes y después de colocar la segunda masa. <br />
<br />
De las ecs. (1) y (2), podemos despejar $k$ e igualar de la siguiente manera:<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m=\upsilon_{2}^{2}4\pi^{2}(m+.3)<br />
\]<br />
<br />
y despejando $m$ queda <br />
<br />
\[<br />
m=\frac{.3*.5^{2}}{(1^{2}-.5{}^{2})}=.1<br />
\] <br />
<br />
Por lo tanto $m=100g$ y despejando $k$ de (1) tenemos<br />
<br />
\[<br />
k=\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m\ldots\ldots(3)<br />
\] <br />
<br />
\[<br />
k=1^{2}4\pi^{2}(.1)=3.947<br />
\] <br />
<br />
Entonces $K=3.947N/m$<br />
<br />
(b)Para calcular la amplitud en la segunda situación tenemos la relación siguiente: <br />
<br />
Conocemos...<br />
<br />
\[<br />
E_{m1}=\frac{1}{2}kA_{1}^{2}\ldots\ldots\ldots(\alpha)<br />
\] <br />
<br />
Y también sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{m2}=\frac{1}{2}kA_{2}^{2}\ldots\ldots\ldots(\beta)<br />
\] <br />
<br />
Pero como como $E_{m1}=E_{m2}$ entonces al igualar ($\alpha$) y ($\beta$) sabremos que:<br />
<br />
\[<br />
A_{1}^{2}=A_{2}^{2}<br />
\] <br />
<br />
Por lo que $A_{2}^{2}=.05m$<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:54 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
== Problema oscilador armónico ==<br />
'''El desplazamiento de una partícula viene dado por:'''<br />
:<math>x(t) = 0.3 \cos(2 t + \frac{\pi}{6})\,</math> $x$ en metros y $t$ en segundos.<br />
<br />
'''a) Determinar la frecuencia, el periodo, la amplitud, la pulsación y la fase inicial.<br />
'''<br />
<br />
'''b) ¿Dónde se encuentra la partícula en $t$ = 1s?'''<br />
<br />
'''c) Calcula la velocidad y la aceleración en un instante cualquiera $t$.'''<br />
<br />
'''d) Calcula la posición y velocidad inicial.'''<br />
<br />
<br />
:Solución: <br />
<br />
a) Observamos que se trata de un movimiento armónico simple, cuya ecuación general viene dada por:<br />
<br />
<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
<br />
Comparando directamente tenemos que $A=0.3 m$ , $\omega =2Hz$ , $\phi = \frac{\pi}{6} rad$<br />
<br />
La frecuencia se obtiene a partir de la pulsación:<br />
<br />
<math>f = \frac{\omega}{2 \pi }</math><br />
<br />
<br />
el periodo se calcula como la inversa de la frecuencia:<br />
<br />
<math>T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = \pi s</math><br />
<br />
<br />
b) Para saber dónde se encuentra la partícula en el instante $t$ = 1s es suficiente substituir en la ecuación del movimiento:<br />
<br />
<math>x(1s) = 0.3 \cos(2 + \frac{\pi}{6})\ = -0.245m</math><br />
<br />
<br />
c) La velocidad y la aceleración se pueden obtener de la posición derivando respecto del tiempo (una vez para obtener la velocidad, dos para la aceleración).<br />
<br />
<br />
:<math>v(t) = -0.6 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.2 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s^2</math><br />
<br />
<br />
d) únicamente tenemos que substituir t = 0 en las expresiones adecuadas:<br />
<br />
:<math>x(t=0) = 0.3 cos(\frac{\pi}{6})\ = 0.260 m</math><br />
:<math>v(t=0) = -0.6 sen(\frac{\pi}{6})\ = -0.3 m/s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:59 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Corregí el código porque algunas expresiones matemáticas que no se veían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:40 8 jun 2020 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema propuesto en relación al capitulo I ==<br />
<br />
<br />
Se encontró experimentalmente que un peso de <math>4lb<br />
</math> estira un resorte de <math>6 pulgadas<br />
</math>. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de <math>4{pulg}/{s}<br />
</math>, determine:<br />
<br />
a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.<br />
<br />
b) La ecuación de movimiento.<br />
<br />
c) El periodo y la frecuencia.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Recordando que <math>1ft=12in<br />
</math>, realizando las conversiones respectivos, se tiene:<br />
<br />
:<math>x=6in=\frac{1}{2}ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(0\right)=4{in}{s}={1}/{3}{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
Inicialmente el peso está en una posición de reposo <math>x\left(0\right)=0<br />
</math>, y después se suelta desde la posición de equilibrio (reposo) <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math>.<br />
<br />
Además <math>W=mg<br />
</math> <math>\Rightarrow<br />
</math> <math>m=\frac{W}{g}=\frac{4lb}{32}=1/{8}slug<br />
</math>.<br />
<br />
Entonces, por la ley de Hooke y sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>F=kx<br />
</math><br />
<br />
:<math>4lb=k\left({1}/{2}ft\right)<br />
</math> <br />
<br />
:<math>k=8{lb}/{ft}<br />
</math><br />
<br />
a) La ecuación diferencial que describe el movimiento es:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+w^{2}x=0<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
</math> <br />
<br />
Sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+64x=0...\left(1\right)<br />
</math> <br />
<br />
con las condiciones iniciales <math>x\left(0\right)=0<br />
</math> y <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math> <br />
<br />
b) La ecuación auxiliar de (1) es <math>r^{2}+64=0<br />
</math>, cuyas raíces son <math>r=\pm8i<br />
</math>. La solución general de (1) es:<br />
<br />
:<math>x\left(t\right)=c_{1}cos\left(8t\right)+c_{2}sen\left(8t\right)...(2)<br />
</math> <br />
<br />
derivando dos veces la solución general se tiene:<br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(t\right)=-8c_{1}sen\left(8t\right)+8c_{2}cos\left(8t\right)...(3)<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(t\right)=-64c_{1}cos\left(8t\right)-64c_{2}sen\left(8t\right)...(4)<br />
</math><br />
<br />
Para conocer <math>c_{1}<br />
</math> y <math>c_{2}<br />
</math>, sustituímos las condiciones iniciales en (2) y (3)<br />
<br />
:<math>c_{1}=0,c_{2}=\frac{1}{24}\therefore x\left(t\right)=\frac{1}{24}sen\left(8t\right)<br />
</math><br />
<br />
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después, está dado por:<br />
<br />
:<math>x\left(2\right)=\frac{1}{24}sen\left(16\right)=-0.011996ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(2\right)=\frac{1}{3}cos\left(16\right)=-0.31922{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(2\right)=-\frac{8}{3}sen\left(16\right)=0.7677{ft}/{s^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Lo cual indica que el cuerpo se encuentra a <math>0.011996ft<br />
</math> arriba de la posición de equilibrio moviendose hacia arriba.<br />
<br />
Bibliografía<br />
<br />
José Ventura Becerril y David Elizarraraz, ecuaicones diferenciales técncas de solución y aplicaciones, 1ra edición, Universidad Autónoma Metrpolitana Azcapotzalco, México, 2004.<br />
<br />
--Ricardo García Hernández----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:51 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema del serwey==<br />
<br />
un bloque de <math>200g</math> conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de <math>5N/m</math>es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin friccion. El bloque se desplaza <math>5cm</math>desde el equilibrio y se libera del reposo.<br />
<br />
a) Hallar el periodo de movimiento<br />
<br />
primero hay que encontrar la frecuencia angular con la siguiente ecuación<br />
<math>\omega= \sqrt{k \over m} </math> <br />
:<math>\omega=\sqrt{k \over m}= \sqrt{5Nm^{-1} \over 0.2kg} =5 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
el periodo esta dado por <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega}= 1.2s</math><br />
</li><br />
<br />
b) Hallar <math>v</math>(velocidad) y <math>a</math>(aceleracion) máxima<br />
<br />
A=.05m <math>/v=w \ A=.250m/s </math><br />
<br />
<br />
<math>/v={w^{2}} \ A=.1.25m/{s^{2}} </math><br />
<br />
c) Exprese la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo en unidades del SI<br />
<br />
para un tiempo inicial igual a cero la fase es 0<br />
<br />
:<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
:<math>x(t) = 0.05 cos(5 t )\,</math><br />
:<math>v(t) = -0.25 sen(2 t )\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.25 cos(2 t )\ m/s^2</math>--<br />
<br />
--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores 24/02/15 18:03<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.8, The Physics of Vibrations and Waves, A. Pain ==<br />
<br />
''' A plasma consists of an ionized gas of ions and electrons of equal number densities ($n_i = n_e = n$)having charges of opposite sign $\pm e$, and masses $m_i$ and $m_e$ , respectively, where $m_i > m_e$. Relative displacement between the two species sets up a restoring electric field which returns the electrons to equilibrium, the ions being considered stationary. In the diagram, a plasma slab of thickness $l$ has all its electrons displaced a distance $x$ to give a restoring electric field $E=nex/\epsilon_0$ where $\epsilon_0$ is a constant. Show that the restoring force per unit area on the electrons is $xn^2e^2l/\epsilon_0$ and that they oscillate simple harmonically with angular frequency $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. This frequency is called the electron plasma frequency, and only those radio waves of frequency $\omega > \omega_e$ will propagate in such an ionized medium. Hence the reflection of such waves from the ionosphere. '''<br />
<br />
''' Un plasma consiste en gas ionizado formado por iones y electrones con densidades iguales ($n_i = n_e = n$) teniendo cargas del signo opuesto $\pm e$, y masas $m_i$ y $m_e$ respectivamente, donde $m_i > m_e$. El desplazamiento relativo entre dos especies establece un campo eléctrico restaurador que regresa a los electrones al equilibrio, donde los iones se consideran estacionarios. En el diagrama, un bloque de plasma de ancho $l$ tiene todos sus electrones desplazados una distancia $x$, proporcionando un campo eléctrico restaurador $E=nex/\epsilon_0$ donde $\epsilon_0$ es una constante. Muestre que la fuerza restauradora por unidad de área en los electrones es $xn^2e^2l/\epsilon_0$ y que ellos oscilan de manera armónica simple con frecuencia angular $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. Esta frecuencia es llamada frecuencia de plasma y sólo aquellas ondas de radio con frecuencia $\omega > \omega_e$ se propagarán a través del medio ionizado. De este mode se da la reflección de tales ondas desde la ionósfera. '''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que la densidad lineal de los electrones en el plasma está dada por $n_e = n$, entonces, para encontrar la carga de los electrones por unidad de área en el plasma, tenemos que multiplicar por la longitud del bloque($l$) y por la carga de cada electrón($-e$):<br />
<br />
<math><br />
q = -enl<br />
</math><br />
<br />
Ahora, si se quiere calcular la fuerza restauradora por unidad de área, tomamos la definición de la fuerza eléctrica:<br />
<br />
<math><br />
F = qE<br />
</math><br />
<br />
y luego sustimos la expresión dada para el campo eléctrico restaurador y la expresión encontrada para la carga:<br />
<br />
<math><br />
F = (-enl)\left( \dfrac{nex}{\epsilon_0} \right) = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0}<br />
</math><br />
<br />
lo cual es el resultado buscado. También es necesario mostrar que los electrones oscilan de manera armónica simple. Para ello, escribimos las fuerzas involucradas en el sistema. Una es la fuerza de restaurauración por unidad de área y la otra es la aceleración de los electrones por su masa por unidad de área. La masa por unidad de área de los electrones se encuentra multiplicando la densidad lineal $l$, por la masa de cada electrón $m_e$, por el ancho del bloque de plasma. Lo anterior nos da:<br />
<br />
<math><br />
F = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0} = m_e n l \ddot{x}<br />
</math><br />
<br />
Donde simplificando la ecuación anterior, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\ddot{x} + \dfrac{ne^2}{m_e \epsilon_0} x = 0<br />
</math><br />
<br />
lo anterior demuestra que es un movimiento armónico simple.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 11:56 3 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
== ejercicio vibra 1 ==<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 17:40 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez<br />
<br />
==Ejercicio 1==<br />
<br />
'''Un oscilador está formado por un bloque de masa $m=0.5 kg$ conectado a un resorte ideal. Cuando es puesto en oscilación con una amplitud de $A=35 cm$, el oscilador repite su movimiento cada $0.5s$. Encontrar:''' <br />
<li>a. El periodo.</li><br />
<li>b. La frecuencia.</li><br />
<li>c. La frecuencia angular.</li><br />
<li>d. La constante del resorte.</li><br />
<li>e. La magnitud de la velocidad máxima.</li><br />
<li>f. La magnitud de la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el bloque.</li><br />
<li>g. La energía mecánica del sistema.</li><br />
'''Solución propuesta:'''<br />
:Si el tiempo se mide desde que el sistema se suelta estando el bloque en una posición igual a la amplitud, entonces el ángulo de fase es nulo y la ecuación de movimiento es: <br />
:$x(t)=A\cos(wt)$<br />
'''(a)''' Como el periodo es el tiempo en que el movimiento se repite, entonces: <br />
:$T=0.5s$<br />
'''(b)''' Como la frecuencia es igual al inverso del periodo, entonces: <br />
:$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.5s}=2.0Hz$<br />
'''(c)''' La frecuencia angular es $w=2πf$, entonces: <br />
:$w=2πf=\frac{2π}{T}=4π=12.57rad/s$<br />
'''(d)''' La constante del resorte es $k=mw^{2}$, entonces:<br />
:$k=mw^{2}=(0.5kg)(12.57rad/s)^{2}=78.96 N/m$<br />
'''(e)''' La magnitud de la velocidad máxima es $v_{max}=wA$.<br />
:$v_{max}=wA=(12.57rad/s)(0.35m)=4.40m/s$<br />
'''(f)''' Usando la segunda ley de Newton, la fuerza máxima es: <br />
:$F_{max}=ma_{max}=m(w^{2}A)=(78.96N/m)(0.35m)=27.64 N.$<br />
'''(g)''' La energía mecanica del sistema es:<br />
:$E=\frac{1}{2}kA^{2}=(0.5)(78.96N/m)(0.35m)^{2}=4.84J$<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:30 16 jun 2020 (CDT)</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c1&diff=24497Vibra: probs c12020-06-18T03:48:22Z<p>Evamontiel: </p>
<hr />
<div>--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)Problemas del capítulo uno <ref name="main"/> [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 18:42 16 ene 2014 (UTC)<br />
<references><br />
<ref name="main"> Iain G. Main Vibrations and waves in physics, CUP 3rd. ed. 1994 </ref><br />
</references><br />
----<br />
== Problema 1.1 ==<br />
===Solución 1===<br />
'''If the system shown in fig 1.1 has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.'''<br />
<br />
''' Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) El vibrador prototipo en equilibrio. (b) La masa es instantáneamente desplazada una distancia <math>\psi</math> hacia la derecha de su posición de equilibrio.]]<br />
<br />
<ol style="list-style-type:lower-alpha;"><br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li> El sistema de la figura 1.1 es perturbado al mover a la masa de su posición de equilibrio, al efectuar esta perturbación el resorte ejerce una fuerza de restauración (opuesta al desplazamiento de la masa) hacia la posición de equilibrio, esto provoca que el sistema varíe armónicamente y tome la forma de una vibración. La masa provoca una aceleración que usando la segunda ley de Newton se ve como sigue:<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}=-s{\psi}</math><br />
<br />
donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. Dividiendo entre la masa se obtiene<br />
<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0</math><br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular.<br />
<br />
Entonces la frecuencia angular es: <br />
<br />
:<math>\omega_{0}=\sqrt{s \over m}= \sqrt{36Nm^{-1} \over 0.010kg} = 60 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
<li>Este movimiento armónico se repite a sí mismo una cantidad infinita de veces en una secuencia que repite ciclos idénticos cada que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math>. El número de ciclos por unidad de tiempo se conoce como frecuencia y está dado como sigue:<br />
<br />
:<math>\nu_{0}={\omega_{0}\over 2\pi}</math><br />
<br />
Entonces la frecuencia es: <math>\nu_{0}= {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5493 Hz</math><br />
</li><br />
<br />
<li>Estos ciclos, es decir cantidades como el desplazamiento, la velocidad y la dirección se repiten cada vez que el ángulo de fase se incrementa <math> 2 \pi</math> , esto sucede cada <math>{ 2 \pi}\over \omega_{0} </math> que es conocido como el período <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega_{0}}= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10472 s</math><br />
</li><br />
<br />
</ol><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 07:10 24 ene 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 00:27 1 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 22:34 3 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 17:47 7 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 18:40 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 09:59 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
===Solución 2===<br />
'''Si el sistema mostrado en la figura 1.1 tiene m=0.010 kg y s=36 N/m, calcula (a) la frecuencia angular, (b) la frecuencia y (c) el período.'''<br />
<br />
'''Solución propuesta:'''<br />
<br />
<li>'''a.''' Considerar un sistema oscilatorio que es consistente y es sometido a una fuerza <math>F\left(\varPsi\right)</math>. <br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-s\varPsi...(1)</math><br />
<br />
Donde <math>s</math> es la constante del resorte, y <math>\varPsi</math> es el desplazamiento del sistema. Dicho sistema oscilatorio se denomina oscilador armónico simple.<br />
<br />
La energía potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(\varPsi\right)=\frac{1}{2}s\varPsi^{2}...(2) </math><br />
<br />
<br />
Ya que de '''(2)''', la fuerza y la energía potencial están relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(\varPsi\right)=-\frac{dU}{d\varPsi} </math><br />
<br />
<br />
Ahora, aplicando la segunda ley de Newton <math>F=m\ddot{\varPsi}...(3)</math>, sustituyendo '''(1)''' en '''(3)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-s\varPsi=m\ddot{\varPsi} </math><br />
<br />
Dividiendo entre <math>m</math> e igualando la expresión a cero, se tiene :<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}+\frac{s}{m}\varPsi=0...(4) </math><br />
<br />
<br />
Ahora reescribamos la ecuación como:<br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}=-\frac{s}{m}\varPsi...(5) </math><br />
<br />
Requerimos que <math>\varPsi(t)</math> sea una función cuya segunda derivada sea negativa de esta misma; las funciones senos y cosenos cumplen esta propiedad, entonces:<br />
<br />
:<math>\varPsi\left(t\right)=\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\dot{\varPsi}\left(t\right)=-w \mathrm{sen}\left(wt\right) </math><br />
<br />
:<math>\ddot{\varPsi}(t)=-w^{2}\cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo en '''(5)''' se tiene:<br />
<br />
:<math>-w^{2} \cos\left(wt\right)=-\frac{s}{m} \cos\left(wt\right) </math><br />
<br />
<br />
:<math>w^{2}=\frac{s}{m} </math><br />
Que es la frecuencia angular, entonces:<br />
<br />
<br />
:<math>w=\sqrt{\frac{36N/m}{0.010Kg}}=60s^{-1} </math> </li><br />
<br />
<li>'''b.''' Para la frecuencia <math>\nu</math> del oscilador es el número de ciclos completos por unidad de tiempo y esta dada por :<br />
<br />
<br />
:<math>\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.1047s}=9.55Hz </math> </li><br />
<br />
<br />
<li>'''c.''' El periodo <math>T</math> de movimiento, se tiene por:<br />
<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{w}=\frac{2\pi}{60s^{-1}}=0.1047s </math> </li><br />
<br />
<br />
Ricardo García Hernández--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:10 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
Entendí y me gustó más esta forma de resolver el ejercicio--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:31 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
<br />
<br />
Sólo cambié la notación [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:37 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 10:04 16 jun 2020 (CDT)<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:32 16 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.2 ==<br />
<br />
'''For the same vibrator as in problem 1.1 at time t=0, the mass is observed to be displaced 50 mm to the right of its equilibrium position and to be moving to the right at speed 1.7 m s^-1. Calcule''' <br />
'''a) the amplitude''' <br />
'''b) the phase constant''' <br />
'''c) the energy'''<br />
<br />
'''Por el mismo vibrador como en el problema 1.1 en el tiempo t = 0 , se observa la masa ser desplazada 50 mm a la derecha de su posición de equilibrio y estar moviéndose hacia la derecha a una velocidad de 1.7 ms^-1 Calcule:<br />
'''<br />
<br />
'''(a) la amplitud'''<br />
<br />
'''(b) la constante de fase'''<br />
<br />
'''(c) la energía<br />
'''<br />
<br />
__________________________________Corrección del ejercicio 1.2___________________________________________<br />
<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3)<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.118Nm}{36Nm{}^{-1}}=0.00327m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{0.00327m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) El ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos las ecuaciones <br />
<br />
\begin{equation} <br />
\psi(t)=A{}_{\psi} \cos(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\dot{\psi(t)}={-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Dividiende (5)entre (4) y evaluando en $t=0$:<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(0)}}{\psi (0)}=\frac{{-}\omega A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}<br />
=-\omega \tan (\omega t+\phi)=\frac{1.7}{.05}=-34<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\tan (\omega t+\phi)=\frac{34}{\omega}=\frac{-34}{60}=-0.5666<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\omega t+\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
Hay que recordar que estamos evaluando en $t=0$ por lo que<br />
<br />
\[<br />
\phi=\arctan(-0.5666)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\phi=-0.52rad<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=30°<br />
\]<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(0.057m)^{2}=0.059J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:13 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 11:53 12 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:13 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
'''Para la misma vibración que en el problema 1.1 , en el tiempo $t=0$'''<br />
''', se observa la masa a se desplaza $50mm$ a la derecha de su posición'''<br />
'''de equilibrio y se mueve hacia la derecha a una velocidad de $1.7ms{}^{-1}$.'''<br />
'''Calcúlese (a) la amplitud, (b) el ángulo de fase, y (c) la energía.'''<br />
<br />
(a) La amplitud<br />
<br />
Usamos la ecuación de la energía de un oscilador armónico simple,<br />
dada por:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=T+V=\mathrm{constante}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De las condiciones iniciales del problema se conocen:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(0)}=1.7ms{}^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Despejando $A{}_{\psi}$de la ecuación (2), tenemos:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}}{s}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Sustituyendo los datos en (3):<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}{}^{2}=\frac{(0.01kg)(1.7ms{}^{-1})^{2}+(36Nm{}^{-1})(0.05m)^{2}}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.0289Nm+0.09Nm}{36Nm{}^{-1}}=\frac{0.1189Nm}{36Nm{}^{-1}}=3.30277x10^{-3}m^{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
A{}_{\psi}=\sqrt{3.30277x10^{-3}m^{2}}=0.0571m<br />
\]<br />
b) el ángulo de fase $\phi$<br />
<br />
Ahora consideremos la solución:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Tenemos todo lo necesario para despejar el ángulo de fase de la ecuación<br />
(4)<br />
<br />
\[<br />
\psi(0)=(0.0571m)\mathrm{sen}\left[\left(60s{}^{-1}\right)(0)+\phi\right]=0.05m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\phi=\mathrm{arcsen}(\frac{0.05m}{0.0571m})=61.122\text{°}<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La energía <br />
<br />
Usamos la energía del oscilador armónico simple del inciso a)<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E=\frac{1}{2}sA{}_{\psi}^{2}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Entonces,<br />
<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2}(36Nm{}^{-1})(3.2604x10^{-3}m^{2})=0.0586J.<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Ejercicio corregido por Maya Velasco, Definitivamente me equivoque''<br />
''al hacer los cálculos numéricos en el cálculo de la amplitud algo''<br />
''que agradezco mucho que mi compañero Luis Velázquez haya notado. Posteriormente''<br />
''revisando la solución que dio mi compañero y la que yo propuse note''<br />
''lo siguiente:''<br />
<br />
[[Solución Luis Santos]]<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Al derivar la expresión anterior obtenemos:<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi(t)}=-A{}_{\psi}\mathrm{sen}(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Después mi compañero dividió ambas expresiones de la siguiente manera:''<br />
<br />
\[<br />
\frac{\dot{\psi(t)}}{\psi(t)}=\frac{-A{}_{\psi}\omega \mathrm{sen}(\omega t+\phi)}{A{}_{\psi}\cos(\omega t+\phi)}=-\omega \tan(\omega t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
Posteriormente el ángulo $\phi$ es<br />
<br />
\[<br />
\phi=-29.53\text{°}\eqsim-30\text{°}<br />
\]<br />
<br />
''<br />
No encuentro otro error en el trabajo de mi compañero a excepción'<br />
''del signo, y después de su revisión sobre mi trabajo pues creo que''<br />
''aparentemente el mio también es correcto pero los valores en el ángulo''<br />
''de fase son diferentes y puedo explicar por que:''<br />
<br />
Ambas soluciones de la ecuación del oscilador armónico simple son<br />
correctas, sin embargo es más común usar la expresión que involucra<br />
la función coseno, ahora puedo mostrar que ambas soluciones son equivalentes<br />
desfasadas por un cierto ángulo.<br />
<br />
Se sabe que la función seno esta desfasada de la función coseno por<br />
$\frac{\pi}{2}$ ó 90°, hagamos lo siguiente, a la solución<br />
de mi compañero pongamos le el ángulo de fase que calculé yo que es<br />
de aproximadamente 61° y restemos le el desfase de los 90° .<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t+61\text{°}-90\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=A{}_{\psi}\cos(\omega t-29\text{°})<br />
\]<br />
<br />
<br />
''Esta es la respuesta de mi compañero que es correcta, entonces podemos''<br />
''concluir que ambos resultados son equivalentes. Si alguien más nota''<br />
''algún otro error mucho les agradeceré que me lo hagan notar, gracias.'' <br />
<br />
Ejercicio resuelto por Rosario Maya. Martes 10 de febrero 2015<br />
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]]<br />
<br />
Ejercicio corregido por Rosario Maya el 12.02.15 a las 22:56 pm<br />
<br />
"El problema 1.2 está correcto; sobre todo al proponer dos formas diferentes de cómo calcular el ángulo de fase". --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 20:46 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:28 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 19:59 8 jun 2020 (CDT) Cambios en la notación<br />
<br />
== Problema 1.3 ==<br />
'''An identical system is set into vibration with the same amplitude as the vibrator in problem 1.2, but with a phase advance of 90°. Calculate (a) the displacement, and (b) the velocity this second vibrator at time t = 0. (c) At what time will it come to rest.'''<br />
<br />
Un sistema idéntico se pone en vibración con la misma amplitud que el vibrador en el problema 1.2, pero con un avance de fase de 90°. <br />
Calcule a) el desplazamiento y b) la velocidad de este segundo vibrador en el tiempo t=0. c) ¿A qué hora va a llegar al reposo?<br />
<br />
(a) <br />
<br />
Tenemos como ecuación de movimiento a:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi - \frac{\pi}{2})<br />
\]<br />
La cual puede escribise como:<br />
\[<br />
\psi(t)=Asin(\omega t + \phi)<br />
--------(1)\]<br />
<br />
<br />
Para t=0 se tiene:<br />
\[<br />
\psi(t=0s) = (57mm ) sin(-0.52) =-28mm<br />
\]<br />
(El signo indica que el desplazamiento es hacia la izquierda)<br />
<br />
<br />
<br />
(b)<br />
<br />
Al derivar (1) se tiene la ecuación para la velocidad<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t)=A \omega cos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
Para t=0<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)= A\omega cos\phi=(0.057m)(60s^{-1})cos(-0.52)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\dot{\psi}(t=0)=3 m s^{-1}<br />
\]<br />
<br />
<br />
(c) <br />
<br />
La velocidad del sistema es nula en los extremos, es decir, cuando \[\psi(t)=A\]<br />
\[<br />
Asin(\omega t + \phi)=A<br />
\]<br />
\[<br />
\omega t + \phi = 1.57<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
t=\frac{1.57-\phi}{\omega}= \frac{1.57+0.52}{60}<br />
\]<br />
\[<br />
t=35 ms<br />
\]<br />
<br />
<br />
[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez]]) 11:23 17 feb 2015 (CST)<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo]]) 19:03 07 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:17 12 feb 2015 (CST)<br />
"El problema 1.3, te sugiero que les des una descripción física a los resultados que obtuviste." --[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 22:01 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.4 ==<br />
<br />
'''El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es <math>p_{1}</math> y es dado al tiempo <math>t=0</math>, encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.'''<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando la segunda Ley de Newton se tiene:<br />
<br />
\[<br />
m\ddot{\psi}=p_{1}-k\psi...(1)<br />
\] <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) entre la masa y ordenarla, nos resulta una ecuación de segundo orden no homogénea:<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\frac{k}{m} \psi=p_{1}...(2)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde tenemos definida a <math>\omega^{2}</math> y <math>p_{1}</math> a como:<br />
<br />
\[\omega^{2}\equiv \dfrac{k}{m}\]<br />
\[p_{1}\equiv Ft\]<br />
<br />
Como se pondrá en movimiento con una fuerza que actuará sólo un instante de tiempo, se emplea la función delta de Dirac para describir el impulso, por lo cual la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
<br />
<br />
\[<br />
\ddot{\psi}+\omega^{2} \psi=\frac{F}{m}\delta(t-t_0)...(3)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la transformada de Laplace<br />
<br />
<br />
\[<br />
\mathcal{L} \lbrace\ddot{x}\rbrace + \omega ^{2} \mathcal {L}\lbrace x \rbrace= \frac{F}{m} \mathcal{L}{\delta\lbrace (t-t_0)}\rbrace <br />
\]<br />
<br />
\[<br />
s^2 X(s) -sx(0)-\dot {x} (0) + \omega ^2 X(s) = \frac{F}{m}e^{-st_0}<br />
\]<br />
<br />
Donde las condiciones iniciales son:<br />
<br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Por lo que la ecuación queda expresada como:<br />
<br />
\[<br />
X(s) = \frac{F}{m \omega} \frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0} ...(4)\]<br />
<br />
<br />
<br />
Aplicando ahora la transformada inversa en la ecuación (4)<br />
\[<br />
\mathcal{L}^{-1} \lbrace X(s)\rbrace = \frac{F}{m \omega}\mathcal{L}^{-1}\lbrace\frac{\omega}{s^2 + \omega ^2} e^{-st_0}\rbrace<br />
\] <br />
<br />
Resulta <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega}sin(\omega (t-t_0))\mathcal{U}(t-t_0)...(5)<br />
\]<br />
<br />
Y como <br />
\[t_0 =0\]<br />
<br />
Entonces <br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m\omega} sin(\omega t) \mathcal{U}(t)...(6) \]<br />
<br />
La cual es equivalente a:<br />
\[<br />
x(t)=\frac{F}{m \omega} cos(\omega t + \frac{\pi}{2})..(7)<br />
\]<br />
<br />
haciendo una analogía de la ecuación (7) y la ecuación \[x(t) = A\cos(\omega t -\phi)\] se puede observar que la amplitud es: <br />
<br />
\[<br />
A= \frac{p}{m \omega}<br />
\]<br />
y la fase<br />
<br />
\[<br />
\phi=\frac{\pi}{2}<br />
\]<br />
<br />
<br />
----<br />
Otra solución:<br />
----<br />
El impuso que se le imprime se convertirá en energía cinética, por lo que:<br />
\[<br />
E=\frac{1}{2m\dot{x}^2} = \frac{1}{2 k_e A^2}<br />
\]<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:16 9 jun 2020 (CDT)<br />
Luego:<br />
\[<br />
A^2=\frac{m\dot{x}^2}{\omega_0 ^2 m}=\frac{m^2 \dot{x}^2 }{\omega_0 ^2m^2}=\frac{p^2}{\omega_0 ^2 m^2}<br />
\]<br />
Finalmente :<br />
<br />
\[<br />
A=\frac{p}{\omega_0 m}<br />
\]<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:27 8 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Le di un poco de orden al problema y corregí faltas de ortografía<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 22:01 18 feb 2015 (CST)Esther Sarai García González<br />
<br />
--[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 01:07 13 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:54 18 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 21:00 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 1.5 ==<br />
<br />
'''The system shown at rest in fig 1.1(a) could be set into motion by giving it an initial displacement $A_{1}$ and an initial velocity $v_{1}$ (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time $t=0$, show that the amplitude $A$ and the phase constant $\phi$ are given by: '''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png|thumb|175px|Figura 1.1. (a) The prototype vibrator in equilibrium. (b) The mass is instantaneously displaced a distance <math>\psi</math> to the right of its equilibrium position.]]<br />
<br />
<br />
'''El sistema en reposo mostrado en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento dándole un desplazamiento inicial $A_{1}$ y una velocidad inicial $v_{1}$ (ambos a la derecha). Suponiendo que el movimiento se inicia de esta manera en el momento t=0, mostrar que la amplitud $A$ y la constante de fase $\phi$ están dados por:'''<br />
<br />
\begin{equation}<br />
A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Ecuación de Movimiento Armónico Simple:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\psi(t)=A\cos{(w_{0}t+\Phi)}.....(I)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De acuerdo con la condición inicial del problema $(t=0)$ llamaremos $A_{1}$ al desplazamiento y $v_{1}$ a la velocidad, así obtenemos las siguientes identidades:<br />
\begin{equation}<br />
A_{1}= A \cos{\phi}.....(1)<br />
\end{equation} <br />
<br />
\begin{equation}<br />
v_{1}=-Aw_{0} sen{\phi}.....(2)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Sabemos que el Movimiento Armónico Simple está descrito por la ecuación $(I)$, es por ello que en el problema podemos utilizar las relaciones (1) y (2) para cumplir el objetivo.<br />
<br />
Para mostrar que la amplitud del problema está dado por <math>A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}</math>, elevamos al cuadrado las ecuaciones (1) y (2), obteniendo:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2=A^2 \cos^2{ \phi}.....(3)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{v_{1}}^2=A^2 {w_{0}}^2sen^2{\phi}.....(4)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
La ecuación (4) la dividimos por ${w_{0}}^2$ en ambos lados:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}={A}^2 sen^2{\phi}.....(5) <br />
\end{equation}<br />
<br />
De lo anterior podemos simplificar las ecuaciones (3) y (5), y sumando de la siguiente manera:<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 \cos^2{ \phi} + {A}^2 sen^2{\phi}.....(6)<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ecuación (6) factorizamos $A^2$ <br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2 (\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}).....(7)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Hemos llegado a una identidad trigonométrica básica, la cual está dada por $\cos^2{ \phi} + sen^2{\phi}=1$, de esta identidad sustituiremos la suma de las funciones trigonométricas elevadas al cuadrado por su igualdad, obteniendo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
{A_{1}}^2 +\frac{{v_{1}}^2}{{w_{0}}^2}=A^2.....(8)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entonces, sólo despejamos $A$ de la ecuación (8) y tenemos el siguiente resultado:<br />
\begin{equation}<br />
\boxed{A=[{A_{1}}^2 +(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^\frac{1}{2}}.....(9) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<math>\therefore</math> la amplitud Q.E.D.<br />
<br />
<br />
<br />
Para demostrar que el ángulo de fase está dado por $\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}$, primero se toma la ecuación (2) dividiéndola entre $-w_{0}$ para obtener:<br />
\begin{equation}<br />
-\frac{{v_{1}}}{{w_{0}}}={A}sen{\phi}.....(10) <br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
Ahora se toman las ecuaciones (1) y (10), dividiendo la ecuación (10) entre la ecuación (1)<br />
\begin{equation}<br />
\frac{A sen{\phi}}{ A \cos{\phi}}=\frac{\frac{-v_{1}}{w_{0}}}{A_{1}}.....(11)<br />
\end{equation}<br />
<br />
En el bando izquierdo de la ecuación (10) la división de la amplitud $A$ entre la misma amplitud $A$ hacen la unidad y por conocimientos previos sobre trigonometría, sabemos que $\frac{sen{\phi}}{\cos{\phi}}= \tan{\phi}$ y por parte del bando derecho se resuelve la división entre fracciones: <br />
\begin{equation}<br />
\boxed{\tan{\phi}={-\frac{v_{1}}{A_{1}w_{0}}}}.....(12)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase también queda demostrada.<br />
<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 05:59 31 ene 2014 (UTC)<br />
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:39 26 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:11 15 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''Otra forma de hacerlo''' <br />
<br />
Tenemos las funciones que definen al desplazamiento y la velocidad <br />
<br />
\[x(t)=C_{1}cos\omega t+ C_{2}sin\omega t<br />
\]<br />
\[\dot{x}(t)=-C_{1}\omega sin \omega t + C_{2} \omega cos \omega t<br />
\]<br />
<br />
Entonces tenemos como condiciones inciales <br />
\[x(0)=0<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=0\]<br />
<br />
Lo que resulta <br />
<br />
\[x(0)=C_{1}cos\omega (0) + C_{2}sin\omega (0)= C_{1} cos (0) + C_{2} sin (0) = C_{1}<br />
\]<br />
\[\dot{x}(0)=-C_{1}\omega sin \omega (0) + C_{2} \omega cos \omega (0) = -C_{1}\omega sin (0) + C_{2}\omega cos (0) = C_2\omega<br />
\]<br />
<br />
<br />
de donde<br />
<br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
Y finalmente se obtiene<br />
<br />
\[x(t)= A_{0}cos\omega t + \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}} sen \omega t<br />
\]<br />
La cual se puede escribir de las siguientes formas:<br />
<br />
\[x(t)= A sin (\omega + \phi)\] o bien \[x(t)= Acos(\omega - \phi)\]<br />
<br />
Esto se demuetra por las siguentes identidades:<br />
\[C_{1}cos \omega t + C_{2} sen \omega t = A sen (\omega t+ \phi) = A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)\]<br />
<br />
Y luego usamos las siguientes identidades también:<br />
<br />
<br />
\[ A (sen\omega t cos\phi + sen\phi cos \omega t)= (A cos\phi)sen \omega t + (Asen \phi)cos\omega = <br />
(A sen\phi)cos\omega t + (A cos\phi )sen\omega t \]<br />
<br />
<br />
<br />
\[ Asen \phi = C_{1}\] y \[A cos\phi = C_{2}\]<br />
<br />
\[ C_{1}^{2} + C_{2}^{2} = A^{2}sen^{2}\phi + A^{2}cos^{2}\phi = A^{2}(sen^{2}\phi + cos^{2}\phi)= A^{2}\]<br />
<br />
\[A= \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}\]<br />
<br />
por lo tanto<br />
\[\phi = arctan\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\]<br />
y como <br />
\[C_{1}= A_{0}<br />
\]<br />
<br />
\[C_{2}= \dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}<br />
\]<br />
<br />
entonces tenemos que <br />
<br />
<br />
\[A= [A_{0}^{2}+\dfrac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}]^{\dfrac{1}{2}}\]<br />
\[ tan\phi = \dfrac{A_{0} \omega}{v_{0}}\]<br />
O bien <br />
\[ tan\phi = - \dfrac{v_{0}}{A_{0}\omega}\]<br />
<br />
Por lo tanto la ecuación de constante de fase queda demostrada por este método alternativo. <br />
<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 20:27 17 feb 2015 (CST)Esther Sarai Garcia Gonzalez (UAM-I)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST<br />
-- La solución es correcta, me parece que es lo mas cercano a explicar este fenómeno físico al problema que se plantea--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:07 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
'''Solución alternativa utilizando energías'''<br />
<br />
Para demostrar la primera identidad se tiene que la energía mecánica del sistema es igual a la suma de la energía cinética y potencial:<br />
<br />
$ W = K + U.....(eq.1)$ <br />
<br />
Donde $W$, $K$, y $U$ son la energía mecánica, la cinética y la potencial, respectivamente. Tenemos que estas están dadas por:<br />
<br />
$W = {1\over 2}{s}{A}^{2}....(eq.2)$<br />
<br />
$K = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}}.....(eq.3)$<br />
<br />
$U = {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq.4)$<br />
<br />
Donde $s$ es la constante del resorte. Si reemplaza las ecuaciones $2, 3, 4$ en la ecuación $1$ se tiene:<br />
<br />
${1\over 2}{s}{A}^{2} = {1\over 2}{m}{v_{1}^{2}} + {1\over 2}{s}{A_{1}^{2}}.....(eq. 5)$<br />
<br />
Despejando A de esta última ecuación se tiene:<br />
<br />
$A^{2} = {m \over s}{v_{1}^{2}} + {A_{1}^{2}}$<br />
<br />
$A^{2} = (\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}$<br />
<br />
$A = {[(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2} + {A_{1}}^{2}]}^{1/2}$<br />
<br />
Para la segunda identidad se utilizará las ecuaciones de posición y velocidad del cuerpo oscilante:<br />
<br />
$\psi(t)=A\cos{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 6)$<br />
<br />
$\dot{\psi}(t)={-}\omega_{0}A\sin{(\omega_{0}t+\phi)}.....(eq. 7)$<br />
<br />
Reemplazando en las ecuaciones los valores iniciales, se tiene que en $t = 0$ la posición es $A_{1}$ y la velocidad es $v_{1}$. Entonces:<br />
<br />
$A_{1} = Acos{\phi}.....(eq.7)$<br />
<br />
$v_{1} = {-}{A}{\omega_{0}}{sin{\phi}}.....(eq.8)$<br />
<br />
Despejando $A$ de ambas ecuaciones, la ecuación 7 y 8 se convierten en:<br />
<br />
$A = {A_{1} \over cos{\phi}}.....(eq.9)$<br />
<br />
$A = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}.....(eq.10)$<br />
<br />
Respectivamente. Ahora solo se igualan estas dos ecuaciones y se tiene:<br />
<br />
${A_{1} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1} \over {\omega_{0}}{sin{\phi}}}}$<br />
<br />
Y esta igualdad se puede convertir en:<br />
<br />
${sin{\phi} \over cos{\phi}} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
$tan{\phi} = {{-}{v_{1}} \over {{A_{1}}{\omega_{0}}}}$<br />
<br />
Resolviendo el Problema.<br />
<br />
--[[Usuario:Gustavo.uami12|Gustavo.uami12]] ([[Usuario discusión:Gustavo.uami12|discusión]]) 09:55 9 jun 2020 (CDT)<br />
--Propuse una solución alternativa mucho más corta que las dos anteriores.<br />
<br />
== Problema 1.6 ==<br />
'''Calculate (a)the amplitude, (b)the phase constant, and (c)the complex amplitud, for the vibration by''' $\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$<br />
<br />
'''Calcular:'''<br />
'''a) La amplitud.'''<br />
<br />
'''b) La constante de fase.'''<br />
<br />
'''c) La amplitud compleja para la vibración dada: <br />
$\psi=\left(10mm\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)+\left(17mm\right)\sin\left(\omega_{0}t\right)$.'''<br />
<br />
Solución: <br />
(a)La solución general del movimiento armónico simple considerando las condiciones iniciales, está dada por:<br />
<math>\psi=A_{0}\sin(\omega_{0}t+\phi)</math><br />
<br />
donde <br />
$\mathit{A_{0}}$ es la amplitud que queremos encontrar.<br />
<br />
Desarrollando la función en términos de seno:<br />
\[A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\text{+}\phi\right)=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
Igualando se obtiene entonces que:<br />
\[A\cos\omega_{0}t+B\sin\omega_{0}t=A_{0}\sin\left(\omega_{0}t\right)\cos\left(\phi\right)+A_{0}\sin\left(\phi\right)\cos\left(\omega_{0}t\right)\]<br />
<br />
De aquí obtenemos las siguientes dos ecuaciones:<br />
<br />
\[A=A_{0}\cos\left(\phi\right)................ (1) \]<br />
<br />
\[B=A_{0}\sin\left(\phi\right)................ (2) \]<br />
<br />
Se identifica, $A=10 \, mm$ y $B= 17 \, mm$.<br />
<br />
Elevamos al cuadrado (1) y (2), y sumamos:<br />
<br />
\[A^{2}+B^{2}=A_{0}^{2}\cos^{2}\left(\phi\right)+A_{0}^{2}\sin^{2}\left(\phi\right)\]<br />
<br />
:<math>A^{2}+B^{2}=A_0^2</math> dado que <math>\cos^{2}(\phi)+\sin^{2}(\phi)=1</math><br />
<br />
:<math>A_{0}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}</math><br />
<br />
Procedemos a sustituir y operar, lo que resulta<br />
<br />
:<math> A_{0}=19.7 \, mm </math><br />
<br />
(b) Tomemos nuevamente las ecuaciones (1) y (2)<br />
<br />
<br />
dividimos $\frac{B}{A}=\tan\left(\phi\right)$<br />
<br />
<br />
y despejando $\phi$ obtenemos:<br />
<br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)\]<br />
<br />
Sustituyendo tenemos que: <br />
<br />
\[\phi=\arctan\left(\frac{17}{10}\right)\]<br />
<br />
<br />
Por tanto, $\phi=59.5$<br />
<br />
(c) Por la relación matemática que existe entre los números complejos y las vibraciones (ver fasores) podemos ver que la amplitud compleja será:<br />
<br />
\[A_{0}=A+iB=10mm+i(17mm)\]<br />
<br />
<br />
----<br />
En el enunciado del problema 1.6 lo reescribí en español [[Usuario:Israel López|Israel López]] ([[Usuario discusión:Israel López|discusión]]) 21:51 27 ene 2014 (UTC)<br />
----<br />
Creo que hay un error en las ecuaciones 1 y 2, los valores de A y B estan intercambiados<br />
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 13:32 17 feb 2014 (UTC)<br />
----<br />
[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 23:22 18 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregí algunas faltas de ortografía y poco de la teoría--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 23:16 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
----<br />
Esta muy bien desarrollado y la teoría explica el planteamiento del ejercicio<br />
[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:19 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Corregi algunas ecuaciones y edite un poco. --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:43 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.7 ==<br />
<br />
<br />
===Solución 1===<br />
<br />
'''During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 18:53 15 may 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 2===<br />
<br />
Fe de erratas. '''Correcciones sobre el problema 1.7.'''<br />
<br />
En efecto, la frecuencia angular está dada por:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi\nu</math><br />
<br />
<br />
al sustituir las cantidades,<br />
<br />
<math>\omega=134.15Hz</math><br />
<br />
<br />
Y, además, haciendo una conversión:<br />
<br />
<math>1ms=0.001s</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow12ms=0.012s</math><br />
<br />
<br />
Así, pues, dadas las condiciones iniciales<br />
<br />
<math>\psi(0)=0.03m</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow Acos\phi=0.03m</math><br />
<br />
<br />
entonces, tomando la siguiente condición <br />
<br />
<math>\psi(0.012)=-0.014m</math><br />
<br />
<br />
se obtiene.<br />
<br />
<math>-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.02+C_{2}0.06</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow C_{2}=-0.56</math><br />
Dado que<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen\phi</math><br />
<br />
por tanto, en la ec. (1.1), resulta:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath0.56m</math><br />
<br />
En el 1.7 realicé la traducción [[Usuario:Aura Yazmin Bejarano Olvera|Aura Yazmin Bejarano Olvera]] ([[Usuario discusión:Aura Yazmin Bejarano Olvera|discusión]])<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 3===<br />
<br />
La solución a este problema la realice de la siguiente manera:<br />
Tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega_{0}t+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\& <br />
<br />
\[<br />
\omega_{0}=\nu_{0}2\pi<br />
\]<br />
<br />
<br />
Luego, con las condiciones iniciales $\psi(0s)=x_{1}=30$ mm y $\psi(12ms)=x_{2}=-14$mm<br />
tendremos que:<br />
<br />
\[<br />
\psi(0s)=x_{1}=Acos(\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\psi(0.012s)=x_{2}=Acos(\omega_{0}(12ms)+\phi)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=Acos(\phi)cos(\omega_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(\omega_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Pero $Acos(\phi)=x_{1}$, asi:<br />
<br />
\[<br />
x_{2}=x_{1}cos(2\pi\nu_{0}(0.012s))-Asen(\phi)sen(2\pi\nu_{0}(0.012s))<br />
\]<br />
<br />
<br />
Tenemos también que:<br />
<br />
\[<br />
cos(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.99<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
sen(2\pi(50Hz)(0.012s))\cong0.06<br />
\]<br />
<br />
<br />
Asi:<br />
<br />
\[<br />
-0.014m=(0.03m)(0.99)-Asen(\phi)(0.06)<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)(0.06)=0.029m+0.014m<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
Asen(\phi)=\frac{0.043m}{0.06}=0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
Por lo cual la amplitud compleja es igual a:<br />
<br />
\[<br />
D=0.03m+i0.071m<br />
\]<br />
<br />
<br />
La nueva solución fue realizada por: [[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] el 19 de Febrero de 2014.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
===Solución 4===<br />
<br />
'''During a vibration with frequency of $50 Hz$, the displacement is observed to be $30 mm$ at time $t=0$, and $-14 mm$ at $t=12 \, ms$. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
'''Durante una vibración de frecuencia $50 Hz$, el desplazamiento observado es $30 mm$ al tiempo $t=0$, y $-14 mm$ al tiempo $t=12 \, ms$. Encuentre la amplitud compleja.'''<br />
<br />
<br />
Para empezar tenemos que calcular la frecuencia angular a partir de la frecuencia dada.<br />
$w_0=2 \pi v=2 \pi (50 Hz) =100 \pi \,s^{-1}$ <br />
<br />
Luego sabemos que la forma compleja (forma D en el Main, Iain G., ''Vibrations and Waves in Physics'', 1993) es $ \psi (t)=Re[D \, e^{i w_0 t}] $, donde $D=a+i \, b$. Además sabemos dos condiciones iniciales, por lo que podemos determinar dos constantes $a$ y $b$.<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{1}<br />
\psi (0 \, s)=30 \, mm <br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{2}<br />
\psi (12 \, ms)= \psi (.012\,s)=-14 \, mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
De la ec. $(1)$ obtenemos la constante $a$.<br />
$\psi (0)=Re[D e^{i w_0 (0)}]=Re[(a+ib) (1)]=30\,mm$<br />
<br />
Evaluando la parte real, entonces...<br />
\begin{equation}<br />
\label{3}<br />
a=30\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si utilizamos la ec. $(2)$, encontraremos la constante faltante, $b$.<br />
$\psi (.012 \,s)=Re[D \, e^{i (100 \pi \, s^{-1}) (0.012 \, s)}]=-14 \, mm$<br />
$Re[(a+ib)(cos(1.2 \pi)+i\,sen(1.2 \pi))]=-14 \, mm$<br />
<br />
De nuevo se evalua la parte real del número complejo y luego se despeja $b$.<br />
$ a \, cos(1.2 \pi)-b \, sen(1.2 \pi)=-14 \, mm $<br />
$ b=\frac{14\,mm+(30\,mm)\,cos(1.2 \pi)}{sen(1.2 \pi)} $<br />
\begin{equation}<br />
\label{4}<br />
\,<br />
b \approx 17.47323498\,mm<br />
\end{equation}<br />
<br />
Si juntamos $(3)$ y $(4)$, la amplitud compleja es<br />
$D=30\,mm+i\,17.47323498\,mm$<br />
Y la función es <br />
<br />
\begin{equation}<br />
\label{5}<br />
\psi (t)=Re[(30\,mm+i\,17.47323498\,mm)\, e^{i\, (100\pi \,s^{-1}) \, t}]<br />
\end{equation}<br />
<br />
La comprobación se realiza evaluando la ecuación $(5)$ a los tiempos $t=0 \, s$ y $t=0.012 \, s$, lo cual nos da las condiciones iniciales de $(1)$ y $(2)$.<br />
$ \, $<br />
<br />
Solución realizada por: [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]]([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) el 14 de Febrero de 2014<br />
<br />
<br />
----<br />
Separé la solución de César Iván e hice algunas correcciones ortográficas. --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:56 19 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Algunas correciones --[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:32 20 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Falta un poco de teoría del planteamiento del problema--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:23 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
Agregado un nuevo subíndice, espero que no sea confuso.--[[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 23:48 22 feb 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
Arreglé el código porque varias expresiones matemáticas no salían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 20:26 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 1.8 ==<br />
'''Calculate the maximum acceleration (in units of $g$) of pickup stylus reproducing a frequency of $16 kHz$, with an amplitude of $0.01mm$.'''<br />
<br />
'''Calcule la aceleración máxima (en unidades de $g$) de una aguja que reproduce una frecuencia de $16 kHz$, con una amplitud de $0,01 mm$.'''<br />
<br />
El problema nos proporciona los siguientes datos:<br />
$f =16kHz = 16000Hz$<br />
$A = 0.01mm = 0.00001m$<br />
<br />
Resultado:<br />
<br />
Sabemos que podemos expresar la frecuencia angular como la frecuencia por $2\pi$:<br />
\[<br />
\omega=2\pi f...(1)<br />
\]<br />
<br />
Ahora sustituimos el valor de la frecuencia($f =16000Hz$) en la ecuación 1:<br />
<br />
\[\omega=2\pi(16000Hz)\]<br />
<br />
Luego obtenemos una nueva ecuación ya con el valor de $f$ evaluado:<br />
<br />
\[\omega=32000\pi<br />
\frac{rad}{s}\]<br />
<br />
<br />
\[{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}...(2)\]<br />
<br />
Un dato importante en este momento, es la expresión para la aceleración máxima en el movimiento armónico simple:<br />
<br />
\[ \frac{d^2x}{dt^2} = a(t) = -\omega^2x\]<br />
<br />
Donde $x$ es la solución para el movimiento armónico simple ,osea , $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. El valor de $x$ será máximo cuando el $\cos(\omega t + \phi)=1$ alcance su valor máximo y esto sucede cuando es igual uno. Por tal razón podemos expresar la aceleración máxima como sigue:<br />
<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}\]<br />
<br />
Finalmente sustituimos el valor de $\omega$ elevado al cuadrado proveniente de la ecuación 2:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}\]<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}\]<br />
<br />
Ahora hay que dividir el resultado obtenido en la ecuación 3 entre $g$ para expresarlo en unidades de $g$.Usamos primero:<br />
<br />
\[g=9.8\frac{m}{s^2}\]<br />
<br />
Y obtenemos la aceleración máxima en unidades de $g$:<br />
<br />
\[\left\Vert a_{max}\right\Vert =10312.729g\]<br />
<br />
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 04:51 21 feb 2014 (UTC)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 20:22 18 feb 2015 (CST)<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
--Entendible y bien desarrollado----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:32 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema 1.9 ==<br />
<br />
1.9.- '''Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta<br />
'''a un muelle '''de constante de recuperación de 4 dinas/cm.<br />
'''Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo.<br />
Calcular:''' a) la frecuencia propia y el periodo, ''' b) la energía total<br />
y '''c) la velocidad máxima.'''<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Se sabe que el bloque fue estirado 3cm, además debido a que se desprecía<br />
la fricción entre el bloque y la superficie en la que se encuentra<br />
ya sabemos que la amplitud máxima del sistema es de 3cm.<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Por otro lado, al tratarse de un oscilador armónico simple y al saber<br />
que la única fuerza que actuá en la misma línea de acción del movimiento<br />
es la fuerza del resorte, entonces tenemos:<br />
La energia potencial correspondiente a dicha fuerza es:<br />
<br />
:<math>U\left(x\right)=\frac{1}{2}kx^{2}</math><br />
<br />
<br />
La fuerza y la energia potencial estan relacionadas por :<br />
<br />
:<math>F\left(x\right)=-\frac{dU}{dx}<br />
x</math><br />
<br />
Ahora , aplicando la segunda ley de Newton: :<math>F=m\ddot{x}:</math><br />
<br />
:<math>kx=m\ddot{x}</math><br />
<br />
Ahora, dividiendo entre “m” e igualando la expresion a cero, se tiene :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
y al resolver la ecuación diferencial obtenemos como solución<br />
<br />
\[<br />
x(t)=ACos(wt)+BSen(wt)\;\;\;\;;\;\;\; w=\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\]<br />
<br />
<br />
Además de las condiciones iniciales tenemos:<br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Cuando $t=0$ la posición inicial es $x(t=0)=3cm$ y cuando $t=0$<br />
la velocidad inicial es $\dot{x}(t=0)=0$<br />
<br />
\[<br />
x(t=0)=A=3\;\;\;;\;\;\;\dot{x}(t=0)=B=0<br />
\]<br />
<br />
<br />
\[<br />
\therefore\;\;\; x(t)=3Cos(wt)<br />
\]<br />
<br />
<br />
de aquí podemos decir que el bloque estará oscilando en $-3\leq x(t)\leq3$<br />
y que la velocidad máxima del bloque es justamente cuando el bloque<br />
no esta elongado, es decir cuando $x(t=t_{0})=0$ <br />
<br />
$\;$<br />
<br />
Ahora por otro lado, sabemos que cuando el bloque tiene velocidad<br />
máxima justo en ese instante la energía del sistema es en su totalidad<br />
energía cinética ya que al no estar el bloque elongado este no tiene<br />
energía potencial.<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=T+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\;\;\quad al\; sustituir\;\; x(t)\;\; y\;\;\dot{x}(t)\;\quad llegamos\; a<br />
\]<br />
<br />
<br />
\begin{equation}<br />
E_{T}=\frac{1}{2}kA^{2}\; con\; A=3<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
entonces al igualar la energía total con la energá cinética máxima<br />
obtenemos la velocidad máxima<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}m\dot{x}_{max}^{2}\Rightarrow\dot{x}_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
<br />
a) La frecuencia propia esta dada por $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$<br />
y haciendo la conversion correcta al SI tenemos $f=1.59\frac{1}{s}$<br />
<br />
y en de forma inmediata el periodo es $T=\frac{1}{f}\;\;\Rightarrow T=0.63s$<br />
<br />
b) La energía total del sistema esta dada por $(2)$<br />
<br />
\[<br />
E_{T}=4.5\times10^{-3}Joules<br />
\]<br />
<br />
<br />
c) La velocidad máxima que experimenta el bloque esta dada por $(3)$<br />
<br />
\[<br />
\dot{x}_{max}=0.3\frac{m}{s}<br />
\]<br />
<br />
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 21:59 25 ene 2014 (UTC)<br />
<br />
--Falta explicar como obtiene la ecuación diferencial del oscilador armonico simple, y como obtiene las condiciones iniciales partiendo del problema----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 23:35 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
--Solo cambio y completo mas la teoría de como obtiene la ecuación diferencial del oscilador----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:03 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema 1.10==<br />
1.10 Comprobar que la ecuación diferencial $\nicefrac{d^{2}y}{dx^{2}=-ky}$tiene<br />
por solución $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$ siendo A y B constantes arbitrarias.<br />
Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma $y=Ccos(kx+\alpha)=C$<br />
$\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
y expresar C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
SOLUCIÓN:<br />
<br />
Por segunda ley de Newton tenemos:<br />
<br />
\[<br />
|\overrightarrow{F}|=m|\vec{a}|\rightarrow-kx=m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}<br />
\]<br />
<br />
entonces derivamos dos veces a $y=Acos(kx)+Bsen(kx)$<br />
<br />
\[<br />
\frac{dy}{dx}=-kAsen(kx)+kBcos(kx)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\frac{d^{2y}}{dx^{2}}=y=-k^{2}Acos(kx)-k^{2}Bsen(kx)=-k^{2}\left[Acos(kx)+Bsen(kx)\right]=-k^{2}y<br />
\]<br />
<br />
donde <br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Sean<br />
\begin{equation}<br />
A=Ccos(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
B=-Csen(\theta)<br />
\end{equation}<br />
<br />
Entoces:<br />
<br />
\[<br />
y=Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(\theta)cos(kx)-Csen(\theta)sen(kx)<br />
\]<br />
<br />
Aplicando la propiedad trigonometrica de la suma de los ángulos del<br />
coceno<br />
<br />
\[<br />
cos\left(a+b\right)=cos\left(a\right)cos\left(b\right)-sen\left(a\right)sen\left(b\right)<br />
\]<br />
<br />
tenemos:<br />
<br />
\[<br />
=C[cos(kx)cos(\theta)-Csen(kx)sen(\theta)]=C[cos(kx+\theta)]<br />
\]<br />
<br />
quedando asi demostrada la primera parte.<br />
<br />
Ahora demostraremod que $y=Ccos(kx+\alpha)=C\mathbb{R}\epsilon\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R\epsilon}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]$<br />
<br />
De los números complejos sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
z=e^{i\alpha}=cos(\alpha)+isen(\alpha)<br />
\]<br />
<br />
aplicando propiedades de los expenontes, y teniendo en cuenta que<br />
la parte real de $z=cos(\alpha)$ y el resultado anterior tenemos<br />
que:<br />
<br />
\[<br />
y=C\mathbb{R}\left[e^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[Ce^{i(kx+\alpha)}\right]=\mathbb{R}\left[(Ce^{i\alpha})e^{ikx}\right]<br />
\]<br />
<br />
demoatrando lo pedido.<br />
<br />
Por último expresaremos C y \textgreek{a} en función de A y B.<br />
<br />
Si elevamos al cuadrado las ecuaciones 1 y 2 tenemos que<br />
<br />
\[<br />
A^{2}+B^{2}=C^{2}cos^{2}\left(\theta\right)+\left(-C\right)^{2}sen^{2}\left(\theta\right)=\left[C^{2}(cos^{2}\left(\theta\right)+sen^{2}\left(\theta\right))\right]=C^{2}<br />
\]<br />
<br />
entonces<br />
<br />
\begin{equation}<br />
C^{2}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
para \textgreek{j} tenemos que:<br />
<br />
\[<br />
tan\left(\theta\right)=\frac{A}{B}=\frac{-Csen(\theta)}{Ccos(\theta)}=-tan\left(\theta\right)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\theta=arctan\left(-\frac{B}{A}\right)<br />
\]<br />
--Añadi un nuevo problema----<br />
== Problema I.I ==<br />
'''A piston executes harmonic motion with an amplitude of $0.1m$. If it passes through the center of its motion with a speed of $0.5m/s$, what is the period of oscillation?'''<br />
<br />
'''Un pistón realiza un movimiento armónico con una amplitud de $0.1m$. Si pasa por el centro de su movimiento con una velocidad de $0.5m/s$, ¿cuál es su periodo de oscilación?.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que para el movimiento armónico simple('''MAS'''), podemos proponer una solución del tipo:<br />
<br />
<math><br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
por lo que, al derivar la función de posición, obtenemos la velocidad como función del tiempo:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
</math><br />
<br />
Ahora bien, dadas las condiciones del problema, tenemos que resolver las ecuaciones para la posición y la velocidad de manera simultanea. Por lo tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = A \cos(\omega t + \phi) \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega A \sin(\omega t + \phi)<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
y sustituyendo las condiciones de frontera del problema, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\begin{cases}<br />
\psi (t) = (0.1m) \cos(\omega t + \phi) = 0 \\<br />
\dot{\psi} (t) = -\omega (0.1m) \sin(\omega t + \phi) = 0.5m/s<br />
\end{cases}<br />
</math><br />
<br />
Para que se cumpla la primera ecuación, la única posibilidad es que $\cos(\omega t + \phi) = 0$ y para ello, $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. <br />
<br />
Si tomamos ahora la segunda ecuación:<br />
<br />
<math><br />
-\omega \sin(\omega t + \phi) = \dfrac{0.5m/s}{0.1m} \Rightarrow -\omega \sin(\omega t + \phi) = 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Pero al estar resolviendo un sistema de ecuaciones, debemos considerar la condición de que $\omega t + \phi = (2n-1) \pi / 2$ con $i = 1,2,3,\ldots$. Y bajo las condiciones anteriores, $\sin(\omega t + \phi) = \pm 1$, por lo que la segunda ecuación queda como:<br />
<br />
<math><br />
w = \pm 5s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
Tomando $|\omega|$ y la definición de $T=2\pi / \omega \Rightarrow T = 2\pi / (5s^{-1})$, con lo que tendremos la solución deseada:<br />
<br />
<math><br />
T = \dfrac{2\pi}{5s^{-1}} \approx 1.25663<br />
</math><br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:09 14 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Problema I.II ==<br />
'''A particle undergoes harmonic motion with a frequency of $10$Hz. Find the displacement $\psi$ at any time $t$ for the following initial condition: $t=0$, $\psi=0.25m$, $\dot{\psi}=0.1m/s$.'''<br />
<br />
'''Una partícula sigue un movimiento armónico con una frecuencia de $10Hz$. Encuentre el desplazamiento $\psi$ para cualquier tiempo $t$ con las condiciones iniciales: $\psi(t=0)=0.25m,\dot{\psi}(t=0)=0.1m/s$.'''<br />
<br />
----<br />
<br />
Proponemos la siguiente solución:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi)...(1)<br />
</math><br />
<br />
con lo que la velocidad será:<br />
<br />
<math><br />
\dot{\psi}(t) = -\omega A\sin(\omega t + \phi)...(2)<br />
</math><br />
<br />
y aplicando las condiciones iniciales y sabiendo que $\omega = 2\pi \nu = 2\pi (10Hz) = 20\pi s^{-1}$ tendremos lo siguiente:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t=0) = A\cos(\phi) = 0.25m \\<br />
\dot{\psi}(t=0) = -(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi) = 0.1m/s<br />
</math><br />
<br />
Y dividiendo la ecuación (2) entre la (1):<br />
<br />
<math><br />
\dfrac{-(2\pi)(10Hz) A\sin(\phi)}{A\cos(\phi)} = \dfrac{0.1m/s}{0.25m} <br />
\Rightarrow \tan(\phi) = \dfrac{0.1m/s}{-(2\pi)(10Hz)(0.25m)}<br />
</math><br />
<br />
y realizando los cálculos:<br />
<br />
<math><br />
tan(\phi) \approx -6.3661x10^{-3} \Rightarrow \phi \approx \arctan(-6.3661x10^{-3}) <br />
\Rightarrow \phi \approx -6.3661x10^{-3}<br />
</math><br />
<br />
Retomando la ecuación para el desplazamiento y el valor de $\phi$:<br />
<br />
<math><br />
A \cos(\phi) = 0.25m \Rightarrow A = \dfrac{0.25m}{\cos(-6.3661x10^{-3})} \Rightarrow A = 0.25m<br />
</math><br />
<br />
De tal forma que la función $\psi(t)$ se puede escribir como:<br />
<br />
<math><br />
\psi(t) = A\cos(\omega t + \phi) = (0.25m) \cos\left((20\pi s^{-1})t -6.3661x10^{-3}\right)...(4)<br />
</math><br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 13:39 14 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 21:27 19 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez<br />
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 17:26 26 feb 2015 (CST)<br />
<br />
== Solución vectorial del oscilador armónico del capítulo 1 ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
En esta parte lo que pretendo es llegar a la solución vectorial del oscilador armónico de la forma: <br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}</math> para la ecuación diferencial de segundo orden<br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Descomponiendo esta ecuación en un sistema de ecuaciones de primer orden <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{1}=\psi_{2}....(1)</math> <br />
<br />
<br />
:<math>\dot\psi_{2}=-\omega_{0}^{2}\psi....(2)</math> <br />
<br />
<br />
A este sistema le asociamos una matriz <math>A</math> <br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Los valores propios para esta matriz son: <br />
<br />
<br />
:<math>\lambda=\pm\omega_{0}i</math><br />
<br />
<br />
Buscamos ahora los vectores propios para los valores de <math>\lambda</math>. De hecho,<br />
sólo podemos tomar el valor positivo ya que para valor propio complejo su vector propio asociado viene en par conjugado<br />
<br />
<br />
:<math><br />
A = \left( \begin{array}{lcccl}<br />
-\omega_{0}i & 1 \\<br />
-\omega_{0}^{2} & -\omega_{0i} \\<br />
\end{array}<br />
\right)=<br />
\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
<br />
</math><br />
<br />
<br />
El vector propio asociado a <br />
<br />
:<math>\lambda=\omega_{0}i</math> es<br />
<br />
<br />
:<math>V=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
1 \\<br />
\omega_{0}i \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
Entonces formando la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>P=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\frac{1}{\omega_{0}} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Su inversa de <math>P</math> es <br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
0 & -1 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math> <br />
<br />
<br />
Ahora para desacoplar el sistema de ecuaciones (1) y (2) calculamos<br />
<br />
<br />
:<math>P^{-1}AP=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
0 & -\omega_{0} \\<br />
\omega_{0} & 0 \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Que es una diagonalización y la matriz <br />
<br />
<br />
:<math>B=e^{0}\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & -\sin\omega_{0}t \\<br />
\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
<br />
La utilizamos para calcular <br />
<br />
<br />
:<math>e^{At}</math><br />
<br />
<br />
:<math>\psi(t)=e^{At}=PBP^{-1}=\left( \begin{array}{lcccl}<br />
\cos\omega_{0} & \frac{1}{\omega_{0}}\sin\omega_{0}t \\<br />
-\omega_{0}\sin\omega_{0}t & \cos\omega_{0}t \\<br />
\end{array}<br />
\right)</math><br />
<br />
<br />
Esta es la solución vectorial para la ecuación <br />
<br />
<br />
:<math>\ddot\psi(t)+\omega_{0}^{2}\psi=0</math><br />
<br />
<br />
Resuelto por Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:22 17 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 21:35 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:48 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema l.lll==<br />
<br />
<br />
<br />
'''Una partícula de 12.3 Kg experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 1.86mm. Su aceleración máxima es <math>7.93 km/s^2</math>. a)Encuentre el periodo de movimiento. b)¿Cúal es la velocidad máxima? c) Calcule la energía mecánica total de este oscilador armónico simple.'''<br />
<br />
Tratándose de un movimiento armónico simple recurriremos a la siguiente expresión diferencial, que modela el movimiento armónico simple :<br />
<br />
:<math> m \ddot{\psi}+s{\psi}=0 ... (1)</math><br />
Donde <math>s</math> es el coeficiente de restitución y <math> \ddot{\psi} </math> la aceleración. <br />
<br />
Al dividir la ecuación (1) por <math>m</math> obtenemos que:<br />
:<math>\ddot{\psi} + {s \over m} {\psi} = 0 ... (2)</math><br />
<br />
Donde la expresión (2) queda satisfecha por:<br />
\[<br />
\psi(t)=Acos(\omega t + \phi)<br />
\]<br />
<br />
Donde <math>\omega_{0}= \sqrt{s \over m} </math> es la frecuencia angular. Al calcular la primera derivada de <math>\psi</math> obtenemos la velocidad y la aceleración al volverla a derivar por segunda vez, es decir que:<br />
\[\dot{\psi}(t)=-A \omega Sen(\omega t + \phi)...(3)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)=-A \omega^2 Cos(\omega t + \phi)...(4)\]<br />
<br />
Analizando las ecuaciones (3) y (4), notamos que las funciones seno y coseno oscilan entre <math>\pm1</math>, por lo que los valores extremos para la velocidad son <math>\pm A\omega</math>. De una forma análoga para la aceleración, los valores extremos que puede tomar son <math>\pm A\omega^2</math>, en consecuencia los valores ''máximos'' para la aceleración y la velocidad:<br />
<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega ...(5)\]<br />
\[\ddot{\psi}(t)= A \omega^2 ...(6)\]<br />
<br />
La energía ó [[Ondas: conservacion]] está dada por:<br />
\begin{equation}<br />
W = T + V =Cte<br />
\end{equation}<br />
<br />
Donde $T$ es la energía cinética y $V$ es la energía potencial, por lo que podemos redefinirla como:<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}m\dot{\psi}^{2}+\frac{1}{2}s\psi^{2}=\frac{1}{2}sA^{2}= \frac{1}{2} \omega^2 mA^{2}...(7)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
a) El periodo del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la partícula realize un ciclo completo de su movimiento, por lo que:<br />
<br />
<math>\tau= \frac{2\pi}{\omega}...(8)</math> <br />
<br />
Como tenemos los valores de la aceleración máxima y la amplitud, despejamos a <math>\omega</math> de la ecuación (6), luego sustituimos los valores conocidos para obtener el valor de <math>\omega</math>.<br />
\[\omega= \sqrt{\ddot{\psi} \over A} = \sqrt{7.93x10^3 {m \over s^2} \over 1.8x10^{-3} m} = 2.10x10^{3} \frac{rad}{s} \]<br />
<br />
por lo que al sustituir el valor de <math>\omega</math> en (8) obtenemos que:<br />
<br />
<br />
<math>\tau= {{2 \pi} \over {2.10x10^{3} \frac{rad}{s}} = 3.00x10^{-3} s = 3.00 ms </math> <br />
<br />
b) Para la velocidad usaremos la expresión (5):<br />
\[\dot{\psi}(t)= A \omega = (1.86x10^{-3}m)(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})=3.90 {m \over s} \]<br />
<br />
c) Para la enegía mecánica total usaremos la expresion (7):<br />
<br />
<math><br />
W=\frac{1}{2}\omega^2 m A^{2}=\frac{1}{2}(2.10x10^{3} \frac{rad}{s})^2 (12.3 Kg)(1.86x10^{-3} m)^{2} =90.7 J<br />
</math><br />
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 20:33 19 feb 2015 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:LeonardoFR|LeonardoFR]] ([[Usuario discusión:LeonardoFR|discusión]]) 17:28 9 jun 2020 (CDT)<br />
----<br />
<br />
== Problema 1-12, French ==<br />
<br />
'''Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm/s. El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Para t=0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un angulo 30° con el eje x. '''<br />
<br />
'''(a) Obtener la ecuación de la coordenada x del punto en función del tiempo en la forma <math>x=A\cos(\omega t+\alpha)</math>, conocidos los valores numéricos de A, <math>\omega</math> y <math>\alpha</math> '''<br />
<br />
'''(b) Hallar los valores de $x$, <math>\frac{dx}{dt}</math> y <math>\frac{d^{2}x}{dt^{2}}</math> para t=2 s'''<br />
<br />
Dado que el punto tarda 6 seg en dar una vuelta completa y este se mueve con una velocidad de 50 cm/s; la circunferencia mide,<br />
<br />
:<math>l=50\frac{cm}{s}\times6seg=300cm</math><br />
<br />
y dado que...<br />
<br />
:<math>l=2\pi r</math><br />
<br />
:<math>r=\frac{l}{2\pi}=\frac{300cm}{2\pi}\backsimeq47.7cm</math><br />
<br />
el resultado anterior es la máxima distancia del punto en el eje x, es<br />
decir es la amplitud.<br />
<br />
Ahora,<br />
<br />
:<math>T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
:<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{6s}=\frac{\pi}{3}s^{-1}</math><br />
<br />
Dado que en $t=0$ el punto forma un ángulo de<br />
<br />
:<math>\frac{\pi}{6}</math> <br />
<br />
con en eje x, y pensando que el ángulo fue medido de la forma normal, anti-horaria se tiene que <br />
<br />
:<math>\alpha=-\frac{\pi}{6}</math><br />
<br />
y,<br />
<br />
:<math>x(t)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Ahora se calculara su posición, velocidad y aceleración en $t=2 s$.<br />
<br />
Para calcular la posición primero sustituimos $t=2$<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar el argumento del argumento del coseno, calcular el resultado es trivial:<br />
<br />
<br />
:<math>x(t=2s)=\frac{150}{\pi}\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0</math><br />
<br />
Para la velocidad, primero debemos derivar la función de la posición,<br />
<br />
<br />
:<math>\frac{dx(t)}{dt}=v(t)=-\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(\frac{150}{\pi}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Después de simplificar nos queda:<br />
<br />
:<math>v(t)=-50\sin\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$,simplificamos el argumento del seno y calcular el resultado es trivial,<br />
<br />
:<math>v(t=2s)=-50\sin\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-50\sin\left(\frac{1}{2}\pi\right)=-50\frac{cm}{s}</math><br />
<br />
<br />
Para la aceleración primero derivamos la velocidad<br />
<br />
:<math>\frac{dv(t)}{dt}=a(t)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}t-\frac{\pi}{6}\right)</math><br />
<br />
Sustituimos $t=2s$, simplificamos en argumento del coseno y calcular el resultado se hace trivial:<br />
<br />
:<math>a(t=2s)=-50\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(2\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{50}{3}\pi\cos\left(\frac{1}{2}\pi\right)=0<br />
</math><br />
<br />
--[[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 02:10 20 feb 2015 (CST)<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 08:28 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Sólo reescribí la solución de los últimos cálculos explicando un poco más[[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:30 8 jun 2020 (CDT)<br />
<br />
== Problema 11-21, Física general Sears-Zemansky Ed. 4ta ==<br />
<br />
<br />
'''Una masa $m$ oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Determine:'''<br />
<br />
'''a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte. '''<br />
<br />
'''b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos'''<br />
<br />
Solución: <br />
<br />
Por la relación <br />
\[<br />
\omega_{0}=(\frac{k}{m})^{\frac{1}{2}}...(a)<br />
\] <br />
<br />
y <br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}...(b)<br />
\]<br />
<br />
donde $\omega{}_{0}$ es la frecuencia angular y $\upsilon_{0}$ la frecuencia; se puede sustituir (a) en (b) para obtener: <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}<br />
\] <br />
<br />
donde $k$ en la constante del resorte respectivo y $m$ la masa.<br />
<br />
Del problema conocemos la frecuencia, antes y después de ser agregada la segunda masa, <br />
<br />
la cual también conocemos, y la amplitud. <br />
<br />
a)Por lo tanto se puede expresar : <br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}m}\ldots(1)<br />
\]<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{2}^{2}=\frac{k}{4\pi^{2}(m+.3kg)}\ldots(2)<br />
\]<br />
<br />
Donde $\upsilon_{1}$ y $\upsilon_{2}$ representan las frecuencias antes y después de colocar la segunda masa. <br />
<br />
De las ecs. (1) y (2), podemos despejar $k$ e igualar de la siguiente manera:<br />
<br />
\[<br />
\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m=\upsilon_{2}^{2}4\pi^{2}(m+.3)<br />
\]<br />
<br />
y despejando $m$ queda <br />
<br />
\[<br />
m=\frac{.3*.5^{2}}{(1^{2}-.5{}^{2})}=.1<br />
\] <br />
<br />
Por lo tanto $m=100g$ y despejando $k$ de (1) tenemos<br />
<br />
\[<br />
k=\upsilon_{1}^{2}4\pi^{2}m\ldots\ldots(3)<br />
\] <br />
<br />
\[<br />
k=1^{2}4\pi^{2}(.1)=3.947<br />
\] <br />
<br />
Entonces $K=3.947N/m$<br />
<br />
(b)Para calcular la amplitud en la segunda situación tenemos la relación siguiente: <br />
<br />
Conocemos...<br />
<br />
\[<br />
E_{m1}=\frac{1}{2}kA_{1}^{2}\ldots\ldots\ldots(\alpha)<br />
\] <br />
<br />
Y también sabemos que:<br />
<br />
\[<br />
E_{m2}=\frac{1}{2}kA_{2}^{2}\ldots\ldots\ldots(\beta)<br />
\] <br />
<br />
Pero como como $E_{m1}=E_{m2}$ entonces al igualar ($\alpha$) y ($\beta$) sabremos que:<br />
<br />
\[<br />
A_{1}^{2}=A_{2}^{2}<br />
\] <br />
<br />
Por lo que $A_{2}^{2}=.05m$<br />
<br />
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 07:54 21 feb 2015 (CST)<br />
<br />
----<br />
== Problema oscilador armónico ==<br />
'''El desplazamiento de una partícula viene dado por:'''<br />
:<math>x(t) = 0.3 \cos(2 t + \frac{\pi}{6})\,</math> $x$ en metros y $t$ en segundos.<br />
<br />
'''a) Determinar la frecuencia, el periodo, la amplitud, la pulsación y la fase inicial.<br />
'''<br />
<br />
'''b) ¿Dónde se encuentra la partícula en $t$ = 1s?'''<br />
<br />
'''c) Calcula la velocidad y la aceleración en un instante cualquiera $t$.'''<br />
<br />
'''d) Calcula la posición y velocidad inicial.'''<br />
<br />
<br />
:Solución: <br />
<br />
a) Observamos que se trata de un movimiento armónico simple, cuya ecuación general viene dada por:<br />
<br />
<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
<br />
Comparando directamente tenemos que $A=0.3 m$ , $\omega =2Hz$ , $\phi = \frac{\pi}{6} rad$<br />
<br />
La frecuencia se obtiene a partir de la pulsación:<br />
<br />
<math>f = \frac{\omega}{2 \pi }</math><br />
<br />
<br />
el periodo se calcula como la inversa de la frecuencia:<br />
<br />
<math>T = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega} = \pi s</math><br />
<br />
<br />
b) Para saber dónde se encuentra la partícula en el instante $t$ = 1s es suficiente substituir en la ecuación del movimiento:<br />
<br />
<math>x(1s) = 0.3 \cos(2 + \frac{\pi}{6})\ = -0.245m</math><br />
<br />
<br />
c) La velocidad y la aceleración se pueden obtener de la posición derivando respecto del tiempo (una vez para obtener la velocidad, dos para la aceleración).<br />
<br />
<br />
:<math>v(t) = -0.6 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.2 sen(2 t + \frac{\pi}{6})\ m/s^2</math><br />
<br />
<br />
d) únicamente tenemos que substituir t = 0 en las expresiones adecuadas:<br />
<br />
:<math>x(t=0) = 0.3 cos(\frac{\pi}{6})\ = 0.260 m</math><br />
:<math>v(t=0) = -0.6 sen(\frac{\pi}{6})\ = -0.3 m/s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 14:59 22 feb 2015 (CST)<br />
<br />
<br />
Corregí el código porque algunas expresiones matemáticas que no se veían bien [[Usuario:Juan Daniel Rivera Bautista|Juan Daniel Rivera Bautista]] ([[Usuario discusión:Juan Daniel Rivera Bautista|discusión]]) 21:40 8 jun 2020 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema propuesto en relación al capitulo I ==<br />
<br />
<br />
Se encontró experimentalmente que un peso de <math>4lb<br />
</math> estira un resorte de <math>6 pulgadas<br />
</math>. Si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de <math>4{pulg}/{s}<br />
</math>, determine:<br />
<br />
a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.<br />
<br />
b) La ecuación de movimiento.<br />
<br />
c) El periodo y la frecuencia.<br />
<br />
Solución<br />
<br />
Recordando que <math>1ft=12in<br />
</math>, realizando las conversiones respectivos, se tiene:<br />
<br />
:<math>x=6in=\frac{1}{2}ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(0\right)=4{in}{s}={1}/{3}{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
Inicialmente el peso está en una posición de reposo <math>x\left(0\right)=0<br />
</math>, y después se suelta desde la posición de equilibrio (reposo) <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math>.<br />
<br />
Además <math>W=mg<br />
</math> <math>\Rightarrow<br />
</math> <math>m=\frac{W}{g}=\frac{4lb}{32}=1/{8}slug<br />
</math>.<br />
<br />
Entonces, por la ley de Hooke y sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>F=kx<br />
</math><br />
<br />
:<math>4lb=k\left({1}/{2}ft\right)<br />
</math> <br />
<br />
:<math>k=8{lb}/{ft}<br />
</math><br />
<br />
a) La ecuación diferencial que describe el movimiento es:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+w^{2}x=0<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0<br />
</math> <br />
<br />
Sustituyendo los datos se tiene:<br />
<br />
:<math>\ddot{x}+64x=0...\left(1\right)<br />
</math> <br />
<br />
con las condiciones iniciales <math>x\left(0\right)=0<br />
</math> y <math>\dot{x}\left(0\right)=\frac{1}{3}<br />
</math> <br />
<br />
b) La ecuación auxiliar de (1) es <math>r^{2}+64=0<br />
</math>, cuyas raíces son <math>r=\pm8i<br />
</math>. La solución general de (1) es:<br />
<br />
:<math>x\left(t\right)=c_{1}cos\left(8t\right)+c_{2}sen\left(8t\right)...(2)<br />
</math> <br />
<br />
derivando dos veces la solución general se tiene:<br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(t\right)=-8c_{1}sen\left(8t\right)+8c_{2}cos\left(8t\right)...(3)<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(t\right)=-64c_{1}cos\left(8t\right)-64c_{2}sen\left(8t\right)...(4)<br />
</math><br />
<br />
Para conocer <math>c_{1}<br />
</math> y <math>c_{2}<br />
</math>, sustituímos las condiciones iniciales en (2) y (3)<br />
<br />
:<math>c_{1}=0,c_{2}=\frac{1}{24}\therefore x\left(t\right)=\frac{1}{24}sen\left(8t\right)<br />
</math><br />
<br />
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después, está dado por:<br />
<br />
:<math>x\left(2\right)=\frac{1}{24}sen\left(16\right)=-0.011996ft<br />
</math><br />
<br />
:<math>\dot{x}\left(2\right)=\frac{1}{3}cos\left(16\right)=-0.31922{ft}/{s}<br />
</math><br />
<br />
:<math>\ddot{x}\left(2\right)=-\frac{8}{3}sen\left(16\right)=0.7677{ft}/{s^{2}}<br />
</math><br />
<br />
Lo cual indica que el cuerpo se encuentra a <math>0.011996ft<br />
</math> arriba de la posición de equilibrio moviendose hacia arriba.<br />
<br />
Bibliografía<br />
<br />
José Ventura Becerril y David Elizarraraz, ecuaicones diferenciales técncas de solución y aplicaciones, 1ra edición, Universidad Autónoma Metrpolitana Azcapotzalco, México, 2004.<br />
<br />
--Ricardo García Hernández----[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:51 23 feb 2015 (CST)<br />
<br />
==Problema del serwey==<br />
<br />
un bloque de <math>200g</math> conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de <math>5N/m</math>es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin friccion. El bloque se desplaza <math>5cm</math>desde el equilibrio y se libera del reposo.<br />
<br />
a) Hallar el periodo de movimiento<br />
<br />
primero hay que encontrar la frecuencia angular con la siguiente ecuación<br />
<math>\omega= \sqrt{k \over m} </math> <br />
:<math>\omega=\sqrt{k \over m}= \sqrt{5Nm^{-1} \over 0.2kg} =5 {s^{-1}} </math> <br />
</li><br />
<br />
<br />
el periodo esta dado por <math>\tau</math> .<br />
<br />
:<math>\tau= { 2 \pi \over \omega}= 1.2s</math><br />
</li><br />
<br />
b) Hallar <math>v</math>(velocidad) y <math>a</math>(aceleracion) máxima<br />
<br />
A=.05m <math>/v=w \ A=.250m/s </math><br />
<br />
<br />
<math>/v={w^{2}} \ A=.1.25m/{s^{2}} </math><br />
<br />
c) Exprese la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo en unidades del SI<br />
<br />
para un tiempo inicial igual a cero la fase es 0<br />
<br />
:<math>x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,</math><br />
:<math>x(t) = 0.05 cos(5 t )\,</math><br />
:<math>v(t) = -0.25 sen(2 t )\ m/s</math><br />
:<math>a(t) = -1.25 cos(2 t )\ m/s^2</math>--<br />
<br />
--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:03 25 feb 2015 (CST)jose de jesus Arizpe flores 24/02/15 18:03<br />
<br />
----<br />
<br />
== Problema 2.8, The Physics of Vibrations and Waves, A. Pain ==<br />
<br />
''' A plasma consists of an ionized gas of ions and electrons of equal number densities ($n_i = n_e = n$)having charges of opposite sign $\pm e$, and masses $m_i$ and $m_e$ , respectively, where $m_i > m_e$. Relative displacement between the two species sets up a restoring electric field which returns the electrons to equilibrium, the ions being considered stationary. In the diagram, a plasma slab of thickness $l$ has all its electrons displaced a distance $x$ to give a restoring electric field $E=nex/\epsilon_0$ where $\epsilon_0$ is a constant. Show that the restoring force per unit area on the electrons is $xn^2e^2l/\epsilon_0$ and that they oscillate simple harmonically with angular frequency $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. This frequency is called the electron plasma frequency, and only those radio waves of frequency $\omega > \omega_e$ will propagate in such an ionized medium. Hence the reflection of such waves from the ionosphere. '''<br />
<br />
''' Un plasma consiste en gas ionizado formado por iones y electrones con densidades iguales ($n_i = n_e = n$) teniendo cargas del signo opuesto $\pm e$, y masas $m_i$ y $m_e$ respectivamente, donde $m_i > m_e$. El desplazamiento relativo entre dos especies establece un campo eléctrico restaurador que regresa a los electrones al equilibrio, donde los iones se consideran estacionarios. En el diagrama, un bloque de plasma de ancho $l$ tiene todos sus electrones desplazados una distancia $x$, proporcionando un campo eléctrico restaurador $E=nex/\epsilon_0$ donde $\epsilon_0$ es una constante. Muestre que la fuerza restauradora por unidad de área en los electrones es $xn^2e^2l/\epsilon_0$ y que ellos oscilan de manera armónica simple con frecuencia angular $\omega^2_e = ne^2/m_e\epsilon_0$. Esta frecuencia es llamada frecuencia de plasma y sólo aquellas ondas de radio con frecuencia $\omega > \omega_e$ se propagarán a través del medio ionizado. De este mode se da la reflección de tales ondas desde la ionósfera. '''<br />
<br />
----<br />
<br />
Sabemos que la densidad lineal de los electrones en el plasma está dada por $n_e = n$, entonces, para encontrar la carga de los electrones por unidad de área en el plasma, tenemos que multiplicar por la longitud del bloque($l$) y por la carga de cada electrón($-e$):<br />
<br />
<math><br />
q = -enl<br />
</math><br />
<br />
Ahora, si se quiere calcular la fuerza restauradora por unidad de área, tomamos la definición de la fuerza eléctrica:<br />
<br />
<math><br />
F = qE<br />
</math><br />
<br />
y luego sustimos la expresión dada para el campo eléctrico restaurador y la expresión encontrada para la carga:<br />
<br />
<math><br />
F = (-enl)\left( \dfrac{nex}{\epsilon_0} \right) = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0}<br />
</math><br />
<br />
lo cual es el resultado buscado. También es necesario mostrar que los electrones oscilan de manera armónica simple. Para ello, escribimos las fuerzas involucradas en el sistema. Una es la fuerza de restaurauración por unidad de área y la otra es la aceleración de los electrones por su masa por unidad de área. La masa por unidad de área de los electrones se encuentra multiplicando la densidad lineal $l$, por la masa de cada electrón $m_e$, por el ancho del bloque de plasma. Lo anterior nos da:<br />
<br />
<math><br />
F = - \dfrac{xn^2e^2l}{\epsilon_0} = m_e n l \ddot{x}<br />
</math><br />
<br />
Donde simplificando la ecuación anterior, tenemos:<br />
<br />
<math><br />
\ddot{x} + \dfrac{ne^2}{m_e \epsilon_0} x = 0<br />
</math><br />
<br />
lo anterior demuestra que es un movimiento armónico simple.<br />
<br />
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 11:56 3 mar 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
<br />
== ejercicio vibra 1 ==<br />
<br />
'''Durante una vibración con una frecuencia de 50 hz, el desplazamiento obeservado es de 30 mm al tiempo t=0,-14 mm al t=12 s.Encuentre la amplitud compleja'''<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)............(1.1)</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresión para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresión anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean: <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)............(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condición: <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ecuación (1.2).<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relación <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
Entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
. Sustituyendo en la ecuación (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ecuación (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
<br />
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 17:40 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez<br />
<br />
==Ejercicio 1==<br />
<br />
'''Un oscilador está formado por un bloque de masa $m=0.5 kg$ conectado a un resorte ideal. Cuando es puesto en oscilación con una amplitud de $A=35 cm$, el oscilador repite su movimiento cada $0.5s$. Encontrar:''' <br />
<li>a. El periodo.</li><br />
<li>b. La frecuencia.</li><br />
<li>c. La frecuencia angular.</li><br />
<li>d. La constante del resorte.</li><br />
<li>e. La magnitud de la velocidad máxima.</li><br />
<li>f. La magnitud de la fuerza máxima que el resorte ejerce sobre el bloque.</li><br />
<li>g. La energía mecánica del sistema.</li><br />
'''Solución propuesta:'''<br />
:Si el tiempo se mide desde que el sistema se suelta estando el bloque en una posición igual a la amplitud, entonces el ángulo de fase es nulo y la ecuación de movimiento es: <br />
:$x(t)=A\cos(wt)$<br />
'''(a)''' Como el periodo es el tiempo en que el movimiento se repite, entonces: <br />
:$T=0.5s$<br />
'''(b)''' Como la frecuencia es igual al inverso del periodo, entonces: <br />
:$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.5s}=2.0Hz$<br />
'''(c)''' La frecuencia angular es $w=2πf$, entonces: <br />
:$w=2πf=\frac{2π}{T}=4π=12.57rad/s$<br />
'''(d)''' La constante del resorte es $k=mw^{2}$, entonces:<br />
:$k=mw^{2}=(0.5kg)(12.57rad/s)^{2}=78.96 N/m$<br />
'''(e)''' La magnitud de la velocidad máxima es $v_{max}=wA$.<br />
:$v_{max}=wA=(12.57rad/s)(0.35m)=4.40m/s$<br />
'''(f)''' Usando la segunda ley de Newton, la fuerza máxima es: <br />
:$F_{max}=ma_{max}=m(w^{2}A)=(78.96N/m)(0.35m)=27.64 N.$<br />
'''(g)''' La energía mecanica del sistema es:<br />
:$E=\frac{1}{2}kA^{2}=(0.5)(78.96N/m)(0.35m)^{2}=4.84J$<br />
<br />
[[Usuario:Rodrigo|Rodrigo]] ([[Usuario discusión:Rodrigo|discusión]]) 14:30 16 jun 2020 (CDT)</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24496Indeterminacion2020-06-18T00:38:47Z<p>Evamontiel: /* Sistemas de Ermakov */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
describir que si es .... La amplitud es una medida del recorrido máximo de una vibbración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de la vibración, esta tiene la carcterística de ser constante y reprersentada por la letra A. <br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
\begin{thebibliography}{1}<br />
\bibitem{key-1}https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/<br />
<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Indeterminacion&diff=24495Indeterminacion2020-06-18T00:32:57Z<p>Evamontiel: /* Indeterminación en la amplitud y la fase */</p>
<hr />
<div>== Indeterminación en la amplitud y la fase == <br />
<br />
describir que si es .... La amplitud es una medida del recorrido máximo de una vibbración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de la vibración, esta tiene la carcterística de ser constante y reprersentada por la letra A. <br />
===Sistemas de Ermakov===<br />
La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo<br />
se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento<br />
periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables<br />
de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones<br />
de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso<br />
en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes<br />
exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes<br />
del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante<br />
a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan<br />
conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades<br />
es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De<br />
ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en<br />
una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas<br />
de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los<br />
1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica,<br />
como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto<br />
en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de<br />
la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de<br />
estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los<br />
sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov,<br />
en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento<br />
un método para integrar ecuaciones del tipo:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación<br />
diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias<br />
lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son<br />
completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no<br />
existe un método general para obtener las soluciones de este tipo<br />
de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación<br />
con coeficientes constantes:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
Cuya la solución general es de la forma:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x)<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes<br />
de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.<br />
<br />
Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1)<br />
por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura<br />
(calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de<br />
ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante<br />
cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo<br />
(1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación,<br />
que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W.<br />
E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para<br />
un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado<br />
inverso y que se puede escribir como :<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
Donde k es una constante distinta de cero. Aquí, la notación $\dot{x},$$\ddot{x}$,<br />
... , indica las derivadas de la función $x=x(t)$ con respecto al<br />
parámetro$t$, usualmente identificado como el tiempo. La ecuación<br />
(4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov<br />
y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada<br />
con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:<br />
<br />
\begin{equation}<br />
\ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0<br />
\end{equation}<br />
<br />
La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun,<br />
Ermakov demostro que la funcion<br />
<br />
\begin{equation}<br />
I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C<br />
\end{equation}<br />
<br />
donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual<br />
se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además,<br />
si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares<br />
de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen<br />
dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se<br />
le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado<br />
posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente,<br />
las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo<br />
que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov<br />
viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante<br />
que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las<br />
soluciones de la otra.<br />
<br />
SISTEMAS DE ERMAKOV:<br />
\begin{thebibliography}{1}<br />
\bibitem{key-1}https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/<br />
=== ¿Qué no es? ===<br />
<br />
Veremos que no es, por ejemplo<br />
entonces esto es asi<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:41 21 may 2020 (CDT)<br />
<br />
==== No es la incertidumbre cuántica ====<br />
<br />
==== No es la indeterminación de transformadas de Fourier ====<br />
<br />
=== representación de amplitud y fase === <br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 20:19 16 may 2020 (CDT)<br />
<br />
pensé que esta imagen les podría ser útil ...<br />
<br />
[[Archivo:Triang.png|miniaturadeimagen|centro|indeterminacion: relación entre ángulos]]<br />
<br />
indeterminación <ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. <br />
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 <br />
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Prueba&diff=24220Prueba2020-05-21T16:57:13Z<p>Evamontiel: /* titulo primer nivel */</p>
<hr />
<div>= Ésta es una página de prueba =<br />
Vibraciones y ondas<br />
'''If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.''' hola<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:53 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<math>\alpha\beta\iint</math><br />
<br />
$ F = \sqrt{s \over m}$<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:51 14 may 2020 (CDT)<br />
<br />
$<br />
\nabla^{2}\mathbf{V}=\frac{1}{c}\frac{\partial^{2}\mathbf{V}}{\partial t^{2}}.<br />
$<br />
=titulo primer nivel=<br />
aqui va un texto<br />
Deducción de la ecuacion de movimiento del OAS (Método energía)<br />
<br />
Para un sistema masa resorte podemos aplicar que:<br />
<br />
$E_{K}+E_{P}=cte$<br />
<br />
$\frac{d}{dt}(E_{K}+E_{P})=0$<br />
<br />
Entonces sabemos:<br />
<br />
$\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=cte$<br />
<br />
$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=cte)$<br />
<br />
$\frac{2}{2}mv\frac{dv}{dt}+\frac{2}{2}kx\frac{dx}{dt}=0$<br />
<br />
$mv\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx\frac{dx}{dt}=0$<br />
<br />
Sabemos que $\frac{dt}{dx}$no siempre es cero por lo tanto sugerimos:<br />
<br />
dividir todo entre m entonce:<br />
<br />
$v\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x\frac{dx}{dt}=0$<br />
<br />
sabemos que $\frac{dx}{dt}=v$ entonces:<br />
<br />
$\frac{dx}{dt}(\frac{d^{2}t}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x)=0$<br />
<br />
Por otro lado sabemos que $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$entonces :<br />
<br />
$\frac{d^{2}x}{dt}+\omega^{2}x=0$<br />
<br />
La solución de la ecuacion deferencial de segundo orden es:<br />
<br />
$x(t)=Acos(\omega t+\phi)$<br />
<br />
y podemos deducir la velocidad y la aceleración de la siguiente manera:<br />
<br />
$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=-\omega Asen(\omega t+\phi)$<br />
<br />
$a_{x}(t)=\frac{dv}{dt}=-\omega^{2}Acos(\omega t+\phi)$<br />
==subtitulo de segundo nivel==<br />
\[<br />
f = {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5 Hz<br />
\]<br />
<br />
(c) $<br />
T= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10 s<br />
$<br />
<br />
d) $<br />
H= {{\phi} \sqrt{\lambda} \over g} +2<br />
$<br />
--[[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 18:48 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
= Medios estratificados - Ecuación diferencial =<br />
<gallery><br />
Archivo:Ola2.jpg|Ola en el proceso de 'reventar'<br />
</gallery><br />
<br />
== Holografía ==<br />
<br />
[[Usuario:Sesebasi|Sesebasi]] ([[Usuario discusión:Sesebasi|discusión]]) 15:13 30 nov 2018 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 16:48 10 jul 2015 (CDT)<br />
<br />
==Campo Eléctrico==<br />
<br />
El campo eléctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio estático,<br />
isotrópico y lineal es <center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=\nabla\left(\frac{\rho}{\varepsilon_{t}}\right)-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)+\mu\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t}-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.</math></center><br />
En ausencia de cargas y corrientes<center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.</math></center><br />
Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién <math>z</math>,<br />
entonces <math>\varepsilon\left(z\right),\mu\left(z\right)</math>. <center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(E_{z}\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\right)-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times\mathbf{E}\right).</math></center><br />
<br />
Si el campo es TE y la propagación en el plano ''y-z'' , entonces<br />
<math>E=E_{x}\hat{\mathbf{i}}+E_{y}\hat{\mathbf{j}}+E_{z}\hat{\mathbf{k}}\rightarrow E=E_{x}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{i}}</math>.<br />
<center><math><br />
\nabla^{2}E_{x}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z}</math></center><br />
puesto que <math>\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\hat{\mathbf{k}}</math><br />
y entonces <math>\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{k}}\times\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{i}}</math>.<br />
Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética<center><math><br />
\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}+\mu\varepsilon\omega^{2}E_{x}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z},</math></center><br />
donde <math>\mu\varepsilon\omega^{2}=\frac{n^{2}}{c^{2}}\omega^{2}=n^{2}k_{0}^{2}</math>.<br />
ésta ecuacién \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida<br />
del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en<br />
primeras derivadas.<br />
<br />
Considere que se pueden separar las variables<center><math><br />
E_{x}\left(y,z\right)=Y\left(y\right)U\left(z\right),</math></center><br />
de manera que se obtiene<center><math><br />
\underset{f\left(z\right)}{\underbrace{\frac{1}{U}\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}+n^{2}k_{0}^{2}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{1}{U}\frac{\partial U}{\partial z}}}+\underset{-f\left(y\right)}{\underbrace{\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}}}=0</math></center><br />
donde hay dos partes que dependen solamente de ''z'' y ''y'' <br />
respectivamente. Dado que éstas variables son<br />
independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la<br />
otra variable <br />
<br />
constante <math>f\left(z\right)=-f\left(y\right)=\sigma^{2}k_{0}^{2}</math>.<br />
La existencia de ésta cantidad invariante es la generalizacién de<br />
la relacién de Snell para medios inhomogéneos. Las ecuaciones son<br />
entonces para la variable ''y'' <center><math><br />
\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-\sigma^{2}k_{0}^{2}\quad\Longrightarrow\quad Y\left(y\right)=Y_{0}\exp\left(i\sigma k_{0}y\right)</math></center><br />
y para la variable en ''z'' <center><math><br />
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial U}{\partial z}+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)U=0.</math></center><br />
<br />
El parametro variable sufre un corrimiento <math>\Omega^{2}\rightarrow\Omega^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}</math><br />
respecto al caso unidimensional <br />
<math>\sigma=0</math> para incidencia<br />
normal.<br />
<br />
==Representacién de amplitud y fase==<br />
<br />
<math>\int\limits_C n_1\vec s_1 \cdot d\vec r +</math><br />
<br />
Si se considera un medio no magnético <math>\mu=\mu_{0}</math>, entonces la<br />
ecuacién \eqref{eq: ode u} se simplifica a<center><math><br />
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right]u=0.</math></center><br />
<br />
La ecuación del movimiento armónico simple es:<br />
<math>x=A\sin(\omega t+\varphi)</math><br />
si derivamos x respecto de t, obtenemos la velocidad y si derivamos v respecto a t, ó si sacamos la doble derivada de x respecto de t obtenemos la aceleración del sistema<br />
<math>v=A\omega\cos(\omega t+\varphi)<br />
<br />
a=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\varphi)</math><br />
<br />
cuando calculamos la posición, velocidad o aceleración máxima estamos diciendo que seno o coseno(según sea el caso) están llegando a su máximo, es decir<br />
<math>\sin(\omega t+\varphi)=1</math><br />
<br />
<math>\cos(\omega t+\varphi)=1</math><br />
<br />
si esto sucede, entonces tenemos una posición máxima, velocidad máxima y aceleración máxima como sigue<br />
<math>x_{max}=A</math><br />
<br />
<math>v_{max}=A\omega</math><br />
<br />
<math>\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Letti GZ]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 22:10 4 may 2013 (CDT)<br />
<br />
==Invariante==<br />
<br />
Sean dos soluciones linealmente independientes<center><math><br />
U_{1}'=i\omega\mu V_{1}</math></center><br />
<center><math><br />
U_{2}'=i\omega\mu V_{2}</math></center><br />
Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por <math>V_{1}</math> menos \eqref{eq: U der V 1}por<br />
<math>V_{2}</math> se obtiene<center><math><br />
V_{1}U_{2}'-V_{2}U_{1}'=0.</math></center><br />
De manera anéloga <math>V_{1}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{1}</math><br />
y <math>V_{2}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{2}</math><center><math><br />
U_{1}V_{2}'-U_{2}V_{1}'=0.</math></center><br />
De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de éstas<br />
dos ecuaciones<center><math><br />
U_{1}V_{2}'+V_{2}U_{1}'-U_{2}V_{1}'-V_{1}U_{2}'=\frac{d}{dz}\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)=0</math></center><br />
<br />
==Coeficientes de reflexión y transmisión==<br />
<br />
Sean <math>A</math>, <math>R</math> y <math>T</math> las amplitudes complejas del campo eléctrico<br />
incidente, reflejado y transmitido.<br />
<br />
Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos <math>\mathbf{E}</math><br />
y <math>\mathbf{H}</math>, asi como la relación entre ellos para una onda plana<center><math><br />
\mathbf{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}</math></center><br />
<br />
Para una onda TM (transverso eléctrico) plana <center><math><br />
U_{0}=A+R</math></center><br />
Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en <math>U\left(z=0\right)=U_{0}</math><br />
existe una onda incidente y una reflejada. Nótese que <math>U</math> es el campo<br />
eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuación<br />
(5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere<br />
a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales<br />
a los campos.<br />
<br />
<center><math><br />
U\left(z_{l}\right)=T</math></center><br />
El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe<br />
el argumento de <math>U</math> como <math>z_{1}</math> que es la última capa; nosotros<br />
preferimos escribir <math>z_{l}</math> (la última capa) donde ya solamente hay<br />
onda transmitida.<br />
<br />
<math>\alpha</math><br />
<br />
La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante<br />
la transformación <math>U=u\sqrt{\mu}</math>, entonces la primera derivada es<center><math><br />
\frac{\partial U}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\mu^{-\frac{1}{2}}\frac{\partial\mu}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)</math></center><br />
mientras que la segunda derivada es<center><math><br />
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\frac{1}{2}\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)</math></center><br />
que podemos reagrupar como<center><math><br />
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\mu^{\frac{1}{2}}\left[\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\right]</math></center><br />
La ecuacién diferencial\eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*}<br />
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\<br />
-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}<br />
que simplifica a<center><math><br />
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.</math></center><br />
<br />
--[[Usuario:Kanon1106|Kanon1106]] 20:56 20 ene 2009 (CST)<br />
<br />
== Maxwell ==<br />
Comencemos con las ecuaciones de Maxwell para un medio arbitrario<br />
(unidades del SI)<br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math></center><br />
<br />
donde <math>\mathbf{D}</math> es el desplazamiento eléctrico, <math>\mathbf{B}</math><br />
el desplazamiento magnético, <math>\mathbf{H}</math> el campo magnético y <math>\mathbf{E}</math><br />
el campo eléctrico. En la ausencia de cargas libres <math>\rho=0</math> pero<br />
permitiendo la existencia de corrientes, las ecuaciones anteriores<br />
devienen<br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\cdot\mathbf{D}=0</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}</math></center><br />
<br />
donde las ecuaciones \ref{eq:div B} y \ref{eq:rot E} permanecen<br />
inalteradas.<br />
<br />
<br />
==relaciones constitutivas==<br />
<br />
Establecen la relación entre los campos y los desplazamientos. La<br />
permitividad y permeabilidad son:<br />
<br />
* independientes del campo para medios lineales o campos con amplitud pequeña<br />
* escalares para medios isotrópicos<br />
* independientes del espacio para medios homogéneos<br />
* independientes del tiempo para medios no dispersivos<br />
* cantidades puramente reales para medios sin abosorción<br />
<br />
Consideremos un medio isotrópico: <br />
<br />
<math><br />
\mathbf{D}=\varepsilon_{t}\left(\mathbf{r},t,\mathbf{E}\right)\mathbf{E}.</math><br />
<br />
De la ecuación (div D =0}), se obtiene: <br />
<br />
<math><br />
\nabla\cdot\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)=\varepsilon_{t}\nabla\cdot\mathbf{E}+\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=0\quad\Rightarrow\mbox{ }\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{\varepsilon_{t}}\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}.</math><br />
<br />
Un resultado análogo es cierto para la permeabilidad puesto que <math>\mathbf{B}=\mu_{t}\mathbf{H}</math><br />
y el rotacional de ésta expresión puede reescribirse como: <br />
<br />
<math><br />
\nabla\times\mathbf{B}=\nabla\times\left(\mu_{t}\mathbf{H}\right)=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\nabla\times\mathbf{H}=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.</math><br />
<br />
Las ecuaciones de Maxwell pueden entonces combinarse para obtener:<br />
<br />
<math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\frac{\partial\left(\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}\right)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\mu_{t}\frac{\partial\varepsilon_{t}\mathbf{E}}{\partial t}\right)}{\partial t}.</math><br />
<br />
==características del medio==<br />
<br />
Si el medio es magnéticamente homogéneo, independiente del tiempo<br />
y el campo, el gradiente de la permeabilidad y su derivada temporal<br />
son cero creo que que que que<br />
<br />
<center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\frac{\partial^{2}\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)}{\partial t^{2}},</math></center><br />
<br />
para un medio no magnético la permeabilidad es aquella del vacío <math>\mu_{t}=\mu_{0}</math>.<br />
<br />
Si la permitividad es independiente del tiempo, se obtiene <br />
<br />
<math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.</math><br />
<br />
Para un medio homogéneo <br />
<br />
<math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}},</math><br />
<br />
se obtiene la ecuación de onda.<br />
<br />
Funcion bicontinua: se dice que una funcion es bicontinua si tanto ella como su inversa son continuas<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 03:25 29 oct 2010 (UTC)<br />
<br />
We present an identity of products that reduces to Lagrange’s identity when a series expansion to fourth order terms are considered. Sixth and higher order terms produce other series identities.<br />
<br />
[[Usuario:Gsfwiki|Gsfwiki]] ([[Usuario discusión:Gsfwiki|discusión]]) 11:12 25 sep 2018 (CDT)<br />
<br />
[[Archivo:Holog.gif|thumb|upright|La información completa de la imagen queda registrada por cualquier parte del holograma.]]<br />
[[Usuario:Sesebasi|Sesebasi]] ([[Usuario discusión:Sesebasi|discusión]]) 22:17 2 dic 2018 (CST)<br />
<br />
= introduction =<br />
<br />
Normed division algebras require that the norm of the product is equal to the product of the norms. Lagrange’s identity exhibits this equality. Due to Hurwitz theorem, it admits this interpretation only for algebras isomorphic to the real numbers <math>\left(\mathbb{R}\right)</math>, complex numbers <math>\left(\mathbb{R}^{2}\right)</math>, quaternions <math>\left(\mathbb{R}^{4}\right)</math> and octonions <math>\left(\mathbb{R}^{8}\right)</math>. If divisors of zero are allowed, many other algebraic structures in <math>\mathbb{R}^{n}</math> are possible. Two such possibilities for hyperbolic numbers has been introduced by Fjelstad and Gal and more recently by Catoni et al. . Another approach has been presented in the context of a deformed Lorentz metric. This latter proposal is based on a transformation stemming from the product operation and magnitude definition in hyperbolic scator algebra . The product identity used as a starting point here, is a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert = \left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> equality for scator algebras.<br />
<br />
Lagrange’s identity can be proved in a variety of ways . Most derivations use the identity as a starting point and prove in one way or another that the equality is true. In the present approach, Lagrange’s identity is actually derived without assuming it ''a priori''. The pseudo-norm of the product identity used in the derivation has the strength to imply an infinite number of identities. An example when sixth order terms are retained is shown here. The ease of the derivation has induced us to present it for complex numbers.<br />
<br />
= Lagrange’s identity for complex numbers =<br />
<br />
Let <math>a_{i},b_{i}\in\mathbb{C}</math> be complex numbers and the overbar represents complex conjugate.<br />
<br />
The product identity <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}-b_{i}\bar{b}_{i}+a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}\bar{b}_{i}\right)</math> reduces to the complex Lagrange’s identity when fourth order terms, in a series expansion, are considered.<br />
<br />
Expand the product on the LHS of the product identity in terms of series<ref>Recall that products of the form <math>\left(1+x_{i}\right)</math> can be expanded in terms of sums as <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i<j}^{n}x_{i}x_{j}+\mathcal{O}^{3+}(x),</math> where <math>\mathcal{O}^{3+}(x)</math> means terms with order three or higher in <math>x</math>.<br />
</ref> up to fourth order<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>+a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub><br /><br />
+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+O<sup>5+</sup>.[eq:series LHS complex O5]<br />
<br />
The two factors on the RHS are also written in terms of series<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+O<sup>5+</sup>)<br /><br />
(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+O<sup>5+</sup>).<br />
<br />
The product of this expression up to fourth order is<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)<br /><br />
+(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>)+O<sup>5+</sup>.[eq:series RHS complex O5]<br />
<br />
Substitution of eq:series LHS complex O5 and eq:series RHS complex O5 in the product identity give <math>\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right).</math> The product of two conjugates series can be expressed as series involving the product of conjugate terms<ref>The conjugate series product is <math>\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\bar{x}_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bar{x}_{i}+\sum_{i<j}^{n}\left(x_{i}\bar{x}_{j}+\bar{x}_{i}x_{j}\right)</math>.<br />
</ref>, thus<br />
<br />
(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>)-<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|a<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+|a<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>a<sub>j</sub>b<sub>j</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)<br /><br />
=(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>).<br />
<br />
The terms of the last two series on the LHS are grouped as <math>a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}-a_{i}b_{i}\bar{a}_{j}\bar{b}_{j}-\bar{a}_{i}\bar{b}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\bar{a}_{i}b_{j}-\bar{a}_{j}b_{i}\right),</math> in order to obtain the complex Lagrange’s identity <math>\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}b_{i}}\right)+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\overline{a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right).</math> In terms of the modulii, <math>\left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum_{i<j}^{n}\left|a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right|^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).</math><br />
<br />
= other identities =<br />
<br />
The non trivial identities for real numbers obtained to sixth order series expansion of the product identity <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}-b_{i}^{2}+a_{i}^{2}b_{i}^{2}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}^{2}\right)</math> are <math>\sum_{i<j}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}\left(b_{i}^{2}+b_{j}^{2}\right)\right]+\sum_{i<j<k}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}b_{k}^{2}+a_{i}^{2}b_{j}^{2}a_{k}^{2}+b_{i}^{2}a_{j}^{2}a_{k}^{2}\right]=\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i<j}^{n}a_{i}^{2}a_{j}^{2}\right)</math> and its counterpart, obtained by interchanging the'' ''variables'' ''<math>a</math> and <math>b</math> .''''<br />
<br />
Expand the product identity in series up to sixth order. The LHS is<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)=1+<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)<br /><br />
+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>j</sub><sup>2</sup>-b<sub>j</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)<br /><br />
+<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>j</sub><sup>2</sup>-b<sub>j</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>k</sub><sup>2</sup>-b<sub>k</sub><sup>2</sup>+a<sub>k</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>)+O<sup>7+</sup>.<br />
<br />
Consider only the sixth order terms<br />
<br />
O<sup>6</sup>(LHS)=-<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>[a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>(b<sub>i</sub><sup>2</sup>+b<sub>j</sub><sup>2</sup>)+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>)]-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup><br /><br />
-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>)-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>)<br />
<br />
The RHS of the product identity is similarly expanded in series up to sixth order<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub><sup>2</sup>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub><sup>2</sup>)=(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+O<sup>7+</sup>)<br /><br />
(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+O<sup>7+</sup>),<br />
<br />
and only sixth order terms retained<br />
<br />
O<sup>6</sup>(RHS)=-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>-(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>)(<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)-(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>).<br />
<br />
These two results are equated for equal powers of <math>a^{n}b^{m}</math>. The terms <math>a^{6}</math> and <math>b^{6}</math> give trivial identities whereas the terms involving <math>a^{4}b^{2}</math> and <math>a^{2}b^{4}</math> give the non trivial sixth order identities<br />
<br />
===Prueba 1===<br />
'''Ecuaciones de Maxwell'''<br />
<center><br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{D}=\rho\;\;\;\;\;<br />
</math><br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{B}=0\;\;\;\;\;<br />
</math> <br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{H}=\overrightarrow{J\,\,}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}<br />
</math><br />
</center><br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:26 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
===Prueba de arhivos(.svg)===<br />
<br />
[[Imagen:SVG logo.svg|center|thumb|200x200px|Figura de SVG]]<br />
<br />
'''Nota''': el formato de archivo permitivo es (.svg) otra extension de archivos vectoriales es (.svgz) pero no lo soporta la pagina<br />
<br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 18:51 26 nov 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
=Criterios de segunda derivada=<br />
<br />
Suponga que $f(x,y)$ tiene segundas derivadas parciales continuas<br />
en una vecindad de $(x_{0},y_{0})$ y que $\nabla f(x_{0},y_{0})=0$.<br />
<br />
Sea $D=D(x_{0},y_{0})=f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{yy}(x_{0},y_{0})-f_{xy}^{2}(x_{0},y_{0})$<br />
(el cual es el determinante/Hessiano):<br />
<br />
a) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})<0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$<br />
es un valor máximo local.<br />
<br />
b) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})>0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$<br />
es un valor mínimo local.<br />
<br />
c) Si $D<0$, entonces $f(x_{0},y_{0})$ no es un valor extremo, $(x_{0},y_{0})$<br />
es un punto silla.<br />
<br />
d) Si $D=0$, el criterio no es concluyente<br />
<br />
=Funciones vectoriales=<br />
Una función vectorial de una variable real, es una funciónde la forma<br />
$\gamma:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ tal que<br />
para cada $t\in D$, $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$<br />
<br />
Dado que $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$ , para cada $t$<br />
perteneciente a $D$, este tiene n-coordenadas, las cuales suelen<br />
ser, funciones de la variable $t$. Así. podemos escribir<br />
<br />
\[<br />
\gamma\left(t\right)=\left(\gamma_{1}\left(t\right),\gamma_{2}\left(t\right),\gamma_{3}\left(t\right),\ldots,\gamma_{n}\left(t\right)\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde $\gamma_{i}\left(t\right):D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},i=1,2,3,\ldots,n$<br />
son funciones de la variable $t$, llamadas funciones coordenadas<br />
de $\gamma$(o funciones componentes de $\gamma$)<br />
<br />
El dominio de $\gamma$ con funciones componentes $\gamma_{i}$ es:<br />
<br />
\[<br />
Dom\left(\gamma\right)=\cap_{i=1}^{n}Dom\left(\gamma_{i}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Particularmente, para $n=3$, una función $f:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$,<br />
puede ser escrita como $f\left(t\right)=f_{1}\left(t\right)\hat{i}+f_{2}\left(t\right)\hat{j}+f_{3}\left(t\right)\hat{k}$<br />
para cada $t$ perteneciente a $D$; donde $f_{1},f_{2},f_{3}$ son<br />
las funciones componentes de $f$. Su dominio es:<br />
<br />
\[<br />
Dom\left(f\right)=Dom\left(f_{1}\right)\cap Dom\left(f_{2}\right)\cap Dom\left(f_{3}\right)<br />
\]<br />
<br />
=Teorema de Fubini=<br />
<br />
Sea f una función tal que $f:I\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$<br />
con $I:=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b;c\leq y\leq d\}.$ Entonces:<br />
<br />
\[<br />
\underset{I}{\iint}f(x,y)dxdy=\mathop{\int}_{a}^{b} dx\mathop{\int}_{c}^{d}f(x,y)dy=\mathop{\int}_{c}^{d}dy\mathop{\int}_{a}^{b}f(x,y)dx<br />
\]<br />
[[Archivo:Guido Fubini.jpg|miniaturadeimagen|centro|Matemático Guido Fubini]]<br />
<br />
=Campo magnético=<br />
<br />
Típicamente representamos el campo magnético de dos maneras diferentes:<br />
<br />
# Describimos matemáticamente el campo magnético como un campo vectorial. Podemos representar directamente este campo como un conjunto de vectores dibujados en una cuadrícula. Cada vector apunta en la dirección en la que lo haría una brújula y su magnitud depende de la fuerza magnética. Arreglar muchas brújulas en un patrón de cuadrícula y colocar este patrón en un campo magnético ilustra esta técnica. La única diferencia en este caso es que una brújula no muestra la intensidad del campo.<br />
# Una forma alternativa para representar la información contenida en un campo vectorial es por medio de las lineas de campo. En esta representación, omitimos la cuadrícula y conectamos los vectores con líneas suaves. Podemos dibujar tantas líneas como queramos.<br />
<br />
= conclusions =<br />
<br />
Lagrange’s identity for complex numbers has been obtained from a straight-forward product identity. The procedure is elementary and very economical. A derivation for the reals is obviously even more succinct. In a wider context, this product identity can be seen as a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> relationship for scator algebras. Since the Cauchy–Schwarz inequality is a particular case of Lagrange’s identity , this proof is yet another way to obtain the CS inequality.</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Prueba&diff=24219Prueba2020-05-21T16:55:27Z<p>Evamontiel: </p>
<hr />
<div>= Ésta es una página de prueba =<br />
Vibraciones y ondas<br />
'''If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.''' hola<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:53 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<math>\alpha\beta\iint</math><br />
<br />
$ F = \sqrt{s \over m}$<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:51 14 may 2020 (CDT)<br />
<br />
$<br />
\nabla^{2}\mathbf{V}=\frac{1}{c}\frac{\partial^{2}\mathbf{V}}{\partial t^{2}}.<br />
$<br />
=titulo primer nivel=<br />
aqui va un texto<br />
==subtitulo de segundo nivel==<br />
\[<br />
f = {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5 Hz<br />
\]<br />
<br />
(c) $<br />
T= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10 s<br />
$<br />
<br />
d) $<br />
H= {{\phi} \sqrt{\lambda} \over g} +2<br />
$<br />
--[[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 18:48 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
= Medios estratificados - Ecuación diferencial =<br />
<gallery><br />
Archivo:Ola2.jpg|Ola en el proceso de 'reventar'<br />
</gallery><br />
<br />
== Holografía ==<br />
<br />
[[Usuario:Sesebasi|Sesebasi]] ([[Usuario discusión:Sesebasi|discusión]]) 15:13 30 nov 2018 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 16:48 10 jul 2015 (CDT)<br />
<br />
==Campo Eléctrico==<br />
<br />
El campo eléctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio estático,<br />
isotrópico y lineal es <center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=\nabla\left(\frac{\rho}{\varepsilon_{t}}\right)-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)+\mu\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t}-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.</math></center><br />
En ausencia de cargas y corrientes<center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.</math></center><br />
Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién <math>z</math>,<br />
entonces <math>\varepsilon\left(z\right),\mu\left(z\right)</math>. <center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(E_{z}\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\right)-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times\mathbf{E}\right).</math></center><br />
<br />
Si el campo es TE y la propagación en el plano ''y-z'' , entonces<br />
<math>E=E_{x}\hat{\mathbf{i}}+E_{y}\hat{\mathbf{j}}+E_{z}\hat{\mathbf{k}}\rightarrow E=E_{x}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{i}}</math>.<br />
<center><math><br />
\nabla^{2}E_{x}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z}</math></center><br />
puesto que <math>\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\hat{\mathbf{k}}</math><br />
y entonces <math>\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{k}}\times\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{i}}</math>.<br />
Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética<center><math><br />
\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}+\mu\varepsilon\omega^{2}E_{x}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z},</math></center><br />
donde <math>\mu\varepsilon\omega^{2}=\frac{n^{2}}{c^{2}}\omega^{2}=n^{2}k_{0}^{2}</math>.<br />
ésta ecuacién \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida<br />
del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en<br />
primeras derivadas.<br />
<br />
Considere que se pueden separar las variables<center><math><br />
E_{x}\left(y,z\right)=Y\left(y\right)U\left(z\right),</math></center><br />
de manera que se obtiene<center><math><br />
\underset{f\left(z\right)}{\underbrace{\frac{1}{U}\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}+n^{2}k_{0}^{2}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{1}{U}\frac{\partial U}{\partial z}}}+\underset{-f\left(y\right)}{\underbrace{\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}}}=0</math></center><br />
donde hay dos partes que dependen solamente de ''z'' y ''y'' <br />
respectivamente. Dado que éstas variables son<br />
independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la<br />
otra variable <br />
<br />
constante <math>f\left(z\right)=-f\left(y\right)=\sigma^{2}k_{0}^{2}</math>.<br />
La existencia de ésta cantidad invariante es la generalizacién de<br />
la relacién de Snell para medios inhomogéneos. Las ecuaciones son<br />
entonces para la variable ''y'' <center><math><br />
\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-\sigma^{2}k_{0}^{2}\quad\Longrightarrow\quad Y\left(y\right)=Y_{0}\exp\left(i\sigma k_{0}y\right)</math></center><br />
y para la variable en ''z'' <center><math><br />
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial U}{\partial z}+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)U=0.</math></center><br />
<br />
El parametro variable sufre un corrimiento <math>\Omega^{2}\rightarrow\Omega^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}</math><br />
respecto al caso unidimensional <br />
<math>\sigma=0</math> para incidencia<br />
normal.<br />
<br />
==Representacién de amplitud y fase==<br />
<br />
<math>\int\limits_C n_1\vec s_1 \cdot d\vec r +</math><br />
<br />
Si se considera un medio no magnético <math>\mu=\mu_{0}</math>, entonces la<br />
ecuacién \eqref{eq: ode u} se simplifica a<center><math><br />
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right]u=0.</math></center><br />
<br />
La ecuación del movimiento armónico simple es:<br />
<math>x=A\sin(\omega t+\varphi)</math><br />
si derivamos x respecto de t, obtenemos la velocidad y si derivamos v respecto a t, ó si sacamos la doble derivada de x respecto de t obtenemos la aceleración del sistema<br />
<math>v=A\omega\cos(\omega t+\varphi)<br />
<br />
a=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\varphi)</math><br />
<br />
cuando calculamos la posición, velocidad o aceleración máxima estamos diciendo que seno o coseno(según sea el caso) están llegando a su máximo, es decir<br />
<math>\sin(\omega t+\varphi)=1</math><br />
<br />
<math>\cos(\omega t+\varphi)=1</math><br />
<br />
si esto sucede, entonces tenemos una posición máxima, velocidad máxima y aceleración máxima como sigue<br />
<math>x_{max}=A</math><br />
<br />
<math>v_{max}=A\omega</math><br />
<br />
<math>\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Letti GZ]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 22:10 4 may 2013 (CDT)<br />
<br />
==Invariante==<br />
<br />
Sean dos soluciones linealmente independientes<center><math><br />
U_{1}'=i\omega\mu V_{1}</math></center><br />
<center><math><br />
U_{2}'=i\omega\mu V_{2}</math></center><br />
Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por <math>V_{1}</math> menos \eqref{eq: U der V 1}por<br />
<math>V_{2}</math> se obtiene<center><math><br />
V_{1}U_{2}'-V_{2}U_{1}'=0.</math></center><br />
De manera anéloga <math>V_{1}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{1}</math><br />
y <math>V_{2}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{2}</math><center><math><br />
U_{1}V_{2}'-U_{2}V_{1}'=0.</math></center><br />
De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de éstas<br />
dos ecuaciones<center><math><br />
U_{1}V_{2}'+V_{2}U_{1}'-U_{2}V_{1}'-V_{1}U_{2}'=\frac{d}{dz}\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)=0</math></center><br />
<br />
==Coeficientes de reflexión y transmisión==<br />
<br />
Sean <math>A</math>, <math>R</math> y <math>T</math> las amplitudes complejas del campo eléctrico<br />
incidente, reflejado y transmitido.<br />
<br />
Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos <math>\mathbf{E}</math><br />
y <math>\mathbf{H}</math>, asi como la relación entre ellos para una onda plana<center><math><br />
\mathbf{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}</math></center><br />
<br />
Para una onda TM (transverso eléctrico) plana <center><math><br />
U_{0}=A+R</math></center><br />
Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en <math>U\left(z=0\right)=U_{0}</math><br />
existe una onda incidente y una reflejada. Nótese que <math>U</math> es el campo<br />
eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuación<br />
(5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere<br />
a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales<br />
a los campos.<br />
<br />
<center><math><br />
U\left(z_{l}\right)=T</math></center><br />
El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe<br />
el argumento de <math>U</math> como <math>z_{1}</math> que es la última capa; nosotros<br />
preferimos escribir <math>z_{l}</math> (la última capa) donde ya solamente hay<br />
onda transmitida.<br />
<br />
<math>\alpha</math><br />
<br />
La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante<br />
la transformación <math>U=u\sqrt{\mu}</math>, entonces la primera derivada es<center><math><br />
\frac{\partial U}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\mu^{-\frac{1}{2}}\frac{\partial\mu}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)</math></center><br />
mientras que la segunda derivada es<center><math><br />
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\frac{1}{2}\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)</math></center><br />
que podemos reagrupar como<center><math><br />
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\mu^{\frac{1}{2}}\left[\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\right]</math></center><br />
La ecuacién diferencial\eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*}<br />
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\<br />
-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}<br />
que simplifica a<center><math><br />
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.</math></center><br />
<br />
--[[Usuario:Kanon1106|Kanon1106]] 20:56 20 ene 2009 (CST)<br />
<br />
== Maxwell ==<br />
Comencemos con las ecuaciones de Maxwell para un medio arbitrario<br />
(unidades del SI)<br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math></center><br />
<br />
donde <math>\mathbf{D}</math> es el desplazamiento eléctrico, <math>\mathbf{B}</math><br />
el desplazamiento magnético, <math>\mathbf{H}</math> el campo magnético y <math>\mathbf{E}</math><br />
el campo eléctrico. En la ausencia de cargas libres <math>\rho=0</math> pero<br />
permitiendo la existencia de corrientes, las ecuaciones anteriores<br />
devienen<br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\cdot\mathbf{D}=0</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}</math></center><br />
<br />
donde las ecuaciones \ref{eq:div B} y \ref{eq:rot E} permanecen<br />
inalteradas.<br />
<br />
<br />
==relaciones constitutivas==<br />
<br />
Establecen la relación entre los campos y los desplazamientos. La<br />
permitividad y permeabilidad son:<br />
<br />
* independientes del campo para medios lineales o campos con amplitud pequeña<br />
* escalares para medios isotrópicos<br />
* independientes del espacio para medios homogéneos<br />
* independientes del tiempo para medios no dispersivos<br />
* cantidades puramente reales para medios sin abosorción<br />
<br />
Consideremos un medio isotrópico: <br />
<br />
<math><br />
\mathbf{D}=\varepsilon_{t}\left(\mathbf{r},t,\mathbf{E}\right)\mathbf{E}.</math><br />
<br />
De la ecuación (div D =0}), se obtiene: <br />
<br />
<math><br />
\nabla\cdot\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)=\varepsilon_{t}\nabla\cdot\mathbf{E}+\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=0\quad\Rightarrow\mbox{ }\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{\varepsilon_{t}}\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}.</math><br />
<br />
Un resultado análogo es cierto para la permeabilidad puesto que <math>\mathbf{B}=\mu_{t}\mathbf{H}</math><br />
y el rotacional de ésta expresión puede reescribirse como: <br />
<br />
<math><br />
\nabla\times\mathbf{B}=\nabla\times\left(\mu_{t}\mathbf{H}\right)=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\nabla\times\mathbf{H}=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.</math><br />
<br />
Las ecuaciones de Maxwell pueden entonces combinarse para obtener:<br />
<br />
<math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\frac{\partial\left(\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}\right)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\mu_{t}\frac{\partial\varepsilon_{t}\mathbf{E}}{\partial t}\right)}{\partial t}.</math><br />
<br />
==características del medio==<br />
<br />
Si el medio es magnéticamente homogéneo, independiente del tiempo<br />
y el campo, el gradiente de la permeabilidad y su derivada temporal<br />
son cero creo que que que que<br />
<br />
<center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\frac{\partial^{2}\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)}{\partial t^{2}},</math></center><br />
<br />
para un medio no magnético la permeabilidad es aquella del vacío <math>\mu_{t}=\mu_{0}</math>.<br />
<br />
Si la permitividad es independiente del tiempo, se obtiene <br />
<br />
<math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.</math><br />
<br />
Para un medio homogéneo <br />
<br />
<math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}},</math><br />
<br />
se obtiene la ecuación de onda.<br />
<br />
Funcion bicontinua: se dice que una funcion es bicontinua si tanto ella como su inversa son continuas<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 03:25 29 oct 2010 (UTC)<br />
<br />
We present an identity of products that reduces to Lagrange’s identity when a series expansion to fourth order terms are considered. Sixth and higher order terms produce other series identities.<br />
<br />
[[Usuario:Gsfwiki|Gsfwiki]] ([[Usuario discusión:Gsfwiki|discusión]]) 11:12 25 sep 2018 (CDT)<br />
<br />
[[Archivo:Holog.gif|thumb|upright|La información completa de la imagen queda registrada por cualquier parte del holograma.]]<br />
[[Usuario:Sesebasi|Sesebasi]] ([[Usuario discusión:Sesebasi|discusión]]) 22:17 2 dic 2018 (CST)<br />
<br />
= introduction =<br />
<br />
Normed division algebras require that the norm of the product is equal to the product of the norms. Lagrange’s identity exhibits this equality. Due to Hurwitz theorem, it admits this interpretation only for algebras isomorphic to the real numbers <math>\left(\mathbb{R}\right)</math>, complex numbers <math>\left(\mathbb{R}^{2}\right)</math>, quaternions <math>\left(\mathbb{R}^{4}\right)</math> and octonions <math>\left(\mathbb{R}^{8}\right)</math>. If divisors of zero are allowed, many other algebraic structures in <math>\mathbb{R}^{n}</math> are possible. Two such possibilities for hyperbolic numbers has been introduced by Fjelstad and Gal and more recently by Catoni et al. . Another approach has been presented in the context of a deformed Lorentz metric. This latter proposal is based on a transformation stemming from the product operation and magnitude definition in hyperbolic scator algebra . The product identity used as a starting point here, is a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert = \left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> equality for scator algebras.<br />
<br />
Lagrange’s identity can be proved in a variety of ways . Most derivations use the identity as a starting point and prove in one way or another that the equality is true. In the present approach, Lagrange’s identity is actually derived without assuming it ''a priori''. The pseudo-norm of the product identity used in the derivation has the strength to imply an infinite number of identities. An example when sixth order terms are retained is shown here. The ease of the derivation has induced us to present it for complex numbers.<br />
<br />
= Lagrange’s identity for complex numbers =<br />
<br />
Let <math>a_{i},b_{i}\in\mathbb{C}</math> be complex numbers and the overbar represents complex conjugate.<br />
<br />
The product identity <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}-b_{i}\bar{b}_{i}+a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}\bar{b}_{i}\right)</math> reduces to the complex Lagrange’s identity when fourth order terms, in a series expansion, are considered.<br />
<br />
Expand the product on the LHS of the product identity in terms of series<ref>Recall that products of the form <math>\left(1+x_{i}\right)</math> can be expanded in terms of sums as <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i<j}^{n}x_{i}x_{j}+\mathcal{O}^{3+}(x),</math> where <math>\mathcal{O}^{3+}(x)</math> means terms with order three or higher in <math>x</math>.<br />
</ref> up to fourth order<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>+a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub><br /><br />
+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+O<sup>5+</sup>.[eq:series LHS complex O5]<br />
<br />
The two factors on the RHS are also written in terms of series<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+O<sup>5+</sup>)<br /><br />
(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+O<sup>5+</sup>).<br />
<br />
The product of this expression up to fourth order is<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)<br /><br />
+(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>)+O<sup>5+</sup>.[eq:series RHS complex O5]<br />
<br />
Substitution of eq:series LHS complex O5 and eq:series RHS complex O5 in the product identity give <math>\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right).</math> The product of two conjugates series can be expressed as series involving the product of conjugate terms<ref>The conjugate series product is <math>\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\bar{x}_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bar{x}_{i}+\sum_{i<j}^{n}\left(x_{i}\bar{x}_{j}+\bar{x}_{i}x_{j}\right)</math>.<br />
</ref>, thus<br />
<br />
(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>)-<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|a<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+|a<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>a<sub>j</sub>b<sub>j</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)<br /><br />
=(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>).<br />
<br />
The terms of the last two series on the LHS are grouped as <math>a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}-a_{i}b_{i}\bar{a}_{j}\bar{b}_{j}-\bar{a}_{i}\bar{b}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\bar{a}_{i}b_{j}-\bar{a}_{j}b_{i}\right),</math> in order to obtain the complex Lagrange’s identity <math>\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}b_{i}}\right)+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\overline{a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right).</math> In terms of the modulii, <math>\left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum_{i<j}^{n}\left|a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right|^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).</math><br />
<br />
= other identities =<br />
<br />
The non trivial identities for real numbers obtained to sixth order series expansion of the product identity <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}-b_{i}^{2}+a_{i}^{2}b_{i}^{2}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}^{2}\right)</math> are <math>\sum_{i<j}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}\left(b_{i}^{2}+b_{j}^{2}\right)\right]+\sum_{i<j<k}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}b_{k}^{2}+a_{i}^{2}b_{j}^{2}a_{k}^{2}+b_{i}^{2}a_{j}^{2}a_{k}^{2}\right]=\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i<j}^{n}a_{i}^{2}a_{j}^{2}\right)</math> and its counterpart, obtained by interchanging the'' ''variables'' ''<math>a</math> and <math>b</math> .''''<br />
<br />
Expand the product identity in series up to sixth order. The LHS is<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)=1+<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)<br /><br />
+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>j</sub><sup>2</sup>-b<sub>j</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)<br /><br />
+<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>j</sub><sup>2</sup>-b<sub>j</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>k</sub><sup>2</sup>-b<sub>k</sub><sup>2</sup>+a<sub>k</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>)+O<sup>7+</sup>.<br />
<br />
Consider only the sixth order terms<br />
<br />
O<sup>6</sup>(LHS)=-<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>[a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>(b<sub>i</sub><sup>2</sup>+b<sub>j</sub><sup>2</sup>)+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>)]-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup><br /><br />
-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>)-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>)<br />
<br />
The RHS of the product identity is similarly expanded in series up to sixth order<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub><sup>2</sup>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub><sup>2</sup>)=(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+O<sup>7+</sup>)<br /><br />
(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+O<sup>7+</sup>),<br />
<br />
and only sixth order terms retained<br />
<br />
O<sup>6</sup>(RHS)=-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>-(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>)(<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)-(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>).<br />
<br />
These two results are equated for equal powers of <math>a^{n}b^{m}</math>. The terms <math>a^{6}</math> and <math>b^{6}</math> give trivial identities whereas the terms involving <math>a^{4}b^{2}</math> and <math>a^{2}b^{4}</math> give the non trivial sixth order identities<br />
<br />
===Prueba 1===<br />
'''Ecuaciones de Maxwell'''<br />
<center><br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{D}=\rho\;\;\;\;\;<br />
</math><br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{B}=0\;\;\;\;\;<br />
</math> <br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{H}=\overrightarrow{J\,\,}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}<br />
</math><br />
</center><br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:26 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
===Prueba de arhivos(.svg)===<br />
<br />
[[Imagen:SVG logo.svg|center|thumb|200x200px|Figura de SVG]]<br />
<br />
'''Nota''': el formato de archivo permitivo es (.svg) otra extension de archivos vectoriales es (.svgz) pero no lo soporta la pagina<br />
<br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 18:51 26 nov 2015 (CST)<br />
----<br />
<br />
=Criterios de segunda derivada=<br />
<br />
Suponga que $f(x,y)$ tiene segundas derivadas parciales continuas<br />
en una vecindad de $(x_{0},y_{0})$ y que $\nabla f(x_{0},y_{0})=0$.<br />
<br />
Sea $D=D(x_{0},y_{0})=f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{yy}(x_{0},y_{0})-f_{xy}^{2}(x_{0},y_{0})$<br />
(el cual es el determinante/Hessiano):<br />
<br />
a) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})<0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$<br />
es un valor máximo local.<br />
<br />
b) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})>0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$<br />
es un valor mínimo local.<br />
<br />
c) Si $D<0$, entonces $f(x_{0},y_{0})$ no es un valor extremo, $(x_{0},y_{0})$<br />
es un punto silla.<br />
<br />
d) Si $D=0$, el criterio no es concluyente<br />
<br />
=Funciones vectoriales=<br />
Una función vectorial de una variable real, es una funciónde la forma<br />
$\gamma:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ tal que<br />
para cada $t\in D$, $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$<br />
<br />
Dado que $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$ , para cada $t$<br />
perteneciente a $D$, este tiene n-coordenadas, las cuales suelen<br />
ser, funciones de la variable $t$. Así. podemos escribir<br />
<br />
\[<br />
\gamma\left(t\right)=\left(\gamma_{1}\left(t\right),\gamma_{2}\left(t\right),\gamma_{3}\left(t\right),\ldots,\gamma_{n}\left(t\right)\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde $\gamma_{i}\left(t\right):D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},i=1,2,3,\ldots,n$<br />
son funciones de la variable $t$, llamadas funciones coordenadas<br />
de $\gamma$(o funciones componentes de $\gamma$)<br />
<br />
El dominio de $\gamma$ con funciones componentes $\gamma_{i}$ es:<br />
<br />
\[<br />
Dom\left(\gamma\right)=\cap_{i=1}^{n}Dom\left(\gamma_{i}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Particularmente, para $n=3$, una función $f:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$,<br />
puede ser escrita como $f\left(t\right)=f_{1}\left(t\right)\hat{i}+f_{2}\left(t\right)\hat{j}+f_{3}\left(t\right)\hat{k}$<br />
para cada $t$ perteneciente a $D$; donde $f_{1},f_{2},f_{3}$ son<br />
las funciones componentes de $f$. Su dominio es:<br />
<br />
\[<br />
Dom\left(f\right)=Dom\left(f_{1}\right)\cap Dom\left(f_{2}\right)\cap Dom\left(f_{3}\right)<br />
\]<br />
<br />
=Teorema de Fubini=<br />
<br />
Sea f una función tal que $f:I\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$<br />
con $I:=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b;c\leq y\leq d\}.$ Entonces:<br />
<br />
\[<br />
\underset{I}{\iint}f(x,y)dxdy=\mathop{\int}_{a}^{b} dx\mathop{\int}_{c}^{d}f(x,y)dy=\mathop{\int}_{c}^{d}dy\mathop{\int}_{a}^{b}f(x,y)dx<br />
\]<br />
[[Archivo:Guido Fubini.jpg|miniaturadeimagen|centro|Matemático Guido Fubini]]<br />
<br />
=Campo magnético=<br />
<br />
Típicamente representamos el campo magnético de dos maneras diferentes:<br />
<br />
# Describimos matemáticamente el campo magnético como un campo vectorial. Podemos representar directamente este campo como un conjunto de vectores dibujados en una cuadrícula. Cada vector apunta en la dirección en la que lo haría una brújula y su magnitud depende de la fuerza magnética. Arreglar muchas brújulas en un patrón de cuadrícula y colocar este patrón en un campo magnético ilustra esta técnica. La única diferencia en este caso es que una brújula no muestra la intensidad del campo.<br />
# Una forma alternativa para representar la información contenida en un campo vectorial es por medio de las lineas de campo. En esta representación, omitimos la cuadrícula y conectamos los vectores con líneas suaves. Podemos dibujar tantas líneas como queramos.<br />
<br />
= conclusions =<br />
<br />
Lagrange’s identity for complex numbers has been obtained from a straight-forward product identity. The procedure is elementary and very economical. A derivation for the reals is obviously even more succinct. In a wider context, this product identity can be seen as a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> relationship for scator algebras. Since the Cauchy–Schwarz inequality is a particular case of Lagrange’s identity , this proof is yet another way to obtain the CS inequality.</div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Prueba&diff=24218Prueba2020-05-21T16:45:22Z<p>Evamontiel: Página blanqueada</p>
<hr />
<div></div>Evamontielhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Prueba&diff=24217Prueba2020-05-21T16:36:17Z<p>Evamontiel: /* titulo primer nivel */</p>
<hr />
<div>= Ésta es una página de prueba =<br />
Vibraciones y ondas<br />
'''If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.''' hola<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:53 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<math>\alpha\beta\iint</math><br />
<br />
$ F = \sqrt{s \over m}$<br />
<br />
[[Usuario:Mfgwi|Mfgwi]] ([[Usuario discusión:Mfgwi|discusión]]) 16:51 14 may 2020 (CDT)<br />
<br />
$<br />
\nabla^{2}\mathbf{V}=\frac{1}{c}\frac{\partial^{2}\mathbf{V}}{\partial t^{2}}.<br />
$<br />
=titulo primer nivel=<br />
aqui va un texto<br />
<br />
Deducción de la ecuacion de movimiento del OAS (Método energía)<br />
<br />
Para un sistema masa resorte podemos aplicar que:<br />
<br />
$E_{K}+E_{P}=cte$<br />
<br />
$\frac{d}{dt}(E_{K}+E_{P})=0$<br />
<br />
Entonces sabemos:<br />
<br />
$\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=cte$<br />
<br />
$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=cte)$<br />
<br />
$\frac{2}{2}mv\frac{dv}{dt}+\frac{2}{2}kx\frac{dx}{dt}=0$<br />
<br />
$mv\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx\frac{dx}{dt}=0$<br />
<br />
Sabemos que $\frac{dt}{dx}$no siempre es cero por lo tanto sugerimos:<br />
<br />
dividir todo entre m entonce:<br />
<br />
$v\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx\frac{dx}{dt}=0$<br />
<br />
sabemos que $\frac{dx}{dt}=v$ entonces:<br />
<br />
$\frac{dx}{dt}(\frac{d^{2}t}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x)=0$<br />
<br />
Por otro lado sabemos que $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$entonces :<br />
<br />
$\frac{d^{2}x}{dt}+\omega^{2}x=0$<br />
<br />
La solución de la ecuacion deferencial de segundo orden es:<br />
<br />
$x(t)=Acos(\omega t+\phi)$<br />
<br />
y podemos deducir la velocidad y la aceleración de la siguiente manera:<br />
<br />
$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=-\omega Asen(\omega t+\phi)$<br />
<br />
$a_{x}(t)=\frac{dv}{dt}=-\omega^{2}Acos(\omega t+\phi)$<br />
==subtitulo de segundo nivel==<br />
\[<br />
f = {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5 Hz<br />
\]<br />
<br />
(c) $<br />
T= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10 s<br />
$<br />
<br />
d) $<br />
H= {{\phi} \sqrt{\lambda} \over g} +2<br />
$<br />
--[[Usuario:Fernando Vazquez V.|Fernando Vazquez V.]] ([[Usuario discusión:Fernando Vazquez V.|discusión]]) 18:48 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
= Medios estratificados - Ecuación diferencial =<br />
<gallery><br />
Archivo:Ola2.jpg|Ola en el proceso de 'reventar'<br />
</gallery><br />
<br />
== Holografía ==<br />
<br />
[[Usuario:Sesebasi|Sesebasi]] ([[Usuario discusión:Sesebasi|discusión]]) 15:13 30 nov 2018 (CST)<br />
<br />
[[Usuario:Alejandro Juárez Toribio|Alejandro Juárez Toribio]] ([[Usuario discusión:Alejandro Juárez Toribio|discusión]]) 16:48 10 jul 2015 (CDT)<br />
<br />
==Campo Eléctrico==<br />
<br />
El campo eléctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio estático,<br />
isotrópico y lineal es <center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=\nabla\left(\frac{\rho}{\varepsilon_{t}}\right)-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)+\mu\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t}-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.</math></center><br />
En ausencia de cargas y corrientes<center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon\right)-\nabla\ln\mu\times\nabla\times\mathbf{E}.</math></center><br />
Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién <math>z</math>,<br />
entonces <math>\varepsilon\left(z\right),\mu\left(z\right)</math>. <center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=-\nabla\left(E_{z}\frac{\partial\ln\varepsilon}{\partial z}\right)-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times\mathbf{E}\right).</math></center><br />
<br />
Si el campo es TE y la propagación en el plano ''y-z'' , entonces<br />
<math>E=E_{x}\hat{\mathbf{i}}+E_{y}\hat{\mathbf{j}}+E_{z}\hat{\mathbf{k}}\rightarrow E=E_{x}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{i}}</math>.<br />
<center><math><br />
\nabla^{2}E_{x}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z}</math></center><br />
puesto que <math>\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\hat{\mathbf{k}}</math><br />
y entonces <math>\hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{k}}\times\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{i}}</math>.<br />
Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética<center><math><br />
\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}+\mu\varepsilon\omega^{2}E_{x}=\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial E_{x}}{\partial z},</math></center><br />
donde <math>\mu\varepsilon\omega^{2}=\frac{n^{2}}{c^{2}}\omega^{2}=n^{2}k_{0}^{2}</math>.<br />
ésta ecuacién \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida<br />
del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en<br />
primeras derivadas.<br />
<br />
Considere que se pueden separar las variables<center><math><br />
E_{x}\left(y,z\right)=Y\left(y\right)U\left(z\right),</math></center><br />
de manera que se obtiene<center><math><br />
\underset{f\left(z\right)}{\underbrace{\frac{1}{U}\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}+n^{2}k_{0}^{2}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{1}{U}\frac{\partial U}{\partial z}}}+\underset{-f\left(y\right)}{\underbrace{\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}}}=0</math></center><br />
donde hay dos partes que dependen solamente de ''z'' y ''y'' <br />
respectivamente. Dado que éstas variables son<br />
independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la<br />
otra variable <br />
<br />
constante <math>f\left(z\right)=-f\left(y\right)=\sigma^{2}k_{0}^{2}</math>.<br />
La existencia de ésta cantidad invariante es la generalizacién de<br />
la relacién de Snell para medios inhomogéneos. Las ecuaciones son<br />
entonces para la variable ''y'' <center><math><br />
\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}=-\sigma^{2}k_{0}^{2}\quad\Longrightarrow\quad Y\left(y\right)=Y_{0}\exp\left(i\sigma k_{0}y\right)</math></center><br />
y para la variable en ''z'' <center><math><br />
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial U}{\partial z}+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)U=0.</math></center><br />
<br />
El parametro variable sufre un corrimiento <math>\Omega^{2}\rightarrow\Omega^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}</math><br />
respecto al caso unidimensional <br />
<math>\sigma=0</math> para incidencia<br />
normal.<br />
<br />
==Representacién de amplitud y fase==<br />
<br />
<math>\int\limits_C n_1\vec s_1 \cdot d\vec r +</math><br />
<br />
Si se considera un medio no magnético <math>\mu=\mu_{0}</math>, entonces la<br />
ecuacién \eqref{eq: ode u} se simplifica a<center><math><br />
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right]u=0.</math></center><br />
<br />
La ecuación del movimiento armónico simple es:<br />
<math>x=A\sin(\omega t+\varphi)</math><br />
si derivamos x respecto de t, obtenemos la velocidad y si derivamos v respecto a t, ó si sacamos la doble derivada de x respecto de t obtenemos la aceleración del sistema<br />
<math>v=A\omega\cos(\omega t+\varphi)<br />
<br />
a=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\varphi)</math><br />
<br />
cuando calculamos la posición, velocidad o aceleración máxima estamos diciendo que seno o coseno(según sea el caso) están llegando a su máximo, es decir<br />
<math>\sin(\omega t+\varphi)=1</math><br />
<br />
<math>\cos(\omega t+\varphi)=1</math><br />
<br />
si esto sucede, entonces tenemos una posición máxima, velocidad máxima y aceleración máxima como sigue<br />
<math>x_{max}=A</math><br />
<br />
<math>v_{max}=A\omega</math><br />
<br />
<math>\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Letti GZ]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 22:10 4 may 2013 (CDT)<br />
<br />
==Invariante==<br />
<br />
Sean dos soluciones linealmente independientes<center><math><br />
U_{1}'=i\omega\mu V_{1}</math></center><br />
<center><math><br />
U_{2}'=i\omega\mu V_{2}</math></center><br />
Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por <math>V_{1}</math> menos \eqref{eq: U der V 1}por<br />
<math>V_{2}</math> se obtiene<center><math><br />
V_{1}U_{2}'-V_{2}U_{1}'=0.</math></center><br />
De manera anéloga <math>V_{1}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{1}</math><br />
y <math>V_{2}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{2}</math><center><math><br />
U_{1}V_{2}'-U_{2}V_{1}'=0.</math></center><br />
De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de éstas<br />
dos ecuaciones<center><math><br />
U_{1}V_{2}'+V_{2}U_{1}'-U_{2}V_{1}'-V_{1}U_{2}'=\frac{d}{dz}\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)=0</math></center><br />
<br />
==Coeficientes de reflexión y transmisión==<br />
<br />
Sean <math>A</math>, <math>R</math> y <math>T</math> las amplitudes complejas del campo eléctrico<br />
incidente, reflejado y transmitido.<br />
<br />
Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos <math>\mathbf{E}</math><br />
y <math>\mathbf{H}</math>, asi como la relación entre ellos para una onda plana<center><math><br />
\mathbf{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}</math></center><br />
<br />
Para una onda TM (transverso eléctrico) plana <center><math><br />
U_{0}=A+R</math></center><br />
Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en <math>U\left(z=0\right)=U_{0}</math><br />
existe una onda incidente y una reflejada. Nótese que <math>U</math> es el campo<br />
eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuación<br />
(5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere<br />
a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales<br />
a los campos.<br />
<br />
<center><math><br />
U\left(z_{l}\right)=T</math></center><br />
El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe<br />
el argumento de <math>U</math> como <math>z_{1}</math> que es la última capa; nosotros<br />
preferimos escribir <math>z_{l}</math> (la última capa) donde ya solamente hay<br />
onda transmitida.<br />
<br />
<math>\alpha</math><br />
<br />
La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante<br />
la transformación <math>U=u\sqrt{\mu}</math>, entonces la primera derivada es<center><math><br />
\frac{\partial U}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\mu^{-\frac{1}{2}}\frac{\partial\mu}{\partial z}=\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)</math></center><br />
mientras que la segunda derivada es<center><math><br />
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\frac{1}{2}\mu^{\frac{1}{2}}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\mu^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{1}{2}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)</math></center><br />
que podemos reagrupar como<center><math><br />
\frac{\partial^{2}U}{\partial z^{2}}=\mu^{\frac{1}{2}}\left[\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\right]</math></center><br />
La ecuacién diferencial\eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*}<br />
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\<br />
-\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}<br />
que simplifica a<center><math><br />
\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\left[n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}-\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}\right)\right]u=0.</math></center><br />
<br />
--[[Usuario:Kanon1106|Kanon1106]] 20:56 20 ene 2009 (CST)<br />
<br />
== Maxwell ==<br />
Comencemos con las ecuaciones de Maxwell para un medio arbitrario<br />
(unidades del SI)<br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math></center><br />
<br />
donde <math>\mathbf{D}</math> es el desplazamiento eléctrico, <math>\mathbf{B}</math><br />
el desplazamiento magnético, <math>\mathbf{H}</math> el campo magnético y <math>\mathbf{E}</math><br />
el campo eléctrico. En la ausencia de cargas libres <math>\rho=0</math> pero<br />
permitiendo la existencia de corrientes, las ecuaciones anteriores<br />
devienen<br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\cdot\mathbf{D}=0</math></center><br />
<br />
<center><math><br />
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{J}</math></center><br />
<br />
donde las ecuaciones \ref{eq:div B} y \ref{eq:rot E} permanecen<br />
inalteradas.<br />
<br />
<br />
==relaciones constitutivas==<br />
<br />
Establecen la relación entre los campos y los desplazamientos. La<br />
permitividad y permeabilidad son:<br />
<br />
* independientes del campo para medios lineales o campos con amplitud pequeña<br />
* escalares para medios isotrópicos<br />
* independientes del espacio para medios homogéneos<br />
* independientes del tiempo para medios no dispersivos<br />
* cantidades puramente reales para medios sin abosorción<br />
<br />
Consideremos un medio isotrópico: <br />
<br />
<math><br />
\mathbf{D}=\varepsilon_{t}\left(\mathbf{r},t,\mathbf{E}\right)\mathbf{E}.</math><br />
<br />
De la ecuación (div D =0}), se obtiene: <br />
<br />
<math><br />
\nabla\cdot\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)=\varepsilon_{t}\nabla\cdot\mathbf{E}+\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=0\quad\Rightarrow\mbox{ }\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{\varepsilon_{t}}\mathbf{E}\cdot\nabla\varepsilon_{t}=\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}.</math><br />
<br />
Un resultado análogo es cierto para la permeabilidad puesto que <math>\mathbf{B}=\mu_{t}\mathbf{H}</math><br />
y el rotacional de ésta expresión puede reescribirse como: <br />
<br />
<math><br />
\nabla\times\mathbf{B}=\nabla\times\left(\mu_{t}\mathbf{H}\right)=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\nabla\times\mathbf{H}=\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}+\mu_{t}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.</math><br />
<br />
Las ecuaciones de Maxwell pueden entonces combinarse para obtener:<br />
<br />
<math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\frac{\partial\left(\nabla\mu_{t}\times\mathbf{H}\right)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\mu_{t}\frac{\partial\varepsilon_{t}\mathbf{E}}{\partial t}\right)}{\partial t}.</math><br />
<br />
==características del medio==<br />
<br />
Si el medio es magnéticamente homogéneo, independiente del tiempo<br />
y el campo, el gradiente de la permeabilidad y su derivada temporal<br />
son cero creo que que que que<br />
<br />
<center><math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\frac{\partial^{2}\left(\varepsilon_{t}\mathbf{E}\right)}{\partial t^{2}},</math></center><br />
<br />
para un medio no magnético la permeabilidad es aquella del vacío <math>\mu_{t}=\mu_{0}</math>.<br />
<br />
Si la permitividad es independiente del tiempo, se obtiene <br />
<br />
<math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}-\nabla\left(\mathbf{E}\cdot\nabla\ln\varepsilon_{t}\right)=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.</math><br />
<br />
Para un medio homogéneo <br />
<br />
<math><br />
\nabla^{2}\mathbf{E}=\mu_{t}\varepsilon_{t}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}},</math><br />
<br />
se obtiene la ecuación de onda.<br />
<br />
Funcion bicontinua: se dice que una funcion es bicontinua si tanto ella como su inversa son continuas<br />
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 03:25 29 oct 2010 (UTC)<br />
<br />
We present an identity of products that reduces to Lagrange’s identity when a series expansion to fourth order terms are considered. Sixth and higher order terms produce other series identities.<br />
<br />
[[Usuario:Gsfwiki|Gsfwiki]] ([[Usuario discusión:Gsfwiki|discusión]]) 11:12 25 sep 2018 (CDT)<br />
<br />
[[Archivo:Holog.gif|thumb|upright|La información completa de la imagen queda registrada por cualquier parte del holograma.]]<br />
[[Usuario:Sesebasi|Sesebasi]] ([[Usuario discusión:Sesebasi|discusión]]) 22:17 2 dic 2018 (CST)<br />
<br />
= introduction =<br />
<br />
Normed division algebras require that the norm of the product is equal to the product of the norms. Lagrange’s identity exhibits this equality. Due to Hurwitz theorem, it admits this interpretation only for algebras isomorphic to the real numbers <math>\left(\mathbb{R}\right)</math>, complex numbers <math>\left(\mathbb{R}^{2}\right)</math>, quaternions <math>\left(\mathbb{R}^{4}\right)</math> and octonions <math>\left(\mathbb{R}^{8}\right)</math>. If divisors of zero are allowed, many other algebraic structures in <math>\mathbb{R}^{n}</math> are possible. Two such possibilities for hyperbolic numbers has been introduced by Fjelstad and Gal and more recently by Catoni et al. . Another approach has been presented in the context of a deformed Lorentz metric. This latter proposal is based on a transformation stemming from the product operation and magnitude definition in hyperbolic scator algebra . The product identity used as a starting point here, is a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert = \left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> equality for scator algebras.<br />
<br />
Lagrange’s identity can be proved in a variety of ways . Most derivations use the identity as a starting point and prove in one way or another that the equality is true. In the present approach, Lagrange’s identity is actually derived without assuming it ''a priori''. The pseudo-norm of the product identity used in the derivation has the strength to imply an infinite number of identities. An example when sixth order terms are retained is shown here. The ease of the derivation has induced us to present it for complex numbers.<br />
<br />
= Lagrange’s identity for complex numbers =<br />
<br />
Let <math>a_{i},b_{i}\in\mathbb{C}</math> be complex numbers and the overbar represents complex conjugate.<br />
<br />
The product identity <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}-b_{i}\bar{b}_{i}+a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}\bar{b}_{i}\right)</math> reduces to the complex Lagrange’s identity when fourth order terms, in a series expansion, are considered.<br />
<br />
Expand the product on the LHS of the product identity in terms of series<ref>Recall that products of the form <math>\left(1+x_{i}\right)</math> can be expanded in terms of sums as <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i<j}^{n}x_{i}x_{j}+\mathcal{O}^{3+}(x),</math> where <math>\mathcal{O}^{3+}(x)</math> means terms with order three or higher in <math>x</math>.<br />
</ref> up to fourth order<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>+a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub><br /><br />
+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+O<sup>5+</sup>.[eq:series LHS complex O5]<br />
<br />
The two factors on the RHS are also written in terms of series<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+O<sup>5+</sup>)<br /><br />
(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+O<sup>5+</sup>).<br />
<br />
The product of this expression up to fourth order is<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)=1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)<br /><br />
+(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>+b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>)+O<sup>5+</sup>.[eq:series RHS complex O5]<br />
<br />
Substitution of eq:series LHS complex O5 and eq:series RHS complex O5 in the product identity give <math>\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right).</math> The product of two conjugates series can be expressed as series involving the product of conjugate terms<ref>The conjugate series product is <math>\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\bar{x}_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bar{x}_{i}+\sum_{i<j}^{n}\left(x_{i}\bar{x}_{j}+\bar{x}_{i}x_{j}\right)</math>.<br />
</ref>, thus<br />
<br />
(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>)-<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>|a<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+|a<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>a<sub>j</sub>b<sub>j</sub>)+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>|b<sub>j</sub>+a<sub>j</sub>|a<sub>j</sub>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>)<br /><br />
=(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub>|a<sub>i</sub>)(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub>|b<sub>i</sub>).<br />
<br />
The terms of the last two series on the LHS are grouped as <math>a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}-a_{i}b_{i}\bar{a}_{j}\bar{b}_{j}-\bar{a}_{i}\bar{b}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\bar{a}_{i}b_{j}-\bar{a}_{j}b_{i}\right),</math> in order to obtain the complex Lagrange’s identity <math>\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}b_{i}}\right)+\sum_{i<j}^{n}\left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\overline{a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right).</math> In terms of the modulii, <math>\left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum_{i<j}^{n}\left|a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right|^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).</math><br />
<br />
= other identities =<br />
<br />
The non trivial identities for real numbers obtained to sixth order series expansion of the product identity <math>\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}-b_{i}^{2}+a_{i}^{2}b_{i}^{2}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}^{2}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}^{2}\right)</math> are <math>\sum_{i<j}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}\left(b_{i}^{2}+b_{j}^{2}\right)\right]+\sum_{i<j<k}^{n}\left[a_{i}^{2}a_{j}^{2}b_{k}^{2}+a_{i}^{2}b_{j}^{2}a_{k}^{2}+b_{i}^{2}a_{j}^{2}a_{k}^{2}\right]=\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i<j}^{n}a_{i}^{2}a_{j}^{2}\right)</math> and its counterpart, obtained by interchanging the'' ''variables'' ''<math>a</math> and <math>b</math> .''''<br />
<br />
Expand the product identity in series up to sixth order. The LHS is<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)=1+<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)<br /><br />
+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>j</sub><sup>2</sup>-b<sub>j</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)<br /><br />
+<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(-a<sub>i</sub><sup>2</sup>-b<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>j</sub><sup>2</sup>-b<sub>j</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)(-a<sub>k</sub><sup>2</sup>-b<sub>k</sub><sup>2</sup>+a<sub>k</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>)+O<sup>7+</sup>.<br />
<br />
Consider only the sixth order terms<br />
<br />
O<sup>6</sup>(LHS)=-<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>[a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>(b<sub>i</sub><sup>2</sup>+b<sub>j</sub><sup>2</sup>)+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>+a<sub>j</sub><sup>2</sup>)]-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup><br /><br />
-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>)-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>(a<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>)<br />
<br />
The RHS of the product identity is similarly expanded in series up to sixth order<br />
<br />
<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-a<sub>i</sub><sup>2</sup>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(1-b<sub>i</sub><sup>2</sup>)=(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>+O<sup>7+</sup>)<br /><br />
(1-<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>+<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>+O<sup>7+</sup>),<br />
<br />
and only sixth order terms retained<br />
<br />
O<sup>6</sup>(RHS)=-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>a<sub>k</sub><sup>2</sup>-<sub>i&lt;j&lt;k</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>b<sub>k</sub><sup>2</sup>-(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>)(<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>b<sub>j</sub><sup>2</sup>)-(<sub>i=1</sub><sup>n</sup>b<sub>i</sub><sup>2</sup>)(<sub>i&lt;j</sub><sup>n</sup>a<sub>i</sub><sup>2</sup>a<sub>j</sub><sup>2</sup>).<br />
<br />
These two results are equated for equal powers of <math>a^{n}b^{m}</math>. The terms <math>a^{6}</math> and <math>b^{6}</math> give trivial identities whereas the terms involving <math>a^{4}b^{2}</math> and <math>a^{2}b^{4}</math> give the non trivial sixth order identities<br />
<br />
===Prueba 1===<br />
'''Ecuaciones de Maxwell'''<br />
<center><br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{D}=\rho\;\;\;\;\;<br />
</math><br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{B}=0\;\;\;\;\;<br />
</math> <br />
<math><br />
\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{H}=\overrightarrow{J\,\,}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}<br />
</math><br />
</center><br />
--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 21:26 8 mayo 2015 (CDT)<br />
<br />
===Prueba de arhivos(.svg)===<br />
<br />
[[Imagen:SVG logo.svg|center|thumb|200x200px|Figura de SVG]]<br />
<br />
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--[[Usuario:Tlacaelel Cruz|Tlacaelel Cruz]] ([[Usuario discusión:Tlacaelel Cruz|discusión]]) 18:51 26 nov 2015 (CST)<br />
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<br />
=Criterios de segunda derivada=<br />
<br />
Suponga que $f(x,y)$ tiene segundas derivadas parciales continuas<br />
en una vecindad de $(x_{0},y_{0})$ y que $\nabla f(x_{0},y_{0})=0$.<br />
<br />
Sea $D=D(x_{0},y_{0})=f_{xx}(x_{0},y_{0})f_{yy}(x_{0},y_{0})-f_{xy}^{2}(x_{0},y_{0})$<br />
(el cual es el determinante/Hessiano):<br />
<br />
a) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})<0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$<br />
es un valor máximo local.<br />
<br />
b) Si $D>0$ y $f_{xx}(x_{0},y_{0})>0,$entonces $f(x_{0},y_{0})$<br />
es un valor mínimo local.<br />
<br />
c) Si $D<0$, entonces $f(x_{0},y_{0})$ no es un valor extremo, $(x_{0},y_{0})$<br />
es un punto silla.<br />
<br />
d) Si $D=0$, el criterio no es concluyente<br />
<br />
=Funciones vectoriales=<br />
Una función vectorial de una variable real, es una funciónde la forma<br />
$\gamma:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ tal que<br />
para cada $t\in D$, $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$<br />
<br />
Dado que $\gamma\left(t\right)\in\mathbb{R}^{n}$ , para cada $t$<br />
perteneciente a $D$, este tiene n-coordenadas, las cuales suelen<br />
ser, funciones de la variable $t$. Así. podemos escribir<br />
<br />
\[<br />
\gamma\left(t\right)=\left(\gamma_{1}\left(t\right),\gamma_{2}\left(t\right),\gamma_{3}\left(t\right),\ldots,\gamma_{n}\left(t\right)\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
donde $\gamma_{i}\left(t\right):D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},i=1,2,3,\ldots,n$<br />
son funciones de la variable $t$, llamadas funciones coordenadas<br />
de $\gamma$(o funciones componentes de $\gamma$)<br />
<br />
El dominio de $\gamma$ con funciones componentes $\gamma_{i}$ es:<br />
<br />
\[<br />
Dom\left(\gamma\right)=\cap_{i=1}^{n}Dom\left(\gamma_{i}\right)<br />
\]<br />
<br />
<br />
Particularmente, para $n=3$, una función $f:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}$,<br />
puede ser escrita como $f\left(t\right)=f_{1}\left(t\right)\hat{i}+f_{2}\left(t\right)\hat{j}+f_{3}\left(t\right)\hat{k}$<br />
para cada $t$ perteneciente a $D$; donde $f_{1},f_{2},f_{3}$ son<br />
las funciones componentes de $f$. Su dominio es:<br />
<br />
\[<br />
Dom\left(f\right)=Dom\left(f_{1}\right)\cap Dom\left(f_{2}\right)\cap Dom\left(f_{3}\right)<br />
\]<br />
<br />
=Teorema de Fubini=<br />
<br />
Sea f una función tal que $f:I\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$<br />
con $I:=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b;c\leq y\leq d\}.$ Entonces:<br />
<br />
\[<br />
\underset{I}{\iint}f(x,y)dxdy=\mathop{\int}_{a}^{b} dx\mathop{\int}_{c}^{d}f(x,y)dy=\mathop{\int}_{c}^{d}dy\mathop{\int}_{a}^{b}f(x,y)dx<br />
\]<br />
[[Archivo:Guido Fubini.jpg|miniaturadeimagen|centro|Matemático Guido Fubini]]<br />
<br />
=Campo magnético=<br />
<br />
Típicamente representamos el campo magnético de dos maneras diferentes:<br />
<br />
# Describimos matemáticamente el campo magnético como un campo vectorial. Podemos representar directamente este campo como un conjunto de vectores dibujados en una cuadrícula. Cada vector apunta en la dirección en la que lo haría una brújula y su magnitud depende de la fuerza magnética. Arreglar muchas brújulas en un patrón de cuadrícula y colocar este patrón en un campo magnético ilustra esta técnica. La única diferencia en este caso es que una brújula no muestra la intensidad del campo.<br />
# Una forma alternativa para representar la información contenida en un campo vectorial es por medio de las lineas de campo. En esta representación, omitimos la cuadrícula y conectamos los vectores con líneas suaves. Podemos dibujar tantas líneas como queramos.<br />
<br />
= conclusions =<br />
<br />
Lagrange’s identity for complex numbers has been obtained from a straight-forward product identity. The procedure is elementary and very economical. A derivation for the reals is obviously even more succinct. In a wider context, this product identity can be seen as a consequence of the <math>\left\Vert \mathbf{ab}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{a}\right\Vert \left\Vert \mathbf{b}\right\Vert </math> relationship for scator algebras. Since the Cauchy–Schwarz inequality is a particular case of Lagrange’s identity , this proof is yet another way to obtain the CS inequality.</div>Evamontiel