https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/api.php?action=feedcontributions&user=David+Alberto+Rojas+Solis&feedformat=atomluz-wiki - Contribuciones del usuario [es]2024-03-28T21:18:39ZContribuciones del usuarioMediaWiki 1.39.6https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c7&diff=17439Ondas: probs c72013-07-06T15:23:37Z<p>David Alberto Rojas Solis: </p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 3 Óptica - Hecht<br />
<br />
'''3.1'''<br />
<br />
----<br />
<br />
'''3.2'''<br />
----<br />
'''3.7 (7.7) Usando las ecuaciones:<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{02}^{2}+2E_{02}E_{01}cos(\alpha_{2}-\alpha_{1})</math><br />
<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{E_{01}sen\alpha_{1}+E_{02}sen\alpha_{2}}{E_{01}cos\alpha_{1}+E_{02}cos\alpha_{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}sen(\omega t-k(x+\alpha))</math><br />
<br />
<br />
Demostrar la resultante de las dos ondas. <br />
<br />
<math>E_{1}=E_{01}sen(\omega t-k(x+\triangle x))</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=E_{01}sen(\omega t-kx)</math><br />
<br />
<br />
es:<br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})sen[\omega t-k(x+\frac{\triangle x}{2})]<br />
</math>'''<br />
<br />
<br />
Sustituyendo en la primera relacion tenemos: <br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{01}^{2}+2E_{01}^{2}cos(\triangle x)</math><br />
<br />
<br />
Tras simplificar obetenemos.<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=2E_{01}^{2}[1+cos(\triangle x)]</math><br />
<br />
<br />
Utilizando una relacion trigonometrica. <math>\left.1+cos\triangle x=2cos^{2}\frac{\triangle x}{2}\right\} ..1</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{0}^{2}=4E_{01}^{2}[cos^{2}(\frac{\triangle x}{2})]</math><br />
<br />
<br />
Sacando raices de ambosl lados. <br />
<br />
<math>E_{0}=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})</math><br />
<br />
<br />
Ahora en el caso de la fase. <br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{E_{01}sen(\triangle x)}{E_{01}+E_{01}cos(\triangle x)}</math><br />
<br />
<br />
De aqui, factorizamos del denominador un campo y este se hace uno con el campo del numerador<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{sen(\triangle x)}{1+cos(\triangle x)}</math><br />
<br />
<br />
Utilizamos en el denominador 1. y en el numerador. <math>\left.sen(\frac{\triangle x}{2})=2sen(\frac{\triangle x}{2})cos(\frac{\triangle x}{2})\right\} ..2</math><br />
y sustituimos. <br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{2sen(\frac{\triangle x}{2})cos(\frac{\triangle x}{2})}{2cos^{2}\frac{\triangle x}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Tras simplificar.<br />
<br />
<math>tan\alpha=\frac{sen(\frac{\triangle x}{2})}{cos(\frac{\triangle x}{2})}</math><br />
<br />
<br />
Por definicion de tangente.<br />
<br />
<math>tan\alpha=tan(\frac{\triangle x}{2})\Longrightarrow\alpha=\frac{\triangle x}{2}</math><br />
<br />
<br />
Ahora por la ultima ecuacion el campo. <br />
<br />
<math>E=2E_{01}cos(\frac{\triangle x}{2})sen[\omega t-k(x+\frac{\triangle x}{2})]</math><br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 00:55 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''3.9 (7.9optica Hetch) Use la representacion compleja para calcular la resultante de <math>E=E_{1}+E_{2}</math>,''' donde <br />
<br />
<math>E_{1}=E_{0}cos(kx+\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=-E_{0}cos(kx-\omega t)</math><br />
<br />
<br />
'''Y describa la onda compuesta.''' <br />
<br />
Aplicando el metodo complejo <br />
<br />
<math>E_{1}=E_{0}e^{\imath(kx+\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
<math>E_{2}=-E_{0}e^{\imath(kx-\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
Entonces, la suma de ambas es:<br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath(kx+\omega t)}+-E_{0}e^{\imath(kx-\omega t)}</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath kx}(e^{\imath\omega t}-e^{-\imath\omega t})</math><br />
<br />
<br />
Dado que <br />
<br />
<math>2\imath sen(\omega t)=e^{\imath\omega t}-e^{-\imath\omega t}</math><br />
<br />
<br />
Entonces. <br />
<br />
<math>E=E_{0}e^{\imath kx}2\imath sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
Desarrollando “<math>e^{\imath kx}</math>”<br />
<br />
<math>E=E_{0}[cos(kx)+\imath sen(kx)]2\imath sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>E=E_{0}[2\imath cos(kx)sen(\omega t)-2sen(kx)sen(\omega t)]</math><br />
<br />
<br />
Por tanto. <br />
<br />
<math>E=-2sen(kx)sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
De esa forma se describe la onda compuesta. <br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 19:44 5 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''3.12 Un laser emite unos pulsos de UV que dura cada uno <math>2.00ns(2.00x10^{-9}s)</math> y cuyo haz tiene un diametro de <math>2.5mm(2.5x10^{-3}m)</math>. Suponiendo que la potencia de cada pulso tiene una energia de 6.0J: (a)calcule la extension espacial de cada tren de ondas, y (b)calcule la energia media por unidad de volumen de tal pulso.'''<br />
<br />
R: (a) conociendo la ecuacion <math>l=c\triangle t</math> sustituimos los datos dados<br />
<br />
<math>l=(3.00x10^{8}m/s)(2.00x10^{-9}s)=0.6m</math><br />
<br />
<br />
(b)el volumen de un solo pulso esta dado por la formula <math>V=l\pi R^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>V=(0.6m)(\pi(\frac{2.5x10^{-3}m}{2})^{2})</math><br />
<br />
<br />
<math>V=2.945x10^{-6}m^{3}</math><br />
<br />
<br />
por lo tanto <math>\frac{6.0J}{2.945x10^{-6}m^{3}}=2037351.443{J}/{m^{3}}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 16:01 20 jun 2013 (CDT) <br />
<br />
<br />
----<br />
'''3.16 Imagine que usted esta parado en una trayectoria de una antena que esta radiando ondas planas de frecuencia 100MHz y desnsidad de flujo 19.88x10^-2 W/m^2.<br />
Calcula la densidad fe flujo de fotones, es decir, el numero de fotones por unidad de tiempo por unidad de área.¿Cuantos fotones, en promedio, se encontraran en un metro cubico de esta región?<br />
<br />
<br />
De la formula de la energia y usando la constante de plank<br />
<br />
<br />
<math>E=h\nu</math><br />
<br />
<br />
<math>h=6.63x10^{-34}</math><br />
<br />
<br />
aplicaremos la formula para calcular el numero de fotones por metro cubico<br />
<br />
<br />
<math>\frac{I}{h\nu}=\frac{19.88x10^{-2}}{(6.63x10^{-34})(100x10^{6})}=3x10^{24}fotones/m^{2}s</math><br />
<br />
<br />
<br />
Todos los fotones en el volumen V cruzan la unidad de área en un segundo<br />
<br />
<br />
<math>V=(ct)(1m^{2})=3x10^{8}m^{3}</math><br />
<br />
<br />
<math>3x10^{24}=V(densidad)</math><br />
<br />
<br />
<math>densidad=10^{16}fotones/m^{3}</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 10:23 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''3.32 ¿Cuàl es la velocidad de la luz en un diamante si el indice de refracciòn es de 2.42?'''<br />
<br />
"Se denomina índice de refracción al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio cuyo índice se calcula. Se simboliza con la letra n y se trata de un valor adimensional. <br />
<br />
<math>n=\frac{c}{v}\cdots\cdots\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
n: es el indice de refracciòn<br />
<br />
v: velocidad de la luz en el medio cuyo índice se calcula (agua, vidrio, diamante,etc.).<br />
<br />
c: velocidad de la luz en el vacio<br />
<br />
De 1 se tiene que la velocidad de luz en el diamante (v) es igual a la velocidad de la luz en el vacío (c), entre el índice de refracción del diamante (2.42); o sea: <br />
<br />
<math>v=\frac{c}{n}=\frac{299.792.458m/s}{2.42}=123881.180992m/s<br />
</math><br />
<br />
----<br />
<br />
'''Problema 3.38 La luz amarilla de una lámpara de sodio (Lamda =) cruza un depósito de glicerina (con índice de 1,47) de 20 cm de largo, en un tiempo t1. Si la luz tarda t2 en cruzar el mismo depósito cuando está lleno de disulfuro de carbono (índice 1,63), clacule el valor de t2-t1.'''<br />
<br />
Sabemos la relación del índice de refracción con la velocidad:<br />
<br />
<math> v_{1}=\frac{c}{n_{1}}</math><br />
<br />
Tomando a la definición de la velocidad <br />
<br />
<math>v_{1}=\frac{d}{t_{1}} </math><br />
<br />
despejando al tiempo en la última ecuación y sustituyéndola en la primera ecuación <br />
<br />
<math>t_{1}=\frac{d}{v}=\frac{dn_{1}}{c} </math><br />
<br />
haciendo lo mismo para el disulfuro de carbono<br />
<br />
<math>n=\frac{c}{v_{2}} </math><br />
<br />
<math>v_{2}=\frac{d}{t_{2}} </math><br />
<br />
<math>t_{2}=\frac{d}{v_{2}}=\frac{dn_{2}}{c} </math><br />
<br />
restanto el segundo tiempo al primero<br />
<br />
<math>t_{2}-t_{1}=\frac{d}{c}(n_{2}-n_{1}) </math><br />
<br />
sustituyendo los datos nos queda:<br />
<br />
<math>\Delta t=1.06x10^{-10}s </math><br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 02:03 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:10 23 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]</div>David Alberto Rojas Solishttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Ondas:_probs_c2_mov_osc&diff=17437Ondas: probs c2 mov osc2013-07-06T14:38:55Z<p>David Alberto Rojas Solis: </p>
<hr />
<div>vibraciones y ondas<br />
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht<br />
<br />
'''2.1'''¿Cuantas ondas de luz amarilla (<math>\lambda=580mm</math>) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003pulgadas)?¿Hasta donde se extendera el mismo numero de micro ondas (v=10^10Hz, es decir, 10GHz y <math>\upsilon=3x10^8 m/s</math>?<br />
<br />
<br />
Numero de ondas<br />
<br />
<br />
<math>\frac{(0.003)(2.54x10^{-2})}{580x10^{-9}}=131</math><br />
<br />
<br />
<math>c=\lambda\nu</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}}{10^{10}}=3cm</math><br />
<br />
<br />
Las ondas se extienden 3.9 <br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 09:38 6 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
'''2.2'''<br />
<br />
----<br />
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por '''<br />
<br />
<math>y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x<br />
</math><br />
<br />
'''Calcule a) amplitud,b) frecuencia,c) longitud de onda y su periodo'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
la expresión anterior se puede expresar como<br />
<br />
<math>y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x\Rightarrow y=\left(0.02\right)\sin\left(157x\right)\cdots\cdots\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
Entonces la expresión general de una función de onda es:<br />
<br />
<math>y\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm\omega t\right)\cdots\cdots\cdots\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
Para pasar la ec 1 a la exprsión 2 hay que partir de la velocidad para calcular el termino <math>\omega t</math>, entonces:<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}\Rightarrow\omega=vk=\left(1.2\frac{m}{s}\right)\left(157m^{-1}\right)=188.4\frac{rad}{s}<br />
</math><br />
<br />
por lo tanto nuestra ecuación 1 queda como:<br />
<br />
<math>y\left(x,t\right)=\left(0.02\right)\sin\left(157x+188.4t\right)\cdots\cdots\cdots\left(3\right)<br />
</math><br />
<br />
entonces comparando 2 con 3,tenemos que:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=0.02</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{188.4\frac{rad}{s}}{2\pi}=29.98\thickapprox30Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{30Hz}=0.04m<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{188.4\frac{rad}{s}}=0.03s<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 01:09 21 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
'''2.13 Usando las funciones de onda'''<br />
<br />
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
'''determine en cada caso los valores de a)amplitud,b)frecuencia,c)velocidad de fase,d)longitud de onda,e)periodo,f)dirección del movimiento. El tiempo se expresa en segundos s y x en metros.'''<br />
<br />
Solución:<br />
<br />
Para resolver este problema comparamos la expresión de la función de onda dada<br />
<br />
<math>\psi\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm wt\right)<br />
</math><br />
<br />
Donde A es la amplitud, k es una constante, w se le denomina frecuencia angular (w = kv) de la igualdad observamos que los valores de los diferentes parámetros son:<br />
<br />
<br />
<math>A=8\pi<br />
</math> <br />
<br />
<math>kx=0.2x\Rightarrow k=0.2m^{-1}<br />
</math> <br />
<br />
<math>wt=3\Rightarrow w=3\frac{rad}{s}<br />
</math><br />
<br />
Entonces para <math>\psi</math> el inciso:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=8\pi<br />
</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.47\approx0.5Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}=\frac{3\frac{rad}{s}}{0.2m^{-1}}=15\frac{m}{s}<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{15\frac{m}{s}}{0.5Hz}=30m<br />
</math><br />
<br />
e)<br />
<br />
<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3\frac{rad}{s}}=2.09\approx2.1s<br />
</math><br />
<br />
f)<br />
<br />
Como el signo entre kx y wt es negativo está indicando que la propagación de la onda es hacia la derecha.<br />
<br />
<br />
Para <math>\psi_{2}</math> tenemos:<br />
<br />
a)<br />
<br />
<math>A=\frac{1}{2.5}<br />
</math><br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.55\approx0.6Hz<br />
</math><br />
<br />
c)<br />
<br />
<math>v=\frac{\omega}{k}=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{7m^{-1}}=0.5\frac{m}{s}<br />
</math><br />
<br />
d)<br />
<br />
<math>\lambda=\frac{v}{f}=\frac{0.5\frac{m}{s}}{0.6Hz}=0.8m<br />
</math><br />
<br />
e)<br />
<br />
<math>\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3.5\frac{rad}{s}}=1.79\approx1.8s<br />
</math><br />
<br />
f)<br />
<br />
Como el signo entre kx y wt es positivo está indicando que la propagación de la onda es hacia la izquierda.<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 23:59 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi_{(x,t)}=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.''' <br />
<br />
Dado que la ecuacion diferencial de onda es:<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta x}=kAcos(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta x^{2}}=-k^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=-kvAcos(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}=-\{-[-k^{2}v^{2}Asen(kx-kvt)]\}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta^{2}\psi}{\delta t^{2}}=-kv^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
Entonces, sustituyendo en la ecuacion diferencial. <br />
<br />
<math>-k^{2}Asen(kx-kvt)=\frac{1}{v^{2}}-kv^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto. <br />
<br />
<math>k^{2}Asen(kx-kvt)=k^{2}Asen(kx-kvt)</math><br />
<br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 19:19 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''<br />
<br />
R:<br />
<br />
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math><br />
<br />
<br />
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math><br />
<br />
<br />
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math><br />
<br />
<br />
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math><br />
<br />
<br />
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math><br />
<br />
<br />
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math><br />
<br />
<br />
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es <br />
<br />
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math><br />
<br />
<br />
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.<br />
<br />
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math><br />
<br />
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
<br />
----<br />
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en t=0 por <br />
<br />
<math>y(x,t)\mid_{t=0}=\frac{c}{2+x^{2}} </math><br />
<br />
donde ''C'' es una constante. Dibuje el perfil de la onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad v en la dirección negativa de x, como función del tiempo t. si v= 1 m/s, dibuje el perfil en t=2s.'''<br />
<br />
a) [[Archivo:Perfil1.png]] <br />
<br />
Donde graficamos con C=1, se podría graficar con "c" igual a cualquier valor, dándonos un máximo siempre a c/2, pero con la misma forma de la gráfica. <br />
<br />
b) Al graficar el perfil anterior notamos que la fase no incluia a la velocidad por estar al tiempo t=0, sin embargo para cualquier tiempo se le restaría a la x, la velocidad multiplicado por el tiempo. Ahora bien para hacer que se mueva en la dirección negativa simplemente a la "x" simplemente le sumaríamos a la velocidad por el tiempo:<br />
<br />
<math>y(x,t)=\frac{c}{2+(x+vt)^{2}} </math><br />
<br />
c)[[Archivo:Perfil2.png]]<br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 01:43 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
'''2.21Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math><br />
y <math>y=h_{(t)}</math><br />
Entonces:<br />
<br />
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
Derivar la ecuacion: (2.34)'''<br />
<br />
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math><br />
<br />
<br />
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma. <br />
<br />
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”<br />
<br />
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math><br />
<br />
<br />
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:<br />
<br />
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math><br />
<br />
<br />
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.<br />
<br />
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math><br />
<br />
<br />
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math><br />
<br />
<br />
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math><br />
<br />
<br />
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
----<br />
[[categoría:Vibra]]</div>David Alberto Rojas Solishttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c5&diff=17436Vibra: probs c52013-07-06T14:08:52Z<p>David Alberto Rojas Solis: </p>
<hr />
<div>Main cap.5<br />
<br />
5.1<br />
----<br />
5.2'''A system with <math>m=0.010kg<br />
</math>,<math>s=36Nm^{-1}</math> and <math>b=0.50kgs^{-1}<br />
</math> is driven by a harmonically varying force of amplitude 3.6N.<br />
Find the amplitude A and the phase constant <math>\varphi<br />
</math> of the steady-state motion when the angular frecuency is <br />
<math>a)8s^{-1}<br />
b)80s^{-1}<br />
and c)800s^{-1}<br />
</math>'''<br />
<br />
solución:<br />
<br />
a)<br />
<br />
la relacion correspondiente entre la amplitud <math> F_{o}<br />
</math> de la fuerza y la amplitud del desplazammiento es<br />
<br />
<math>F_{o}=SA_{o}\left[1-\left(w^{2}/w_{o}^{2}\right)\right]<br />
</math><br />
<br />
o sea que <br />
<br />
<math>A_{o}=\frac{F_{o}/S}{1-\left(\frac{W}{W_{o}}\right)^{2}}<br />
</math><br />
<br />
sutiyuyendo valores para encontrar la amplitud:<br />
<br />
<math><br />
w_{o}=\sqrt{S/m}=\sqrt{36/0.010}=60s^{-1}<br />
</math><br />
<br />
<math>A_{o}=\frac{3.6/36}{1-\left(\frac{8}{60}\right)^{2}}=0.1m=100mm<br />
</math><br />
<br />
la constate de fase esta dada por:<br />
<br />
<math>\tan\varphi=\frac{-\gamma w}{\left(w_{o}^{2}-w^{2}\right)}=\frac{bw/m}{w_{o}^{2}-w^{2}}=-\frac{bw}{m\left(w_{o}^{2}-w^{2}\right)}<br />
</math><br />
<br />
sutituyendo valores:<br />
<br />
<math>\tan\varphi=\frac{-\gamma w}{\left(w_{o}^{2}-w^{2}\right)}=\frac{bw/m}{w_{o}^{2}-w^{2}}=-\frac{bw}{m\left(w_{o}^{2}-w^{2}\right)}=\frac{\left(0.50\right)\left(8\right)}{\left(0.010\right)\left(60^{2}-8^{2}\right)}=\frac{4}{35.36}=-0.113<br />
</math><br />
<br />
<math>\arctan\left(-0.113\right)=\varphi=-0.112\ldots\left(rad\right)<br />
</math><br />
<br />
pasando el resultado a grados<br />
<br />
<math>\varphi=-0.112=-6.447^{o}\approx-6.5^{o}<br />
</math><br />
<br />
el mismo procedimiento se utliza para calcular el resto de los incisos.<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 01:12 21 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
5.3<br />
De la Ecuacion (5.6)<br />
<br />
<math>A(w)=\frac{F_{0}}{m}\left[(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+\gamma^{2}w^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
Sacamos la derivada e igualamos a 0 para obtener el valor maximo<br />
<br />
<math>0=\frac{dA}{dW}=A(w)=-\frac{1}{2}\frac{F_{0}}{m}\left[(w_{0}^{2}-w^{2})^{2}+\gamma^{2}w^{2}\right]^{-\frac{3}{2}}\left[2(w_{0}^{2}-w^{2})(-2w)+2w\gamma^{2}\right]</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto<br />
<br />
<math>2(w_{0}^{2}-w^{2})(-2w)+2w\gamma^{2}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>w\left[-2(w_{0}^{2}-w^{2})+\gamma^{2}\right]=0</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>w=0</math> ó <math>-2(w_{0}^{2}-w^{2})+\gamma^{2}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>-2(w_{0}^{2}-w^{2})+\gamma^{2}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>w_{0}^{2}-w^{2}=\frac{1}{2}\gamma^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>w^{2}=w_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 12:14 19 jun 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''5.8 En la figura se muestra la absorción de potencia media en watts, como una función de la potencia de la frecuencia de conducción en la región de resonancia. Encontrar los valores numéricos de (a) <math>\omega_{0}</math>, (b) <math>\delta</math>, y (c) Q. Si la fuerza de conducción es removida, después de cuantos ciclos siguientes la energía del sistema es <math>\frac{1}{e} </math> de su valor inicial.'''<br />
<br />
a)observando la gráfica notamos que la frecuencia es de 96Hz así que:<br />
<br />
<math>\omega_{0}=2\pi\nu=2\pi(96hz)=600hz </math><br />
<br />
b)De la misma manera se observa rápidamente en la gráfica que<br />
<br />
<math>\delta=6*2\pi=38hz </math><br />
<br />
c) Usando la definición de los valores Q<br />
<br />
<math>Q=\frac{\omega_{0}}{\delta}=16 </math><br />
<br />
d) De las ecuaciones 3.12 y 3.13 se concluye que la energía decae por un factor <math>\frac{1}{e} </math> al tiempo <math>t=\frac{1}{\delta} </math>, es decir <math>t=0.0263s </math><br />
<br />
<br />
El período está dado por <math>T=\frac{1}{\nu}=0.014s </math>, <br />
<br />
<br />
así con una regla de tres calculamos los ciclos<br />
<br />
<br />
<math>0.0104s=1vuelta </math> <br />
<br />
<math>0.0263s=x </math><br />
<br />
<br />
<math>Ciclos=2.52 </math><br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 01:20 3 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
----<br />
'''5.16 For the motion'''<br />
<br />
<math>\psi=\left(7.5mm\right)\cos\left[\left(6.28s^{-1}\right)t+27\text{º}\right]-\left(23mm\right)\sin\left[\left(6.20s^{-1}\right)t+121\text{º}\right]</math><br />
<br />
'''find (a) the frequency, and (b) the time interval separating successive beats.'''<br />
<br />
Para el inciso (a) sabiendo que...<br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega}}=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
<br />
con <br />
<br />
<math>\omega_{1}=6.28s^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega_{2}=6.20s^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>f_{1}=\frac{6.28}{2\pi}=0.999Hz</math><br />
<br />
<br />
<math>f_{2}=\frac{6.20}{2\pi}=0.9867Hz</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow f\backsimeq0.99Hz</math><br />
<br />
<br />
Para el inciso (b)<br />
<br />
con<br />
<br />
<math>\tau=\frac{1}{\gamma}</math><br />
<br />
<br />
<math>\gamma=2\omega</math><br />
<br />
<br />
<math>\gamma=2(6.28)=12.56</math><br />
<br />
<br />
<math>\tau=\frac{1}{12.56}=0.0796s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 21:11 3 jun 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
'''5.18 A simple sismometer consists of a mass hung on a spring attached to a rigid framework, wich is fixed to the ground, with a critical damping. The vertical displacement of the mass relative to the framework is recorded.'''<br />
<br />
'''a) Show that the measured amplitude A of the steady-state vibration resulting from a vertical displacement <math>Hcos(\omega t)</math><br />
of the earth´s surface is given by'''<br />
<br />
<math>\frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
'''b) show that, if the frecuencies of the detected disturbances lie in the region of mass controlled motion, the mass remains almost stationary when the ground moves.'''<br />
<br />
El movimiento del sismometro puede verse como un osclador forzado, donde el movimineto terrestre es la fuerza externa oscilante, llamaremos:<br />
<br />
<math>\Upsilon_{(t)}=Hcos(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
Encontramos que el cambio de momento:<br />
<br />
<math>p=m\dot{\Upsilon}</math><br />
<br />
<br />
<math>\Longrightarrow</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{\delta p}{\delta t}=m\ddot{\Upsilon}</math><br />
<br />
<br />
donde: <br />
<br />
<math>\ddot{\Upsilon}=-H\omega^{2}cos(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
Entonces por segunda ley de newton y tomando en cuenta que el movmiento es unidimensional. <br />
<br />
<math>F=\frac{\delta p}{\delta t}</math><br />
<br />
<br />
<math>\Longrightarrow</math><br />
<br />
<br />
<math>F_{(t)}=-mH\omega^{2}cos(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
Ahora bien para la descripcion del movimiento del sismografo, tenemos la repasada ecuacion diferencial. <br />
<br />
<math>m\ddot{h}+2m\beta\dot{h}+m\omega_{0}^{2}h=-mH\omega^{2}cos(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
La cual para somplificar dividimos entre la masa. <br />
<br />
<math>\ddot{h}+2\beta\dot{h}+\omega_{0}^{2}h=-H\omega^{2}cos(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
Sin embargo la solucion homogenea es como dice en el problema amortiguamiento critico por tanto nos quedaremos con una solucion de la forma:<br />
<br />
<math>h_{(t)}=Acos(\omega t-\phi)</math><br />
<br />
<br />
Evaluando derivadas. <br />
<br />
<math>\dot{h_{(t)}}=-A\omega sen(\omega t-\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>\ddot{h}_{(t)}=-A\omega^{2}cos(\omega t-\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituimos en la ecuacion diferencial. <br />
<br />
<math>-A\omega^{2}cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)+A\omega_{0}^{2}cos(\omega t-\phi)=-H\omega^{2}cos(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
Y reagrupamos terminos. <br />
<br />
<math>A(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)]=-H\omega^{2}cos(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
De aqui se procedera, pariendo del producto interno entre dos funciones, se puede demotrar que:<br />
<br />
<math>\int_{0}^{T}cos(\omega t-\phi)sen(\omega t-\phi)=0</math><br />
<br />
<br />
De esto se puede concluir que ambas funciones son ortogonales, y de ahi que forman un triangulo rectangulo donde la magnitud de sus catetos es el coeficiente de cada funcion. Ahora, la fuerza al no poseer el mismo argumento se dice oblicua a las anteriores, y de ahi que su argumento corresponda a la hipotenusa, por lo tanto se puede armar por pitagoras. <br />
<br />
<math>H^{2}\omega^{4}=A^{2}[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]</math><br />
<br />
<br />
Lo cual tras algunas manipulaciones algebraicas. <br />
<br />
<math>\Longrightarrow</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]}</math><br />
<br />
<br />
Por la definicion de <br />
<br />
<math>R_{(\omega)}\equiv\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}}</math><br />
<br />
<br />
Multiplicamos la original por el termino del numerador, tomando en cuenta las condiciones de amortiguamiento critico. <math>\frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]}\frac{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}}{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}}</math><br />
<br />
<br />
Y al simplificar y reducir obtenemos. <br />
<br />
<math>\frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
De aqui que la maxima resonacia es cuando ambas frecuencias angulares son iguales, y entonces la amplitud es igual a un medio de la amplitud con que la tierra oscila. <br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 21:55 29 jun 2013 (CDT)<br />
Se agregaron los símbolos para que apareciera una ecuación con el formato adecuado. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 22:37 5 jul 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
5.19'''Una masa de 4 kg alarga 1cm un resorte, la masa se libera desde el reposo inicialmente desde ese punto que esta por arriba de la posicion de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a un cuarto de la velocidad instantanea; encuentre la ecuacion de movimiento si se aplica una una fuerza externa igual a la velocidad instantanea.<br />
<br />
<br />
Datos <br />
<br />
<br />
m= 2 kg<br />
<br />
k=2<br />
<br />
<br />
concdiciones iniciales<br />
<br />
<br />
<math>x(0)=1</math> y <math>x'(0)=8</math><br />
<br />
<br />
<math>2\lambda=\frac{\beta}{m}=\frac{9.8}{4}=2.45</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega^{2}=\frac{K}{m}=\frac{2(9.8)}{4}=4.9</math><br />
<br />
<br />
<math>x''+2\lambda x'+\omega^{2}x=f(x)</math> <br />
<br />
<br />
<math>x''+2\lambda x'+\omega^{2}x=-x'</math><br />
<br />
<br />
sustituimons terminos<br />
<br />
<br />
<math>x''+2.45x'+4.9x=-x\text{'}</math><br />
<br />
<br />
<math>x''+3.45x'+4.9x=0</math><br />
<br />
<br />
la solucion a esta ecuacion diferencial es <br />
<br />
<math>x(t)=-e^{-1.7t}\cos(1.4t)+4.5e^{-1.7t}\sin(1.4t)</math><br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=[-\cos(1.4t)+4.5\sin(1.4t)](1.7)+[1.4\cos(1.4t)+6.3\sin(1.4t)]</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 09:08 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:01 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]</div>David Alberto Rojas Solishttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c4&diff=17435Vibra: probs c42013-07-06T11:17:04Z<p>David Alberto Rojas Solis: </p>
<hr />
<div>Main cap.4<br />
<br />
4.1 '''Show that the relaxation time for very heavily damped LCR circuit is RC.'''<br />
<br />
R= Nuestra formula para oscilaciones es:<br />
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\gamma\frac{d\psi}{dt}+\omega_{0}^{2}\psi=0</math> ... (1)<br />
<br />
con:<br />
<math>\gamma=\frac{b}{m}</math><br />
<br />
<math>\omega_{0}^{2}=\frac{s}{m}</math><br />
<br />
<br />
En este caso de oscilaciones en un circuito LCR óLRC tenemos la formula (por Kirchhoff)<br />
<br />
<math>L\left(\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}\right)+R\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\left(\frac{1}{C}\right)\psi=0</math><br />
<br />
<br />
dividiendo todo por L.<br />
<br />
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\frac{1}{LC}\psi=0</math> ... (2)<br />
<br />
comparando (1) y(2) observamos que<br />
<br />
<math>\gamma=\frac{R}{L}</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}</math><br />
<br />
<br />
por lo tanto, el “relaxation time” esta dado por:<br />
<br />
<math>\tau_{r}=\frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}}=\frac{\frac{R}{L}}{\frac{1}{LC}}=\frac{RLC}{L}=RC</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow\tau_{r}=RC</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:00 25 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
4.2<br />
De las Ecuaciones (4.1) y (3.3)<br />
<br />
Solucion para amortiguamiento critico<br />
<br />
<math>\psi(t)=(C_{1}+C_{2}w_{0}t)</math><br />
<br />
<br />
Condiciones iniciales<br />
<br />
1) <math>\psi(0)=V_{1}C</math><br />
Entonces <math>V_{1}C=C_{1}\Longrightarrow C_{1}=V_{1}C</math><br />
<br />
<br />
2) <math>i(0)=\frac{d\psi}{dt}(0)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\psi(t)</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\left[(C_{1}+C_{2}w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=C_{2}w_{0}\exp^{-w_{0}t}+(C_{1}+C_{2}w_{0}t)(-w_{0})\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=(C_{2}-C_{1})w_{0}\exp^{-w_{0}t}-C_{2}w_{0}^{2}\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>0=i(0)=C_{2}w_{0}-w_{0}C_{1}</math><br />
<br />
Asi que <math>C_{1}=C_{2}\Longrightarrow C_{2}=V_{1}C</math><br />
<br />
Asi <math>\psi(t)=V_{1}C(1+w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=V_{1}Cw_{0}^{2}t\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>i(t)=\left|\frac{d\psi}{dt}\right|</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{di}{dt}=V_{1}Cw_{0}^{2}\left[\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\frac{di}{dt}=0</math><br />
Entonces <math>\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\exp^{-w_{0}t}(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
Asi que <math>(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\dot{t}=\frac{1}{w_{0}}</math><br />
<br />
<br />
Luego <math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\dot{t}\exp^{-w_{0}\dot{t}}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\frac{1}{w_{0}}\exp^{-w_{0}\frac{1}{w_{0}}}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>w_{0}^{2}=\frac{1}{LC}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}C\sqrt{\frac{1}{LC}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=v_{1}\sqrt{\frac{c}{L}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que la resistecia critica de amortiguamiento es<br />
<br />
<math>R=2w_{0}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{1}{LC}}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\Longrightarrow\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{2}{R}</math><br />
<br />
<br />
Asi entonces <math>i_{max}=\frac{2V_{1}}{\exp R}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 12:58 19 jun 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:00 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
4.1'''Show that the relaxation time for very heavy damped LCR circuit is RC''' (otra forma de resolver)<br />
Tomando como base las expresiones de los apuntes,para un circuito RCL muy pesadamente amortiguado en el cual <math>\gamma\succ\succ\succ w_{0}<br />
.</math> La amplitud del movimiento se reduce a:<br />
<br />
<math>\thickapprox A_{1}\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
El tiempo de reljación para este tipo de circuitos es aquel en el que el factor de decaimiento se reduce por un factor de <math>\frac{1}{e}<br />
</math> por lo tanto,igualamos el factor de decaimiento exponencial de la expresión <math>\left(1\right)</math> a <math>\frac{1}{e}</math> tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{e}=\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
sacando logaritmo natural a ambos lados de la expresión <math>\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\log\left(\frac{1}{e}\right)=\log\left(\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\right)\Rightarrow\log\left(1\right)-\log\left(e\right)=\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\Rightarrow0-1=-\left(\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(3\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Despejando el tiempo de <math> \left(3\right)<br />
</math> para el cual se cumple esta relación tenemos:<br />
<br />
<math>\left(-\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)=1\Rightarrow t=\left(\frac{\gamma}{W_{0}^{2}}\right)\cdots\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
Pero:<br />
<br />
<math>\gamma=\left(\frac{R}{L}\right)<br />
</math><br />
<br />
Y<br />
<br />
<br />
<math>W_{0}=\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)\Rightarrow W_{0}^{2}=\left(\frac{1}{LC}\right)\cdots\left(5\right)<br />
</math><br />
<br />
Sustituyendo <math>\left(5\right)<br />
</math> en <math>\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>t=\frac{R}{L}/\frac{1}{LC}=\frac{RLC}{L}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto el tiempo de relajamiento para un circuito RLC pesadamente amortiguado es<br />
<br />
<br />
<math>\tau_{r}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:22 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
'''4.5 Una masa 0.1 kg es pegada a un resorte. Es jalado 200 mm a la derecha de su posición cuando el resorte no esta ni estirado ni comprimido y entonces es liberado del reposo. Las vibraciones libres resultantes, que están amortiguadas por fricción tienen una frecuencia de 2.0 Hz. Se observa que cada oscilación hacia la derecha la masa toma un punto 30 mm hacia la izquierda de su límite previo. La masa finalmente llega al reposo a 235 mm hacia la izquierda del punto del cual fue liberado. (a) Calcule la fuerza de fricción de deslizamiento.(b) Calcular los límites superior e inferior para la fuerza de pegado.''' <br />
<br />
Datos:<br />
<br />
<math>m=.1kg </math><br />
<math>x_{i}=.2m </math><br />
<math>f=2Hz </math><br />
<math>A_{j}=A_{i}-30 </math><br />
<math>x_{f}=x_{i}-235 </math><br />
<br />
La ecuación de movimiento del sistema es<br />
<br />
<math>m\ddot{\psi}+k\psi=F_{sl} </math><br />
<br />
o bien<br />
<br />
<math>\ddot{\psi}+\omega_{0}^{2}\psi=\frac{F_{sl}}{m} </math><br />
<br />
la primera oscilación se detiene cuando<br />
<br />
<math>\mid\psi\mid=A_{0}-4\frac{F_{s}}{s} </math><br />
<br />
sabemos que <br />
<br />
<math>4\frac{F_{sl}}{s}=30mm </math><br />
<br />
por otro lado <br />
<br />
<math>s=m\omega_{0}^{2} </math><br />
<br />
<math>s=m(2\pi\nu)^{2} </math><br />
<br />
así que<br />
<br />
<math>F_{sl}=\frac{30}{4}*m(2\pi\nu)^{2} </math><br />
<br />
<math>F_{sl}=\frac{30}{4}*.1(4\pi)^{2} </math><br />
<br />
<math>F_{sl}=.12N </math><br />
<br />
(b)<br />
<br />
sabemos que la fuerza de pegado es igual <br />
<br />
<br />
<math>F_{p}=s\mid\psi\mid </math><br />
<br />
<br />
la cota superior es cuando la oscilación está en a=35, ya que es la última ocasión que oscila antes de llegar al reposo<br />
<br />
<br />
<math>F_{pmax}=15.79*\mid35-30\mid </math><br />
<br />
<br />
<math>F_{p}=0.789 </math><br />
<br />
<br />
La cota inferior es en a=55, sin embargo vemos que aquí se utiliza la ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>\mid\psi\mid=A_{1}-2\frac{F_{s}}{s} </math><br />
<br />
<br />
así nos queda<br />
<br />
<br />
<math>F_{pmin}=15.79*\mid50-15\mid</math><br />
<br />
<br />
<math>F_{pmin}=.552N </math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 00:59 3 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
4.6'''Expresar el desplazamiento x(t) y la velocidad x'(t) del oscilador armónico sobre amortiguado utilizando funciones hiperbólicas'''<br />
<br />
<br />
Para el caso sobre amortiguado x(t) y x'(t) se expresa <br />
<br />
<br />
<math>x(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t}]</math><br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=e^{-\beta t}[-\beta(A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t})+(A_{1}\omega_{2}e^{\omega_{2}t}+A_{2}\omega_{2}e^{-\omega_{2}t})]</math><br />
<br />
<br />
donde:<br />
<br />
<br />
<math>\omega_{2}=\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}</math><br />
<br />
<br />
las funciones hiperbolicas estan definidas como<br />
<br />
<math>\cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}</math> , <math>\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{y}=\cosh y+\sinh y</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{-y}=\cosh y-\sinh y</math><br />
<br />
<br />
sustituyendo en las escuacions<br />
<br />
<br />
<math>x(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}+A_{2})\cosh\omega_{2}t+(A_{1}-A_{2})\sinh\omega_{2}t]</math><br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}\omega_{2}-A_{1}\beta)(\cosh\omega_{2}t+\sinh\omega_{2}t)-(A_{2}\beta+A_{2}\omega_{2})(\cosh\omega_{2}t-\sinh\omega_{2}t)</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 06:17 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]</div>David Alberto Rojas Solishttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c4&diff=17434Vibra: probs c42013-07-06T11:16:21Z<p>David Alberto Rojas Solis: </p>
<hr />
<div>Main cap.4<br />
<br />
4.1 '''Show that the relaxation time for very heavily damped LCR circuit is RC.'''<br />
<br />
R= Nuestra formula para oscilaciones es:<br />
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\gamma\frac{d\psi}{dt}+\omega_{0}^{2}\psi=0</math> ... (1)<br />
<br />
con:<br />
<math>\gamma=\frac{b}{m}</math><br />
<br />
<math>\omega_{0}^{2}=\frac{s}{m}</math><br />
<br />
<br />
En este caso de oscilaciones en un circuito LCR óLRC tenemos la formula (por Kirchhoff)<br />
<br />
<math>L\left(\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}\right)+R\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\left(\frac{1}{C}\right)\psi=0</math><br />
<br />
<br />
dividiendo todo por L.<br />
<br />
<math>\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\frac{1}{LC}\psi=0</math> ... (2)<br />
<br />
comparando (1) y(2) observamos que<br />
<br />
<math>\gamma=\frac{R}{L}</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}</math><br />
<br />
<br />
por lo tanto, el “relaxation time” esta dado por:<br />
<br />
<math>\tau_{r}=\frac{\gamma}{\omega_{0}^{2}}=\frac{\frac{R}{L}}{\frac{1}{LC}}=\frac{RLC}{L}=RC</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow\tau_{r}=RC</math><br />
<br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:00 25 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
4.2<br />
De las Ecuaciones (4.1) y (3.3)<br />
<br />
Solucion para amortiguamiento critico<br />
<br />
<math>\psi(t)=(C_{1}+C_{2}w_{0}t)</math><br />
<br />
<br />
Condiciones iniciales<br />
<br />
1) <math>\psi(0)=V_{1}C</math><br />
Entonces <math>V_{1}C=C_{1}\Longrightarrow C_{1}=V_{1}C</math><br />
<br />
<br />
2) <math>i(0)=\frac{d\psi}{dt}(0)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\psi(t)</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=\frac{d}{dt}\left[(C_{1}+C_{2}w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=C_{2}w_{0}\exp^{-w_{0}t}+(C_{1}+C_{2}w_{0}t)(-w_{0})\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=(C_{2}-C_{1})w_{0}\exp^{-w_{0}t}-C_{2}w_{0}^{2}\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>0=i(0)=C_{2}w_{0}-w_{0}C_{1}</math><br />
<br />
Asi que <math>C_{1}=C_{2}\Longrightarrow C_{2}=V_{1}C</math><br />
<br />
Asi <math>\psi(t)=V_{1}C(1+w_{0}t)\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
<math>i(t)=V_{1}Cw_{0}^{2}t\exp^{-w_{0}t}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>i(t)=\left|\frac{d\psi}{dt}\right|</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{di}{dt}=V_{1}Cw_{0}^{2}\left[\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}\right]</math><br />
<br />
<br />
Si <math>\frac{di}{dt}=0</math><br />
Entonces <math>\exp^{-w_{0}t}-w_{0}t\exp^{-w_{0}t}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\exp^{-w_{0}t}(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
Asi que <math>(1-w_{0}t)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\dot{t}=\frac{1}{w_{0}}</math><br />
<br />
<br />
Luego <math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\dot{t}\exp^{-w_{0}\dot{t}}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}^{2}\frac{1}{w_{0}}\exp^{-w_{0}\frac{1}{w_{0}}}</math><br />
<br />
<br />
Con <math>w_{0}^{2}=\frac{1}{LC}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}Cw_{0}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=V_{1}C\sqrt{\frac{1}{LC}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>i_{max}(\dot{t})=v_{1}\sqrt{\frac{c}{L}}\exp^{-1}</math><br />
<br />
<br />
Puesto que la resistecia critica de amortiguamiento es<br />
<br />
<math>R=2w_{0}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{1}{LC}}L</math><br />
<br />
<br />
<math>R=2\sqrt{\frac{L}{C}}\Longrightarrow\sqrt{\frac{C}{L}}=\frac{2}{R}</math><br />
<br />
<br />
Asi entonces <math>i_{max}=\frac{2V_{1}}{\exp R}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 12:58 19 jun 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:00 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
4.1'''Show that the relaxation time for very heavy damped LCR circuit is RC''' (otra forma de resolver)<br />
Tomando como base las expresiones de los apuntes,para un circuito RCL muy pesadamente amortiguado en el cual <math>\gamma\succ\succ\succ w_{0}<br />
.</math> La amplitud del movimiento se reduce a:<br />
<br />
<math>\thickapprox A_{1}\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(1\right)<br />
</math><br />
El tiempo de reljación para este tipo de circuitos es aquel en el que el factor de decaimiento se reduce por un factor de <math>\frac{1}{e}<br />
</math> por lo tanto,igualamos el factor de decaimiento exponencial de la expresión <math>\left(1\right)</math> a <math>\frac{1}{e}</math> tenemos:<br />
<br />
<br />
<math>\frac{1}{e}=\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
sacando logaritmo natural a ambos lados de la expresión <math>\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\log\left(\frac{1}{e}\right)=\log\left(\exp\left(\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\right)\Rightarrow\log\left(1\right)-\log\left(e\right)=\frac{-W_{0}^{2}t}{\gamma}\Rightarrow0-1=-\left(\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)\cdots\left(3\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
Despejando el tiempo de <math> \left(3\right)<br />
</math> para el cual se cumple esta relación tenemos:<br />
<br />
<math>\left(-\frac{W_{0}^{2}t}{\gamma}\right)=1\Rightarrow t=\left(\frac{\gamma}{W_{0}^{2}}\right)\cdots\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
Pero:<br />
<br />
<math>\gamma=\left(\frac{R}{L}\right)<br />
</math><br />
<br />
Y<br />
<br />
<br />
<math>W_{0}=\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)\Rightarrow W_{0}^{2}=\left(\frac{1}{LC}\right)\cdots\left(5\right)<br />
</math><br />
<br />
Sustituyendo <math>\left(5\right)<br />
</math> en <math>\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
<math>t=\frac{R}{L}/\frac{1}{LC}=\frac{RLC}{L}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
Por lo tanto el tiempo de relajamiento para un circuito RLC pesadamente amortiguado es<br />
<br />
<br />
<math>\tau_{r}=RC<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:22 20 jun 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
'''4.5 Una masa 0.1 kg es pegada a un resorte. Es jalado 200 mm a la derecha de su posición cuando el resorte no esta ni estirado ni comprimido y entonces es liberado del reposo. Las vibraciones libres resultantes, que están amortiguadas por fricción tienen una frecuencia de 2.0 Hz. Se observa que cada oscilación hacia la derecha la masa toma un punto 30 mm hacia la izquierda de su límite previo. La masa finalmente llega al reposo a 235 mm hacia la izquierda del punto del cual fue liberado. (a) Calcule la fuerza de fricción de deslizamiento.(b) Calcular los límites superior e inferior para la fuerza de pegado.''' <br />
<br />
Datos:<br />
<br />
<math>m=.1kg </math><br />
<math>x_{i}=.2m </math><br />
<math>f=2Hz </math><br />
<math>A_{j}=A_{i}-30 </math><br />
<math>x_{f}=x_{i}-235 </math><br />
<br />
La ecuación de movimiento del sistema es<br />
<br />
<math>m\ddot{\psi}+k\psi=F_{sl} </math><br />
<br />
o bien<br />
<br />
<math>\ddot{\psi}+\omega_{0}^{2}\psi=\frac{F_{sl}}{m} </math><br />
<br />
la primera oscilación se detiene cuando<br />
<br />
<math>\mid\psi\mid=A_{0}-4\frac{F_{s}}{s} </math><br />
<br />
sabemos que <br />
<br />
<math>4\frac{F_{sl}}{s}=30mm </math><br />
<br />
por otro lado <br />
<br />
<math>s=m\omega_{0}^{2} </math><br />
<br />
<math>s=m(2\pi\nu)^{2} </math><br />
<br />
así que<br />
<br />
<math>F_{sl}=\frac{30}{4}*m(2\pi\nu)^{2} </math><br />
<br />
<math>F_{sl}=\frac{30}{4}*.1(4\pi)^{2} </math><br />
<br />
<math>F_{sl}=.12N </math><br />
<br />
(b)<br />
<br />
sabemos que la fuerza de pegado es igual <br />
<br />
<br />
<math>F_{p}=s\mid\psi\mid </math><br />
<br />
<br />
la cota superior es cuando la oscilación está en a=35, ya que es la última ocasión que oscila antes de llegar al reposo<br />
<br />
<br />
<math>F_{pmax}=15.79*\mid35-30\mid </math><br />
<br />
<br />
<math>F_{p}=0.789 </math><br />
<br />
<br />
La cota inferior es en a=55, sin embargo vemos que aquí se utiliza la ecuación:<br />
<br />
<br />
<math>\mid\psi\mid=A_{1}-2\frac{F_{s}}{s} </math><br />
<br />
<br />
así nos queda<br />
<br />
<br />
<math>F_{pmin}=15.79*\mid50-15\mid</math><br />
<br />
<br />
<math>F_{pmin}=.552N </math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 00:59 3 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
4.6'''Expresar el desplazamiento x(t) y la velocidad x'(t) del oscilador armónico sobre amortiguado utilizando funciones hiperbólicas'''<br />
<br />
<br />
Para el caso sobre amortiguado x(t) y x'(t) se expresa <br />
<br />
<br />
<math>x(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t}]</math><br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=e^{-\beta t}[-\beta(A_{1}e^{\omega_{2}t}+A_{2}e^{-\omega_{2}t})+(A_{1}\omega_{2}e^{\omega_{2}t}+A_{2}\omega_{2}e^{-\omega_{2}t})]</math><br />
<br />
<br />
donde:<br />
<br />
<br />
<math>\omega_{2}=\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}</math><br />
<br />
<br />
las funciones hiperbolicas estan definidas como<br />
<br />
<math>\cosh y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}</math> , <math>\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{y}=\cosh y+\sinh y</math><br />
<br />
<br />
<math>e^{-y}=\cosh y-\sinh y</math><br />
<br />
<br />
sustituyendo en las escuacions<br />
<br />
<br />
<math>x(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}+A_{2})\cosh\omega_{2}t+(A_{1}-A_{2})\sinh\omega_{2}t]</math><br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
<math>x'(t)=(\cosh\beta t-\sinh\beta t)[(A_{1}\omega_{2}-A_{1}\beta)(\cosh\omega_{2}t+\sinh\omega_{2}t)-(A_{2}\beta+A_{2}\omega_{2})(\cosh\omega_{2}t-\sinh\omega_{2}t)</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 06:16 6 jul 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]</div>David Alberto Rojas Solishttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c2&diff=17432Vibra: probs c22013-07-06T09:10:34Z<p>David Alberto Rojas Solis: </p>
<hr />
<div></div>David Alberto Rojas Solishttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Vibra:_probs_c1&diff=17414Vibra: probs c12013-07-06T04:28:02Z<p>David Alberto Rojas Solis: </p>
<hr />
<div>--[[Usuario:Jesús Hernandez Marcial|Jesús Hernandez Marcial]] ([[Usuario discusión:Jesús Hernandez Marcial|discusión]]) 20:56 16 may 2013 (CDT)Main cap.1<br />
<br />
1.1<br />
'''If the system shown in fig. has m= 0.010kg and s= 36 N/m , calculate (a) the angular frequency, (b) the frequency, and (c) the period.'''<br />
<br />
(a) \begin{equation}<br />
F = \sqrt{s \over m}<br />
\end{equation}<br />
<br />
\begin{equation}<br />
f= \sqrt{36 \over 0.010} = 60 {s^{-1}}<br />
\end{equation}<br />
<br />
(b) \begin{equation}<br />
<br />
f = {1 \over 2\pi} \sqrt{s \over m} = 9.5 Hz<br />
\end{equation}<br />
<br />
(c) \begin{equation}<br />
T= { 2\pi} \sqrt{m \over s} = 0.10 s<br />
\end{equation}<br />
--[[Usuario:David Hernandez Leon|David Hernandez Leon]] ([[Usuario discusión:David Hernandez Leon|discusión]]) 22:00 4 may 2013 (CDT)<br />
<br />
La solución es correcta.<br />
<br />
--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 14:40 13 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
1.2<br />
Problema 1.2<br />
<br />
For the same vibrator as in problem 1.1, at time t=0, the mass is<br />
observed to be displaced 50mm to the right of its equilibrium position<br />
and to be moving to the right at speed 1.7m/s. calculate <br />
<br />
(a) the amplitude<br />
<br />
comparamos nuestra ecuacion del oscilador <br />
<br />
$\psi=Acos(\omega t+\phi)$ahora despejamos ``A'' y sustituimos<br />
datos. $A=\frac{\psi}{cos(\omega t+\phi)}=\frac{.05m}{cos(\sqrt{\frac{36N}{.01Kg}}*0)}=.05m$<br />
por lo tanto la amplitud es:<br />
<br />
(a) amplitud A=.05m<br />
<br />
(b)the phase constant,<br />
<br />
sabemos que para el tiempo t=0 la velocidad es $\dot{\psi}(t=0)=1.7\frac{m}{s}$asi<br />
que ahora evaluaremos en t=0 nuestra $\dot{\psi}$<br />
<br />
$\dot{\psi}(0)=-A\omega sin(\phi)$ ahora despejamos $\phi$ , $\phi=arcsin(\frac{\dot{\psi}(0)}{-A\omega})$,<br />
sustituyendo valores $\phi=arcsin(\frac{1.7\frac{m}{s}}{-.05m*\sqrt{\frac{36\frac{N}{m}}{.010kg}}})=\frac{17}{90}\pi$<br />
<br />
por lo tanto the phase constant $\phi=-\frac{17}{90}\pi$<br />
<br />
(c)the energy. <br />
<br />
$W=T+V=\frac{1}{2}\left[m\dot{\psi}^{2}+s\psi^{2}\right]$=$\frac{1}{2}\left[mA^{2}\omega^{2}sin^{2}(\omega t+\phi)+sA^{2}cos^{2}(\omega t+\phi)\right]=\frac{1}{2}\left[A^{2}s\right]=\frac{1}{2}\left[(.05m)^{2}*36\frac{N}{m}\right]=.045j$<br />
<br />
$W=.045j$<br />
--[[Usuario:Jesús Hernandez Marcial|Jesús Hernandez Marcial]] ([[Usuario discusión:Jesús Hernandez Marcial|discusión]]) 20:56 16 may 2013 (CDT) <br />
----<br />
1.3<br />
<br />
Un sistema identico se pone en vibracion con la misma Amplitud <math>\left(A=0.0576m\right)</math><br />
y la Cte de Fase <math>\left(\phi=-0.52rad\right)</math><br />
del problema 1.2, pero con una fase adelantada de 90° <br />
<br />
Calcular: a) El desplazamiento en el instante inicial <br />
<br />
<math>\psi\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{0}t+\phi\right)</math><br />
<br />
<br />
Ahora se tiene<br />
<br />
<math>\psi\left(t\right)=A\cos\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi_{0}\left(t\right)=A\cos\left(\phi+\frac{\pi}{2}\right)</math><br />
<br />
Con <math>t=0</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>\psi_{0}=28mm</math><br />
<br />
<br />
b) La velocidad en <math>t=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\dot{\psi}\left(t\right)=-A\sin\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
<math>\dot{\psi_{0}}=-A\sin\left(+\phi+\frac{\pi}{2}\right)</math><br />
<br />
<br />
Entonces <math>\dot{\psi_{0}}\text{=}-3\frac{m}{s}</math><br />
es decir en direccion a la izquierda<br />
<br />
c) El tiempo en el que llegara al reposo<br />
<br />
<math>\dot{\psi(t)}=0</math><br />
<br />
<br />
Es decir<br />
<br />
<math>-A\omega_{0}\sin\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\sin\left(\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}\right)=0</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega_{0}t+\phi+\frac{\pi}{2}=0</math><br />
<br />
<br />
<math>t=\frac{-\phi-\frac{\pi}{2}}{\omega_{0}}</math><br />
<br />
Entonces <math>t=-0.017s</math> Matematicamente <math>t=-0.017s</math><br />
representa el instante en el cual la masa se encuentra en reposo en el extremo izquierdo <math>(\psi\left(t\text{}\right)=-A</math>,<br />
antes de iniciar el movimiento). Sea <math>t\text{´}</math><br />
el instante posterior para el cual la masa se encontrara en reposo en los extremos <math>\left(\psi\left(t\text{´}\right)=\pm A\right)</math><br />
Asi que:<br />
<br />
<math>t\text{´}=t+n\frac{\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
con <math>n=1,2,3,\ldots</math> siendo <math>\tau</math> el periodo<br />
<br />
<br />
Por lo tanto la masa alcanza el primer extremo <math>\left(\psi\left(t\text{´}\right)=A\right)</math><br />
cuando <math>n=1</math><br />
en el instante<br />
<br />
<math>t\text{´}=t+\frac{\tau}{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>t\text{´}=0.033s</math><br />
<br />
--[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 18:13 18 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
<br />
1.4 '''El sistema mostrado al principio en la figura podría ser puesto en vibración dándole a la masa un repentino impulso hacia la izquierda; tocándolo por un martillo, por ejemplo. Si la magnitud de el impulso es <math>p_{1}</math> y es dado al tiempo <math>t=0</math>, encontrar a) la amplitud y b) la fase constante del consecuente movimiento.'''<br />
<br />
[[Archivo:Vibracion.png]]<br />
<br />
vemos que al pistón se le aplica una fuerza muy grande en magnitud, durante un periodo muy corto de tiempo, esas son las características de la delta de Dirac, por lo que nuestra ecuación del oscilador armónico simple nos queda:<br />
<br />
<br />
<math>\ddot{\psi}+\frac{k}{m}\psi=\frac{\delta}{m}(t-p_{1})</math><br />
<br />
<br />
sustituimos a la frecuencia angular y aplicando la transformada de Laplace nos queda<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal{L}\{\ddot{\psi}\}+\mathcal{L}\omega^{2}\{\psi\}=\frac{1}{m}\mathcal{L}\{\delta(t-p_{1})\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
resolvemos <br />
<br />
<br />
<math>s^{2}Y(s)-sY(0)-Y\text{´}(0)+\omega^{2}Y(s)=\frac{1}{m}\exp(-sp_{1})<br />
</math><br />
<br />
<br />
despejando a la Y(s)<br />
<br />
<br />
<math>Y(s)=\frac{1}{m}\frac{\exp(-sp_{1})}{s^{2}+\omega^{2}}<br />
</math><br />
<br />
<br />
Aplicamos la transformada inversa y nos queda<br />
<br />
<br />
<math>\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=\frac{1}{m\omega}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{\exp(-sp_{1})\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\psi(t)=\frac{1}{m\omega}\sin(\omega t-p_{1})\vartheta(\omega t-p_{1})<br />
</math><br />
<br />
<br />
por último identificamos a la amplitud y a la constante de fase<br />
<br />
<br />
<math>A=\frac{1}{m\omega}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>\varphi=p_{1}<br />
</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 23:10 20 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
1.5 The sistem shown at rest in fig 1.1, (a) coudl be set into motion by giving an initial displacement A1 and an initial velocity v1 (both to the right, say). Assuming that the motion is started in this way at time t=0, show that the amplitude A and the phase constant (phi) are given by. <br />
<br />
1.5(“del sistema que se muestra en la figura 1.1(a) puede ser puesto en movimiento mediante un desplazamiento A1 y una velocidad v1 (digamos que ambas a la derecha). Asumiendo que el movimiento comienza al tiempo t=0, Demostrar que la amplitud y el angulo de desfase estan dados por.”)<br />
<br />
<math>A=[A_{1}^{2}+(\frac{v_{1}}{\omega_{0}})^{2}]^{\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
<math>tan\phi=-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}</math><br />
<br />
<br />
Para esto partimos de la solucion de la ecuacion del oscilador armonico simple, donde la posicion (phi) en funcion del tiempo es:<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\omega_{0}t+\phi)</math><br />
<br />
<br />
De aqui la segunda condicion es para una velocidad, por lo cual derivamos para encontrar la velocidad en funcion del mismo tiempo. <br />
<br />
<math>\dot{\dot{\psi}_{(t)}=-A\omega_{0}sen(\omega_{0}t}+\phi)</math><br />
<br />
<br />
Entonces bajo las condiciones iniciales, del desplazamiento inicial A1 al tiempo t=0<br />
<br />
<math>A_{1}=Acos(\phi)...(\alpha)</math><br />
<br />
<br />
Analogamente la velocidad t=o es v1<br />
<br />
<math>v_{1}=-A\omega_{0}sen(\phi)...(\varsigma)</math><br />
<br />
<br />
De estas dos ecuaciones ya podemos sacar el valor de la amplitud para ello las formularemos del siguiente modo.<br />
<br />
<math>A_{1}^{2}=A^{2}cos(\phi)^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\frac{v_{1}^{2}}{\omega_{0}^{2}}=A^{2}sen^{2}(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sumando ambas ecuaciones conseguimos. <br />
<br />
<math>A_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{\omega_{0}^{2}}=A^{2}[cos(\phi)^{2}+sen^{2}(\phi)]</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow</math><br />
<br />
<br />
<math>A_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{\omega_{0}^{2}}=A^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore</math><br />
<br />
<br />
<math>(A_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{\omega_{0}^{2}})^{\frac{1}{2}}=A<br />
\centerdot</math><br />
<br />
<br />
Para el angulo (phi) de Desfase tenemos entonces las siguientes formulas<br />
<br />
<math>A_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>-\frac{v_{1}}{\omega_{0}}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Dividimos la segunda entre la primera y para eliminar las amplitudes.<br />
<br />
<math>-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}=\frac{sen(\phi)}{cos(\phi)}</math><br />
<br />
<br />
<math>\therefore</math><br />
<br />
<br />
<math>-\frac{v_{1}}{A_{1}\omega_{0}}=tan(\phi)\centerdot</math><br />
<br />
<br />
De esto se demostraron ambas propiedades. <br />
--[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:11 15 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
1.6'''Calculate a) the amplitude,b) the phase constant and c) the complex amplitude,for vibration given by'''<br />
<br />
<math>\psi<br />
=\left(10mm\right)\cos<br />
w_{o}t<br />
+<br />
\left(17mm\right)<br />
\sin<br />
w{}_{o}t<br />
</math><br />
<br />
solución:<br />
<br />
a)<br />
<br />
partimos de la base que la suma de senos y cosenos se puede escribir como seno, es decir<br />
<br />
<br />
<math>\psi\left(t\right)<br />
=A\cos w_{o}t+B\sin w_{o}t=A_{o}\sin\left(w_{o}t+\phi\right)<br />
\ldots<br />
\left(1\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
donde <math> A_{o}<br />
</math> es la amplitud que queremos calcular,entonces por trigonometria sabemos que<br />
<br />
<br />
<math>A_{o}\sin\left(w_{o}t\right)=A_{o}\cos\phi\sin w_{o}t+A_{o}\sin\phi\cos w_{o}t<br />
\ldots<br />
\left(2\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
igualando <math>\left(1\right)<br />
</math> con <math> \left(2\right)<br />
</math> sale que<br />
<br />
<br />
<math>A_{o}\cos\phi=B<br />
\ldots<br />
\left(3\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>A_{o}\sin\phi=A<br />
\ldots<br />
\left(4\right)<br />
</math><br />
<br />
<br />
ahora elevando al cuadrado <math>\left(3\right)<br />
</math> y <math> \left(4\right)<br />
</math> y sumando:<br />
<br />
<math>A_{o}^{2}\left(\cos^{2}\phi+\sin^{2}\phi\right)=A^{2}+B^{2}<br />
</math><br />
<br />
<br />
entonces tenemos que la amplitud es<br />
<br />
<br />
<math>A_{o}^{2}=A^{2}+B^{2}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<math>A_{o}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{10^{2}+17^{2}}=19.7\approx20mm<br />
</math><br />
<br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>\tan\phi=-\frac{B}{A}<br />
</math><br />
<br />
<math>\phi=\arctan\left(-\frac{B}{A}\right)=\arctan\left(-\frac{17}{10}\right)=-59.5\approx-60^{\text{0}}<br />
</math><br />
<br />
C)<br />
<br />
Obsevando la solucion general,obtenemos que la amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>10mm-\left(17mm\right)i<br />
</math><br />
<br />
--[[Usuario:MISS|MISS]] ([[Usuario discusión:MISS|discusión]]) 00:49 9 may 2013 (CDT)<br />
<br />
En general la solución es correcta. En el último inciso deberías decir que la amplitud compleja está dada por<br />
<br />
<math>D=A_o \cos\phi + iA_o \sin\phi. </math><br />
<br />
--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 15:34 13 may 2013 (CDT)<br />
<br />
----<br />
<br />
1.7 '''During a vibration with a frecuency of 50 Hz, the displacement is observed to be 30 mm at time t=0, and -14 mm at t=12 ms. Find the complex amplitude.'''<br />
<br />
Dada la expresion para hallar la amplitud compleja:<br />
<br />
<math>D=Acos(\phi)+\imath Asen(\phi)........(1.1).</math><br />
<br />
<br />
A partir de la expresion para el desplazamiento, se busca obtener los valores que constituyen la expresion anterior: <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos(\mathbf{\omega_{0}\mbox{t}}+\phi)...............(1.2)</math><br />
<br />
<br />
desarrollando,<br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=Acos\mathbf{(\phi)}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t)....(1.3)</math><br />
<br />
<br />
Sean, <math>C_{1}=Acos(\phi)</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen(\phi)</math><br />
<br />
<br />
Sustituyendo las constantes, <br />
<br />
<math>\psi_{(t)}=C_{1}cos(\omega_{0}t)-Asen(\phi)sen(\omega_{0}t).....(1.3')</math><br />
<br />
<br />
Se toma la siguiente condicion <math>\psi_{(0)}=0.03m</math><br />
para la ec. (1.2)<br />
<br />
<math>0.03m=Acos(\phi).... (1.2')</math><br />
<br />
Por tanto, <math>C{}_{1}</math><br />
es 0.03m.<br />
<br />
Ahora, para <math>\psi_{(0.0012)}=-0.014m</math><br />
para la ec. (1.3'). Dado que la frecuencia es 50 Hz, y de la relacion <br />
<br />
<math>\omega=\upsilon/2\pi</math><br />
<br />
<br />
entonces, <math>\omega=78.53s^{-1}</math><br />
.Sustituyendo en la ec. (1.3')<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003mcos(\omega t)-C_{2}sen(\omega t)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.003*0.99-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.002-0.001C_{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>C_{2}=34m</math><br />
<br />
<br />
Finalmente, al sustituir en ec. (1.1). La amplitud compleja es:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath34m</math><br />
--[[Usuario:Daniela López Martínez|Daniela López Martínez]] ([[Usuario discusión:Daniela López Martínez|discusión]]) 18:53 15 may 2013 (CDT)<br />
<br />
Fe de erratas. '''Correcciones sobre el problema 1.7.'''<br />
<br />
En efecto, la frecuencia angular está dada por:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi\nu</math><br />
<br />
<br />
al sustituir las cantidades,<br />
<br />
<math>\omega=134.15Hz</math><br />
<br />
<br />
Y, además, haciendo una conversión:<br />
<br />
<math>1ms=0.001s</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow12ms=0.012s</math><br />
<br />
<br />
Así, pues, dadas las condiciones iniciales<br />
<br />
<math>\psi(0)=0.03m</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow Acos\phi=0.03m</math><br />
<br />
<br />
entonces, tomando la siguiente condicion <br />
<br />
<math>\psi(0.012)=-0.014m</math><br />
<br />
<br />
se obtiene.<br />
<br />
<math>-0.014m=0.03mcos(3.76)+C_{2}sen(3.76)</math><br />
<br />
<br />
<math>-0.014m=0.02+C_{2}0.06</math><br />
<br />
<br />
<math>\Rightarrow C_{2}=-0.56</math><br />
Dado que<br />
<br />
<math>C_{2}=Asen\phi</math><br />
<br />
por tanto, en la ec. (1.1), resulta:<br />
<br />
<math>D=0.03m-\imath0.56m</math><br />
----<br />
1.8<br />
'''Calculate the maximum acceleration (in units of g) of pickup stylus reproducing a frequency of 16 kHz, with an amplitude of 0.01mm.'''<br />
<br />
Datos:<br />
<br />
f =16kHz = 16000Hz.<br />
<br />
A = 0.01mm = 0.00001m.<br />
<br />
Resultado:<br />
<br />
<math>\omega=2\pi f</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega=2\pi(16000Hz)</math><br />
<br />
<br />
<math>\omega=32000\pi<br />
\frac{rad}{s}</math><br />
<br />
<br />
<math>{\color{black}{\color{blue}\omega=100530.9649\frac{rad}{s}}}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left\Vert a_{max}\right\Vert =A\omega^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left\Vert a_{max}\right\Vert =(0.00001m)(100530.9649\frac{rad}{s})^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>\left\Vert a_{max}\right\Vert =101064.749\frac{m}{s^{2}}</math><br />
--[[Usuario:Leticia González Zamora|Letti GZ]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 22:17 4 may 2013 (CDT)<br />
<br />
Tu solución está incompleta. Falta dividir el resultado final entre <math>g=9.8\frac{m}{s^2}</math>, pues te piden la aceleración en unidades de <math>g</math>.<br />
<br />
--[[Usuario:Ernesto|Ernesto]] ([[Usuario discusión:Ernesto|discusión]]) 16:04 13 may 2013 (CDT)<br />
----<br />
<br />
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 15:07 2 may 2013 (CDT)<br />
<br />
<br />
[[categoría:Vibra]]<br />
<br />
----<br />
1.9<br />
'''Un oscilador armónico se compone de una masa de 100 gramos sujeta a un muelle de constante de recuperación de 10^4 dinas/cm. Se desplaza la masa una distancia de 3 cm. soltando desde el reposo. Calcular: a) la frecuencia propia y el periodo, b) la energía total y c) la velocidad máxima.'''<br />
<br />
a)<br />
<math>V_{0}=\frac{1}{2\Pi}\sqrt{\frac{k}{m}}</math><br />
<br />
<br />
<math>V_{0}=\frac{1}{2\Pi}\sqrt{\frac{10^{4}dinas/cm}{10^{2}gramos}}=\frac{10}{2\Pi}\sqrt{\frac{\frac{(gramos)(cm)}{(seg^{2})(cm)}}{gramos}}=\frac{10}{2\Pi}seg^{-1}</math><br />
<br />
<br />
<math>V_{0}=1.6Hz</math><br />
<br />
<br />
b)<br />
<br />
<math>\Gamma_{0}=\frac{1}{V_{0}}=\frac{2\Pi}{10}seg</math><br />
<br />
<br />
<math>\Gamma_{0}=\cong0.63seg</math><br />
<br />
<br />
c)<br />
<math>E=\frac{1}{2}kA^{2}</math><br />
<br />
<br />
<math>E=\frac{1}{2}(10^{4}dinas)(3^{2}cm)</math><br />
<br />
<br />
<math>E=4.5x10^{4}joules</math><br />
<br />
<br />
d)<br />
<math>\frac{1}{2}mv_{max}^{2}=E_{total}</math><br />
<br />
<br />
<math>v_{max}=\sqrt{\frac{(2)(4.5x10^{4}}){100}}</math><br />
<br />
<br />
<math>v_{max}=30m/seg</math><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:David Alberto Rojas Solis|David Alberto Rojas Solis]] ([[Usuario discusión:David Alberto Rojas Solis|discusión]]) 23:28 5 jul 2013 (CDT)</div>David Alberto Rojas Solis