https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/api.php?action=feedcontributions&user=Carlosg&feedformat=atomluz-wiki - Contribuciones del usuario [es]2024-03-29T12:29:52ZContribuciones del usuarioMediaWiki 1.39.6https://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Soluciones_a_ecuaciones_de_primer,_segundo,_tercer_y_cuarto_grado&diff=24439Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado2020-06-11T21:44:29Z<p>Carlosg: /* Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado */</p>
<hr />
<div>[[Category:Compleja]]<br />
<br />
===Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado===<br />
<br />
la dificultad en la resolucion de ecuaciones aumenta con su grado,<br />
aparte de otras razones , porque cuanto mayor es esta mas raices hay<br />
que hallar.Por resolucion entendemos determinar todas las raices de<br />
una ecuacione algebraica,tanto reales como imaginarias,ya sea en forma<br />
exacta o con una aproximacion previamente especificada.<br />
<br />
'''Ecuaciones de primer grado'''<br />
<br />
una ecuación de primer grado es de la forma<br />
<br />
$ax+b=0$<br />
<br />
la solución esta dada por la formula<br />
<br />
$x=-\frac{b}{a}$<br />
<br />
esto indica que operaciones deben realizarse con los coeficientes<br />
<br />
para hallar la raíz exacta, o aproximada.<br />
<br />
'''Ecuaciones de segundo grado'''<br />
<br />
<br />
<br />
una ecuación de segundo grado es de la forma <br />
<br />
$ax^{2}+bx+c=0$<br />
<br />
de aquí, que:<br />
<br />
$ax^{2}+bx=-c$<br />
<br />
multiplicando por $\frac{1}{a}$en ambos lados de la expresión para<br />
<br />
no alterar el resultado<br />
<br />
$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$<br />
<br />
completando cuadrados del lado izquierdo de la ecuación<br />
<br />
$x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}$<br />
<br />
$x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}$<br />
<br />
$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}$<br />
<br />
despejando para $x$ y desarrollando<br />
<br />
$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{ab^{2}-4a^{2}c}{4a^{3}}$<br />
<br />
$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b-4ac}{4a^{2}}$<br />
<br />
$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b-4ac}}{2a}$<br />
<br />
$x=\pm\frac{\sqrt{b-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$<br />
<br />
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b-4ac}}{2a}$<br />
<br />
Caso especial:<br />
<br />
$X^{2}=A$ , donde $A=a+ib$ y $X=x+iy$ son números complejos<br />
<br />
entonces<br />
<br />
$(x+iy)^{2}=a+ib$<br />
<br />
pero<br />
<br />
$(x+iy)^{2}=x^{2}+i^{2}y^{2}+i2xy=x^{2}-y^{2}+i2xy$<br />
<br />
esto debe de satisfacer<br />
<br />
$x^{2}-y^{2}=a....(1)$<br />
<br />
$i2xy=ib\Longleftrightarrow2xy=b....(2)$<br />
<br />
ademas como<br />
<br />
$(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}$<br />
<br />
entonces de $1y2$<br />
<br />
$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}+b^{2}\Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}$<br />
<br />
$x^{2}=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}-y^{2}$ <br />
<br />
$y^{2}=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}-x^{2}$<br />
<br />
tomando la raíz positiva y despejando $x^{2}$ y $y^{2}$ de 1 tenemos<br />
<br />
$x^{2}=+y^{2}$<br />
<br />
$y^{2}=x^{2}-a$<br />
<br />
$x^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-y^{2}=a+y^{2}\Longleftrightarrow2y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a\Longleftrightarrow <br />
<br />
y^{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}$<br />
<br />
$y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-x^{2}=x^{2}-a\Longleftrightarrow2x^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a\Longleftrightarrow <br />
<br />
x^{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}$<br />
<br />
ahora analizando la ecuación 2 en caso de que $b\neq0$la ecuación<br />
<br />
determina el signo de $y$ correspondiente a un dado signo de $x$<br />
<br />
esto es si $xy>0,b>0$ si $xy<0,b<0$<br />
<br />
entonces de acuerdo con esto las soluciones de la ecuación $X^{2}=(x+iy)^{2}=a+ib$<br />
<br />
$X=\pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}),si,xy>0,b>0$ <br />
<br />
y $X=\pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}),si,xy<0,b<0$<br />
<br />
en caso de que $b=0$ entonces $\sqrt{a^{2}}=a\;o\;\sqrt{a^{2}}=-a$<br />
<br />
de aquí se deduce que $x=\pm\sqrt{a};y=0$<br />
<br />
si $a>0$ entonces la ecuación $X^{2}=a\Longleftrightarrow X=\pm\sqrt{a}$<br />
<br />
si $a<0$ entonces $x=0;y=\pm\sqrt{-a}$ en este caso la misma ecuación<br />
<br />
tiene dos raíces imaginarias puras $X=\pm i\sqrt{-a}$<br />
<br />
cuando $a=b=0$ solo $X=0$.<br />
<br />
'''Ecuaciones de tercer grado(formula de Cardano)'''<br />
<br />
$f(x)=dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0$ <br />
<br />
puesto que la divicion por $d$ no modifica las raíces de la ecuación podemos escribirla como<br />
<br />
$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ introduciendo una nueva incognita esta<br />
<br />
ecuación puede modificarse, con este fin hacemos $x=y+k,k(arbitrario)$ <br />
<br />
Por la formula de Taylor:<br />
<br />
$f(y+k)=f(k)+\frac{f'(k)y}{1!}+\frac{f''(k)}{2!}y^{2}+\frac{f'''(k)}{3!}y^{3}+...$<br />
<br />
$f(k)=k^{3}+ak^{2}+bk+c;$<br />
<br />
$f'(k)=3k^{2}+2ak+b$<br />
<br />
$f''(k)=6k+2a\Longleftrightarrow\frac{1}{2}f''(k)=3k+a$<br />
<br />
$f'''(k)=6\Longleftrightarrow\frac{1}{6}f'''(k)=1$<br />
<br />
para eliminar el termino en $y^{2}$basta elegir $k$ de modo que:<br />
<br />
$3k+a=0$ o $k=-\frac{1}{3}a$<br />
<br />
por ser<br />
<br />
$f'(\frac{1}{3}a)=3\frac{a^{2}}{9}-\frac{2}{3}a^{2}+b=-\frac{1}{3}a^{2}+b$<br />
<br />
$f(k)=(-\frac{1}{3}a)^{3}+a(-\frac{1}{3}a)^{2}+b(-\frac{1}{3}a)+c=-\frac{1}{27}a^{3}+\frac{1}{9}a^{3}-\frac{1}{3}ab+c=\frac{2}{27}a^{3}-\frac{1}{3}ab+c$<br />
<br />
si elegimos $x=y-\frac{1}{3}a$<br />
<br />
la ecuación $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ se convierte en:<br />
<br />
$f(y-\frac{1}{3}a)=(y-\frac{1}{3}a)^{3}+a(y-\frac{1}{3}a)^{2}+b(y-\frac{1}{3}a)+c=y^{3}+y(b-\frac{a^{2}}{3})+(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})=0$<br />
<br />
si hacemos:<br />
<br />
$p=(b-\frac{a^{2}}{3})$<br />
<br />
$q=(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})$<br />
<br />
tenemos<br />
<br />
$f(y)=y^{3}+py+q=0...(F)$<br />
<br />
esta ecuación se puede resolver si $y=u+v$<br />
<br />
$f(u+v)=(u+v)^{3}+p(u+v)+q=u^{3}+v^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+pu+pv+q=u^{3}+v^{3}+(p+3uv)(u+v)+q=0$<br />
<br />
esta ecuación se vuelve indeterminada a menos que tomemos<br />
<br />
$3uv+p=0\Longleftrightarrow uv=-\frac{p}{3}...(1)$<br />
<br />
entonces<br />
<br />
$f(u+v)=u^{3}+v^{3}+q=0\Longleftrightarrow u^{3}+v^{3}=-q...(2)$<br />
<br />
asi resolviendo el sistema de ecuaciones 1 y 2 tenemos<br />
<br />
$uv=-\frac{p}{3}\Longleftrightarrow u^{3}v^{3}=(-\frac{p}{3})^{3}\Longleftrightarrow u^{3}v^{3}=-\frac{p^{3}}{27}$<br />
<br />
$u^{3}+v^{3}=-q$<br />
<br />
estas son soluciones de la ecuación cuadrática<br />
<br />
$t^{2}+qt-\frac{p^{3}}{27}=0\Longleftrightarrow t=\frac{-q\pm\sqrt{q^{2}-4(-\frac{p^{3}}{27})}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{(u^{3}+v^{3})^{2}-4(u^{3}v^{3})}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{u^{6}+v^{6}+2u^{3}v^{3}-4u^{3}v^{3}}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{u^{6}+v^{6}-2u^{3}v^{3}}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{(u^{3}-v^{3})^{2}}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm(u^{3}-v^{3})^{2}}{2}$<br />
<br />
si<br />
<br />
$u^{3}=A$ y $v^{3}=B$ entonces<br />
<br />
$A=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$<br />
<br />
$B=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$<br />
<br />
así los tres valores posibles de $u$serian<br />
<br />
$u=\sqrt[3]{A};u=w\sqrt[3]{A};u=w^{2}\sqrt[3]{A}$<br />
<br />
donde<br />
<br />
$w=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$<br />
<br />
con respecto a $v$ también existen tres valores<br />
<br />
$v=\sqrt[3]{B};v=w\sqrt[3]{B};v=w^{2}\sqrt[3]{B}$<br />
<br />
pero no podemos combinar uno cualquiera de ellos con los 3 valores<br />
posibles de $u$,desde que$u$ y $v$ deben satisfacer la relación<br />
<br />
$uv=-\frac{p}{3}\Longleftrightarrow\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}=-\frac{p}{3}$<br />
<br />
entonces los valores de $v$que pueden combinarse con<br />
<br />
$u=\sqrt[3]{A};u=w\sqrt[3]{A};u=w^{2}\sqrt[3]{A}$<br />
<br />
$v=\sqrt[3]{B};v=w\sqrt[3]{B};v=w^{2}\sqrt[3]{B}$<br />
<br />
por lo tanto la ecuación F tendría las siguientes raíces<br />
<br />
$y_{1}=\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$<br />
<br />
$y_{2}=w\sqrt[3]{A}+w^{2}\sqrt[3]{B}=w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+w^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$<br />
<br />
$y_{3}=w^{2}\sqrt[3]{A}+w\sqrt[3]{B}=w^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$<br />
<br />
ademas como<br />
<br />
$p=(b-\frac{a^{2}}{3})$<br />
<br />
$q=(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})$<br />
<br />
$y_{1}=\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}+\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}-\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}$<br />
<br />
$y_{2}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}+\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}-\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}$<br />
<br />
$y_{3}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}+\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}-\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}$<br />
<br />
'''Ecuaciones de cuarto grado resuelta por ferrari discípulo de Cardano'''<br />
<br />
ya que podemos suponer lo mismo de la ecuación de tercer grado tenemos<br />
que es de la forma<br />
<br />
$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$<br />
<br />
podemos escribirla como<br />
<br />
$x^{4}+ax^{3}=-bx^{2}-cx-d$<br />
<br />
y sumando $\frac{a^{2}}{4}x^{2}$a ambos miembros, la ecuación <br />
<br />
$(x^{2}+\frac{a}{2}x)^{2}=(\frac{a^{2}}{4}-b)x^{2}-x-d...(1)$ <br />
<br />
es equivalente a la ecuación original. si el segundo miembro de esta<br />
expresión fuera un cuadrado perfecto, la solución de esta ecuación<br />
seria inmediata<br />
<br />
$(x^{2}+\frac{a}{2}x)^{2}-(\frac{a^{2}}{4}-b)x^{2}+x+d=x^{4}+\frac{a^{2}}{4}x^{2}+ax^{3}-\frac{a^{2}}{4}x^{2}+bx^{2}+x+d=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+x+d$<br />
<br />
ahora sumando a ambos miembros de 1<br />
<br />
$y(x^{2}+\frac{a}{2}x)+\frac{y^{2}}{4}$<br />
<br />
$((x^{2}+\frac{a}{2}x)^{2})+y(x^{2}+\frac{a}{2}x)+\frac{y^{2}}{4}=(\frac{a^{2}}{4}-b)x^{2}-x-d+y(x^{2}+\frac{a}{2}x)+\frac{y^{2}}{4}$ <br />
<br />
a modo de obtener un cuadrado perfecto en el primer miembro para un<br />
$y$ indeterminado<br />
<br />
$(x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{y}{2})^{2}=(\frac{a^{2}}{4}-b+y)x^{2}+(-c+\frac{1}{2}ay)x+(-d+\frac{1}{4}y^{2})$<br />
<br />
ahora podemos tratar de determinar a $y$ de modo que <br />
<br />
$(\frac{a^{2}}{4}-b+y)x^{2}+(-c+\frac{1}{2}ay)x+(-d+\frac{1}{4}y^{2})$<br />
<br />
se convierta en el cuadrado de una expresión lineal $nx+f$ , en general,<br />
si:<br />
<br />
$Ax+Bx+C=(nx+f)^{2},$ sera $B^{2}-4AC=0,$<br />
<br />
de aquí, que<br />
<br />
$A=n^{2},B=2nf;C=f^{2}$<br />
<br />
si $A=B=C=0$entonces $n=f=0$<br />
<br />
pero si $A,B,C\neq0$<br />
<br />
entonces <br />
<br />
$n=\sqrt{A};f=\frac{B}{2n};C=f^{2}$<br />
<br />
de modo que<br />
<br />
$(\frac{1}{2}ay-c)^{2}=4(y+\frac{a^{2}}{4}-b(\frac{1}{4}y^{2}-d))\Longleftrightarrow y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y+4bd-a^{2}d-c^{2}=0$<br />
<br />
basta tomar para $y$ una raíz cualquiera de esta ecuación cubica,<br />
llamada resolvente de la ecuación cuartica, para tener <br />
<br />
$(\frac{a^{2}}{4}-b+y)x^{2}+(\frac{1}{2}ay-c)x+\frac{1}{4}y^{2}-d=(nx+f)^{2}$con<br />
n y f convenientemente elegidos<br />
<br />
la ecuación cuartica queda entonces como:<br />
<br />
$(x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{1}{2}y)^{2}=(nx+f)^{2}$ así podemos dividirla<br />
en dos ecuaciones cuadráticas<br />
<br />
$x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{1}{2}y=nx+f;x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{1}{2}y=-nx-f$<br />
<br />
estas ecuaciones resueltas separadamente nos dan las soluciones a<br />
la ecuación de cuarto grado.<br />
<br />
--[[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 21:17 5 jul 2015 (CDT)</div>Carlosghttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Discusi%C3%B3n:Soluciones_a_ecuaciones_de_primer,_segundo,_tercer_y_cuarto_grado&diff=24438Discusión:Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado2020-06-11T21:43:03Z<p>Carlosg: Página creada con «ññññ ~~~~»</p>
<hr />
<div>ññññ <br />
<br />
<br />
[[Usuario:Carlosg|Carlosg]] ([[Usuario discusión:Carlosg|discusión]]) 16:43 11 jun 2020 (CDT)</div>Carlosghttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Soluciones_a_ecuaciones_de_primer,_segundo,_tercer_y_cuarto_grado&diff=24437Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado2020-06-11T21:41:38Z<p>Carlosg: </p>
<hr />
<div>[[Category:Compleja]]<br />
<br />
===Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado===<br />
<br />
la dificultad en la resolucion de ecuaciones aumenta con su grado,<br />
aparte de otras razones , porque cuanto mayor es esta mas raices hay<br />
que hallar.Por resolucion entendemos determinar todas las raices de<br />
una ecuacione algebraica,tanto reales como imaginarias,ya sea en forma<br />
exacta o con una aproximacion previamente especificada.<br />
<br />
'''Ecuaciones de primer grado'''<br />
<br />
una ecuación de primer grado es de la forma<br />
<br />
$ax+b=0$<br />
la solución esta dada por la formula<br />
$x=-\frac{b}{a}$<br />
esto indica que operaciones deben realizarse con los coeficientes<br />
para hallar la raíz exacta, o aproximada.<br />
<br />
'''Ecuaciones de segundo grado'''<br />
una ecuación de segundo grado es de la forma <br />
$ax^{2}+bx+c=0$<br />
de aquí, que:<br />
$ax^{2}+bx=-c$<br />
multiplicando por $\frac{1}{a}$en ambos lados de la expresión para<br />
no alterar el resultado<br />
$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$<br />
completando cuadrados del lado izquierdo de la ecuación<br />
$x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}-(\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}$<br />
$x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}$<br />
$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}$<br />
despejando para $x$ y desarrollando<br />
$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{ab^{2}-4a^{2}c}{4a^{3}}$<br />
$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b-4ac}{4a^{2}}$<br />
$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b-4ac}{4a^{2}}}=\pm\frac{\sqrt{b-4ac}}{2a}$<br />
$x=\pm\frac{\sqrt{b-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$<br />
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b-4ac}}{2a}$<br />
<br />
Caso especial:<br />
$X^{2}=A$ , donde $A=a+ib$ y $X=x+iy$ son números complejos<br />
entonces<br />
$(x+iy)^{2}=a+ib$<br />
pero<br />
$(x+iy)^{2}=x^{2}+i^{2}y^{2}+i2xy=x^{2}-y^{2}+i2xy$<br />
esto debe de satisfacer<br />
$x^{2}-y^{2}=a....(1)$<br />
$i2xy=ib\Longleftrightarrow2xy=b....(2)$<br />
<br />
ademas como<br />
$(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}$<br />
entonces de $1y2$<br />
$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}+b^{2}\Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}$<br />
$x^{2}=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}-y^{2}$ <br />
$y^{2}=\pm\sqrt{a^{2}+b^{2}}-x^{2}$<br />
tomando la raíz positiva y despejando $x^{2}$ y $y^{2}$ de 1 tenemos<br />
$x^{2}=+y^{2}$<br />
$y^{2}=x^{2}-a$<br />
$x^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-y^{2}=a+y^{2}\Longleftrightarrow2y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a\Longleftrightarrow y^{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}$<br />
$y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-x^{2}=x^{2}-a\Longleftrightarrow2x^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a\Longleftrightarrow x^{2}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}$<br />
ahora analizando la ecuación 2 en caso de que $b\neq0$la ecuación<br />
determina el signo de $y$ correspondiente a un dado signo de $x$<br />
esto es si $xy>0,b>0$ si $xy<0,b<0$<br />
entonces de acuerdo con esto las soluciones de la ecuación $X^{2}=(x+iy)^{2}=a+ib$<br />
son<br />
$X=\pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}),si,xy>0,b>0$ <br />
y $X=\pm(\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}}),si,xy<0,b<0$<br />
en caso de que $b=0$ entonces $\sqrt{a^{2}}=a\;o\;\sqrt{a^{2}}=-a$<br />
de aquí se deduce que $x=\pm\sqrt{a};y=0$<br />
<br />
si $a>0$ entonces la ecuación $X^{2}=a\Longleftrightarrow X=\pm\sqrt{a}$<br />
<br />
si $a<0$ entonces $x=0;y=\pm\sqrt{-a}$ en este caso la misma ecuación<br />
tiene dos raíces imaginarias puras $X=\pm i\sqrt{-a}$<br />
<br />
cuando $a=b=0$ solo $X=0$.<br />
<br />
'''Ecuaciones de tercer grado(formula de Cardano)'''<br />
<br />
$f(x)=dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0$ <br />
<br />
puesto que la divicion por $d$ no modifica las raíces de la ecuación<br />
podemos escribirla como<br />
<br />
$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ introduciendo una nueva incognita esta<br />
ecuación puede modificarse, con este fin hacemos $x=y+k,k(arbitrario)$ <br />
<br />
Por la formula de Taylor:<br />
<br />
$f(y+k)=f(k)+\frac{f'(k)y}{1!}+\frac{f''(k)}{2!}y^{2}+\frac{f'''(k)}{3!}y^{3}+...$<br />
<br />
$f(k)=k^{3}+ak^{2}+bk+c;$<br />
<br />
$f'(k)=3k^{2}+2ak+b$<br />
<br />
$f''(k)=6k+2a\Longleftrightarrow\frac{1}{2}f''(k)=3k+a$<br />
<br />
$f'''(k)=6\Longleftrightarrow\frac{1}{6}f'''(k)=1$<br />
<br />
para eliminar el termino en $y^{2}$basta elegir $k$ de modo que:<br />
<br />
$3k+a=0$ o $k=-\frac{1}{3}a$<br />
<br />
por ser<br />
<br />
$f'(\frac{1}{3}a)=3\frac{a^{2}}{9}-\frac{2}{3}a^{2}+b=-\frac{1}{3}a^{2}+b$<br />
<br />
$f(k)=(-\frac{1}{3}a)^{3}+a(-\frac{1}{3}a)^{2}+b(-\frac{1}{3}a)+c=-\frac{1}{27}a^{3}+\frac{1}{9}a^{3}-\frac{1}{3}ab+c=\frac{2}{27}a^{3}-\frac{1}{3}ab+c$<br />
<br />
si elegimos $x=y-\frac{1}{3}a$<br />
<br />
la ecuación $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ se convierte en:<br />
<br />
$f(y-\frac{1}{3}a)=(y-\frac{1}{3}a)^{3}+a(y-\frac{1}{3}a)^{2}+b(y-\frac{1}{3}a)+c=y^{3}+y(b-\frac{a^{2}}{3})+(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})=0$<br />
<br />
si hacemos:<br />
<br />
$p=(b-\frac{a^{2}}{3})$<br />
<br />
$q=(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})$<br />
<br />
tenemos<br />
<br />
$f(y)=y^{3}+py+q=0...(F)$<br />
<br />
esta ecuación se puede resolver si $y=u+v$<br />
<br />
$f(u+v)=(u+v)^{3}+p(u+v)+q=u^{3}+v^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+pu+pv+q=u^{3}+v^{3}+(p+3uv)(u+v)+q=0$<br />
<br />
esta ecuación se vuelve indeterminada a menos que tomemos<br />
<br />
$3uv+p=0\Longleftrightarrow uv=-\frac{p}{3}...(1)$<br />
<br />
entonces<br />
<br />
$f(u+v)=u^{3}+v^{3}+q=0\Longleftrightarrow u^{3}+v^{3}=-q...(2)$<br />
<br />
asi resolviendo el sistema de ecuaciones 1 y 2 tenemos<br />
<br />
$uv=-\frac{p}{3}\Longleftrightarrow u^{3}v^{3}=(-\frac{p}{3})^{3}\Longleftrightarrow u^{3}v^{3}=-\frac{p^{3}}{27}$<br />
<br />
$u^{3}+v^{3}=-q$<br />
<br />
estas son soluciones de la ecuación cuadrática<br />
<br />
$t^{2}+qt-\frac{p^{3}}{27}=0\Longleftrightarrow t=\frac{-q\pm\sqrt{q^{2}-4(-\frac{p^{3}}{27})}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{(u^{3}+v^{3})^{2}-4(u^{3}v^{3})}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{u^{6}+v^{6}+2u^{3}v^{3}-4u^{3}v^{3}}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{u^{6}+v^{6}-2u^{3}v^{3}}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm\sqrt{(u^{3}-v^{3})^{2}}}{2}=\frac{-(u^{3}+v^{3})\pm(u^{3}-v^{3})^{2}}{2}$<br />
<br />
si<br />
<br />
$u^{3}=A$ y $v^{3}=B$ entonces<br />
<br />
$A=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$<br />
<br />
$B=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$<br />
<br />
así los tres valores posibles de $u$serian<br />
<br />
$u=\sqrt[3]{A};u=w\sqrt[3]{A};u=w^{2}\sqrt[3]{A}$<br />
<br />
donde<br />
<br />
$w=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$<br />
<br />
con respecto a $v$ también existen tres valores<br />
<br />
$v=\sqrt[3]{B};v=w\sqrt[3]{B};v=w^{2}\sqrt[3]{B}$<br />
<br />
pero no podemos combinar uno cualquiera de ellos con los 3 valores<br />
posibles de $u$,desde que$u$ y $v$ deben satisfacer la relación<br />
<br />
$uv=-\frac{p}{3}\Longleftrightarrow\sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B}=-\frac{p}{3}$<br />
<br />
entonces los valores de $v$que pueden combinarse con<br />
<br />
$u=\sqrt[3]{A};u=w\sqrt[3]{A};u=w^{2}\sqrt[3]{A}$<br />
<br />
$v=\sqrt[3]{B};v=w\sqrt[3]{B};v=w^{2}\sqrt[3]{B}$<br />
<br />
por lo tanto la ecuación F tendría las siguientes raíces<br />
<br />
$y_{1}=\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$<br />
<br />
$y_{2}=w\sqrt[3]{A}+w^{2}\sqrt[3]{B}=w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+w^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$<br />
<br />
$y_{3}=w^{2}\sqrt[3]{A}+w\sqrt[3]{B}=w^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$<br />
<br />
ademas como<br />
<br />
$p=(b-\frac{a^{2}}{3})$<br />
<br />
$q=(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})$<br />
<br />
$y_{1}=\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}+\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}-\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}$<br />
<br />
$y_{2}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}+\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}-\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}$<br />
<br />
$y_{3}=(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}+\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}+(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})}{2}-\sqrt{\frac{(c-\frac{ba}{3}+\frac{2a^{3}}{27})^{2}}{4}+\frac{(b-\frac{a^{2}}{3})^{3}}{27}}}$<br />
<br />
'''Ecuaciones de cuarto grado resuelta por ferrari discípulo de Cardano'''<br />
<br />
ya que podemos suponer lo mismo de la ecuación de tercer grado tenemos<br />
que es de la forma<br />
<br />
$x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$<br />
<br />
podemos escribirla como<br />
<br />
$x^{4}+ax^{3}=-bx^{2}-cx-d$<br />
<br />
y sumando $\frac{a^{2}}{4}x^{2}$a ambos miembros, la ecuación <br />
<br />
$(x^{2}+\frac{a}{2}x)^{2}=(\frac{a^{2}}{4}-b)x^{2}-x-d...(1)$ <br />
<br />
es equivalente a la ecuación original. si el segundo miembro de esta<br />
expresión fuera un cuadrado perfecto, la solución de esta ecuación<br />
seria inmediata<br />
<br />
$(x^{2}+\frac{a}{2}x)^{2}-(\frac{a^{2}}{4}-b)x^{2}+x+d=x^{4}+\frac{a^{2}}{4}x^{2}+ax^{3}-\frac{a^{2}}{4}x^{2}+bx^{2}+x+d=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+x+d$<br />
<br />
ahora sumando a ambos miembros de 1<br />
<br />
$y(x^{2}+\frac{a}{2}x)+\frac{y^{2}}{4}$<br />
<br />
$((x^{2}+\frac{a}{2}x)^{2})+y(x^{2}+\frac{a}{2}x)+\frac{y^{2}}{4}=(\frac{a^{2}}{4}-b)x^{2}-x-d+y(x^{2}+\frac{a}{2}x)+\frac{y^{2}}{4}$ <br />
<br />
a modo de obtener un cuadrado perfecto en el primer miembro para un<br />
$y$ indeterminado<br />
<br />
$(x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{y}{2})^{2}=(\frac{a^{2}}{4}-b+y)x^{2}+(-c+\frac{1}{2}ay)x+(-d+\frac{1}{4}y^{2})$<br />
<br />
ahora podemos tratar de determinar a $y$ de modo que <br />
<br />
$(\frac{a^{2}}{4}-b+y)x^{2}+(-c+\frac{1}{2}ay)x+(-d+\frac{1}{4}y^{2})$<br />
<br />
se convierta en el cuadrado de una expresión lineal $nx+f$ , en general,<br />
si:<br />
<br />
$Ax+Bx+C=(nx+f)^{2},$ sera $B^{2}-4AC=0,$<br />
<br />
de aquí, que<br />
<br />
$A=n^{2},B=2nf;C=f^{2}$<br />
<br />
si $A=B=C=0$entonces $n=f=0$<br />
<br />
pero si $A,B,C\neq0$<br />
<br />
entonces <br />
<br />
$n=\sqrt{A};f=\frac{B}{2n};C=f^{2}$<br />
<br />
de modo que<br />
<br />
$(\frac{1}{2}ay-c)^{2}=4(y+\frac{a^{2}}{4}-b(\frac{1}{4}y^{2}-d))\Longleftrightarrow y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y+4bd-a^{2}d-c^{2}=0$<br />
<br />
basta tomar para $y$ una raíz cualquiera de esta ecuación cubica,<br />
llamada resolvente de la ecuación cuartica, para tener <br />
<br />
$(\frac{a^{2}}{4}-b+y)x^{2}+(\frac{1}{2}ay-c)x+\frac{1}{4}y^{2}-d=(nx+f)^{2}$con<br />
n y f convenientemente elegidos<br />
<br />
la ecuación cuartica queda entonces como:<br />
<br />
$(x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{1}{2}y)^{2}=(nx+f)^{2}$ así podemos dividirla<br />
en dos ecuaciones cuadráticas<br />
<br />
$x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{1}{2}y=nx+f;x^{2}+\frac{a}{2}x+\frac{1}{2}y=-nx-f$<br />
<br />
estas ecuaciones resueltas separadamente nos dan las soluciones a<br />
la ecuación de cuarto grado.<br />
<br />
--[[Usuario:Francisco Medina Albino|Francisco Medina Albino]] ([[Usuario discusión:Francisco Medina Albino|discusión]]) 21:17 5 jul 2015 (CDT)</div>Carlosghttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario:Carlosg&diff=24369Usuario:Carlosg2020-06-05T22:08:27Z<p>Carlosg: </p>
<hr />
<div>Alumno de la UAM Iztapalapa, músico en fines de semana, aislado involuntátiamente por el Covid-19.</div>Carlosghttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Discusi%C3%B3n:Edicion&diff=24368Discusión:Edicion2020-06-05T18:51:50Z<p>Carlosg: Página creada con «---- Primera prueba, antes de comenzar a editar. ~~~~ ----»</p>
<hr />
<div>----<br />
Primera prueba, antes de comenzar a editar.<br />
<br />
[[Usuario:Carlosg|Carlosg]] ([[Usuario discusión:Carlosg|discusión]]) 13:51 5 jun 2020 (CDT)<br />
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<hr />
<div>52 yrs old Other Spatial Scientist Nicole from Frontier, really likes juggling, Maroon 5 and writing songs. Was in recent past building a journey to Cidade Velha.<br><br>Look into my blog; [http://vurl.com/9rlQZ Maroon 5 tickets 2016]</div>Carlosg