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<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según <math>z\,\!</math>), separando la dependencia con la componente <math>z\,\!</math> (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasificarse de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos.<br />
<br />
En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos <math>\mathbf{E}</math> y <math>\mathbf{H}</math>son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula <br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{E} =\nabla \cdot \mathbf{H}= 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.<br />
<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas '''(TEM)''': este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas ('''TM''' o Modos '''E'''): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas ('''TE''' o Modos '''H'''): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Definidas de otro manera:<br />
<br />
Convencionalmente se llama,<br />
<br />
Modo '''TEM''' (Transversal Electromagnético) a la situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de propagación<br />
<br />
Modo '''TE''' (Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es transversal <br />
<br />
y Modo '''TM''' (Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético es transversal. <br />
<br />
[[Archivo:Raro.jpg|421 × 133 px|thumb|center|Modos de propagación de onda]]<br />
<br />
Puede existir propagación '''TEM''' en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial . Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales. Otros sistemas donde se puede tener propagación '''TEM''' son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta.<br />
<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos '''TEM''', para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
<br />
Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo '''TEM''' las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las componentes transversales no sean también nulas, de las ecuaciones halladas en la sección precedente surge que <math>k_t= \sqrt {k^2-k^2_l} </math> debe ser también nulo, o sea: <br />
<br />
<math>k=k_l\,\!</math> . En tal caso queda: <math>{\nabla^2\mathbf{E}}=0</math> y <math>{\nabla^2\mathbf{H}}=0</math><br />
<br />
de manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi-)estática que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas '''TEM''' tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo '''TEM''' se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo '''TEM''' se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (<math>x\,\!</math> y <math>y\,\!</math>) y longitudinal <math>(z)\,\!</math> es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas '''TEM''' se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
Entonces como conclusión una onda '''TEM''': <br />
<br />
Se refiere al proceso de transmisión de ondas electromagnéticas en el cual los vectores eléctricos y magnéticos son perpendiculares siempre, y al derivar estos dos son perpendiculares con el modo de propagación de onda como: <br />
<br />
[[Archivo:Onda_bato.gif|490 × 360px|thumb|center| Gráfica y simulación en movimiento de una onda '''TEM''']]<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16569Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T09:59:46Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Clasificacion de las ondas en modos (TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según <math>z\,\!</math>), separando la dependencia con la componente <math>z\,\!</math> (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasificarse de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos.<br />
<br />
En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos <math>\mathbf{E}</math> y <math>\mathbf{H}</math>son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula <br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{E} =\nabla \cdot \mathbf{H}= 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.<br />
<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas '''(TEM)''': este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas ('''TM''' o Modos '''E'''): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas ('''TE''' o Modos '''H'''): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Definidas de otro manera:<br />
<br />
Convencionalmente se llama,<br />
<br />
Modo '''TEM''' (Transversal Electromagnético) a la situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de propagación<br />
<br />
Modo '''TE''' (Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es transversal <br />
<br />
y Modo '''TM''' (Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético es transversal. <br />
<br />
[[Archivo:Raro.jpg|421 × 133 px|thumb|center|Modos de propagación de onda]]<br />
<br />
Puede existir propagación '''TEM''' en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial . Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales. Otros sistemas donde se puede tener propagación '''TEM''' son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta.<br />
<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos '''TEM''', para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
<br />
Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo '''TEM''' las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las componentes transversales no sean también nulas, de las ecuaciones halladas en la sección precedente surge que <math>k_t= \sqrt {k^2-k^2_l} </math> debe ser también nulo, o sea: <br />
<br />
<math>k=k_l\,\!</math> . En tal caso queda: <math>{\nabla^2\mathbf{E}}=0</math> y <math>{\nabla^2\mathbf{H}}=0</math><br />
<br />
de manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi-)estática que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas '''TEM''' tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo '''TEM''' se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo '''TEM''' se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (<math>x\,\!</math> y <math>y\,\!</math>) y longitudinal <math>(z)\,\!</math> es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
Entonces como conclusión una onda '''TEM''': <br />
<br />
Se refiere al proceso de transmisión de ondas electromagnéticas en el cual los vectores eléctricos y magnéticos son perpendiculares siempre, y al derivar estos dos son perpendiculares con el modo de propagación de onda como: <br />
<br />
[[Archivo:Onda_bato.gif|490 × 360px|thumb|center| Gráfica y simulación en movimiento de una onda '''TEM''']]<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16567Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T09:50:36Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según <math>z\,\!</math>), separando la dependencia con la componente <math>z\,\!</math> (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasificarse de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos.<br />
<br />
En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos <math>\mathbf{E}</math> y <math>\mathbf{H}</math>son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula <br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{E} =\nabla \cdot \mathbf{H}= 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.<br />
<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas '''(TEM)''': este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas ('''TM''' o Modos '''E'''): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas ('''TE''' o Modos '''H'''): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Definidas de otro manera:<br />
<br />
Convencionalmente se llama,<br />
<br />
Modo '''TEM''' (Transversal Electromagnético) a la situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de propagación<br />
<br />
Modo '''TE''' (Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es transversal <br />
<br />
y Modo '''TM''' (Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético es transversal. <br />
<br />
[[Archivo:Raro.jpg|421 × 133 px|thumb|center|Modos de propagación de onda]]<br />
<br />
Puede existir propagación '''TEM''' en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial . Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales. Otros sistemas donde se puede tener propagación '''TEM''' son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta.<br />
<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos '''TEM''', para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
<br />
Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo '''TEM''' las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las componentes transversales no sean también nulas, de las ecuaciones halladas en la sección precedente surge que <math>k_t= \sqrt {k^2-k^2_l} </math> debe ser también nulo, o sea: <br />
<br />
<math>k=k_l\,\!</math> . En tal caso queda: <math>{\nabla^2\mathbf{E}}=0</math> y <math>{\nabla^2\mathbf{H}}=0</math><br />
<br />
de manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi-)estática que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas '''TEM''' tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo '''TEM''' se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo '''TEM''' se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
Entonces como conclusión una onda '''TEM''': <br />
<br />
Se refiere al proceso de transmisión de ondas electromagnéticas en el cual los vectores eléctricos y magnéticos son perpendiculares siempre, y al derivar estos dos son perpendiculares con el modo de propagación de onda como: <br />
<br />
[[Archivo:Onda_bato.gif|490 × 360px|thumb|center| Gráfica y simulación en movimiento de una onda '''TEM''']]<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16565Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T09:47:12Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según <math>z\,\!</math>), separando la dependencia con la componente <math>z\,\!</math> (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasificarse de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos.<br />
<br />
En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos <math>\mathbf{E}</math> y <math>\mathbf{H}</math>son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula <br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{E} =\nabla \cdot \mathbf{H}= 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.<br />
<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas '''(TEM)''': este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas ('''TM''' o Modos '''E'''): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas ('''TE''' o Modos '''H'''): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Definidas de otro manera:<br />
<br />
Convencionalmente se llama,<br />
<br />
Modo '''TEM''' (Transversal Electromagnético) a la situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de propagación<br />
<br />
Modo '''TE''' (Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es transversal <br />
<br />
y Modo '''TM''' (Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético es transversal. <br />
<br />
[[Archivo:Raro.jpg|421 × 133 px|thumb|center|Modos de propagación de onda]]<br />
<br />
Puede existir propagación '''TEM''' en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial . Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales. Otros sistemas donde se puede tener propagación '''TEM''' son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta.<br />
<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos '''TEM''', para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
<br />
Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo '''TEM''' las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las componentes transversales no sean también nulas, de las ecuaciones halladas en la sección precedente surge que <math>k_t= \sqrt {k^2-k^2_l} </math> debe ser también nulo, o sea: <br />
<br />
<math>k=k_l\,\!</math> . En tal caso queda: <math>{\nabla^2\mathbf{E}}=0</math> y <math>{\nabla^2\mathbf{H}}=0</math><br />
<br />
de manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi-)estática que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas '''TEM''' tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo '''TEM''' se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
Entonces como conclusión una onda '''TEM''': <br />
<br />
Se refiere al proceso de transmisión de ondas electromagnéticas en el cual los vectores eléctricos y magnéticos son perpendiculares siempre, y al derivar estos dos son perpendiculares con el modo de propagación de onda como: <br />
<br />
[[Archivo:Onda_bato.gif|490 × 360px|thumb|center| Gráfica y simulación en movimiento de una onda '''TEM''']]<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16560Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T09:02:17Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según <math>z\,\!</math>), separando la dependencia con la componente <math>z\,\!</math> (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasificarse de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos.<br />
<br />
En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos <math>\mathbf{E}</math> y <math>\mathbf{H}</math>son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula <br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{E} =\nabla \cdot \mathbf{H}= 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas '''(TEM)''': este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas ('''TM''' o Modos '''E'''): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas ('''TE''' o Modos '''H'''): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Raro.jpg|421 × 133 px|thumb|center|Modos de propagación de onda]]<br />
<br />
Puede existir propagación '''TEM''' en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial . Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales. Otros sistemas donde se puede tener propagación '''TEM''' son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta.<br />
<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos '''TEM''', para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
<br />
Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo '''TEM''' las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las componentes transversales no sean también nulas, de las ecuaciones halladas en la sección precedente surge que <math>k_t= \sqrt {k^2-k^2_l} </math> debe ser también nulo, o sea: <br />
<br />
<math>k=k_l\,\!</math> . En tal caso queda: <math>{\nabla^2\mathbf{E}}=0</math> y <math>{\nabla^2\mathbf{H}}=0</math><br />
<br />
de manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi-)estática que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas '''TEM''' tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo '''TEM''' se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
Entonces como conclusión una onda '''TEM''': <br />
<br />
Se refiere al proceso de transmisión de ondas electromagnéticas en el cual los vectores eléctricos y magnéticos son perpendiculares siempre, y al derivar estos dos son perpendiculares con el modo de propagación de onda como: <br />
<br />
[[Archivo:Onda_bato.gif|490 × 360px|thumb|center| Gráfica y simulación en movimiento de una onda '''TEM''']]<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Raro.jpg&diff=16559Archivo:Raro.jpg2012-07-23T08:58:38Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16558Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T08:54:59Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Clasificacion de las ondas en modos (TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según <math>z\,\!</math>), separando la dependencia con la componente <math>z\,\!</math> (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasificarse de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos.<br />
<br />
En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos <math>\mathbf{E}</math> y <math>\mathbf{H}</math>son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula <br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{E} =\nabla \cdot \mathbf{H}= 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas '''(TEM)''': este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas ('''TM''' o Modos '''E'''): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas ('''TE''' o Modos '''H'''): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
<br />
Puede existir propagación '''TEM''' en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial . Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales. Otros sistemas donde se puede tener propagación '''TEM''' son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta.<br />
<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos '''TEM''', para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
<br />
Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo '''TEM''' las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las componentes transversales no sean también nulas, de las ecuaciones halladas en la sección precedente surge que <math>k_t= \sqrt {k^2-k^2_l} </math> debe ser también nulo, o sea: <br />
<br />
<math>k=k_l\,\!</math> . En tal caso queda: <math>{\nabla^2\mathbf{E}}=0</math> y <math>{\nabla^2\mathbf{H}}=0</math><br />
<br />
de manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi-)estática que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas '''TEM''' tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo '''TEM''' se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
Entonces como conclusión una onda '''TEM''': <br />
<br />
Se refiere al proceso de transmisión de ondas electromagnéticas en el cual los vectores eléctricos y magnéticos son perpendiculares siempre, y al derivar estos dos son perpendiculares con el modo de propagación de onda como: <br />
<br />
[[Archivo:Onda_bato.gif|490 × 360px|thumb|center| Gráfica y simulación en movimiento de una onda '''TEM''']]<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Onda_bato.gif&diff=16557Archivo:Onda bato.gif2012-07-23T08:46:15Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16556Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T08:21:43Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
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Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según <math>z\,\!</math>), separando la dependencia con la componente <math>z\,\!</math> (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasificarse de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos.<br />
<br />
En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos <math>\mathbf{E}</math> y <math>\mathbf{H}</math>son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula <br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{E} =\nabla \cdot \mathbf{H}= 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas '''(TEM)''': este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas ('''TM''' o Modos '''E'''): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas ('''TE''' o Modos '''H'''): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
<br />
Puede existir propagación '''TEM''' en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial . Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales. Otros sistemas donde se puede tener propagación '''TEM''' son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta.<br />
<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos '''TEM''', para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
<br />
Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo '''TEM''' las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las componentes transversales no sean también nulas, de las ecuaciones halladas en la sección precedente surge que <math>k_t= \sqrt {k^2-k^2_l} </math> debe ser también nulo, o sea: <br />
<br />
<math>k=k_l\,\!</math> . En tal caso queda: <math>{\nabla^2\mathbf{E}}=0</math> y <math>{\nabla^2\mathbf{H}}=0</math><br />
<br />
de manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi-)estática que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas '''TEM''' tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo '''TEM''' se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16555Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T08:13:49Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
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<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según <math>z\,\!</math>), separando la dependencia con la componente <math>z\,\!</math> (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasificarse de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos.<br />
<br />
En el vacío y en medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos <math>\mathbf{E}</math> y <math>\mathbf{H}</math>son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las ecuaciones de la divergencia nula <br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{E} =\nabla \cdot \mathbf{H}= 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> para campos que dependen de una única coordenada (ondas elementales). En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de propagación.<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
<br />
Puede existir propagación TEM en un recinto donde haya conductores internos que permitan líneas transversales de campo eléctrico entre dos conductores, como en la configuración coaxial . Las líneas de campo eléctrico variable en el tiempo llevan a líneas de campo magnético también transversales. Otros sistemas donde se puede tener propagación TEM son las líneas abiertas, como las bifilares y las de microcinta.<br />
<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
<br />
Existe en esta configuración la posibilidad de ondas transversales como en un medio ilimitado. En el modo TEM las componentes longitudinales de los campos son nulas. Para que las componentes transversales no sean también nulas, de las ecuaciones halladas en la sección precedente surge que <math>k_t= \sqrt {k^2-k^2_l} </math> debe ser también nulo, o sea: <br />
<br />
<math>k=k_l\,\!</math> . En tal caso queda: <math>{\nabla^2\mathbf{E}}=0</math> y <math>{\nabla^2\mathbf{H}}=0</math><br />
<br />
de manera que los campos transversales (los únicos en este modo) satisfacen la ecuación de Laplace de la (cuasi-)estática que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16552Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T06:54:20Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Clasificacion de las ondas en modos (TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_T}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16549Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T06:46:44Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
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<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
== Clasificacion de las ondas en modos (TEM) ==<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16546Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T06:28:44Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Otro caso del cable coaxial y ejemplo */</p>
<hr />
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<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que: [[Archivo:Cablessss.gif|321 × 290 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene: [[Archivo:Cilindro.gif| 566 × 332 px|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Cilindro.gif&diff=16545Archivo:Cilindro.gif2012-07-23T06:26:28Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Cablessss.gif&diff=16543Archivo:Cablessss.gif2012-07-23T06:21:59Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16537Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T05:56:21Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Otro caso del cable coaxial y ejemplo */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
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Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
[[Archivo:No veo.jpg|922 × 382px|thumb|center|Figura 2:como es un cable coaxial]]<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que:<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene:<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:No_veo.jpg&diff=16527Archivo:No veo.jpg2012-07-23T05:23:38Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16526Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T05:03:51Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Otro caso del cable coaxial y ejemplo */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
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Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
Dado el cable coaxial que se ilustra en la figura 2, interiormente relleno de un dieléctrico ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtener a partir de la solución del problema de contorno:<br />
<br />
<math>\frac{1}{\rho} \frac{d}{d\rho}\rho \left ( \frac{d\phi}{d\rho}\right) =0</math><br />
<br />
<math>\phi(a)\,\!= V_0\,\!\quad\quad\quad\quad\quad\quad</math> , <math>\phi(b)\,\!= 0\,\!</math><br />
<br />
<br />
La solución de la ecuación anterior es:<br />
<br />
<br />
<math>\phi(\rho)=A\ln(\rho)+ B \,\!</math><br />
<br />
<br />
evaluando esta solución en los bordes de nuestro cable coaxial tenemos:<br />
<br />
<math>A\ln(a)+ B = V_0\,\!</math><br />
<br />
<math>A\ln(b)+ B=0 \,\!</math><br />
<br />
de donde podemos ver que:<br />
<br />
<center><math>A=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>B=-\frac{V_0ln(b)}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> <br />
<br />
<math> \phi(\rho)=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}(\ln{b}-\ln{\rho}) \,\!</math> <br />
<br />
y sabemos que:<br />
<br />
<math>\mathbf{e_T} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi}} </math> <br />
<br />
<math>=-\frac{d\phi}{d\rho}a_z</math><br />
<br />
<br />
<math>=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho} \,\!</math><br />
<br />
sustituyendo esta solución en las ecuaciones siguientes:<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}{e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
y se obtiene:<br />
<br />
<center><math>\mathbf{E}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{a_\rho}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center> <br />
<br />
<br />
<center><math>\mathbf{H}=\frac{V_0}{ln(\frac{b}{a})}\frac{1}{\eta}\frac{a_\varphi}{\rho}{\ {e}^{\mathit{-ikz}}}</math></center><br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16523Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T04:41:35Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0<br />
</math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos<br />
<br />
<math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16509Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T03:06:26Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos <math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
<br />
== Otro caso del cable coaxial y ejemplo ==<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16507Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T02:34:36Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos <math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\pm\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16506Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T02:27:45Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos <math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
Que son las ecuaciones de Helmholtz para los campos<math>\mathbf{E} y \mathbf{H}</math> en el dieléctrico que rellena la guía.<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{E}}+{k^2\mathbf{E}}=0</math></center><br />
<br />
<center><math>{\nabla^2\mathbf{H}}+{k^2\mathbf{H}}=0</math></center><br />
<br />
por lo que nos queda:<br />
<br />
<center><math>\nabla^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0</math></center><br />
<br />
<br />
<center><math>{[{\nabla^2_T}+{k^2_l}]}\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}+k^2\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16501Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T01:55:30Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
Solución:<br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math> donde <math> \mathbf{e_T}(x,y)=-\nabla\phi(x,y)\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{T}\mathbf{\phi(x,y)}}=0\quad\quad\quad </math></center>.<br />
<br />
<math>\phi\,\!</math> depende de <math>S_1\,\!</math> y <math>S_2\,\!</math><br />
<br />
<center><math>k_l\,\!=k\,\! </math></center>.<br />
<br />
de lo cual obtenemos <math>\mathbf{E} ={-\nabla_{T}\mathbf{\phi(x,y)}} \ {e}^{\mathit{-ikz}} </math> <br />
<br />
<math>\mathbf{H}={\frac{k}{\omega\mu}}a_z\times\mathbf{e_T}(x,y)\ {e}^{\mathit{-ikz}} </math><br />
<br />
<math>k_l\,\!=k\,\!</math> ya que<math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}\ {e}^{\mathit{-iklz}}</math> <br />
<br />
<br />
debe satisfacer la siguiente ecuación:<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16498Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T01:02:30Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
Para las ondas TEM se cumple que <math>e_z=0\,\!</math> y <math>h_z=0\,\!</math>. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwell estos valores se optiene:<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo eléctrico'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{e_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{e_T}(x,y)=\omega \mu\mathbf{h_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{e_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
''Ecuaciones para el campo magnético'':<br />
<br />
<math>\nabla_T\times \mathbf{h_T}(x,y)=0 </math><br />
<br />
<math>k_{l}\,\!a_{z}\,\!\times\mathbf{h_T}(x,y)=-\omega \mu\mathbf{e_T}(x,y)</math><br />
<br />
<math>\nabla_T\cdot \mathbf{h_t}(x,y)=0\quad\quad \quad </math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16492Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-23T00:07:32Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
entonces dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:<br />
<br />
<math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad</math> <br />
<br />
<math>\nabla\cdot \mathbf{D}=0 \quad \quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad </math><br />
<br />
<math>\nabla\times \mathbf{E}=-\mathbf{i}\omega \mu \mathbf{H} \quad \quad \quad \quad \quad </math><br />
<br />
<math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{i} \omega \epsilon\mathbf{E} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad </math><br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16490Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-22T23:55:00Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
'''Clasificación de la solución'''<br />
<br />
'''Ondas o Modos TEM'''<br />
<br />
<br />
Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, y asumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transversales (x y y) y longitudinal (z) es separable:<br />
<br />
<math>\mathbf{E}=\mathbf{E_T}{(x,y,z)} + \mathbf{E_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{E_T}{(x,y,z)}= \mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{E_z}{(x,y,z)}= \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{E}=\mathbf{e_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{e_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
haremos lo propio para el campo magnético<br />
<br />
<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_T}{(x,y,z)} + \mathbf{H_z}{(x,y,z)}a_z</math> en donde <math>\mathbf{H_T}{(x,y,z)}= \mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math> y <math>\mathbf{H_z}{(x,y,z)}= \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}</math><br />
<br />
lo cual tenemos <math>\mathbf{H}=\mathbf{h_T}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)} + \mathbf{h_z}{(x,y)} \mathbf{g}{(z)}a_z</math> <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16485Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-22T22:11:48Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
Modo transversal electromagnético TEM.<br />
Existe un tercer modo degenerado llamado TEM que también es solución del problema. Es el caso en que<br />
<br />
<math>\mathbf{E_z=0}</math> y <math>\mathbf{H_z=0}</math> <br />
<br />
Las únicas soluciones no triviales corresponden a<br />
<br />
<math>K = {\frac{w}{v}}</math><br />
<br />
Vemos que las ondas TEM tienen las mismas relaciones e dispersión que las ondas en el espacio libre in nito sin paredes. Al igual que en las ondas planas se satisface que para mantener un modo TEM se requiere una guía con sección múltiple conexa, es decir, por lo menos dos super cies cilíndricas ya que<br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{E_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
<center><math>{\nabla^2_{\bot}\mathbf{H_{TEM}}}=0\quad\quad\quad </math></center>. <br />
<br />
Por tanto, para matener un modo TEM se necesita un cable coaxial o dos conductores paralelos.<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16484Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-22T21:23:35Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
[[Archivo:todo.png|3.822 × 2.070 px|thumb|center|Figura 1: guía de onda de sección arbitraria]]<br />
<br />
Una forma muy útil de resolver este tipo de problemas para una guía de onda como la de la figura 1, consiste en descomponer estas ecuaciones en las componentes transversal y longitudinal (axial, según z), separando la dependencia con la componente z (método de separación de variables). Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en este sistema se pueden clasicar de acuerdo con las componentes vectoriales de los campos magnéticos y eléctricos, generando así tres tipos de soluciones, tal y como se muestra acontinuacion:<br />
<br />
Ondas Transversales Electromagnéticas (TEM): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal.<br />
<br />
Ondas Transversales Magnéticas (TM o Modos E): este tipo de soluciones no contiene ninguna componente longitudinal magnética.<br />
<br />
Ondas Transversales Eléctricas (TE o Modos H): este tipo de soluciones no contienen ninguna componente longitudinal eléctrica.<br />
<br />
Abarcaremos solamente el caso de Ondas Transversales Electromagnéticas (Modos TEM, para el caso de un Cable Coaxial).<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Todo.png&diff=16483Archivo:Todo.png2012-07-22T21:10:15Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=El_arco_iris&diff=16474El arco iris2012-07-22T09:56:49Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL ARCO IRIS */</p>
<hr />
<div>== EL ARCO IRIS ==<br />
[[Archivo:Arco iris1.jpg|thumb|left|578 × 800 px|Ejemplo de un arco iris]]<br />
El ARCO IRIS es la exhibición mas espectacular del espectro de la luz blanca en la naturaleza. Las condiciones requeridas para la aparición de este fenómeno, son que el Sol esté brillando en alguna parte del cielo y la lluvia esté cayendo en la parte opuesta. Dando uno la espalda al Sol, se pueden ver arcos de círculos, el arco iris primario brillante, y, a veces, el arco iris secundario, más débil, con los colores invertidos. Vistos desde alguna altura conveniente o desde un avión, estos arcos pueden formar círculos completos, cuyo centro común esta situado es la dirección de la sombra del observador.<br />
La teoría elemental del arco iris fue dada primero por Antonius de Demini en el año de 1611 y, posteriormente, desarrollado con mayor exactitud por Descartes. Las características generales de los arcos primario y secundario son explicadas satisfactoriamente al considerar solo la reflexión y la refracción de la luz por una gota esférica de lluvia. Para comprender como se produce el fenómeno, concentremos primero nuestra atención en una sola gota de lluvia. Se muestra un rayo de luz solar entrando entrando en una gota de lluvia por un punto A, cerca de su parte superior. En este punto, algo de luz se refleja, y el resto se refracta dentro de la esfera liquida. En esta primera refracción la luz se dispersa en sus colores espectrales, el color violeta es el que se desvía más, y el rojo el que se desvía menos.<br />
Llegando al lado opuesto de la gota, cada color es parcialmente refractado hacia afuera (dentro del aire), y en parte reflejado hacia atrás (dentro del liquido). Alcanzando la superficie en el límite inferior, cada uno de los colores es otra vez reflejado y refractado. Esta segunda refracción es muy similar a la de un prisma, en donde la refracción en la segunda superficie aumenta la dispersión ya producida en la primera. Ésta es la trayectoria de la luz en las miles de gotas que producen el brillante arco iris.<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Arco iris.jpg|903 × 619|thumb|right|circular]]<br />
<br />
Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio '''r''' centrada en '''O'''.<br />
<br />
La dirección del rayo es representada por la recta <math>y=-b</math>. Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como <math>y=-\alpha r</math>, siendo <math>\alpha</math> un número entre 0 y 1.<br />
<br />
La descripción algebraica de la circunferencia es <math>x^2+y^2=r^2</math>.<br />
<br />
De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es <math>A(-r \sqrt{1-\alpha^2} , -\alpha r)</math>.<br />
<br />
La recta que pasa por O y A sería: <math>y = {{\alpha} \over {\sqrt{1-\alpha^2}} } x</math>.<br />
<br />
El vector normal interior a la superficie es: <math> {\vec N} = ( \sqrt{1-\alpha^2}, \alpha)</math><br />
<br />
Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, <math>{\vec u_x}</math>, y el vector normal obtengo: <math>|{\vec u_x}||{\vec N}| \sin{\gamma} = |{\vec u_x} x {\vec N}|</math><br />
<br />
luego de aquí se deduce que: <math>\gamma = \arcsin(\alpha)</math><br />
<br />
Si aplico la ley de Snell: <math>n \ \sin \gamma = n' \ \sin \gamma'</math> ; <math>\gamma' = \arcsin( {3 \over 4} \alpha)</math> siendo n=1 y n' = 4/3.<br />
<br />
El ángulo que forma respecto de la horizontal es: <math> \delta = \gamma - \gamma' = \arcsin(\alpha) - \arcsin({3 \over 4} \alpha)</math><br />
<br />
Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es <math>\gamma'</math><br />
<br />
El ángulo <math>\lambda = \pi - 2 \gamma' + \delta</math>.<br />
<br />
Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es <math>\gamma'</math>. El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser <math>\gamma</math>. El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:<br />
<br />
<math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma </math> que puede expresarse como: <math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma = \pi - 2 \gamma' + \delta - \gamma' +\gamma = \pi - 4 \gamma' + 2 \gamma </math>.<br />
<br />
<math>\Theta</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Theta(\alpha)= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Theta'(\alpha)= {-3 \over {\sqrt{1-{9 \over 16} \ \alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para <math>{\alpha_{min}} = 0.86</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Theta_{min}}= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.86) + 2 \arcsin (0.86) = 137.97^\circ</math><br />
<br />
[[Archivo:Leoss.png|thumb|right|800 × 534 px|funciones de theta respecto del parámetro de impacto]]<br />
<br />
----<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Estado.jpg|thumb|left|791 × 689 px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
<br />
Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de <math>\alpha</math>.<br />
<br />
El ángulo <math>\beta</math> puede expresarse como (punto C): <math>\beta = \lambda + \pi - 2 \gamma'</math><br />
<br />
De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es: <br />
<br />
<math>\Psi = \beta - \gamma' +\gamma </math> <br />
<br />
<math>\Psi</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Psi(\alpha)= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Psi'(\alpha)= {-18 \over {\sqrt{16-9\alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.95) + 2 \arcsin (0.95) = 230.9^\circ</math><br />
<br />
¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta <math>y=-\alpha r</math>. Si supongo que b<0, entonces <math>\alpha</math> es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math> lo tomo como <math>{\alpha_{max}} =-0.95</math> y el ángulo sería <math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \cdot (-0.95)) + 2 \arcsin (-0.95) = 489,03^\circ=129.02^\circ</math>.<br />
<br />
----<br />
<br />
== Arcos supernumerarios. Teoría de [[Thomas Young]]. ==<br />
<br />
Aparecen en el lado interno del arco primario, en la zona iluminada. En esta zona, hay rayos de clase (3), que tras haber sido difundidos salen con el mismo ángulo, a uno y otro lado del ángulo mínimo del arco iris. Estos rayos han recorrido diferentes caminos en la gota y salen en puntos distintos. <br />
<br />
[[Archivo:Nada.jpg|thumb|left|728 × 599 px|Rayos que originan los arcos supernumerarios]]<br />
<br />
En la época de Descartes o Newton se ignoraba el caracter ondulatorio de la luz, luego no se pudo prever esta [[interferencia]] entre estos dos rayos. El primero que dió una explicación coherente fue Young.<br />
<br />
Dependiendo de los caminos ópticos que recorre uno más que el otro se presentan franjas brillantes u oscuras (interfieren constructivamente si difieren en valores enteros de longitud de onda).<br />
<br />
El camino que recorre el rayo dentro de la gota sí depende del radio (no como antes para los rayos principales), luego su aparición depende del radio de las gotas. Para gotas grandes, los caminos de los rayos difieren más que para gotas pequeñas, y es más difícil que coincidan en longitudes de onda enteras. Para gotas pequeñas los caminos ópticos son prácticamente iguales y es más fácil que interfieran constructivamente. Para radios superiores a 1mm es casi imposible distinguirlos.<br />
<br />
La superposición de colores tiende a eliminar también los arcos. Además, como las gotas se hacen más grandes a medida que caen, se explica que se formen inmediatamente debajo del primer arco.<br />
<br />
También encontramos una explicación más razonable sobre la banda oscura de Alejandro. La débil luminosidad de la banda no sólo se explica con intensidad residual de arcos iris de clase superior a (4) sino también por fenómenos de difracción. <br />
<br />
Así que debemos utilizar, en la explicación de la formación del arco iris, dos teorías de interacción: la de la luz consigo misma ([[interferencia]]) y la de la luz con obstáculos ([[difracción]]).<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Teoría de Airy. Teoría del momento cinético. ==<br />
<br />
En 1835, [[Richard Potter]] explicó que el cruce de varios rayos daba lugar a una [[caústica]]. Una caústica es la [[envolvente]] de un sistema de rayos y se asocia a altos valores de intensidad. La intensidad aumenta hasta llegar a la caústica y luego disminuye rápidamente.<br />
<br />
[[Archivo:Algo.jpg|thumb|right|800 × 573 px|Caústica de rayos de clase 3]]<br />
<br />
[[Potter]] mostró que el rayo de clase 3 de [[Descartes]] (desviación mínima) se podría tratar como una caústica. Todo rayo que salga por el lado iluminado se acerca a este rayo en el infinito (no los hay en el lado no iluminado). El problema de hallar la intensidad del arco y su distribución se reduce a determinar la distribución de la misma en la proximidad de la caústica.<br />
<br />
[[Airy]] fué el primero en intentar demostrar tal distribución. Su razonamiento le hizo usar las teorías de la propagación de la luz de [[Huygens]] (mejoradas por [[Fresnel]]). Estas decían que cada punto de un frente de ondas se podría reconstruir a partir de estas ondas elementales secundarias como su envolvente.<br />
<br />
Según el teorema de [[Kirchoff]], conociendo la distribución de amplitudes de las ondas secundarias de un frente de ondas, puedo saber cuánto vale ésta en otro punto cualesquiera. Podría pues reconstruir los frentes de onda y dar amplitudes en cada punto si conociera un frente de ondas y su valor de amplitudes para una gota. Como ésto es imposible de saber, Airy probó con un frente de ondas inicial escogido según las consideraciones siguientes: <br />
1º) Es normal el frente a todos los rayos de clase (3).<br />
2º) Tiene un punto de inflexiónen el rayo de Descartes (rayo de desviación mínima).<br />
3º) Los valores (amplitudes) se escogieron siguiendo hipótesis normales en la teoría de la difracción.<br />
<br />
la distribución de intensidades, tras laborioso cálculo, sale en función de una integral (función de Airy). Esta distribución es análoga a la distribución de intensidades de difracción que aparece en la sombra de un filo rectilíneo para la zona oscura o banda de Alejandro. esta disminuye al alejarnos del ángulo de desviación mínima.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
La función de Airy es: <math>{I_T \over I_o} = {1 \over {1+F \cdot \sin^2{\delta \over 2}}}</math>, siendo <math>{I_T}</math> la intensidad de luz transmitida en una situación de interferencia de haces múltiples.<br />
<br />
F es la ''finura'': <math>F= \left ( {{2 \cdot \rho} \over {1- \rho^2}} \right )</math>, siendo <math>\rho</math> el coeficiente de reflexión normal aire-agua.<br />
<br />
<math>\rho = \frac{1-n}{1+n} = \frac{1}{7} e^{i \pi}</math><br />
<br />
<math>\delta</math> es el desfase que se produce en una lámina plano paralela: <math>\delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot i \cdot n \cdot d \cos \theta'</math><br />
<br />
<math>\theta'</math> es el ángulo refractado: <math>\sin \theta = \frac{4}{3} \sin \theta'</math>.<br />
<br />
La finura F es aproximadamente 0.085.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 06:00 17 abr 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=El_arco_iris&diff=16473El arco iris2012-07-22T09:55:29Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL ARCO IRIS */</p>
<hr />
<div>== EL ARCO IRIS ==<br />
[[Archivo:Arco iris1.jpg|thumb|left|578 × 800 px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
El ARCO IRIS es la exhibición mas espectacular del espectro de la luz blanca en la naturaleza. Las condiciones requeridas para la aparición de este fenómeno, son que el Sol esté brillando en alguna parte del cielo y la lluvia esté cayendo en la parte opuesta. Dando uno la espalda al Sol, se pueden ver arcos de círculos, el arco iris primario brillante, y, a veces, el arco iris secundario, más débil, con los colores invertidos. Vistos desde alguna altura conveniente o desde un avión, estos arcos pueden formar círculos completos, cuyo centro común esta situado es la dirección de la sombra del observador.<br />
La teoría elemental del arco iris fue dada primero por Antonius de Demini en el año de 1611 y, posteriormente, desarrollado con mayor exactitud por Descartes. Las características generales de los arcos primario y secundario son explicadas satisfactoriamente al considerar solo la reflexión y la refracción de la luz por una gota esférica de lluvia. Para comprender como se produce el fenómeno, concentremos primero nuestra atención en una sola gota de lluvia. Se muestra un rayo de luz solar entrando entrando en una gota de lluvia por un punto A, cerca de su parte superior. En este punto, algo de luz se refleja, y el resto se refracta dentro de la esfera liquida. En esta primera refracción la luz se dispersa en sus colores espectrales, el color violeta es el que se desvía más, y el rojo el que se desvía menos.<br />
Llegando al lado opuesto de la gota, cada color es parcialmente refractado hacia afuera (dentro del aire), y en parte reflejado hacia atrás (dentro del liquido). Alcanzando la superficie en el límite inferior, cada uno de los colores es otra vez reflejado y refractado. Esta segunda refracción es muy similar a la de un prisma, en donde la refracción en la segunda superficie aumenta la dispersión ya producida en la primera. Ésta es la trayectoria de la luz en las miles de gotas que producen el brillante arco iris.<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Arco iris.jpg|903 × 619|thumb|right|circular]]<br />
<br />
Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio '''r''' centrada en '''O'''.<br />
<br />
La dirección del rayo es representada por la recta <math>y=-b</math>. Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como <math>y=-\alpha r</math>, siendo <math>\alpha</math> un número entre 0 y 1.<br />
<br />
La descripción algebraica de la circunferencia es <math>x^2+y^2=r^2</math>.<br />
<br />
De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es <math>A(-r \sqrt{1-\alpha^2} , -\alpha r)</math>.<br />
<br />
La recta que pasa por O y A sería: <math>y = {{\alpha} \over {\sqrt{1-\alpha^2}} } x</math>.<br />
<br />
El vector normal interior a la superficie es: <math> {\vec N} = ( \sqrt{1-\alpha^2}, \alpha)</math><br />
<br />
Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, <math>{\vec u_x}</math>, y el vector normal obtengo: <math>|{\vec u_x}||{\vec N}| \sin{\gamma} = |{\vec u_x} x {\vec N}|</math><br />
<br />
luego de aquí se deduce que: <math>\gamma = \arcsin(\alpha)</math><br />
<br />
Si aplico la ley de Snell: <math>n \ \sin \gamma = n' \ \sin \gamma'</math> ; <math>\gamma' = \arcsin( {3 \over 4} \alpha)</math> siendo n=1 y n' = 4/3.<br />
<br />
El ángulo que forma respecto de la horizontal es: <math> \delta = \gamma - \gamma' = \arcsin(\alpha) - \arcsin({3 \over 4} \alpha)</math><br />
<br />
Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es <math>\gamma'</math><br />
<br />
El ángulo <math>\lambda = \pi - 2 \gamma' + \delta</math>.<br />
<br />
Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es <math>\gamma'</math>. El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser <math>\gamma</math>. El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:<br />
<br />
<math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma </math> que puede expresarse como: <math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma = \pi - 2 \gamma' + \delta - \gamma' +\gamma = \pi - 4 \gamma' + 2 \gamma </math>.<br />
<br />
<math>\Theta</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Theta(\alpha)= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Theta'(\alpha)= {-3 \over {\sqrt{1-{9 \over 16} \ \alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para <math>{\alpha_{min}} = 0.86</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Theta_{min}}= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.86) + 2 \arcsin (0.86) = 137.97^\circ</math><br />
<br />
[[Archivo:Leoss.png|thumb|right|800 × 534 px|funciones de theta respecto del parámetro de impacto]]<br />
<br />
----<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Estado.jpg|thumb|left|791 × 689 px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
<br />
Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de <math>\alpha</math>.<br />
<br />
El ángulo <math>\beta</math> puede expresarse como (punto C): <math>\beta = \lambda + \pi - 2 \gamma'</math><br />
<br />
De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es: <br />
<br />
<math>\Psi = \beta - \gamma' +\gamma </math> <br />
<br />
<math>\Psi</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Psi(\alpha)= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Psi'(\alpha)= {-18 \over {\sqrt{16-9\alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.95) + 2 \arcsin (0.95) = 230.9^\circ</math><br />
<br />
¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta <math>y=-\alpha r</math>. Si supongo que b<0, entonces <math>\alpha</math> es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math> lo tomo como <math>{\alpha_{max}} =-0.95</math> y el ángulo sería <math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \cdot (-0.95)) + 2 \arcsin (-0.95) = 489,03^\circ=129.02^\circ</math>.<br />
<br />
----<br />
<br />
== Arcos supernumerarios. Teoría de [[Thomas Young]]. ==<br />
<br />
Aparecen en el lado interno del arco primario, en la zona iluminada. En esta zona, hay rayos de clase (3), que tras haber sido difundidos salen con el mismo ángulo, a uno y otro lado del ángulo mínimo del arco iris. Estos rayos han recorrido diferentes caminos en la gota y salen en puntos distintos. <br />
<br />
[[Archivo:Nada.jpg|thumb|left|728 × 599 px|Rayos que originan los arcos supernumerarios]]<br />
<br />
En la época de Descartes o Newton se ignoraba el caracter ondulatorio de la luz, luego no se pudo prever esta [[interferencia]] entre estos dos rayos. El primero que dió una explicación coherente fue Young.<br />
<br />
Dependiendo de los caminos ópticos que recorre uno más que el otro se presentan franjas brillantes u oscuras (interfieren constructivamente si difieren en valores enteros de longitud de onda).<br />
<br />
El camino que recorre el rayo dentro de la gota sí depende del radio (no como antes para los rayos principales), luego su aparición depende del radio de las gotas. Para gotas grandes, los caminos de los rayos difieren más que para gotas pequeñas, y es más difícil que coincidan en longitudes de onda enteras. Para gotas pequeñas los caminos ópticos son prácticamente iguales y es más fácil que interfieran constructivamente. Para radios superiores a 1mm es casi imposible distinguirlos.<br />
<br />
La superposición de colores tiende a eliminar también los arcos. Además, como las gotas se hacen más grandes a medida que caen, se explica que se formen inmediatamente debajo del primer arco.<br />
<br />
También encontramos una explicación más razonable sobre la banda oscura de Alejandro. La débil luminosidad de la banda no sólo se explica con intensidad residual de arcos iris de clase superior a (4) sino también por fenómenos de difracción. <br />
<br />
Así que debemos utilizar, en la explicación de la formación del arco iris, dos teorías de interacción: la de la luz consigo misma ([[interferencia]]) y la de la luz con obstáculos ([[difracción]]).<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Teoría de Airy. Teoría del momento cinético. ==<br />
<br />
En 1835, [[Richard Potter]] explicó que el cruce de varios rayos daba lugar a una [[caústica]]. Una caústica es la [[envolvente]] de un sistema de rayos y se asocia a altos valores de intensidad. La intensidad aumenta hasta llegar a la caústica y luego disminuye rápidamente.<br />
<br />
[[Archivo:Algo.jpg|thumb|right|800 × 573 px|Caústica de rayos de clase 3]]<br />
<br />
[[Potter]] mostró que el rayo de clase 3 de [[Descartes]] (desviación mínima) se podría tratar como una caústica. Todo rayo que salga por el lado iluminado se acerca a este rayo en el infinito (no los hay en el lado no iluminado). El problema de hallar la intensidad del arco y su distribución se reduce a determinar la distribución de la misma en la proximidad de la caústica.<br />
<br />
[[Airy]] fué el primero en intentar demostrar tal distribución. Su razonamiento le hizo usar las teorías de la propagación de la luz de [[Huygens]] (mejoradas por [[Fresnel]]). Estas decían que cada punto de un frente de ondas se podría reconstruir a partir de estas ondas elementales secundarias como su envolvente.<br />
<br />
Según el teorema de [[Kirchoff]], conociendo la distribución de amplitudes de las ondas secundarias de un frente de ondas, puedo saber cuánto vale ésta en otro punto cualesquiera. Podría pues reconstruir los frentes de onda y dar amplitudes en cada punto si conociera un frente de ondas y su valor de amplitudes para una gota. Como ésto es imposible de saber, Airy probó con un frente de ondas inicial escogido según las consideraciones siguientes: <br />
1º) Es normal el frente a todos los rayos de clase (3).<br />
2º) Tiene un punto de inflexiónen el rayo de Descartes (rayo de desviación mínima).<br />
3º) Los valores (amplitudes) se escogieron siguiendo hipótesis normales en la teoría de la difracción.<br />
<br />
la distribución de intensidades, tras laborioso cálculo, sale en función de una integral (función de Airy). Esta distribución es análoga a la distribución de intensidades de difracción que aparece en la sombra de un filo rectilíneo para la zona oscura o banda de Alejandro. esta disminuye al alejarnos del ángulo de desviación mínima.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
La función de Airy es: <math>{I_T \over I_o} = {1 \over {1+F \cdot \sin^2{\delta \over 2}}}</math>, siendo <math>{I_T}</math> la intensidad de luz transmitida en una situación de interferencia de haces múltiples.<br />
<br />
F es la ''finura'': <math>F= \left ( {{2 \cdot \rho} \over {1- \rho^2}} \right )</math>, siendo <math>\rho</math> el coeficiente de reflexión normal aire-agua.<br />
<br />
<math>\rho = \frac{1-n}{1+n} = \frac{1}{7} e^{i \pi}</math><br />
<br />
<math>\delta</math> es el desfase que se produce en una lámina plano paralela: <math>\delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot i \cdot n \cdot d \cos \theta'</math><br />
<br />
<math>\theta'</math> es el ángulo refractado: <math>\sin \theta = \frac{4}{3} \sin \theta'</math>.<br />
<br />
La finura F es aproximadamente 0.085.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 06:00 17 abr 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Arco_iris1.jpg&diff=16472Archivo:Arco iris1.jpg2012-07-22T09:54:04Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=El_arco_iris&diff=16471El arco iris2012-07-22T09:48:31Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div>== EL ARCO IRIS ==<br />
[[Archivo:Estado.jpg|thumb|left|791 × 689 px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
El ARCO IRIS es la exhibición mas espectacular del espectro de la luz blanca en la naturaleza. Las condiciones requeridas para la aparición de este fenómeno, son que el Sol esté brillando en alguna parte del cielo y la lluvia esté cayendo en la parte opuesta. Dando uno la espalda al Sol, se pueden ver arcos de círculos, el arco iris primario brillante, y, a veces, el arco iris secundario, más débil, con los colores invertidos. Vistos desde alguna altura conveniente o desde un avión, estos arcos pueden formar círculos completos, cuyo centro común esta situado es la dirección de la sombra del observador.<br />
La teoría elemental del arco iris fue dada primero por Antonius de Demini en el año de 1611 y, posteriormente, desarrollado con mayor exactitud por Descartes. Las características generales de los arcos primario y secundario son explicadas satisfactoriamente al considerar solo la reflexión y la refracción de la luz por una gota esférica de lluvia. Para comprender como se produce el fenómeno, concentremos primero nuestra atención en una sola gota de lluvia. Se muestra un rayo de luz solar entrando entrando en una gota de lluvia por un punto A, cerca de su parte superior. En este punto, algo de luz se refleja, y el resto se refracta dentro de la esfera liquida. En esta primera refracción la luz se dispersa en sus colores espectrales, el color violeta es el que se desvía más, y el rojo el que se desvía menos.<br />
Llegando al lado opuesto de la gota, cada color es parcialmente refractado hacia afuera (dentro del aire), y en parte reflejado hacia atrás (dentro del liquido). Alcanzando la superficie en el límite inferior, cada uno de los colores es otra vez reflejado y refractado. Esta segunda refracción es muy similar a la de un prisma, en donde la refracción en la segunda superficie aumenta la dispersión ya producida en la primera. Ésta es la trayectoria de la luz en las miles de gotas que producen el brillante arco iris.<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Arco iris.jpg|903 × 619|thumb|right|circular]]<br />
<br />
Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio '''r''' centrada en '''O'''.<br />
<br />
La dirección del rayo es representada por la recta <math>y=-b</math>. Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como <math>y=-\alpha r</math>, siendo <math>\alpha</math> un número entre 0 y 1.<br />
<br />
La descripción algebraica de la circunferencia es <math>x^2+y^2=r^2</math>.<br />
<br />
De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es <math>A(-r \sqrt{1-\alpha^2} , -\alpha r)</math>.<br />
<br />
La recta que pasa por O y A sería: <math>y = {{\alpha} \over {\sqrt{1-\alpha^2}} } x</math>.<br />
<br />
El vector normal interior a la superficie es: <math> {\vec N} = ( \sqrt{1-\alpha^2}, \alpha)</math><br />
<br />
Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, <math>{\vec u_x}</math>, y el vector normal obtengo: <math>|{\vec u_x}||{\vec N}| \sin{\gamma} = |{\vec u_x} x {\vec N}|</math><br />
<br />
luego de aquí se deduce que: <math>\gamma = \arcsin(\alpha)</math><br />
<br />
Si aplico la ley de Snell: <math>n \ \sin \gamma = n' \ \sin \gamma'</math> ; <math>\gamma' = \arcsin( {3 \over 4} \alpha)</math> siendo n=1 y n' = 4/3.<br />
<br />
El ángulo que forma respecto de la horizontal es: <math> \delta = \gamma - \gamma' = \arcsin(\alpha) - \arcsin({3 \over 4} \alpha)</math><br />
<br />
Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es <math>\gamma'</math><br />
<br />
El ángulo <math>\lambda = \pi - 2 \gamma' + \delta</math>.<br />
<br />
Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es <math>\gamma'</math>. El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser <math>\gamma</math>. El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:<br />
<br />
<math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma </math> que puede expresarse como: <math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma = \pi - 2 \gamma' + \delta - \gamma' +\gamma = \pi - 4 \gamma' + 2 \gamma </math>.<br />
<br />
<math>\Theta</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Theta(\alpha)= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Theta'(\alpha)= {-3 \over {\sqrt{1-{9 \over 16} \ \alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para <math>{\alpha_{min}} = 0.86</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Theta_{min}}= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.86) + 2 \arcsin (0.86) = 137.97^\circ</math><br />
<br />
[[Archivo:Leoss.png|thumb|right|800 × 534 px|funciones de theta respecto del parámetro de impacto]]<br />
<br />
----<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Estado.jpg|thumb|left|791 × 689 px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
<br />
Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de <math>\alpha</math>.<br />
<br />
El ángulo <math>\beta</math> puede expresarse como (punto C): <math>\beta = \lambda + \pi - 2 \gamma'</math><br />
<br />
De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es: <br />
<br />
<math>\Psi = \beta - \gamma' +\gamma </math> <br />
<br />
<math>\Psi</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Psi(\alpha)= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Psi'(\alpha)= {-18 \over {\sqrt{16-9\alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.95) + 2 \arcsin (0.95) = 230.9^\circ</math><br />
<br />
¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta <math>y=-\alpha r</math>. Si supongo que b<0, entonces <math>\alpha</math> es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math> lo tomo como <math>{\alpha_{max}} =-0.95</math> y el ángulo sería <math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \cdot (-0.95)) + 2 \arcsin (-0.95) = 489,03^\circ=129.02^\circ</math>.<br />
<br />
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<br />
== Arcos supernumerarios. Teoría de [[Thomas Young]]. ==<br />
<br />
Aparecen en el lado interno del arco primario, en la zona iluminada. En esta zona, hay rayos de clase (3), que tras haber sido difundidos salen con el mismo ángulo, a uno y otro lado del ángulo mínimo del arco iris. Estos rayos han recorrido diferentes caminos en la gota y salen en puntos distintos. <br />
<br />
[[Archivo:Nada.jpg|thumb|left|728 × 599 px|Rayos que originan los arcos supernumerarios]]<br />
<br />
En la época de Descartes o Newton se ignoraba el caracter ondulatorio de la luz, luego no se pudo prever esta [[interferencia]] entre estos dos rayos. El primero que dió una explicación coherente fue Young.<br />
<br />
Dependiendo de los caminos ópticos que recorre uno más que el otro se presentan franjas brillantes u oscuras (interfieren constructivamente si difieren en valores enteros de longitud de onda).<br />
<br />
El camino que recorre el rayo dentro de la gota sí depende del radio (no como antes para los rayos principales), luego su aparición depende del radio de las gotas. Para gotas grandes, los caminos de los rayos difieren más que para gotas pequeñas, y es más difícil que coincidan en longitudes de onda enteras. Para gotas pequeñas los caminos ópticos son prácticamente iguales y es más fácil que interfieran constructivamente. Para radios superiores a 1mm es casi imposible distinguirlos.<br />
<br />
La superposición de colores tiende a eliminar también los arcos. Además, como las gotas se hacen más grandes a medida que caen, se explica que se formen inmediatamente debajo del primer arco.<br />
<br />
También encontramos una explicación más razonable sobre la banda oscura de Alejandro. La débil luminosidad de la banda no sólo se explica con intensidad residual de arcos iris de clase superior a (4) sino también por fenómenos de difracción. <br />
<br />
Así que debemos utilizar, en la explicación de la formación del arco iris, dos teorías de interacción: la de la luz consigo misma ([[interferencia]]) y la de la luz con obstáculos ([[difracción]]).<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Teoría de Airy. Teoría del momento cinético. ==<br />
<br />
En 1835, [[Richard Potter]] explicó que el cruce de varios rayos daba lugar a una [[caústica]]. Una caústica es la [[envolvente]] de un sistema de rayos y se asocia a altos valores de intensidad. La intensidad aumenta hasta llegar a la caústica y luego disminuye rápidamente.<br />
<br />
[[Archivo:Algo.jpg|thumb|right|800 × 573 px|Caústica de rayos de clase 3]]<br />
<br />
[[Potter]] mostró que el rayo de clase 3 de [[Descartes]] (desviación mínima) se podría tratar como una caústica. Todo rayo que salga por el lado iluminado se acerca a este rayo en el infinito (no los hay en el lado no iluminado). El problema de hallar la intensidad del arco y su distribución se reduce a determinar la distribución de la misma en la proximidad de la caústica.<br />
<br />
[[Airy]] fué el primero en intentar demostrar tal distribución. Su razonamiento le hizo usar las teorías de la propagación de la luz de [[Huygens]] (mejoradas por [[Fresnel]]). Estas decían que cada punto de un frente de ondas se podría reconstruir a partir de estas ondas elementales secundarias como su envolvente.<br />
<br />
Según el teorema de [[Kirchoff]], conociendo la distribución de amplitudes de las ondas secundarias de un frente de ondas, puedo saber cuánto vale ésta en otro punto cualesquiera. Podría pues reconstruir los frentes de onda y dar amplitudes en cada punto si conociera un frente de ondas y su valor de amplitudes para una gota. Como ésto es imposible de saber, Airy probó con un frente de ondas inicial escogido según las consideraciones siguientes: <br />
1º) Es normal el frente a todos los rayos de clase (3).<br />
2º) Tiene un punto de inflexiónen el rayo de Descartes (rayo de desviación mínima).<br />
3º) Los valores (amplitudes) se escogieron siguiendo hipótesis normales en la teoría de la difracción.<br />
<br />
la distribución de intensidades, tras laborioso cálculo, sale en función de una integral (función de Airy). Esta distribución es análoga a la distribución de intensidades de difracción que aparece en la sombra de un filo rectilíneo para la zona oscura o banda de Alejandro. esta disminuye al alejarnos del ángulo de desviación mínima.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
La función de Airy es: <math>{I_T \over I_o} = {1 \over {1+F \cdot \sin^2{\delta \over 2}}}</math>, siendo <math>{I_T}</math> la intensidad de luz transmitida en una situación de interferencia de haces múltiples.<br />
<br />
F es la ''finura'': <math>F= \left ( {{2 \cdot \rho} \over {1- \rho^2}} \right )</math>, siendo <math>\rho</math> el coeficiente de reflexión normal aire-agua.<br />
<br />
<math>\rho = \frac{1-n}{1+n} = \frac{1}{7} e^{i \pi}</math><br />
<br />
<math>\delta</math> es el desfase que se produce en una lámina plano paralela: <math>\delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot i \cdot n \cdot d \cos \theta'</math><br />
<br />
<math>\theta'</math> es el ángulo refractado: <math>\sin \theta = \frac{4}{3} \sin \theta'</math>.<br />
<br />
La finura F es aproximadamente 0.085.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 06:00 17 abr 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=El_arco_iris&diff=16470El arco iris2012-07-22T09:45:07Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Teoría de Airy. Teoría del momento cinético. */</p>
<hr />
<div>El ARCO IRIS es la exhibición mas espectacular del espectro de la luz blanca en la naturaleza. Las condiciones requeridas para la aparición de este fenómeno, son que el Sol esté brillando en alguna parte del cielo y la lluvia esté cayendo en la parte opuesta. Dando uno la espalda al Sol, se pueden ver arcos de círculos, el arco iris primario brillante, y, a veces, el arco iris secundario, más débil, con los colores invertidos. Vistos desde alguna altura conveniente o desde un avión, estos arcos pueden formar círculos completos, cuyo centro común esta situado es la dirección de la sombra del observador.<br />
La teoría elemental del arco iris fue dada primero por Antonius de Demini en el año de 1611 y, posteriormente, desarrollado con mayor exactitud por Descartes. Las características generales de los arcos primario y secundario son explicadas satisfactoriamente al considerar solo la reflexión y la refracción de la luz por una gota esférica de lluvia. Para comprender como se produce el fenómeno, concentremos primero nuestra atención en una sola gota de lluvia. Se muestra un rayo de luz solar entrando entrando en una gota de lluvia por un punto A, cerca de su parte superior. En este punto, algo de luz se refleja, y el resto se refracta dentro de la esfera liquida. En esta primera refracción la luz se dispersa en sus colores espectrales, el color violeta es el que se desvía más, y el rojo el que se desvía menos.<br />
Llegando al lado opuesto de la gota, cada color es parcialmente refractado hacia afuera (dentro del aire), y en parte reflejado hacia atrás (dentro del liquido). Alcanzando la superficie en el límite inferior, cada uno de los colores es otra vez reflejado y refractado. Esta segunda refracción es muy similar a la de un prisma, en donde la refracción en la segunda superficie aumenta la dispersión ya producida en la primera. Ésta es la trayectoria de la luz en las miles de gotas que producen el brillante arco iris.<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Arco iris.jpg|903 × 619|thumb|right|circular]]<br />
<br />
Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio '''r''' centrada en '''O'''.<br />
<br />
La dirección del rayo es representada por la recta <math>y=-b</math>. Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como <math>y=-\alpha r</math>, siendo <math>\alpha</math> un número entre 0 y 1.<br />
<br />
La descripción algebraica de la circunferencia es <math>x^2+y^2=r^2</math>.<br />
<br />
De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es <math>A(-r \sqrt{1-\alpha^2} , -\alpha r)</math>.<br />
<br />
La recta que pasa por O y A sería: <math>y = {{\alpha} \over {\sqrt{1-\alpha^2}} } x</math>.<br />
<br />
El vector normal interior a la superficie es: <math> {\vec N} = ( \sqrt{1-\alpha^2}, \alpha)</math><br />
<br />
Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, <math>{\vec u_x}</math>, y el vector normal obtengo: <math>|{\vec u_x}||{\vec N}| \sin{\gamma} = |{\vec u_x} x {\vec N}|</math><br />
<br />
luego de aquí se deduce que: <math>\gamma = \arcsin(\alpha)</math><br />
<br />
Si aplico la ley de Snell: <math>n \ \sin \gamma = n' \ \sin \gamma'</math> ; <math>\gamma' = \arcsin( {3 \over 4} \alpha)</math> siendo n=1 y n' = 4/3.<br />
<br />
El ángulo que forma respecto de la horizontal es: <math> \delta = \gamma - \gamma' = \arcsin(\alpha) - \arcsin({3 \over 4} \alpha)</math><br />
<br />
Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es <math>\gamma'</math><br />
<br />
El ángulo <math>\lambda = \pi - 2 \gamma' + \delta</math>.<br />
<br />
Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es <math>\gamma'</math>. El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser <math>\gamma</math>. El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:<br />
<br />
<math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma </math> que puede expresarse como: <math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma = \pi - 2 \gamma' + \delta - \gamma' +\gamma = \pi - 4 \gamma' + 2 \gamma </math>.<br />
<br />
<math>\Theta</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Theta(\alpha)= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Theta'(\alpha)= {-3 \over {\sqrt{1-{9 \over 16} \ \alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para <math>{\alpha_{min}} = 0.86</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Theta_{min}}= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.86) + 2 \arcsin (0.86) = 137.97^\circ</math><br />
<br />
[[Archivo:Leoss.png|thumb|right|800 × 534 px|funciones de theta respecto del parámetro de impacto]]<br />
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<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Estado.jpg|thumb|left|791 × 689 px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
<br />
Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de <math>\alpha</math>.<br />
<br />
El ángulo <math>\beta</math> puede expresarse como (punto C): <math>\beta = \lambda + \pi - 2 \gamma'</math><br />
<br />
De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es: <br />
<br />
<math>\Psi = \beta - \gamma' +\gamma </math> <br />
<br />
<math>\Psi</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Psi(\alpha)= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Psi'(\alpha)= {-18 \over {\sqrt{16-9\alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.95) + 2 \arcsin (0.95) = 230.9^\circ</math><br />
<br />
¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta <math>y=-\alpha r</math>. Si supongo que b<0, entonces <math>\alpha</math> es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math> lo tomo como <math>{\alpha_{max}} =-0.95</math> y el ángulo sería <math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \cdot (-0.95)) + 2 \arcsin (-0.95) = 489,03^\circ=129.02^\circ</math>.<br />
<br />
----<br />
<br />
== Arcos supernumerarios. Teoría de [[Thomas Young]]. ==<br />
<br />
Aparecen en el lado interno del arco primario, en la zona iluminada. En esta zona, hay rayos de clase (3), que tras haber sido difundidos salen con el mismo ángulo, a uno y otro lado del ángulo mínimo del arco iris. Estos rayos han recorrido diferentes caminos en la gota y salen en puntos distintos. <br />
<br />
[[Archivo:Nada.jpg|thumb|left|728 × 599 px|Rayos que originan los arcos supernumerarios]]<br />
<br />
En la época de Descartes o Newton se ignoraba el caracter ondulatorio de la luz, luego no se pudo prever esta [[interferencia]] entre estos dos rayos. El primero que dió una explicación coherente fue Young.<br />
<br />
Dependiendo de los caminos ópticos que recorre uno más que el otro se presentan franjas brillantes u oscuras (interfieren constructivamente si difieren en valores enteros de longitud de onda).<br />
<br />
El camino que recorre el rayo dentro de la gota sí depende del radio (no como antes para los rayos principales), luego su aparición depende del radio de las gotas. Para gotas grandes, los caminos de los rayos difieren más que para gotas pequeñas, y es más difícil que coincidan en longitudes de onda enteras. Para gotas pequeñas los caminos ópticos son prácticamente iguales y es más fácil que interfieran constructivamente. Para radios superiores a 1mm es casi imposible distinguirlos.<br />
<br />
La superposición de colores tiende a eliminar también los arcos. Además, como las gotas se hacen más grandes a medida que caen, se explica que se formen inmediatamente debajo del primer arco.<br />
<br />
También encontramos una explicación más razonable sobre la banda oscura de Alejandro. La débil luminosidad de la banda no sólo se explica con intensidad residual de arcos iris de clase superior a (4) sino también por fenómenos de difracción. <br />
<br />
Así que debemos utilizar, en la explicación de la formación del arco iris, dos teorías de interacción: la de la luz consigo misma ([[interferencia]]) y la de la luz con obstáculos ([[difracción]]).<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Teoría de Airy. Teoría del momento cinético. ==<br />
<br />
En 1835, [[Richard Potter]] explicó que el cruce de varios rayos daba lugar a una [[caústica]]. Una caústica es la [[envolvente]] de un sistema de rayos y se asocia a altos valores de intensidad. La intensidad aumenta hasta llegar a la caústica y luego disminuye rápidamente.<br />
<br />
[[Archivo:Algo.jpg|thumb|right|800 × 573 px|Caústica de rayos de clase 3]]<br />
<br />
[[Potter]] mostró que el rayo de clase 3 de [[Descartes]] (desviación mínima) se podría tratar como una caústica. Todo rayo que salga por el lado iluminado se acerca a este rayo en el infinito (no los hay en el lado no iluminado). El problema de hallar la intensidad del arco y su distribución se reduce a determinar la distribución de la misma en la proximidad de la caústica.<br />
<br />
[[Airy]] fué el primero en intentar demostrar tal distribución. Su razonamiento le hizo usar las teorías de la propagación de la luz de [[Huygens]] (mejoradas por [[Fresnel]]). Estas decían que cada punto de un frente de ondas se podría reconstruir a partir de estas ondas elementales secundarias como su envolvente.<br />
<br />
Según el teorema de [[Kirchoff]], conociendo la distribución de amplitudes de las ondas secundarias de un frente de ondas, puedo saber cuánto vale ésta en otro punto cualesquiera. Podría pues reconstruir los frentes de onda y dar amplitudes en cada punto si conociera un frente de ondas y su valor de amplitudes para una gota. Como ésto es imposible de saber, Airy probó con un frente de ondas inicial escogido según las consideraciones siguientes: <br />
1º) Es normal el frente a todos los rayos de clase (3).<br />
2º) Tiene un punto de inflexiónen el rayo de Descartes (rayo de desviación mínima).<br />
3º) Los valores (amplitudes) se escogieron siguiendo hipótesis normales en la teoría de la difracción.<br />
<br />
la distribución de intensidades, tras laborioso cálculo, sale en función de una integral (función de Airy). Esta distribución es análoga a la distribución de intensidades de difracción que aparece en la sombra de un filo rectilíneo para la zona oscura o banda de Alejandro. esta disminuye al alejarnos del ángulo de desviación mínima.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
La función de Airy es: <math>{I_T \over I_o} = {1 \over {1+F \cdot \sin^2{\delta \over 2}}}</math>, siendo <math>{I_T}</math> la intensidad de luz transmitida en una situación de interferencia de haces múltiples.<br />
<br />
F es la ''finura'': <math>F= \left ( {{2 \cdot \rho} \over {1- \rho^2}} \right )</math>, siendo <math>\rho</math> el coeficiente de reflexión normal aire-agua.<br />
<br />
<math>\rho = \frac{1-n}{1+n} = \frac{1}{7} e^{i \pi}</math><br />
<br />
<math>\delta</math> es el desfase que se produce en una lámina plano paralela: <math>\delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot i \cdot n \cdot d \cos \theta'</math><br />
<br />
<math>\theta'</math> es el ángulo refractado: <math>\sin \theta = \frac{4}{3} \sin \theta'</math>.<br />
<br />
La finura F es aproximadamente 0.085.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 06:00 17 abr 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Algo.jpg&diff=16469Archivo:Algo.jpg2012-07-22T09:44:03Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=El_arco_iris&diff=16468El arco iris2012-07-22T09:41:33Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Arcos supernumerarios. Teoría de Thomas Young. */</p>
<hr />
<div>El ARCO IRIS es la exhibición mas espectacular del espectro de la luz blanca en la naturaleza. Las condiciones requeridas para la aparición de este fenómeno, son que el Sol esté brillando en alguna parte del cielo y la lluvia esté cayendo en la parte opuesta. Dando uno la espalda al Sol, se pueden ver arcos de círculos, el arco iris primario brillante, y, a veces, el arco iris secundario, más débil, con los colores invertidos. Vistos desde alguna altura conveniente o desde un avión, estos arcos pueden formar círculos completos, cuyo centro común esta situado es la dirección de la sombra del observador.<br />
La teoría elemental del arco iris fue dada primero por Antonius de Demini en el año de 1611 y, posteriormente, desarrollado con mayor exactitud por Descartes. Las características generales de los arcos primario y secundario son explicadas satisfactoriamente al considerar solo la reflexión y la refracción de la luz por una gota esférica de lluvia. Para comprender como se produce el fenómeno, concentremos primero nuestra atención en una sola gota de lluvia. Se muestra un rayo de luz solar entrando entrando en una gota de lluvia por un punto A, cerca de su parte superior. En este punto, algo de luz se refleja, y el resto se refracta dentro de la esfera liquida. En esta primera refracción la luz se dispersa en sus colores espectrales, el color violeta es el que se desvía más, y el rojo el que se desvía menos.<br />
Llegando al lado opuesto de la gota, cada color es parcialmente refractado hacia afuera (dentro del aire), y en parte reflejado hacia atrás (dentro del liquido). Alcanzando la superficie en el límite inferior, cada uno de los colores es otra vez reflejado y refractado. Esta segunda refracción es muy similar a la de un prisma, en donde la refracción en la segunda superficie aumenta la dispersión ya producida en la primera. Ésta es la trayectoria de la luz en las miles de gotas que producen el brillante arco iris.<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Arco iris.jpg|903 × 619|thumb|right|circular]]<br />
<br />
Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio '''r''' centrada en '''O'''.<br />
<br />
La dirección del rayo es representada por la recta <math>y=-b</math>. Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como <math>y=-\alpha r</math>, siendo <math>\alpha</math> un número entre 0 y 1.<br />
<br />
La descripción algebraica de la circunferencia es <math>x^2+y^2=r^2</math>.<br />
<br />
De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es <math>A(-r \sqrt{1-\alpha^2} , -\alpha r)</math>.<br />
<br />
La recta que pasa por O y A sería: <math>y = {{\alpha} \over {\sqrt{1-\alpha^2}} } x</math>.<br />
<br />
El vector normal interior a la superficie es: <math> {\vec N} = ( \sqrt{1-\alpha^2}, \alpha)</math><br />
<br />
Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, <math>{\vec u_x}</math>, y el vector normal obtengo: <math>|{\vec u_x}||{\vec N}| \sin{\gamma} = |{\vec u_x} x {\vec N}|</math><br />
<br />
luego de aquí se deduce que: <math>\gamma = \arcsin(\alpha)</math><br />
<br />
Si aplico la ley de Snell: <math>n \ \sin \gamma = n' \ \sin \gamma'</math> ; <math>\gamma' = \arcsin( {3 \over 4} \alpha)</math> siendo n=1 y n' = 4/3.<br />
<br />
El ángulo que forma respecto de la horizontal es: <math> \delta = \gamma - \gamma' = \arcsin(\alpha) - \arcsin({3 \over 4} \alpha)</math><br />
<br />
Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es <math>\gamma'</math><br />
<br />
El ángulo <math>\lambda = \pi - 2 \gamma' + \delta</math>.<br />
<br />
Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es <math>\gamma'</math>. El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser <math>\gamma</math>. El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:<br />
<br />
<math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma </math> que puede expresarse como: <math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma = \pi - 2 \gamma' + \delta - \gamma' +\gamma = \pi - 4 \gamma' + 2 \gamma </math>.<br />
<br />
<math>\Theta</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Theta(\alpha)= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Theta'(\alpha)= {-3 \over {\sqrt{1-{9 \over 16} \ \alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para <math>{\alpha_{min}} = 0.86</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Theta_{min}}= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.86) + 2 \arcsin (0.86) = 137.97^\circ</math><br />
<br />
[[Archivo:Leoss.png|thumb|right|800 × 534 px|funciones de theta respecto del parámetro de impacto]]<br />
<br />
----<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Estado.jpg|thumb|left|791 × 689 px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
<br />
Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de <math>\alpha</math>.<br />
<br />
El ángulo <math>\beta</math> puede expresarse como (punto C): <math>\beta = \lambda + \pi - 2 \gamma'</math><br />
<br />
De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es: <br />
<br />
<math>\Psi = \beta - \gamma' +\gamma </math> <br />
<br />
<math>\Psi</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Psi(\alpha)= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Psi'(\alpha)= {-18 \over {\sqrt{16-9\alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.95) + 2 \arcsin (0.95) = 230.9^\circ</math><br />
<br />
¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta <math>y=-\alpha r</math>. Si supongo que b<0, entonces <math>\alpha</math> es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math> lo tomo como <math>{\alpha_{max}} =-0.95</math> y el ángulo sería <math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \cdot (-0.95)) + 2 \arcsin (-0.95) = 489,03^\circ=129.02^\circ</math>.<br />
<br />
----<br />
<br />
== Arcos supernumerarios. Teoría de [[Thomas Young]]. ==<br />
<br />
Aparecen en el lado interno del arco primario, en la zona iluminada. En esta zona, hay rayos de clase (3), que tras haber sido difundidos salen con el mismo ángulo, a uno y otro lado del ángulo mínimo del arco iris. Estos rayos han recorrido diferentes caminos en la gota y salen en puntos distintos. <br />
<br />
[[Archivo:Nada.jpg|thumb|left|728 × 599 px|Rayos que originan los arcos supernumerarios]]<br />
<br />
En la época de Descartes o Newton se ignoraba el caracter ondulatorio de la luz, luego no se pudo prever esta [[interferencia]] entre estos dos rayos. El primero que dió una explicación coherente fue Young.<br />
<br />
Dependiendo de los caminos ópticos que recorre uno más que el otro se presentan franjas brillantes u oscuras (interfieren constructivamente si difieren en valores enteros de longitud de onda).<br />
<br />
El camino que recorre el rayo dentro de la gota sí depende del radio (no como antes para los rayos principales), luego su aparición depende del radio de las gotas. Para gotas grandes, los caminos de los rayos difieren más que para gotas pequeñas, y es más difícil que coincidan en longitudes de onda enteras. Para gotas pequeñas los caminos ópticos son prácticamente iguales y es más fácil que interfieran constructivamente. Para radios superiores a 1mm es casi imposible distinguirlos.<br />
<br />
La superposición de colores tiende a eliminar también los arcos. Además, como las gotas se hacen más grandes a medida que caen, se explica que se formen inmediatamente debajo del primer arco.<br />
<br />
También encontramos una explicación más razonable sobre la banda oscura de Alejandro. La débil luminosidad de la banda no sólo se explica con intensidad residual de arcos iris de clase superior a (4) sino también por fenómenos de difracción. <br />
<br />
Así que debemos utilizar, en la explicación de la formación del arco iris, dos teorías de interacción: la de la luz consigo misma ([[interferencia]]) y la de la luz con obstáculos ([[difracción]]).<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Teoría de Airy. Teoría del momento cinético. ==<br />
<br />
En 1835, [[Richard Potter]] explicó que el cruce de varios rayos daba lugar a una [[caústica]]. Una caústica es la [[envolvente]] de un sistema de rayos y se asocia a altos valores de intensidad. La intensidad aumenta hasta llegar a la caústica y luego disminuye rápidamente.<br />
<br />
[[Archivo:Caustica_de_rayos_de_clase_3.jpg|thumb|right|200px|Caústica de rayos de clase 3]]<br />
<br />
[[Potter]] mostró que el rayo de clase 3 de [[Descartes]] (desviación mínima) se podría tratar como una caústica. Todo rayo que salga por el lado iluminado se acerca a este rayo en el infinito (no los hay en el lado no iluminado). El problema de hallar la intensidad del arco y su distribución se reduce a determinar la distribución de la misma en la proximidad de la caústica.<br />
<br />
[[Airy]] fué el primero en intentar demostrar tal distribución. Su razonamiento le hizo usar las teorías de la propagación de la luz de [[Huygens]] (mejoradas por [[Fresnel]]). Estas decían que cada punto de un frente de ondas se podría reconstruir a partir de estas ondas elementales secundarias como su envolvente.<br />
<br />
Según el teorema de [[Kirchoff]], conociendo la distribución de amplitudes de las ondas secundarias de un frente de ondas, puedo saber cuánto vale ésta en otro punto cualesquiera. Podría pues reconstruir los frentes de onda y dar amplitudes en cada punto si conociera un frente de ondas y su valor de amplitudes para una gota. Como ésto es imposible de saber, Airy probó con un frente de ondas inicial escogido según las consideraciones siguientes: <br />
1º) Es normal el frente a todos los rayos de clase (3).<br />
2º) Tiene un punto de inflexiónen el rayo de Descartes (rayo de desviación mínima).<br />
3º) Los valores (amplitudes) se escogieron siguiendo hipótesis normales en la teoría de la difracción.<br />
<br />
la distribución de intensidades, tras laborioso cálculo, sale en función de una integral (función de Airy). Esta distribución es análoga a la distribución de intensidades de difracción que aparece en la sombra de un filo rectilíneo para la zona oscura o banda de Alejandro. esta disminuye al alejarnos del ángulo de desviación mínima.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
La función de Airy es: <math>{I_T \over I_o} = {1 \over {1+F \cdot \sin^2{\delta \over 2}}}</math>, siendo <math>{I_T}</math> la intensidad de luz transmitida en una situación de interferencia de haces múltiples.<br />
<br />
F es la ''finura'': <math>F= \left ( {{2 \cdot \rho} \over {1- \rho^2}} \right )</math>, siendo <math>\rho</math> el coeficiente de reflexión normal aire-agua.<br />
<br />
<math>\rho = \frac{1-n}{1+n} = \frac{1}{7} e^{i \pi}</math><br />
<br />
<math>\delta</math> es el desfase que se produce en una lámina plano paralela: <math>\delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot i \cdot n \cdot d \cos \theta'</math><br />
<br />
<math>\theta'</math> es el ángulo refractado: <math>\sin \theta = \frac{4}{3} \sin \theta'</math>.<br />
<br />
La finura F es aproximadamente 0.085.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 06:00 17 abr 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Nada.jpg&diff=16467Archivo:Nada.jpg2012-07-22T09:38:47Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=El_arco_iris&diff=16466El arco iris2012-07-22T09:36:38Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. */</p>
<hr />
<div>El ARCO IRIS es la exhibición mas espectacular del espectro de la luz blanca en la naturaleza. Las condiciones requeridas para la aparición de este fenómeno, son que el Sol esté brillando en alguna parte del cielo y la lluvia esté cayendo en la parte opuesta. Dando uno la espalda al Sol, se pueden ver arcos de círculos, el arco iris primario brillante, y, a veces, el arco iris secundario, más débil, con los colores invertidos. Vistos desde alguna altura conveniente o desde un avión, estos arcos pueden formar círculos completos, cuyo centro común esta situado es la dirección de la sombra del observador.<br />
La teoría elemental del arco iris fue dada primero por Antonius de Demini en el año de 1611 y, posteriormente, desarrollado con mayor exactitud por Descartes. Las características generales de los arcos primario y secundario son explicadas satisfactoriamente al considerar solo la reflexión y la refracción de la luz por una gota esférica de lluvia. Para comprender como se produce el fenómeno, concentremos primero nuestra atención en una sola gota de lluvia. Se muestra un rayo de luz solar entrando entrando en una gota de lluvia por un punto A, cerca de su parte superior. En este punto, algo de luz se refleja, y el resto se refracta dentro de la esfera liquida. En esta primera refracción la luz se dispersa en sus colores espectrales, el color violeta es el que se desvía más, y el rojo el que se desvía menos.<br />
Llegando al lado opuesto de la gota, cada color es parcialmente refractado hacia afuera (dentro del aire), y en parte reflejado hacia atrás (dentro del liquido). Alcanzando la superficie en el límite inferior, cada uno de los colores es otra vez reflejado y refractado. Esta segunda refracción es muy similar a la de un prisma, en donde la refracción en la segunda superficie aumenta la dispersión ya producida en la primera. Ésta es la trayectoria de la luz en las miles de gotas que producen el brillante arco iris.<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Arco iris.jpg|903 × 619|thumb|right|circular]]<br />
<br />
Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio '''r''' centrada en '''O'''.<br />
<br />
La dirección del rayo es representada por la recta <math>y=-b</math>. Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como <math>y=-\alpha r</math>, siendo <math>\alpha</math> un número entre 0 y 1.<br />
<br />
La descripción algebraica de la circunferencia es <math>x^2+y^2=r^2</math>.<br />
<br />
De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es <math>A(-r \sqrt{1-\alpha^2} , -\alpha r)</math>.<br />
<br />
La recta que pasa por O y A sería: <math>y = {{\alpha} \over {\sqrt{1-\alpha^2}} } x</math>.<br />
<br />
El vector normal interior a la superficie es: <math> {\vec N} = ( \sqrt{1-\alpha^2}, \alpha)</math><br />
<br />
Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, <math>{\vec u_x}</math>, y el vector normal obtengo: <math>|{\vec u_x}||{\vec N}| \sin{\gamma} = |{\vec u_x} x {\vec N}|</math><br />
<br />
luego de aquí se deduce que: <math>\gamma = \arcsin(\alpha)</math><br />
<br />
Si aplico la ley de Snell: <math>n \ \sin \gamma = n' \ \sin \gamma'</math> ; <math>\gamma' = \arcsin( {3 \over 4} \alpha)</math> siendo n=1 y n' = 4/3.<br />
<br />
El ángulo que forma respecto de la horizontal es: <math> \delta = \gamma - \gamma' = \arcsin(\alpha) - \arcsin({3 \over 4} \alpha)</math><br />
<br />
Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es <math>\gamma'</math><br />
<br />
El ángulo <math>\lambda = \pi - 2 \gamma' + \delta</math>.<br />
<br />
Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es <math>\gamma'</math>. El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser <math>\gamma</math>. El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:<br />
<br />
<math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma </math> que puede expresarse como: <math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma = \pi - 2 \gamma' + \delta - \gamma' +\gamma = \pi - 4 \gamma' + 2 \gamma </math>.<br />
<br />
<math>\Theta</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Theta(\alpha)= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Theta'(\alpha)= {-3 \over {\sqrt{1-{9 \over 16} \ \alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para <math>{\alpha_{min}} = 0.86</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Theta_{min}}= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.86) + 2 \arcsin (0.86) = 137.97^\circ</math><br />
<br />
[[Archivo:Leoss.png|thumb|right|800 × 534 px|funciones de theta respecto del parámetro de impacto]]<br />
<br />
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<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Estado.jpg|thumb|left|791 × 689 px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
<br />
Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de <math>\alpha</math>.<br />
<br />
El ángulo <math>\beta</math> puede expresarse como (punto C): <math>\beta = \lambda + \pi - 2 \gamma'</math><br />
<br />
De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es: <br />
<br />
<math>\Psi = \beta - \gamma' +\gamma </math> <br />
<br />
<math>\Psi</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Psi(\alpha)= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Psi'(\alpha)= {-18 \over {\sqrt{16-9\alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.95) + 2 \arcsin (0.95) = 230.9^\circ</math><br />
<br />
¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta <math>y=-\alpha r</math>. Si supongo que b<0, entonces <math>\alpha</math> es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math> lo tomo como <math>{\alpha_{max}} =-0.95</math> y el ángulo sería <math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \cdot (-0.95)) + 2 \arcsin (-0.95) = 489,03^\circ=129.02^\circ</math>.<br />
<br />
----<br />
<br />
== Arcos supernumerarios. Teoría de [[Thomas Young]]. ==<br />
<br />
Aparecen en el lado interno del arco primario, en la zona iluminada. En esta zona, hay rayos de clase (3), que tras haber sido difundidos salen con el mismo ángulo, a uno y otro lado del ángulo mínimo del arco iris. Estos rayos han recorrido diferentes caminos en la gota y salen en puntos distintos. <br />
<br />
[[Archivo:Refracciones_reflexiones_en_una_gota_arcos_supernumerarios.jpg|thumb|left|200px|Rayos que originan los arcos supernumerarios]]<br />
<br />
En la época de Descartes o Newton se ignoraba el caracter ondulatorio de la luz, luego no se pudo prever esta [[interferencia]] entre estos dos rayos. El primero que dió una explicación coherente fue Young.<br />
<br />
Dependiendo de los caminos ópticos que recorre uno más que el otro se presentan franjas brillantes u oscuras (interfieren constructivamente si difieren en valores enteros de longitud de onda).<br />
<br />
El camino que recorre el rayo dentro de la gota sí depende del radio (no como antes para los rayos principales), luego su aparición depende del radio de las gotas. Para gotas grandes, los caminos de los rayos difieren más que para gotas pequeñas, y es más difícil que coincidan en longitudes de onda enteras. Para gotas pequeñas los caminos ópticos son prácticamente iguales y es más fácil que interfieran constructivamente. Para radios superiores a 1mm es casi imposible distinguirlos.<br />
<br />
La superposición de colores tiende a eliminar también los arcos. Además, como las gotas se hacen más grandes a medida que caen, se explica que se formen inmediatamente debajo del primer arco.<br />
<br />
También encontramos una explicación más razonable sobre la banda oscura de Alejandro. La débil luminosidad de la banda no sólo se explica con intensidad residual de arcos iris de clase superior a (4) sino también por fenómenos de difracción. <br />
<br />
Así que debemos utilizar, en la explicación de la formación del arco iris, dos teorías de interacción: la de la luz consigo misma ([[interferencia]]) y la de la luz con obstáculos ([[difracción]]).<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Teoría de Airy. Teoría del momento cinético. ==<br />
<br />
En 1835, [[Richard Potter]] explicó que el cruce de varios rayos daba lugar a una [[caústica]]. Una caústica es la [[envolvente]] de un sistema de rayos y se asocia a altos valores de intensidad. La intensidad aumenta hasta llegar a la caústica y luego disminuye rápidamente.<br />
<br />
[[Archivo:Caustica_de_rayos_de_clase_3.jpg|thumb|right|200px|Caústica de rayos de clase 3]]<br />
<br />
[[Potter]] mostró que el rayo de clase 3 de [[Descartes]] (desviación mínima) se podría tratar como una caústica. Todo rayo que salga por el lado iluminado se acerca a este rayo en el infinito (no los hay en el lado no iluminado). El problema de hallar la intensidad del arco y su distribución se reduce a determinar la distribución de la misma en la proximidad de la caústica.<br />
<br />
[[Airy]] fué el primero en intentar demostrar tal distribución. Su razonamiento le hizo usar las teorías de la propagación de la luz de [[Huygens]] (mejoradas por [[Fresnel]]). Estas decían que cada punto de un frente de ondas se podría reconstruir a partir de estas ondas elementales secundarias como su envolvente.<br />
<br />
Según el teorema de [[Kirchoff]], conociendo la distribución de amplitudes de las ondas secundarias de un frente de ondas, puedo saber cuánto vale ésta en otro punto cualesquiera. Podría pues reconstruir los frentes de onda y dar amplitudes en cada punto si conociera un frente de ondas y su valor de amplitudes para una gota. Como ésto es imposible de saber, Airy probó con un frente de ondas inicial escogido según las consideraciones siguientes: <br />
1º) Es normal el frente a todos los rayos de clase (3).<br />
2º) Tiene un punto de inflexiónen el rayo de Descartes (rayo de desviación mínima).<br />
3º) Los valores (amplitudes) se escogieron siguiendo hipótesis normales en la teoría de la difracción.<br />
<br />
la distribución de intensidades, tras laborioso cálculo, sale en función de una integral (función de Airy). Esta distribución es análoga a la distribución de intensidades de difracción que aparece en la sombra de un filo rectilíneo para la zona oscura o banda de Alejandro. esta disminuye al alejarnos del ángulo de desviación mínima.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
La función de Airy es: <math>{I_T \over I_o} = {1 \over {1+F \cdot \sin^2{\delta \over 2}}}</math>, siendo <math>{I_T}</math> la intensidad de luz transmitida en una situación de interferencia de haces múltiples.<br />
<br />
F es la ''finura'': <math>F= \left ( {{2 \cdot \rho} \over {1- \rho^2}} \right )</math>, siendo <math>\rho</math> el coeficiente de reflexión normal aire-agua.<br />
<br />
<math>\rho = \frac{1-n}{1+n} = \frac{1}{7} e^{i \pi}</math><br />
<br />
<math>\delta</math> es el desfase que se produce en una lámina plano paralela: <math>\delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot i \cdot n \cdot d \cos \theta'</math><br />
<br />
<math>\theta'</math> es el ángulo refractado: <math>\sin \theta = \frac{4}{3} \sin \theta'</math>.<br />
<br />
La finura F es aproximadamente 0.085.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 06:00 17 abr 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Leoss.png&diff=16465Archivo:Leoss.png2012-07-22T09:35:11Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=El_arco_iris&diff=16464El arco iris2012-07-22T09:33:47Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º. */</p>
<hr />
<div>El ARCO IRIS es la exhibición mas espectacular del espectro de la luz blanca en la naturaleza. Las condiciones requeridas para la aparición de este fenómeno, son que el Sol esté brillando en alguna parte del cielo y la lluvia esté cayendo en la parte opuesta. Dando uno la espalda al Sol, se pueden ver arcos de círculos, el arco iris primario brillante, y, a veces, el arco iris secundario, más débil, con los colores invertidos. Vistos desde alguna altura conveniente o desde un avión, estos arcos pueden formar círculos completos, cuyo centro común esta situado es la dirección de la sombra del observador.<br />
La teoría elemental del arco iris fue dada primero por Antonius de Demini en el año de 1611 y, posteriormente, desarrollado con mayor exactitud por Descartes. Las características generales de los arcos primario y secundario son explicadas satisfactoriamente al considerar solo la reflexión y la refracción de la luz por una gota esférica de lluvia. Para comprender como se produce el fenómeno, concentremos primero nuestra atención en una sola gota de lluvia. Se muestra un rayo de luz solar entrando entrando en una gota de lluvia por un punto A, cerca de su parte superior. En este punto, algo de luz se refleja, y el resto se refracta dentro de la esfera liquida. En esta primera refracción la luz se dispersa en sus colores espectrales, el color violeta es el que se desvía más, y el rojo el que se desvía menos.<br />
Llegando al lado opuesto de la gota, cada color es parcialmente refractado hacia afuera (dentro del aire), y en parte reflejado hacia atrás (dentro del liquido). Alcanzando la superficie en el límite inferior, cada uno de los colores es otra vez reflejado y refractado. Esta segunda refracción es muy similar a la de un prisma, en donde la refracción en la segunda superficie aumenta la dispersión ya producida en la primera. Ésta es la trayectoria de la luz en las miles de gotas que producen el brillante arco iris.<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Arco iris.jpg|903 × 619|thumb|right|circular]]<br />
<br />
Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio '''r''' centrada en '''O'''.<br />
<br />
La dirección del rayo es representada por la recta <math>y=-b</math>. Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como <math>y=-\alpha r</math>, siendo <math>\alpha</math> un número entre 0 y 1.<br />
<br />
La descripción algebraica de la circunferencia es <math>x^2+y^2=r^2</math>.<br />
<br />
De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es <math>A(-r \sqrt{1-\alpha^2} , -\alpha r)</math>.<br />
<br />
La recta que pasa por O y A sería: <math>y = {{\alpha} \over {\sqrt{1-\alpha^2}} } x</math>.<br />
<br />
El vector normal interior a la superficie es: <math> {\vec N} = ( \sqrt{1-\alpha^2}, \alpha)</math><br />
<br />
Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, <math>{\vec u_x}</math>, y el vector normal obtengo: <math>|{\vec u_x}||{\vec N}| \sin{\gamma} = |{\vec u_x} x {\vec N}|</math><br />
<br />
luego de aquí se deduce que: <math>\gamma = \arcsin(\alpha)</math><br />
<br />
Si aplico la ley de Snell: <math>n \ \sin \gamma = n' \ \sin \gamma'</math> ; <math>\gamma' = \arcsin( {3 \over 4} \alpha)</math> siendo n=1 y n' = 4/3.<br />
<br />
El ángulo que forma respecto de la horizontal es: <math> \delta = \gamma - \gamma' = \arcsin(\alpha) - \arcsin({3 \over 4} \alpha)</math><br />
<br />
Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es <math>\gamma'</math><br />
<br />
El ángulo <math>\lambda = \pi - 2 \gamma' + \delta</math>.<br />
<br />
Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es <math>\gamma'</math>. El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser <math>\gamma</math>. El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:<br />
<br />
<math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma </math> que puede expresarse como: <math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma = \pi - 2 \gamma' + \delta - \gamma' +\gamma = \pi - 4 \gamma' + 2 \gamma </math>.<br />
<br />
<math>\Theta</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Theta(\alpha)= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Theta'(\alpha)= {-3 \over {\sqrt{1-{9 \over 16} \ \alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para <math>{\alpha_{min}} = 0.86</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Theta_{min}}= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.86) + 2 \arcsin (0.86) = 137.97^\circ</math><br />
<br />
[[Archivo:Maximo_y_minimo_en_funcion_de_alfa.png|thumb|right|200px|funciones de theta respecto del parámetro de impacto]]<br />
<br />
----<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Estado.jpg|thumb|left|791 × 689 px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
<br />
Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de <math>\alpha</math>.<br />
<br />
El ángulo <math>\beta</math> puede expresarse como (punto C): <math>\beta = \lambda + \pi - 2 \gamma'</math><br />
<br />
De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es: <br />
<br />
<math>\Psi = \beta - \gamma' +\gamma </math> <br />
<br />
<math>\Psi</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Psi(\alpha)= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Psi'(\alpha)= {-18 \over {\sqrt{16-9\alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.95) + 2 \arcsin (0.95) = 230.9^\circ</math><br />
<br />
¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta <math>y=-\alpha r</math>. Si supongo que b<0, entonces <math>\alpha</math> es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math> lo tomo como <math>{\alpha_{max}} =-0.95</math> y el ángulo sería <math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \cdot (-0.95)) + 2 \arcsin (-0.95) = 489,03^\circ=129.02^\circ</math>.<br />
<br />
----<br />
<br />
== Arcos supernumerarios. Teoría de [[Thomas Young]]. ==<br />
<br />
Aparecen en el lado interno del arco primario, en la zona iluminada. En esta zona, hay rayos de clase (3), que tras haber sido difundidos salen con el mismo ángulo, a uno y otro lado del ángulo mínimo del arco iris. Estos rayos han recorrido diferentes caminos en la gota y salen en puntos distintos. <br />
<br />
[[Archivo:Refracciones_reflexiones_en_una_gota_arcos_supernumerarios.jpg|thumb|left|200px|Rayos que originan los arcos supernumerarios]]<br />
<br />
En la época de Descartes o Newton se ignoraba el caracter ondulatorio de la luz, luego no se pudo prever esta [[interferencia]] entre estos dos rayos. El primero que dió una explicación coherente fue Young.<br />
<br />
Dependiendo de los caminos ópticos que recorre uno más que el otro se presentan franjas brillantes u oscuras (interfieren constructivamente si difieren en valores enteros de longitud de onda).<br />
<br />
El camino que recorre el rayo dentro de la gota sí depende del radio (no como antes para los rayos principales), luego su aparición depende del radio de las gotas. Para gotas grandes, los caminos de los rayos difieren más que para gotas pequeñas, y es más difícil que coincidan en longitudes de onda enteras. Para gotas pequeñas los caminos ópticos son prácticamente iguales y es más fácil que interfieran constructivamente. Para radios superiores a 1mm es casi imposible distinguirlos.<br />
<br />
La superposición de colores tiende a eliminar también los arcos. Además, como las gotas se hacen más grandes a medida que caen, se explica que se formen inmediatamente debajo del primer arco.<br />
<br />
También encontramos una explicación más razonable sobre la banda oscura de Alejandro. La débil luminosidad de la banda no sólo se explica con intensidad residual de arcos iris de clase superior a (4) sino también por fenómenos de difracción. <br />
<br />
Así que debemos utilizar, en la explicación de la formación del arco iris, dos teorías de interacción: la de la luz consigo misma ([[interferencia]]) y la de la luz con obstáculos ([[difracción]]).<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Teoría de Airy. Teoría del momento cinético. ==<br />
<br />
En 1835, [[Richard Potter]] explicó que el cruce de varios rayos daba lugar a una [[caústica]]. Una caústica es la [[envolvente]] de un sistema de rayos y se asocia a altos valores de intensidad. La intensidad aumenta hasta llegar a la caústica y luego disminuye rápidamente.<br />
<br />
[[Archivo:Caustica_de_rayos_de_clase_3.jpg|thumb|right|200px|Caústica de rayos de clase 3]]<br />
<br />
[[Potter]] mostró que el rayo de clase 3 de [[Descartes]] (desviación mínima) se podría tratar como una caústica. Todo rayo que salga por el lado iluminado se acerca a este rayo en el infinito (no los hay en el lado no iluminado). El problema de hallar la intensidad del arco y su distribución se reduce a determinar la distribución de la misma en la proximidad de la caústica.<br />
<br />
[[Airy]] fué el primero en intentar demostrar tal distribución. Su razonamiento le hizo usar las teorías de la propagación de la luz de [[Huygens]] (mejoradas por [[Fresnel]]). Estas decían que cada punto de un frente de ondas se podría reconstruir a partir de estas ondas elementales secundarias como su envolvente.<br />
<br />
Según el teorema de [[Kirchoff]], conociendo la distribución de amplitudes de las ondas secundarias de un frente de ondas, puedo saber cuánto vale ésta en otro punto cualesquiera. Podría pues reconstruir los frentes de onda y dar amplitudes en cada punto si conociera un frente de ondas y su valor de amplitudes para una gota. Como ésto es imposible de saber, Airy probó con un frente de ondas inicial escogido según las consideraciones siguientes: <br />
1º) Es normal el frente a todos los rayos de clase (3).<br />
2º) Tiene un punto de inflexiónen el rayo de Descartes (rayo de desviación mínima).<br />
3º) Los valores (amplitudes) se escogieron siguiendo hipótesis normales en la teoría de la difracción.<br />
<br />
la distribución de intensidades, tras laborioso cálculo, sale en función de una integral (función de Airy). Esta distribución es análoga a la distribución de intensidades de difracción que aparece en la sombra de un filo rectilíneo para la zona oscura o banda de Alejandro. esta disminuye al alejarnos del ángulo de desviación mínima.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
La función de Airy es: <math>{I_T \over I_o} = {1 \over {1+F \cdot \sin^2{\delta \over 2}}}</math>, siendo <math>{I_T}</math> la intensidad de luz transmitida en una situación de interferencia de haces múltiples.<br />
<br />
F es la ''finura'': <math>F= \left ( {{2 \cdot \rho} \over {1- \rho^2}} \right )</math>, siendo <math>\rho</math> el coeficiente de reflexión normal aire-agua.<br />
<br />
<math>\rho = \frac{1-n}{1+n} = \frac{1}{7} e^{i \pi}</math><br />
<br />
<math>\delta</math> es el desfase que se produce en una lámina plano paralela: <math>\delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot i \cdot n \cdot d \cos \theta'</math><br />
<br />
<math>\theta'</math> es el ángulo refractado: <math>\sin \theta = \frac{4}{3} \sin \theta'</math>.<br />
<br />
La finura F es aproximadamente 0.085.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 06:00 17 abr 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Estado.jpg&diff=16463Archivo:Estado.jpg2012-07-22T09:28:17Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=El_arco_iris&diff=16462El arco iris2012-07-22T09:21:33Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. */</p>
<hr />
<div>El ARCO IRIS es la exhibición mas espectacular del espectro de la luz blanca en la naturaleza. Las condiciones requeridas para la aparición de este fenómeno, son que el Sol esté brillando en alguna parte del cielo y la lluvia esté cayendo en la parte opuesta. Dando uno la espalda al Sol, se pueden ver arcos de círculos, el arco iris primario brillante, y, a veces, el arco iris secundario, más débil, con los colores invertidos. Vistos desde alguna altura conveniente o desde un avión, estos arcos pueden formar círculos completos, cuyo centro común esta situado es la dirección de la sombra del observador.<br />
La teoría elemental del arco iris fue dada primero por Antonius de Demini en el año de 1611 y, posteriormente, desarrollado con mayor exactitud por Descartes. Las características generales de los arcos primario y secundario son explicadas satisfactoriamente al considerar solo la reflexión y la refracción de la luz por una gota esférica de lluvia. Para comprender como se produce el fenómeno, concentremos primero nuestra atención en una sola gota de lluvia. Se muestra un rayo de luz solar entrando entrando en una gota de lluvia por un punto A, cerca de su parte superior. En este punto, algo de luz se refleja, y el resto se refracta dentro de la esfera liquida. En esta primera refracción la luz se dispersa en sus colores espectrales, el color violeta es el que se desvía más, y el rojo el que se desvía menos.<br />
Llegando al lado opuesto de la gota, cada color es parcialmente refractado hacia afuera (dentro del aire), y en parte reflejado hacia atrás (dentro del liquido). Alcanzando la superficie en el límite inferior, cada uno de los colores es otra vez reflejado y refractado. Esta segunda refracción es muy similar a la de un prisma, en donde la refracción en la segunda superficie aumenta la dispersión ya producida en la primera. Ésta es la trayectoria de la luz en las miles de gotas que producen el brillante arco iris.<br />
<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Arco iris.jpg|903 × 619|thumb|right|circular]]<br />
<br />
Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio '''r''' centrada en '''O'''.<br />
<br />
La dirección del rayo es representada por la recta <math>y=-b</math>. Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como <math>y=-\alpha r</math>, siendo <math>\alpha</math> un número entre 0 y 1.<br />
<br />
La descripción algebraica de la circunferencia es <math>x^2+y^2=r^2</math>.<br />
<br />
De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es <math>A(-r \sqrt{1-\alpha^2} , -\alpha r)</math>.<br />
<br />
La recta que pasa por O y A sería: <math>y = {{\alpha} \over {\sqrt{1-\alpha^2}} } x</math>.<br />
<br />
El vector normal interior a la superficie es: <math> {\vec N} = ( \sqrt{1-\alpha^2}, \alpha)</math><br />
<br />
Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, <math>{\vec u_x}</math>, y el vector normal obtengo: <math>|{\vec u_x}||{\vec N}| \sin{\gamma} = |{\vec u_x} x {\vec N}|</math><br />
<br />
luego de aquí se deduce que: <math>\gamma = \arcsin(\alpha)</math><br />
<br />
Si aplico la ley de Snell: <math>n \ \sin \gamma = n' \ \sin \gamma'</math> ; <math>\gamma' = \arcsin( {3 \over 4} \alpha)</math> siendo n=1 y n' = 4/3.<br />
<br />
El ángulo que forma respecto de la horizontal es: <math> \delta = \gamma - \gamma' = \arcsin(\alpha) - \arcsin({3 \over 4} \alpha)</math><br />
<br />
Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es <math>\gamma'</math><br />
<br />
El ángulo <math>\lambda = \pi - 2 \gamma' + \delta</math>.<br />
<br />
Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es <math>\gamma'</math>. El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser <math>\gamma</math>. El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:<br />
<br />
<math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma </math> que puede expresarse como: <math>\Theta = \lambda - \gamma' +\gamma = \pi - 2 \gamma' + \delta - \gamma' +\gamma = \pi - 4 \gamma' + 2 \gamma </math>.<br />
<br />
<math>\Theta</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Theta(\alpha)= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Theta'(\alpha)= {-3 \over {\sqrt{1-{9 \over 16} \ \alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para <math>{\alpha_{min}} = 0.86</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Theta_{min}}= \pi -4 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.86) + 2 \arcsin (0.86) = 137.97^\circ</math><br />
<br />
[[Archivo:Maximo_y_minimo_en_funcion_de_alfa.png|thumb|right|200px|funciones de theta respecto del parámetro de impacto]]<br />
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<br />
== Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º. ==<br />
<br />
[[Archivo:Demostracion_dos_arco_iris_secundario.jpg|thumb|left|300px|Ángulo de salida del arco iris secundario]]<br />
<br />
Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de <math>\alpha</math>.<br />
<br />
El ángulo <math>\beta</math> puede expresarse como (punto C): <math>\beta = \lambda + \pi - 2 \gamma'</math><br />
<br />
De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es: <br />
<br />
<math>\Psi = \beta - \gamma' +\gamma </math> <br />
<br />
<math>\Psi</math> es una función de <math>\alpha</math>. Puede expresarse como: <br />
<br />
<math>\Psi(\alpha)= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \alpha) + 2 \arcsin (\alpha)</math><br />
<br />
Haciendo la derivada: <math>\Psi'(\alpha)= {-18 \over {\sqrt{16-9\alpha^2}} } + {2 \over {\sqrt {1-\alpha^2}} }</math><br />
<br />
Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math>. Corresponde a un ángulo: <br />
<br />
<math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ 0.95) + 2 \arcsin (0.95) = 230.9^\circ</math><br />
<br />
¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta <math>y=-\alpha r</math>. Si supongo que b<0, entonces <math>\alpha</math> es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar <math>{\alpha_{max}} = 0.95</math> lo tomo como <math>{\alpha_{max}} =-0.95</math> y el ángulo sería <math>{\Psi_{max}}= 2 \pi -6 \arcsin ({ 3 \over 4} \ \cdot (-0.95)) + 2 \arcsin (-0.95) = 489,03^\circ=129.02^\circ</math>.<br />
<br />
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== Arcos supernumerarios. Teoría de [[Thomas Young]]. ==<br />
<br />
Aparecen en el lado interno del arco primario, en la zona iluminada. En esta zona, hay rayos de clase (3), que tras haber sido difundidos salen con el mismo ángulo, a uno y otro lado del ángulo mínimo del arco iris. Estos rayos han recorrido diferentes caminos en la gota y salen en puntos distintos. <br />
<br />
[[Archivo:Refracciones_reflexiones_en_una_gota_arcos_supernumerarios.jpg|thumb|left|200px|Rayos que originan los arcos supernumerarios]]<br />
<br />
En la época de Descartes o Newton se ignoraba el caracter ondulatorio de la luz, luego no se pudo prever esta [[interferencia]] entre estos dos rayos. El primero que dió una explicación coherente fue Young.<br />
<br />
Dependiendo de los caminos ópticos que recorre uno más que el otro se presentan franjas brillantes u oscuras (interfieren constructivamente si difieren en valores enteros de longitud de onda).<br />
<br />
El camino que recorre el rayo dentro de la gota sí depende del radio (no como antes para los rayos principales), luego su aparición depende del radio de las gotas. Para gotas grandes, los caminos de los rayos difieren más que para gotas pequeñas, y es más difícil que coincidan en longitudes de onda enteras. Para gotas pequeñas los caminos ópticos son prácticamente iguales y es más fácil que interfieran constructivamente. Para radios superiores a 1mm es casi imposible distinguirlos.<br />
<br />
La superposición de colores tiende a eliminar también los arcos. Además, como las gotas se hacen más grandes a medida que caen, se explica que se formen inmediatamente debajo del primer arco.<br />
<br />
También encontramos una explicación más razonable sobre la banda oscura de Alejandro. La débil luminosidad de la banda no sólo se explica con intensidad residual de arcos iris de clase superior a (4) sino también por fenómenos de difracción. <br />
<br />
Así que debemos utilizar, en la explicación de la formación del arco iris, dos teorías de interacción: la de la luz consigo misma ([[interferencia]]) y la de la luz con obstáculos ([[difracción]]).<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
== Teoría de Airy. Teoría del momento cinético. ==<br />
<br />
En 1835, [[Richard Potter]] explicó que el cruce de varios rayos daba lugar a una [[caústica]]. Una caústica es la [[envolvente]] de un sistema de rayos y se asocia a altos valores de intensidad. La intensidad aumenta hasta llegar a la caústica y luego disminuye rápidamente.<br />
<br />
[[Archivo:Caustica_de_rayos_de_clase_3.jpg|thumb|right|200px|Caústica de rayos de clase 3]]<br />
<br />
[[Potter]] mostró que el rayo de clase 3 de [[Descartes]] (desviación mínima) se podría tratar como una caústica. Todo rayo que salga por el lado iluminado se acerca a este rayo en el infinito (no los hay en el lado no iluminado). El problema de hallar la intensidad del arco y su distribución se reduce a determinar la distribución de la misma en la proximidad de la caústica.<br />
<br />
[[Airy]] fué el primero en intentar demostrar tal distribución. Su razonamiento le hizo usar las teorías de la propagación de la luz de [[Huygens]] (mejoradas por [[Fresnel]]). Estas decían que cada punto de un frente de ondas se podría reconstruir a partir de estas ondas elementales secundarias como su envolvente.<br />
<br />
Según el teorema de [[Kirchoff]], conociendo la distribución de amplitudes de las ondas secundarias de un frente de ondas, puedo saber cuánto vale ésta en otro punto cualesquiera. Podría pues reconstruir los frentes de onda y dar amplitudes en cada punto si conociera un frente de ondas y su valor de amplitudes para una gota. Como ésto es imposible de saber, Airy probó con un frente de ondas inicial escogido según las consideraciones siguientes: <br />
1º) Es normal el frente a todos los rayos de clase (3).<br />
2º) Tiene un punto de inflexiónen el rayo de Descartes (rayo de desviación mínima).<br />
3º) Los valores (amplitudes) se escogieron siguiendo hipótesis normales en la teoría de la difracción.<br />
<br />
la distribución de intensidades, tras laborioso cálculo, sale en función de una integral (función de Airy). Esta distribución es análoga a la distribución de intensidades de difracción que aparece en la sombra de un filo rectilíneo para la zona oscura o banda de Alejandro. esta disminuye al alejarnos del ángulo de desviación mínima.<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
La función de Airy es: <math>{I_T \over I_o} = {1 \over {1+F \cdot \sin^2{\delta \over 2}}}</math>, siendo <math>{I_T}</math> la intensidad de luz transmitida en una situación de interferencia de haces múltiples.<br />
<br />
F es la ''finura'': <math>F= \left ( {{2 \cdot \rho} \over {1- \rho^2}} \right )</math>, siendo <math>\rho</math> el coeficiente de reflexión normal aire-agua.<br />
<br />
<math>\rho = \frac{1-n}{1+n} = \frac{1}{7} e^{i \pi}</math><br />
<br />
<math>\delta</math> es el desfase que se produce en una lámina plano paralela: <math>\delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot i \cdot n \cdot d \cos \theta'</math><br />
<br />
<math>\theta'</math> es el ángulo refractado: <math>\sin \theta = \frac{4}{3} \sin \theta'</math>.<br />
<br />
La finura F es aproximadamente 0.085.<br />
<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 06:00 17 abr 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Arco_iris.jpg&diff=16461Archivo:Arco iris.jpg2012-07-22T09:14:22Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16460Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-07-22T09:08:33Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
== EL CABLE COAXIAL (Modos Transversales Electromagnéticos, modos TEM) ==<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16331Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-06-24T09:03:02Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Aceleración */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación: [[Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg|249×181px|thumb|right |movimiento circular]]<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Movimiento,_circu.12.jpg&diff=16330Archivo:Movimiento, circu.12.jpg2012-06-24T09:00:19Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16329Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-06-24T08:56:32Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Vector de posición */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16328Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-06-24T08:54:13Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* Vector de posición */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
[[File:Circular motion.svg|thumb|Circular motion]]<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''): [[Archivo:Moviment_circular.jpg|330×330px|thumb|right|movimiento circular]]<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Archivo:Moviment_circular.jpg&diff=16327Archivo:Moviment circular.jpg2012-06-24T08:51:32Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: </p>
<hr />
<div></div>Antonio de Jesus Jimenez Lopezhttps://luz.izt.uam.mx/wikis/mediawiki/index.php?title=Usuario_discusi%C3%B3n:Antonio_de_Jesus_Jimenez_Lopez&diff=16326Usuario discusión:Antonio de Jesus Jimenez Lopez2012-06-24T08:48:12Z<p>Antonio de Jesus Jimenez Lopez: /* EL CABLE COAXIAL */</p>
<hr />
<div>'''Bienvenido a ''Luz-wiki''!'''<br />
Esperamos que contribuyas mucho y bien.<br />
Probablemente desearás leer las [[Help:Ayuda|páginas de ayuda]].<br />
Nuevamente, bienvenido y diviértete! [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] 01:39 27 sep 2010 (UTC)<br />
<br />
== Movimiento Circular Uniforme ==<br />
<br />
== Soluciones en el eje ==<br />
=== Ángulo y velocidad angular ===<br />
<br />
[[Archivo:Imagenes_21.jpg|214x235px|thumb|right|circular]]<br />
<br />
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.<br />
<br />
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene <math>2\pi\,</math> radianes.<br />
<br />
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:<br />
<math><br />
w=\frac{d\varphi}{dt}</math><br />
<br />
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.<br />
<br />
=== Vector de posición ===<br />
<br />
[[File:Circular motion.svg|thumb|Circular motion]]<br />
<br />
Se considera un sistema de referencia en el plano ''xy'', con vectores unitarios en la dirección de estos ejes <math> (\mathbf i, \mathbf j) </math>. La posición de la partícula en función del ángulo de giro <math> \varphi </math> y del radio '''r''' es en un sistema de referencia cartesiano ''xy'':<br />
<br />
<math>\begin{cases}<br />
x=r\cos\varphi & y=r\sin\varphi\end{cases}</math><br />
<br />
De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:<br />
:<math> \mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j </math><br />
siendo:<br />
:<math> \mathbf{r} \; </math>: es el vector de posición de la partícula.<br />
:<math> r \; </math>: es el radio de la trayectoria.<br />
Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (''ω''):<br />
<br />
<math>w=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\Longrightarrow\varphi=wt</math><br />
<br />
El ángulo (''φ''), debe medirse en radianes:<br />
<br />
<math>\varphi=\frac{s}{r}</math><br />
<br />
donde ''s'' es la longitud del arco de circunferencia<br /><br />
Según esta definición:<br />
<br />
1 vuelta = 360° = 2 ''π'' radianes<br /><br />
<br />
½ vuelta = 180° = ''π'' radianes<br /><br />
¼ de vuelta = 90° = ''π'' /2 radianes<br /><br />
<br />
=== Velocidad tangencial===<br />
La [[velocidad]] se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:<br />
<br />
<math>v=\frac{dr}{dt}=-r\omega\sin\left(\omega t\right)i+r\omega\cos\left(\omega t\right)j</math><br />
<br />
en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial<br />
<br />
<math>\nu=\omega r</math><br />
<br />
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar <math>\mathbf r \cdot \mathbf v</math> y comprobando que es nulo.<br />
<br />
=== Aceleración ===<br />
La [[aceleración]] se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:<br />
<br />
<math>a=\frac{dv}{dt}=-rw^{2}\cos\left(wt\right)i-rw^{2}\sin\left(wt\right)j</math><br />
<br />
de modo que <br />
<br />
<math>a=-\omega^{2}r</math><br />
<br />
<br />
Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.<br />
<br />
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad <math>v\,</math> de la partícula, ya que, en virtud de la relación <math>v=\omega r\,</math>, resulta<br />
<br />
<math>a=\omega^{2}r=\frac{v^{2}}{r}</math><br />
<br />
Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.<br />
<br />
=== Movimiento circular y movimiento armónico ===<br />
En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:<br />
{{ecuación|<br />
<br />
<math>x\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right),y\left(t\right)=R_{0}\sin\left(\omega t\right)</math><br />
<br />
El momento angular puede calcularse como:<br />
<br />
<math>L=xp_{y}-yp_{x}=m\left(x\dot{y}-y\dot{x}\right)=m\omega R^{2}</math><br />
<br />
De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares:<br />
<br />
== Período y frecuencia ==<br />
El periodo <math>T\,</math> representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:<br />
<br />
<math><br />
T=\frac{2\pi}{\omega}</math><br />
<br />
La frecuencia <math>f\,</math> mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:<br />
<br />
<math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math><br />
<br />
Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período: <br />
<br />
<math>f=\frac{1}{T}</math><br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 04:26 18 jun 2012 (UTC)<br />
<br />
<br />
----<br />
== EL CABLE COAXIAL ==<br />
<br />
El cable coaxial consiste en dos conductores cilíndricos concentricos. Dichos conductores están separados por un material de permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math> y permeabilidad relativa <math>\mu\,\!</math>. Donde la capacitancia por unidad de longitud esta dado por:<br />
<br />
<math>C=\frac{Q}{V}</math> <center><math>C=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center> [[Archivo:Cable_coax.jpg|286x176|thumb|right|cable coaxial]]<br />
<br />
Y se calcula de la siguiente manera<br />
<br />
<math>\int_s \vec D\cdot d\vec s=\int_s \rho\cdot d\tau</math><br />
<br />
El flujo de <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cerrada <math>S\,\!</math> <math>=\,\!</math> Carga libre total encerrada en el intervalo de <math>S\,\!</math><br />
<br />
La región anular entre los conductores interior y exterior se llena con un material dieléctrico uniforme con una permitividad relativa <math>\epsilon\,\!</math>. Los dos conductores constituyen juntos un capacitador , y cuando se mantiene una diferencia de potencial entre ellos, aparecen cargas inducidas sobre las superficies de los conductores. Supongamos que existe una dencidad de carga <math>\sigma\,\!</math> en la superficie sobre el conductor interior, que tiene radio <math>a\,\!</math>, de manera que la carga total que se tendría en el conductor si éste midiera un metro de longitud seria <math>{Q=2\pi a\sigma}\,\!</math>. Obviamente el desplazamiento eléctrico es cilìndricamente simétrico, y su magnitud depende únicamente de de la distancia <math>r\,\!</math> al eje. El flujo <math>D\,\!</math> fuera de una superficie cilíndrica <math>S\,\!</math> de radio <math>r\,\!</math> y longitud igual a un metro es:<br />
<br />
<math>\int_{S_{\rm}} D.d S=2\pi r D(r)=2\pi a \sigma</math> de donde <math>D(r)=\frac{a \sigma}{r}</math><br />
<br />
El campo vectorial <math>D\,\!</math> se conoce con el nombre de desplazamiento eléctrico donde se puede escribir en función de <math>r\,\!</math> como <br />
<br />
<math>{D(r)} \,\!=\epsilon\epsilon_{0}E(r)</math> sustituyendo <math>D\,\!(r)</math> y despejando <math>E(r)\,\!</math> tenemos que <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>{E(r)} \,\!=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_o r}</math><br />
<br />
<br />
Entonces la diferencia de potencial entre el conductor interior y el conductor exterior es [[Archivo:Cable_cilin_22.png|400×178 px|thumb|right|cable cilíndrico]] <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<math>V=-\int_b^a E.dl=-\int_b^a\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0 r}dr=\frac{a \sigma}{\epsilon\epsilon_0}ln(\frac {b}{a})</math><br />
<br />
<br />
y la capacitancia por unidad de longitud del cable es<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>C=\frac{Q}{V}=\frac{2\pi\epsilon\epsilon_{0}}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
Supongamos que cada uno de los conductores lleva una corriente de <math>I\,\!</math> amperes. Aplicando la Ley de Ampere al circuito de radio <math>r\,\!</math> <br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=\mu\mu_{0} I</math> <br />
<br />
<br />
Como el cable posee simetría cilíndrica, la magnitud <math>B\,\!</math> del campo depende únicamente de <math>r\,\!</math>, y [[Archivo:Cable_coaxial_21.jpg|164× 175px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
<br />
<math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=2\pi r B</math> queda como resultado <math>B=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}</math><br />
<br />
<br />
El flujo del campo <math>B\,\!</math> a través de un circuito cerrado que se forma uniendo los conductores al extremo de una sección de cable de longitud <math>l\,\!</math>, es <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>l\int_a^b\frac{\mu\mu_0\ I}{2\pi r} dr =\frac{\mu\mu_0 I l}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math></center><br />
<br />
<br />
<br />
y la autoinductancia por unidad de longitud viene a ser <math>L=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}{ln(\frac{b}{a})}</math><br />
<br />
<br />
Entonces por las ecuaciones de la Capacitancia y la Autoinductancia por unidad de longitud se verifica que la velocidad de propagación es nuevamente <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math>:<br />
<br />
<br />
donde la velocidad de propagación de las señales esta dado por <math>\frac{1} {\sqrt LC}=\frac{1}{(\epsilon\epsilon_0\mu\mu_0)^\frac{1}{2}}=\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math><br />
<br />
<br />
La constante <math>c\,\!</math> es la velocidad de la luz en el vació, y <math>\frac{c}{(\epsilon\mu)^\frac{1}{2}}</math> es la velocidad de la luz en el medio en que está incrustada la línea. [[Archivo:Carga323.jpg|168×180px|thumb|right|Circular]]<br />
<br />
Podemos calcular la impedancia característica del cable<br />
<br />
<br />
<br />
<center><math>Z_{0} (cable - coaxial)= \sqrt \frac{L}{C}=(\frac{\mu\mu_0}{4\pi^2\epsilon\epsilon_0})^\frac{1}{2}ln(\frac{b}{a})</math></center><br />
<br />
<br />
El conductor exterior del cable coaxial se mantiene normalmente al potencial de tierra, de modo que no se forman campos eléctricos fuera del cable, ni tampoco campos magnéticos. Aplicando la Ley de Ampere al circuito del radio exterior vemos que <math>\oint_{S} \vec B\cdot d\vec l=0</math>, puesto que por los dos conductores fluyen corrientes iguales y opuestas, de manera que, por simetría <math>B=0\,\!</math> en el exterior.<br />
<br />
[[Archivo:Estado_cablesss_5.jpg|363×175px|thumb|center|como es un cable coaxial]]<br />
<br />
--[[Usuario:Antonio de Jesus Jimenez Lopez|Antonio de Jesus Jimenez Lopez]] 09:30 22 jun 2012 (UTC)</div>Antonio de Jesus Jimenez Lopez