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Problema 2.7 capitulo 2 del libro de vibrations and waves in physics, Iain G. Main, third edition

La Figura 2.8 muestra una arreglo que podría usarse para configurar un circuito $LC$ en oscilación. El condensador se carga primero a una tensión $V_{1}$ por medio de la batería. En el momento $t = 0$, el interruptor se activa para conectar el condensador cargado a través de la bobina. Derive (a) la amplitud y (b) la constante de fase de la oscilación resultante.

Solución:

Para resolver el circuito de la Figura 2.8, usamos la segunda ley de Kirchhoff

Como solamente tenemos dos caídas de tensiones debidas al capacitador y la inductancia, obtenemos

Donde $V_{C} =\frac{\psi}{C}$ y $V_{L}= L\frac{di}{dt}$, como $i=\frac{d \psi}{dt}$ entonces nos queda que $V_{L}= L\frac{d^2 \psi}{dt^2}=L \ddot{\psi}$.

Sustituimos, y obtenemos

Definamos la pulsación natural del sistema como $\omega^2_{0} = \frac{1}{LC}$. Obtenemos

Cuya ecuación característica es $r^2+\omega^2_{0}=0$, y la solución de la ecuación diferencial es de la forma $\psi(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}$.

Las raíces de la ecuación característica son: $r_{1}=\omega_{0}i$ y $r_{2}=-\omega_{0}i$

Y la solución general de la ecuación homogénea es

Sabemos de los números complejos que $e^{\omega_{0} i t}= \cos(t)+i \sin(t)$ y $e^{-\omega_{0} i t}= \cos(t)-i \sin(t)$, y las sustituimos en la solucion general.

Reorganizamos términos

Definamos nuevas constantes como $A=C_{1}+C_{2}$ y $B=i(C_{1}-C_{2})$, y las reemplazamos en la solución.

Hacemos que $A=D\cos(\phi)$ y $B=-D\sin(\phi)$

Usamos la identidad trigonométrica: $\cos(\omega_{0} t+\phi)=\cos(\phi)\cos(\omega_{0} t) - \sin(\phi)\sin(\omega_{0} t)$

Y la solución general de la ecuación diferencial homogénea es:

Por ultimo nos que da evaluar las condiciones iniciales para responder los incisos (a) y (b).

Las condiciones iniciales son $\psi(0)=CV_{1}$ y $\dot{\psi}(0)=0.$

La relacion $\dot{\psi}(0)=-D\sin(\phi)=0$ se satisface si, $\phi=0$ y por lo tanto $D=CV_{1}$