Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado

De luz-wiki
Saltar a: navegación, buscar


Soluciones a ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado

la dificultad en la resolucion de ecuaciones aumenta con su grado, aparte de otras razones , porque cuanto mayor es esta mas raices hay que hallar.Por resolucion entendemos determinar todas las raices de una ecuacione algebraica,tanto reales como imaginarias,ya sea en forma exacta o con una aproximacion previamente especificada.

Ecuaciones de primer grado

una ecuación de primer grado es de la forma

la solución esta dada por la formula

esto indica que operaciones deben realizarse con los coeficientes para hallar la raíz exacta, o aproximada.

Ecuaciones de segundo grado

una ecuación de segundo grado es de la forma

de aquí, que:

multiplicando por en ambos lados de la expresión para no alterar el resultado

completando cuadrados del lado izquierdo de la ecuación

despejando para y desarrollando

Caso especial:

, donde y son números complejos

entonces

pero

esto debe de satisfacer

ademas como

entonces de

tomando la raíz positiva y despejando y de 1 tenemos

ahora analizando la ecuación 2 en caso de que la ecuación determina el signo de correspondiente a un dado signo de

esto es si si

entonces de acuerdo con esto las soluciones de la ecuación son

y

en caso de que entonces

de aquí se deduce que

si entonces la ecuación

si entonces en este caso la misma ecuación tiene dos raíces imaginarias puras

cuando solo .

Ecuaciones de tercer grado(formula de Cardano)

puesto que la divicion por no modifica las raíces de la ecuación podemos escribirla como

introduciendo una nueva incognita esta ecuación puede modificarse, con este fin hacemos

Por la formula de Taylor:

para eliminar el termino en basta elegir de modo que:

o

por ser

si elegimos

la ecuación se convierte en:

si hacemos:

tenemos

esta ecuación se puede resolver si

esta ecuación se vuelve indeterminada a menos que tomemos

entonces

asi resolviendo el sistema de ecuaciones 1 y 2 tenemos

estas son soluciones de la ecuación cuadrática

si

y entonces

así los tres valores posibles de serian

donde

con respecto a también existen tres valores

pero no podemos combinar uno cualquiera de ellos con los 3 valores posibles de ,desde que y deben satisfacer la relación

entonces los valores de que pueden combinarse con

por lo tanto la ecuación F tendría las siguientes raíces

ademas como

Ecuaciones de cuarto grado resuelta por ferrari discípulo de Cardano

ya que podemos suponer lo mismo de la ecuación de tercer grado tenemos que es de la forma

podemos escribirla como

y sumando a ambos miembros, la ecuación

es equivalente a la ecuación original. si el segundo miembro de esta expresión fuera un cuadrado perfecto, la solución de esta ecuación seria inmediata

ahora sumando a ambos miembros de 1

a modo de obtener un cuadrado perfecto en el primer miembro para un indeterminado

ahora podemos tratar de determinar a de modo que

se convierta en el cuadrado de una expresión lineal , en general, si:

sera

de aquí, que

si entonces

pero si

entonces

de modo que

basta tomar para una raíz cualquiera de esta ecuación cubica, llamada resolvente de la ecuación cuartica, para tener

con n y f convenientemente elegidos

la ecuación cuartica queda entonces como:

así podemos dividirla en dos ecuaciones cuadráticas

estas ecuaciones resueltas separadamente nos dan las soluciones a la ecuación de cuarto grado.

--Francisco Medina Albino (discusión) 21:17 5 jul 2015 (CDT)