Ondas: contrapropagantes

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La propagación de dos ondas que se propagan en una dimensión en sentidos opuestos y amplitudes muy similares se muestra en la figura 1


Figura 1 - ondas contrapropagantes


Considere la situación en que la cuerda tiene un extremo fijo, como se indica en la fig (2a y 2b), donde el extremo O es el punto fijo.

Figura 2a - cambio de fase de una onda reflejada sobre una cuerda de estremo fijo.
Figura 2b - onda contrapropagante de dos ondas en sentidos opuestos

Una onda transversal incidente moviéndose hacia la izquierda y de ecuación

se refleja en O, originando una nueva onda que se propaga hacia la derecha y que tiene por ecuación

El desplazamiento en cualquier punto de la cuerda es el resultado de la interferencia o superposición de estas dos ondas, esto es,

En el punto O, tenemos x=0, de modo que


Pero O es fijo, lo cual significa que en todo instante. Esto requiere que . En otras palabras la onda experimenta un cambio de fase de π cuando se refleja en el extremo fijo. Se puede ver el cambio de fase mostrada en la fig (2b), las cuales muestran un pulso incidente y uno reflejado. Entonces la ecuación (3)se convierte en

Y utilizando la identidad trigonométrica


Obtenemos:

tomando como

;

Sustituimos en la identidad trigonometrica

Eliminando términos semejantes

Reduciendo la expresión

Por lo tanto


Las expresiones ) no aparecen mas y la ecuación (7) no representa una onda viajera. Efectivamente esta última expresión representa un movimiento armónico simple cuya amplitud varia de punto a punto y está dada por

Esta amplitud se indica con línea de trazos en la fig (2a). La amplitud es cero para , donde n es un numero entero. Este resultado también se puede escribir de la forma:

Se tiene y sabemos que entonces sustituyendo se obtiene ; despejando a x obtenemos lo deseado

Estos puntos se denominan nodos . Los nodos sucesivos están separados por una distancia de . Utilizando la ecuación para la velocidad de propagación de las ondas a lo largo de una cuerda sometida a la tensión T y que tiene una masa m por unidad de longitud, la longitud de la onda se determina por

Por conocimiento previo se sabe y que  ; sustituyo y queda ; por lo tanto;

Y es arbitraria en tanto la frecuencia angular también lo sea. Suponga ahora que imponemos una segunda condición: que el punto x=L , que es el otro extremo de la cuerda, sea también fijo. Esto significa que x=L es un nodo y debe satisfacer la condición . Si usamos la ecuación (9),

ò

Esta segunda condición limita automáticamente las longitudes de onda de las ondas que pueden propagarse en esta cuerda a los valores dados por la ecuación (11 y 12) , y a su vez, en vista de la ecuación (10) , también están limitadas las frecuencias de oscilación a los valores

Donde

Se llama frecuencia fundamental. De este modo las posibles frecuencias de oscilación (llamadas armónicos) son todos los múltiplos de la fundamental. Podemos decir que las frecuencias y longitudes de onda están cuantizadas, y que la cuantización es el resultado de las condiciones de contorno impuestas en ambos extremos de la cuerda. La fig (3-5). indica la distribución de amplitud para los tres primeros modos de vibración (n=1,2,3). Los puntos de máxima amplitud son los antinodos. La distancia entre nodos sucesivos es también . Desde luego que la separación entre un nodo y un antinodo es .

Figura 3 - Modo Fundamental
Figura 4 - Modo Normal de la cuerda n=2
Figura 5 - Modo normal de la cuerda n=3

ONDAS CONTRAPROPAGANTES EN DOS DIMENSIONES

Considere ahora una membrana rectangular estirada sobre un marco de modo que sus bordes estén fijos. Si la superficie de la membrana se perturba, se producen ondas que se propagan en distintas direcciones y se reflejan en los bordes, originando interferencia. Consideremos el caso especial en que se generen ondas planas de una sola frecuencia en la membrana. Además suponemos que estas ondas se propagan paralelamente a cada lado del marco, como se indica en la fig (6). En lugar de nodos y antinodos obtenemos líneas nodales y líneas antinodales o ventrales, que se designan por n y v en la fig (6). En la fig (6a) la membrana esta fija a la izquierda (x=0) y a la derecha (x=a), pero los otros dos lados están libres. Las ondas se propagan según el eje x en ambos sentidos, con lo cual resulta un sistema de líneas nodales y antinodales paralelas al eje y. En x=0 y x=a debemos tener líneas nodales.

Figura 6 - ondas contrapropagantes en una membrana

Por consiguiente la condición para ondas contrapropagantes es similar a las de una cuerda, esto es,


ò

Las frecuencias correspondientes son

Donde v es la velocidad de propagación de las ondas en la superficie de la membrana, estas ondas se describen por la siguiente expresión

La adicion de la segunda dimensión no cambia las condiciones de contorno , x=0 y x=a. la simetría sugiere que la coordenada y no desempeña ningún papel hasta tanto no se fije la membrana a lo largo de los lados paralelos a la dirección de propagación. En la fig (6b) la membrana esta fija abajo (y=0) y arriba (y=b). Para las ondas que se propagan paralelamente al eje y las líneas nodales y antinodales son paralelas al eje x. La condición para las ondas contrapropagantes es similar a la ecuación (15), reemplazando a por b, obteniéndose

ò

Con frecuencias

Que son diferentes a las ecuaciones (17) para ondas paralelas al eje x. La ecuación de las ondas contrapropagantes es

A continuación consideramos una membrana con sus cuatro lados fijos y ondas planas propagándose en una dirección arbitraria sobre su superficie. Recuerde que una onda plana en dos dimensiones, se expresa por

Las cantidades , son las componentes en el plano xy del vector k paralelo a la dirección de propagación y de longitud . Entonces:

Para un rayo inical PQ fig(7), caracterizado por las componentes , hay un rayo reflejado QR caracterizado y . De R a S el rayo esta caracterizado ,  ; y de S en adelante el rayo se caracteriza por las componentes y . E n las sucesivas reflexiones de este rayo no aparecen nuevas combinaciones de y . Concluimos entonces que a lo largo de la membrana hay un sistema de ondas, debidas a la reflexión de los cuatro lados. Estas cuatro ondas deben interferir de tal modo que para x=0 y x=a, y para y=0 e y=b, el valor resultante de sea cero.

Figura 7 - Refleciones sucesivas de una onda en una membrana rectangular.

Un procedimiento que satisface las condiciones

ò
y
ò

Donde y son enteros, entonces por la ecuación (24), tenemos

Y para las posibles frecuencias tenemos

Debemos observar ahora que las posibles frecuencias ya no son múltiplos de una frecuencia fundamental, sino que siguen una secuencia mas irregular. Las posibles longitudes de onda están dadas por

El diagrama de líneas nodales, obtenido usando la ecuación (31) esta dado por y , donde y son enteros menores que y respectivamente y forman los diagramas rectangulares que se ilustaran en la fig(8-12)

Figura 8 - Modo fundamental
Figura 9 - ,
Figura 10 - ,
Figura 11 - ,
Figura 12 - ,


Para la membrana circular ver http://luz.izt.uam.mx/mediawiki/index.php/Ondas:_Membrana

Referencias

Física: Campos y ondas, Marcelo Alonso Edward, Volumen II


Fundamentos de Física, Raymond Serway y Jerry S. Faughn, Volumen II


--Heidi Isela Francisco Rodriguez 04:13 30 mar 2012 (UTC)Heidi Isela Francisco Rodriguez

--mfg-wiki 21:26 26 mar 2012 (UTC)