Compleja:ej-cap3.2

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p.165 1.- Demuestre que la funciòn definida por , si , y , es de clase real y que ,

Para que la suma sea cero las derivadas n-ésimas deben ser cero.

--Federico Espinoza Sosa 01:38 8 dic 2010 (UTC) 4.-Demostrar que el radio de convergencia de la serie esta dada por , donde . Solución:

Una suma parcial el radio de convergencia es donde es ahora tenemos la serie: luego donde sabemos por medio del criterio de la razón de series reales por lo tanto para demostrar decimos donde la suma converge sí

--Emmanuel Lopez Ortiz 15:44 9 dic 2010 (UTC)


4. Demostrar que el radio de convergencia de la serie esta dada por , donde .


Con la ayuda del Lema Abel- Weierstras que nos dice que para y donde M puede ser .

Entonces para converge uniforme y absolutamente en el disco cerrado .

Sea y por existe un que tal que converge.

Si tenemos , donde

y de donde obtenemos que


Que es: .

--Tomás Salinas Sánchez 15:08 9 dic 2010 (UTC)


5. Encuentre el radio de convergencia de las siguientes series: , y .


Para utilizamos

que nos da

que es


Para utilizamos

Donde .


Para tenemos que es

Y finalmente tenemos .

--Tomás Salinas Sánchez 15:34 9 dic 2010 (UTC)


7.- Encuentre las series de taylor de las funciones y alrededor del origen


SOLUCION


Sabemos que:


......(1)


si </math>, entonces:


mientras que


Notamos que las únicas contribuciones de la suma, nos las dan las derivadas impares, sustituyendo diho resultado en la ecuacion (1) obtenemos:



Para el caso del , tenemos


mientras que


Así que su representacion en serie de Taylor es



--Wendy 07:50 9 dic 2010 (UTC)


9.- Encuentre la serie de Taylor de la funciòn </math> alrededor del origen.


</math> </math>

</math>

</math>

</math>

</math>

</math>

</math> </math>



</math>

</math>

</math>

--HECTOR RESENDIZ ZUÑIGA 00:39 8 dic 2010 (UTC)


10.Encuentre los primeros 3 términos de la series de Taylor de las funciones al rededor de , y al rededor del origen.

Primero calculemos las series independientes


No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{f}^{n}}\left( {{z}_{0}} \right)}{n!}}{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{n}} \\ & f=\cos z \\ & f'({{z}_{0}})=-\sin {{z}_{0}}=-1 \\ & f''({{z}_{0}})=-\cos {{z}_{0}}=0 \\ & f'''({{z}_{0}})=\sin {{z}_{0}}=1 \\ & {{f}^{4}}({{z}_{0}})=\cos {{z}_{0}}=0 \\ & {{f}^{5}}({{z}_{0}})=\sin {{z}_{0}}=-1 \\ </math>

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & g({{z}_{0}})={{e}^{2z}}={{e}^{\pi }} \\ & g'({{z}_{0}})=2{{e}^{2z}}=2{{e}^{\pi }} \\ & g''({{z}_{0}})=4{{e}^{2z}}=4{{e}^{\pi }} \\ & g'''({{z}_{0}})=8{{e}^{2z}}=8{{e}^{\pi }} \\ & {{g}^{4}}({{z}_{0}})=16{{e}^{2z}}=16{{e}^{\pi }} \\ & {{g}^{5}}({{z}_{0}})=32{{e}^{2z}}=32{{e}^{\pi }} \\ & \\ </math>

Solo necesitaremos los primeros términos de cada uno.

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & f(z)=-(z-\frac{\pi }{2})+\frac{(z-\frac{\pi }{2}){}^{3}}{6} \\ & g(z)={{e}^{\pi }}+2{{e}^{\pi }}(z-\frac{\pi }{2})+\frac{4{{e}^{\pi }}{{(z-\frac{\pi }{2})}^{2}}}{2}+\frac{8{{e}^{\pi }}{{(z-\frac{\pi }{2})}^{3}}}{6} \\ </math>

y como el producto de series es la serie del producto.

Solo los pimeros cuatro términos de las serie son validos, por que los de grado 5 y 6 no estan completos.

Para la tangente:

Calculando las derivadas de cada una de las funciones.

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & g(z)=\sin z \\ & g'(z)=\cos z \\ & g''(z)=-\sin z \\ & g'''(z)=-\cos z \\ & g''''(z)=\sin z \\ & g'''''(z)=\cos z \\ </math>

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & f(z)=\frac{1}{\cos z} \\ & f'(z)=\frac{\sin z}{{{\cos }^{2}}z} \\ & f''(z)=\frac{{{\cos }^{2}}z\cos z+2{{\sin }^{2}}z\cos z}{{{\cos }^{4}}z}=\frac{{{\cos }^{2}}z+2{{\sin }^{2}}z}{{{\cos }^{3}}z}= \\ & \frac{{{\cos }^{2}}z+2\left( 1-{{\cos }^{2}}z \right)}{{{\cos }^{3}}z}=\frac{2-{{\cos }^{2}}z}{{{\cos }^{3}}z}=\frac{2}{{{\cos }^{3}}z}-\frac{1}{\cos z} \\ & f'''(z)=6\frac{\sin z}{{{\cos }^{4}}z}-\frac{\sin z}{{{\cos }^{2}}z} \\ & f''''(z)=6\frac{{{\cos }^{4}}z\cos z+4{{\sin }^{2}}z{{\cos }^{3}}z}{{{\cos }^{8}}z}-\frac{2}{{{\cos }^{3}}z}+\frac{1}{\cos z} \\ </math>

Si evaluamos cada una de las derivadas en 0 obtendremos.

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & g(0)=0,g'(0)=1,g''(0)=0,g'''(0)=\frac{1}{6},g''''(0)=0,g'''''(0)=\frac{1}{120} \\ & f(0)=1,f'(0)=0,f''(0)=\frac{1}{2},f'''(0)=0,f''''(0)=\frac{5}{24} \\ </math>

Usamos estos resultados para escribir la serie de Taylor de grado 5 para el seno y 4 para el inverso multiplicativo del coseno.

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & \sin z=0+z+0+\frac{{{z}^{3}}}{6}+0+\frac{{{z}^{5}}}{120} \\ & \frac{1}{\cos z}=1+0+\frac{{{z}^{2}}}{2}+0+\frac{5{{z}^{4}}}{24} \\ </math>

Usando que el producto de las series es la serie del producto:

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & g(z)f(z)=z+\frac{{{z}^{3}}}{2}+\frac{5{{z}^{5}}}{24}+\frac{{{z}^{3}}}{6}+\frac{{{z}^{5}}}{12}+\frac{5{{z}^{7}}}{144}+\frac{{{z}^{5}}}{120}+\frac{{{z}^{7}}}{240}+\frac{5{{z}^{9}}}{2880} \\ & g(z)f(z)=z+\frac{2{{z}^{3}}}{3}+\frac{3{{z}^{5}}}{10}+\frac{{{z}^{7}}}{180}+\frac{5{{z}^{9}}}{2880} \\ </math>

En esta serie solo los primeros tres términos son validos, pues una derivada mas hubiese acompletado el termino z de grado 7, tampoco el de grado 9 está completo.

--Octavio Sanchez 16:17 9 dic 2010 (UTC)

10. Encuentre los primeros tres términos de las series de taylor de las funciones alrededor del origen.

La expansión del seno:



La expansión de la secante:



Por lo tanto la expansion de será:


expandiendo el producto y tomando los tres primeros términos tenemos:


--Carlos López Cobá 08:17 14 dic 2010 (UTC)


4.- Encuentre la serie de Taylor de las funciones </math> y </math> alrededor del origen, y pruebe formalmente que estas son en efecto dichas expanciones.

sea nuestra funcion </math>

Entonces calculando derivadas tenemos </math>, </math>, </math>,</math>,.........


Como el origen esta en 0, entonces evaluando las derivadas en </math> optenemos:

</math>, </math>, </math>, </math>,</math>,.........

Entonces ocupando la siguiente serie de Taylor:

</math>

Como el origen esta en </math>

</math>

esto es igual a </math>

entonces por lo tanto se cumple la condicion.


sea </math>

Sacando derivadas tenemos:

</math>, </math>, </math>,</math>,.........


Evaluandolo en el origen con </math> tenemos:

</math>, </math>, </math>, </math>,</math>,.........

Ocupando la funcion de serie de Teylor nuevamente nos da:

</math>

Como el origen esta en </math>

</math>

</math>

Entonces se cumple.

--Antonio de Jesus Jimenez Lopez




mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)


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