Compleja:ej-cap2.5

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p.137

1. Encuentre el valor máximo para la función en y diga en qué punto (o puntos) se alcanza.

Sabemos que se puede escribir, por fórmula de Moivre.

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & \cos (x+iy)+i\sin (x+iy)=\cos x\cos iy+i\cos x\sin iy+i\sin x\cos iy-\sin x\sin iy \\ & \sin (z)=\sin (x+iy)=\cos x\sin iy+\sin x\cos iy \\ </math>

Sabemos que:

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & \cosh t=\cos (it) \\ & i\sinh t=\sin (it) \\ </math>

Sustituyendo:

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & \sin (z)=i\cos x\sinh y+\sin x\cosh y \\ & \left| \sin z \right|={{\cos }^{2}}x{{\sinh }^{2}}y+{{\sin }^{2}}x{{\cosh }^{2}}y \\ </math>

Tambien conocemos las entidades trigonométricas.

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1 \\ & {{\cosh }^{2}}y-{{\sinh }^{2}}y=1 \\ </math>

Modificamos la expresión usando las identidades para obtener todo en términos de seno hiperbólico y seno.

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & \left| \sin z \right|=(1-{{\sin }^{2}}x){{\sinh }^{2}}y+{{\sin }^{2}}x(1+{{\sinh }^{2}}y) \\ & \left| \sin z \right|={{\sinh }^{2}}y-{{\sin }^{2}}x{{\sinh }^{2}}y+{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x{{\sinh }^{2}}y \\ & \left| \sin z \right|={{\sinh }^{2}}y+{{\sin }^{2}}x \\ </math>

Y por el principio del máximo, el supremo de se toma en la frontera del rectángulo dado, es decir el máximo para la expresión obtenida se obtiene en.

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & x=1 \\ & y=1 \\ </math>

esos valores dan el valor máximo para el cuadrado acotado. y el valor máximo es:

--Octavio Sanchez 04:17 6 dic 2010 (UTC)


2. Encuentre integrando parciales la función armónica conjugada de la función

basta resolver

Para hallar usamos la otra ecuación

Como debe cumplirse tenemos

Asi vemos que donde es una constante de integración.

Por lo tanto es la armónica conjugada de u.

--Carlos López Cobá 07:55 3 dic 2010 (UTC)


3.-Encuentre, integrando parciales,la función armónica conjugada de la función

SOLUCIÓN

Derivamos y aplicamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann.Si v es la conjugada armonica de u, se tiene


Integramos la primera ecuación con respecto a x se obtiene

..............1

Ha hora tenemos que:

integrando con respecto a tenemos

Al sustituir en la ecuación 1 obtenemos

esta es la función armónica--Diana Rodriguez Almaraz. 18:55 1 dic 2010 (UTC)


3. Encuentre integrando parciales la función armónica conjugada de la función

Dada una función armónica u, para encontrar una función v que sea armónica conjugada de u basta con resolver el sistema planteado por las ecuaciones de Cauchy-Riemann

basta con resolver

Para hallar usamos la otra ecuación Como debe cumplirse tenemos

integrando

Asi vemos que

Por lo tanto es la armónica conjugada de u.


--Carlos López Cobá 08:06 3 dic 2010 (UTC)

4. Calcule el valor máximo y mínimo de la función en el conjunto , y diga en qué punto (o puntos) se alcanzan estos valores.

SOLUCIÓN:

Por el principio del Módulo Máximo, el máximo valor de se alcanza en la frontera de este rectángulo. El máximo para esta expresión se da para:

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & x=-2 \\ & y=0 \\ </math>

por lo tanto el valor máximo de la función es 6. El mínimo para esta expresión se da para:

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): <math> & x=1 \\ & y=0 \\ </math>

por lo tanto el valor mínimo de la función es 1. --Osvaldo Macías 03:51 7 dic 2010 (UTC)


5.-Sea f una función holomorfa en tal que para toda z , demuestre que esta función es constante.

Del teorema 2.5.4 podemos escribir que para z diferente de cero.

luego tomemos a z=3 y podemos escribir


pero entonces la funcion alcanza un maximo en un punto interior del circulo y por lo que conforme al Teorema 2.5.3 la funcion es constante. --EDUARDO 08:48 8 dic 2010 (UTC)



7.- Demuestre que la funciòn es armònica en el plano complejo. Si las segundas derivadas parciales de u con respecto de x e y existen y son continuas en una regiòn R entonces:

calculando las parciales

Entonces esto es para la parte real, y se cumple que

entonces la funciòn es armònica.

--Federico Espinoza Sosa 18:23 6 dic 2010 (UTC)

5.- Sea una funcion holomorfa en tal que para toda ,demuestre que esta funcion es constante.

Sea holomorfa, donde . Supongamos tambien que , entonces , si existe , tal que entonces es una rotacion.

Solucion:

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): g(z)=<math> \frac{f(z)}{z}siz\neq0 & f'(0)siz=0 </math>

resulta que es holomorfa en y continua en por lo que si es continua en una region y analitica en entonces es analitica en entonces es holomorfa en , ahora en el circulo con para el caso

Entonces tenemos :

Por el principio del maximo tenemos que tenemos que:

es desir que

Fijando y tomando el limite cuando en ambas desigualdades se tiene que en es:

y

en particular para aplicando derivada tenemos: para tenemos que

Finalmente para un punto se cumple que entonces la funcion alcanza el maximo en el punto del interior por lo que constante, se concluye entonces que para alguna constante mas aun como entonces tenemos que:

--Antonio de Jesus Jimenez Lopez

7. Demuestre que la función

es armónica en el plano complejo.


La función se dice armonica si se cumple la ecuación de Laplace.


Veamos para nuestro ejemplo:





De esta manera vemos que

por lo tanto la función es armónica.

--Carlos López Cobá 12:00 9 dic 2010 (UTC)

mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)


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