Compleja:Zill-Cap6.6.2

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Ejercicios del capítulo 6, sección 6.2 del libro, A First Course in Complex Analysis with Applications de Zill y Shanahan.


Sección 6.6.2

Ejercicio 1

Evalúe el valor Principal de Cauchy de la integrañ impropia .

Se hace y --Tlacaelel Cruz (discusión) 00:34 4 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 2 (16)

Evalúe el valor Principal de Cauchy de la integral impropia

= I

Para realizar la integral se necesita hacer varios pasos.

Primero tomamos el limite de integrales reales impropias

I=

Ahora sustituimos el denominador como sigue:

Entonces sistituimos en I

I=

Ahora hacemos cambio de variable y sustituimos en la integral

I=...II

Ahora resolvemos la integral por sustitución trigonometrica, para fines practicos se van a hacer sin limites de integración, al final regresaremos a la variable original X

....III

De aqui sabemos que

Ademas

...(1)

...(2)

Sustituyendo valores en la integral III y en su momento usando (1) y (2) y regresando a las ariables originales tenemos que:

Teniendo en cuenta los limites de integracion de II

Ahora sustituyendo en I tenemos que:

I=

Por lo que

I=

Aplicando los limites tenemos

I=


Resuelto por Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 14:09 4 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 3(17)

Evalue el valor principal de Cauchy de la integral impropia


Sabemos que


Sabemos tambien que para poder hacer la integracion, es ncecesario tener una superficie cerrada, pero existe un teorema que dice que si la potencia del denominador es dos veces mas grande que la del numerador, una parte de la integral tiende a cero, en simbolos


Donde

Asi pues tenemos que


Podemos ver que hay dos polos de orden dos,

Usando


con

Para


Para



Jose Emmanuel Flores Calderón (discusión) 02:55 4 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 4 (18)

Evaluar el valor principal de Cauchy de la integral impropia


Sol. Dividamos la integral en dos partes para evaluarlas como integrales impropias.




Resolvamos primero la integral y después aplicamos límite. Sea , , sustituimos



Con , . Sustituimos



Volvemos a nuestras variables originales sustituyendo y evaluando límites





Por tanto, escribimos


V.P.


Oscar Javier Gutierrez Varela (discusión) 17:53 4 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 5(19)

Evalué el valor principal de Cauchy de la integral impropia dada,

tomamos el contorno cerrado C que contiene el intervalo (-R,R) en el eje "x" y la semicircuferencia de radio Cr de radio R>i, como se observa a continuación


Tiene dos polos simples diferentes de roden 2 , ahora por el teorema del residuo, tenemos:

donde tomando en cuenta que el el polo z=i, de orden 3 encontramos respectivamente,

Entonces el Valor principal es:

ó


Elaborado por Ricardo García Hernández--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 18:36 4 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 6(20)

Evalué el valor principal de Cauchy de la integral impropia dada,


Dividamos la integral en dos partes para evaluarlas como integrales impropias.




Resolveremos primero la integral

Para ello sea , , sustituimos



Con


Resolviendo por cambio de variable siendo y por lo tanto

Por lo que la integral queda

Volvemos a nuestras variables originales sustituyendo y evaluando límites




Por tanto, escribimos


V.P.

--Pablo (discusión) 05:31 5 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 20

Evalue el valor principal de Cauchy de la integral impropia dada.

20.-


Primero reescribimos la integral en dos partes


Si hacemos el cambio de variable entonces:


Ahora evaluamos



Finalmente

=0


--Fernando Vazquez V. (discusión) 05:48 5 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 21

Evalue el valor principal de Cauchy de la integral impropia.



Si tomo como:



Ahora factorizo :



Y claramente se ve que los polos de la función son: , ; son polos simples.


Ahora si integramos sobre como una circunferencia , centrada en el origen de radio ; los polos y estan en el interior de la curva. De modo que:



Obtenemos los residuos de los polos




Por lo tanto:



Nancy Martínez Durán (discusión) 06:20 5 jul 2015 (CDT)


ejercicio 23.

evalúe el valor principal de Cauchy de la integral impropia dada

nosotros sabemos que

primero calcularemos

sólo tomaremos esos dos reciduos ya que son los polos simples en la mitad superior del plano y estos son

,

y del libro usamos el método alternativo para calcular el resíduo en un polo simple

tenemos que

pero por



--Juan Daniel Rivera Bautista (discusión) 00:14 6 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 23

Evalue el valor principal de Cauchy de la integral impropia.

Tomemos

sea

Teniendo polos de la función z=i, z=-i, y z=+1, z=-1

Y por definicion sabemos que:

Por tanto:


Samantha Martinez (discusión) 23:30 5 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 24

Evalúa el valor principal de Cauchy de la integral impropia dada



La integral puede reescribirse como:



La función puede verse en el plano complejo como:



Y así podemos decir que la integral esta encerrada en un contorno que seria una circunferencia de radio



Por Teorema de Residuo:



En este caso por el contorno solo nos interesa el que es el punto que se encuentra encerrado en nuestro contorno, entonces el residuo nos queda:



Sustituyendo este valor en nuestra integral tendríamos :





Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 15:52 5 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 25

Evalue el valor principal de Cauchy de la integral impropia



Solucion:


Como el integrando es una función par de , podemos reescribir



Reescribiendo la integral a una integral de contorno obtenemos que



que es lo mismo que escribir



donde


y el residuo es


Por ultimo suponemos que



es decir



Miguel Medina Armendariz (discusión) 02:49 5 jul 2015 (CDT)


Compañero cuando calculas el residuo de tu función como solo nos importa un punto que es por nuestro contorno que es solo la mitad de una circunferencia tenemos

Y sustituyendo en: tenemos

Por lo que tu integral quedaría

Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 23:57 5 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 27

Evalúe el valor principal de Cauchy de la integral impropia dada.



Esta se puede reescribir como


Por el teorema se tiene que:


Donde :


Entonces:



Alejandro Juárez Toribio (discusión) 00:56 6 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 28


Se trata de una función par:


El limite de integración se encuentre de a entonces podemos escribir la integral como:



Usando el teorema 6.6.2, la integral se convierte en:


La función en términos de z


entonces


Sabemos que sus polos son simples y sus valores son y evaluaremos en ya que entonces:




--Esther Sarai (discusión) 18:49 5 jul 2015 (CDT)Esther Sarai

Ejercicio 29

In Problems 27\textendash 38, evaluate the Cauchy principal value of the given improper integral.

traduccion:

En los problemas 27 a 38 , evaluar el valor principal de Cauchy de lo dado inadecuada integral

primero tenemos el siguiente teorema:

suponga es una función racional, donde el grado de p ( z) es n y el grado de q ( z ) es m \ensuremath{\ge} n + 2. Si CR es un contorno semicircular 0 \ensuremath{\le} \textgreek{j} \ensuremath{\le} \textgreek{p} , y \textgreek{a} \textgreater{} 0, entonces , \textrightarrow{} 0 cuando R \textrightarrow{} \ensuremath{\infty} .

podemos escribir la integral del siguiente modo:

por el teorema 6.16 del libro de \textbf{Compleja:Zill-Cap6 podemos escribir lo siguiente:}

donde

entonces calculmos

son dos polo simple por tanto el residuo se calcula de la siguiente manera

a partir de ( 4 ) de la Sección 6.5 . Entonces , el teorema 6.18 concluimos \textrightarrow{} 0 cuando R \textrightarrow{} \ensuremath{\infty} .entonces

PV

pero la exponencial la podemos descomponer asi:

Igualando las partes real e imaginaria en la última línea da el resultado


--Martin Flores Molina (discusión) 13:05 15 mayo 2015 (CDT) ----



Compañero, tienes que integrar sobre media circunferencia en un intervalo de y de este modo solo te queda el polo porque esta en el interior de la curva.



Si:


Así que:




Y por lo tanto:



Nancy Martínez Durán (discusión) 07:44 5 jul 2015 (CDT)





Ejercicio 31

Evalúe el valor principal de Cauchy de la integral impropia


. Primero observe que los límites de integración en la integral dada no son a como lo requiere el método de V.P de Cauchy. Esto se puede remediar observando que, ya que el integrando es una función par de , podemos escribir

Con ahora se forma la integral de contorno

donde es el contorno cerrado que consiste en el intervalo en el eje y la semicircunferencia de radio de radio . Por el Teorema del residuo de Cauchy


donde , y



Entonces, del concluimos que cuando , y así


Pero por


Tengo que


Igualando las partes reales e imaginarias en el último renglón se obtiene el resultado

junto con



Por último, considerando el hecho de que el integrando es una función par, obtenemos el valor de la integral indicada:




--Emmanuell Castro Flores (discusión) 17:19 5 jul 2015 (CDT)



Ejercicio 31

Evalué el valor principal de Cauchy de la integral impropia dada.

Como podemos observar esta integral es la parte de real de la siguiente integral:

Por la teoria de los residuos reemplazamos x por la variable compleja z y se integra la funcion compleja en un contorno cerrado que consiste en el intervalo [-R,R] y en una semicircunferencia de radio suficiente grande para incluir los polos de la función.

Por lo anterior tenemos:

Con lo cual nuestra integral queda de la manera siguiente:

Como vemos los polos de nuestra integral son asi pues la integral se reescribe como:

Un polo que esta dentro de nuestro contorno es en por lo cual por Cauchy calcularemos nuestro residuo.

Asi :

Pero este resultado es evaluando la integral de:

Ahora bien por ser una funcion par podemos llegar a que :

Por lo tanto:

--Anahi Limas (discusión) 17:11 5 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 33

evalué el valor principal de Cauchy de la integral impropia dada


como se sabe el valor principal de Cauchy se escribe como

ademas:

factorizando

escribiendola como una integral de contorno

ademas

donde:

ademas como son polos simples

del teorema del residuo de un polo simple

por el teorema del residuo de Cauchy

donde

=

pero solo tiene sentido calcular para

así

pero como:

entonces:

analizando solo

)

--Francisco Medina Albino (discusión) 04:24 5 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 35

Evalué el valor principal de Cauchy de la la integral impropia dada.

Como podemos observar esta integral es la parte de real de la siguiente integral.

Por la teoria de los residuos reemplazamos por la variable compleja y se integra la funcion compleja en un contorno cerrado que consiste en el intervalo y en una semicircunferencia de radio suficiente grande para incluir los polos de la función.

Por lo anterior tenemos:

, donde también lo podemos expresar de la forma:

Como podemos observar tenemos polos en , peor por lo propuesto anteriormente para hacer el cambio de variable la semicircunferencia es de radio , por lo cual dentro de nuestro contorno solo estan ubicados para lo cuales calcularemos los residuos correspondientes.

para , tenemos:

para , tenemos:

Por lo cual tenemos que:

Sustituyendo:


Asi pues:

--Anahi Limas (discusión) 19:14 5 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 34

Evaluar el valor principal de cauchy de la integral impropia dada

Primero podemos ver que la integral dada no tiene los límite s de menos infinito hasta infinito como lo requiere el método,

sin embargo, se puede remediar observando que, ya que es una función par, podemos escribir como sigue:


Entonces si considerando y entonces podemos escribir:


Cuando con ahora se forma la integral de contorno:


Donde y por tanto:


Tenemos un polo de orden 4 en


Entonces concluimos que cuando , y así


Finalmente, tomando en cuenta que la función es una función par, se obtiene el valor de la integral indicada.


--A. Martín R. Rabelo (discusión) 23:43 5 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 39

Comprueba el resultado de la siguiente integral:



La integral se puede escribir como:



Hacemos uso del siguiente Teorema:



Si consideremos:



Encontramos los polos, que en este caso tiene un polo simple en el origen . Y además con residuo = 1 .


Entonces la integral queda:



Ya que el integrando es par; y además:



Por lo tanto:



Y recordando que tiene un solo polo en



Y por consecuencia:



Nancy Martínez Durán (discusión) 04:43 5 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 40

40. Utilice un contorno y residuos para encontar el V.P. de Cauchy para la integral impropia dada :\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin{x}}{x(x^2+1)}dx=\pi(1-e^{-1})

Solución:

Sea .Entonces: ; donde:

figura

es el arco de la semicircunferencia con centro en y radio y . es es arco de la semicircunferencia con centro en y radio

Si (teorema 6.18)

Por el teorema 6.19 se tiene: .

Regresando a (1):

.(Se utilizó el hecho : ).

Por otro lado:

Sabemos que:.

Entonces:

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): \int_{-\infty}^{0}f(x)dx-\pi i res(f(z),z=0)+\int_0^{\infty}f(x)dx=&2\pi ires(f(z),z=i)\\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=&2\pi ires(f(z),z=i)+\pi i res(f(z),z=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=&(\pi i)[2(-\frac{e^{-1}}{2})+(1)] \\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=&(\pi i)[(-e^{-1})+(1)]\\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=&\pi(1-e^{-1})i\\


Por igualdad de números complejos tenemos: Im(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(\cos{x}+i\sin{x})}{x(x^2+1)}dx)=\pi(1-e^{-1}) .

Por lo tanto: .

Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 16:36 5 jul 2015 (CDT)


Ejercicio 42

42. Utilice un contorno y residuos para encontar el V.P. de Cauchy para la integral impropia dada :\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\cos{x}}{x^2-3x+2}dx=\pi[\sin{1}-2\sin{2}]

Solución:

Sea .

Entonces: ; donde:

figura

Con: .

Si (teorema 6.18)

Por el teorema 6.19 se tiene: .

Note además que no están en la región limitada por y por ello es analítica en dicho conjunto , entonces por el teorema de Cauchy .

Por otro lado:

Entonces en (1), tenemos:

No se pudo entender (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («<p>Ha habido un problema durante la solicitud HTTP: 400 Bad Request </p>») del servidor «http://localhost:10044/»:): 0+\int_{-\infty}^{1}f(x)dx-\pi i res(f(z),z=1)+\int_{1}^{2}f(x)dx-\pi i res(f(z),z=2)+\int_{2}^{\infty}f(x)dx=&0\\ \int_{-\infty}^{1}f(x)dx+\int_{1}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{\infty}f(x)dx=&\pi i [res(f(z),z=1)+res(f(z),z=2)]\\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=&\pi i [res(f(z),z=1)+res(f(z),z=2)]\\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=&\pi i [-(\cos{1}+i\sin{1})+2(\cos{2}+i\sin{2})]\\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=&\pi [(-i\cos{1}+\sin{1})+2(i\cos{2}-\sin{2})]\\ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=&\pi(\sin{1}-2\sin{2})+i\pi(2\cos{2}-\cos{1})\\


Por igualdad de números complejos se tiene:

Por lo tanto:

Alan Daniel Barrón Posadas (discusión) 18:53 5 jul 2015 (CDT)


Contribución

Como posible contribución:

Integrales de Fresnel\\

En el curso de Óptica (refracción), se emplean:

, que son iguales a .

En efecto,sea