álgebra de escatores reales

Enviado por mfg el Vie, 03/11/2017 - 13:41

El conjunto de los escatores hiperbólicos se representa con un subíndice "+" de la siguiente manera, $\mathbb{E}_{+}^{1+n}$. Estos números tienen su propia álgebra la cual es no distributiva, es decir el producto no distribuye sobre la adición, lo cual se verá de manera más clara aqui adelante al plantear la definición del producto entre escatores. Un escator en la representación aditiva, se escribe como \begin{equation}
  \ \overset{o}\varphi=f_{0} + \sum_{j=1}^{n}{f_{j}\hat{\mathbf{e}}_{j} } ,
\end{equation}con $f_{0}, f_{j} \in \mathbb{R}$ para toda $j:[1,n]$ y $\hat{\mathbf{e}}_{j} \notin \mathbb{R}$. Los escatores se componen de una parte escalar, y $n$ partes directoras. Una particularidad de los escatores reales, similar a los números hiperbólicos, radica en que el producto $\hat{\mathbf{e}}_{j} \hat{\mathbf{e}}_{l}=\delta_{j,l}$, a diferencia de los números escatores imaginarios en los cuales el signo de la delta es negativo.

Suma de escatores 

Sean dos escatores $\overset{o}\alpha=a_{0} + \sum_{j=1}^{n}{a_{j}\hat{\mathbf{e}}_{j}}$ y $\overset{o}\beta=b_{0} + \sum_{j=1}^{n}{b_{j}\hat{\mathbf{e}}_{j}}$. La suma de ellos, es decir $\overset{o}\gamma=\overset{o}\alpha + \overset{o}\beta=g_{0} + \sum_{j=1}^{n}{g_{j}\hat{\mathbf{e}}_{j}}$, se realiza componente a componente de la siguiente manera,
\begin{equation}\overset{o}\gamma=(a_{0}+b_{0})+\sum_{j=1}^{n}({a_{j}+b_{j})\hat{\mathbf{e}}_{j}}\end{equation}

Podemos observar que la parte escalar del nuevo escator se ubica en el primer paréntesis y es la suma de las componentes escalares de los escatores $\overset{o}\alpha$ y $ \overset{o}\beta$. De la misma manera la parte directora del escator resultante se ubica en el segundo parentesis y es la suma de las partes directoras de dichos escatores.

Producto  de escatores

La definición del producto entre dos escatores se puede dividir en tres casos:

Caso 1

Sean $\overset{o}\alpha$ y $\overset{o}\beta$ dos escatores tal que $a_{0}b_{0}\neq 0$ entonces el producto entre ellos, es decir $\overset{o}\gamma=\overset{o}\alpha\overset{o}\beta$ queda definido de la siguiente manera:\begin{equation}\overset { o }\gamma   ={ a }_{ 0 }{ b }_{ 0 }\prod _{ k=1 }^{ n }{ \left( 1+\frac { { a }_{ k }{ b }_{ k } }{ { a }_{ 0 }{ b }_{ 0 } }  \right) +{ a }_{ 0 }{ b }_{ 0 }\sum _{ j=1 }^{ n }{ \left[ \prod _{ k\neq j }^{ n }{ \left( 1+\frac { { a }_{ k }{ b }_{ k } }{ { a }_{ 0 }{ b }_{ 0 } }  \right) \left( \frac { { a }_{ j } }{ { a }_{ 0 } } +\frac { { b }_{ j } }{ { b }_{ 0 } }  \right)  }  \right]  }  } { \hat {\mathbf{ e }  }_{ j }}.\end{equation}

Caso 2

Si uno de los escatores involucrados en el producto tiene solamente una componente directora posiblemente diferente de cero $a_{0}=0, b_{0}\neq 0$, es decir $\overset{o}\alpha={a}_{l}  { \hat {\mathbf{  e }  }_{ l }}$ y el escator restante sea $\overset{o}\beta=b_{0} + \sum_{j=1}^{n}{b_{j}}{\hat{\mathbf{e}}_{j}}$, tal que $b_{0}$, entonces el producto entre ellos se define como sigue:\begin{equation}\overset { o }{ \gamma  } =\left( { a }_{ l }{ b }_{ l } \right) +\left( { a }_{ l }{ b }_{ 0 } \right) { \hat { \mathbf{ e }  }_{ l }}+\sum _{ j\neq l }^{ n }{ \left( \frac { { a }_{ l }{ b }_{ l }{ b }_{ j } }{ { b }_{ 0 } }  \right)  } { \hat {\mathbf{ e }  }_{ j }}.\end{equation}

Caso 3

Por último cuando ambos factores tienen componente escalar cero, $a_{0}=0, b_{0}= 0$ es decir, sea $\overset{o}\alpha={a}_{l}  { \hat {\mathbf{  e }  }_{ l }}$ y $\overset{o}\beta={b_{j}\hat{\mathbf{e}}_{j}}$. Entonces el producto entre esos  escatores queda definido como sigue:\begin{equation}\overset { o }{ \gamma  } =({a}_{l}  { \hat {\mathbf{  e }  }_{ l }})({b_{j}\hat{\mathbf{e}}_{j}})={a}_{l} b_{j} \delta_{lj},\end{equation}

Es posible obtener el siguiente caso, de los tres previos:

Sean dos escatores tal que ambos posean parte escalar arbitraria real y a  lo más una parte directora diferente de cero, es decir:$\overset{o}\alpha={a}_{0}+{a}_{l}  { \hat {\mathbf{  e }  }_{ l }}$ y $\overset{o}\beta={b}_{0}+{b}_{j}  { \hat {\mathbf{e}  }_{ j }}$ entonces el producto entre ellos queda definido de la siguiente manera:\begin{equation}\overset { o }{ \gamma  } ={ a }_{ 0 }{ b }_{ 0 }+{ a }_{ l }{ b }_{ j }{ \delta  }_{ lj }+{ b }_{ 0 }{ a }_{ l }{ \hat { \mathbf{ e }  }_{ l }}+{ a }_{ 0 }{ b }_{ j }{ \hat {\mathbf{  e }  }_{ j }}.\end{equation}

Si  el escator $\overset{o}\alpha$ solo tiene componente escalar no nula y todas sus componentes directoras son nulas, $\overset{o}\alpha={a}_{0}$, del caso 1 se obtiene

\begin{equation}{a}_{0}\overset{o}\beta={a}_{0}b_{0} + \sum_{j=1}^{n}{a}_{0}{b_{j}\hat{\mathbf{e}}_{j}}\end{equation}