involución de escatores imaginarios

Enviado por mfg el Mar, 07/11/2017 - 11:39

Conjugación

La  involución principal de órden 2 de un escator ${\overset {o}{ \varphi}  } ={ f }_{ 0 }+\sum _{ j=1 }^{ n }{ { f }_{ j }{ \check { \mathbf{ e }  }_{ j } }} $ queda definido por el negativo de sis componentes directoras, miestras que la componente escalar permanece sin cambios ${ \overset{o}{\varphi}  }^{ \ast  }={ f }_{ 0 }-\sum _{ j=1 }^{ n }{ { f }_{ j }{ \check {\mathbf{  e }  }_{ j } }} $.

Magnitud

Se define el cuadrado de la magnitud de un escator como el producto de este mismo por su conjugado,  es decir, $\left\| \overset{o}{\varphi}  \right\| ^{ 2 } =\overset{o}{\varphi} { \overset{o}{\varphi}  }^{ \ast}$ , entonces para dos o más componentes directoras del escator en cuestión la operación queda definida como sigue:\begin{equation}\left\| \overset{o}{\varphi}  \right\| ^{ 2 }=\overset{o}{\varphi} { \overset{o}{\varphi}  }^{ \ast  }={ f }_{ 0 }^{ 2 }\prod _{ k=1 }^{ n }{ \left( 1+\frac { { f }_{ k }^{ 2 } }{ { f }_{ 0 }^{ 2 } }  \right)  }, \end{equation} si solo se tiene la componente escalar y una sola de dirección, es decir la ${ l }^{ ésima }$ componente, entonces la magnitud al cuadrado es:\begin{equation}{ \left\| \overset{o}{\varphi}  \right\|  }^{ 2 }=\overset{o}{\varphi} { \overset{o}{\varphi}  }^{ \ast }=\left( { f }_{ 0 }^{ 2 }+{ f }_{ l }^{ 2 } \right).\end{equation}

La magnitud está dada por la raíz cuadrada positiva

\begin{equation}\left\| \overset{o}{\varphi}  \right\|=\bigl|f_{0}\bigr|\prod_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{f_{k}^{2}}{f_{0}^{2}}}.\label{eq:a to m-vars scal} \end{equation}

imaginary scators constant magnitude
cusfera: hipersuperficie de escatores imaginarios de magnitud constante

Inverso multiplicativo

Por medio de las definiciones anteriores, es decir, el conjugado  y la magnitud al cuadrado de un escator, podemos definir su inverso multiplicativo. Sea $\overset{o}{\varphi} $ un escator cualquiera, entonces su inverso es ${ \overset{o}{\varphi}  }^{ -1 }=\frac { { \overset{o}{\varphi}  }^{ \ast } }{ \overset{o}{\varphi} { \overset{o}{\varphi}  }^{\ast } } $, se puede observar que el término en el denominador es la magnitud al cuadrado de $\overset{o}{\varphi}$, por lo tanto, si sustituimos el valor de la magnitud para componente escalar y $n$ componentes directoras se obtiene \begin{equation}{ \overset{o}{\varphi}  }^{ -1 }=\frac {  { f }_{ 0 }-\sum _{ j=1 }^{ n }{ { f }_{ j }{ \check {\mathbf{  e }  }_{ j } }} }{ { f }_{ 0 }^{ 2 }\prod _{ k=1 }^{ n }{ \left( 1+\frac { { f }_{ k }^{ 2 } }{ { f }_{ 0 }^{ 2 } }  \right)  }  } , \end{equation} en el caso en que solo se tenga componente escalar y la ${ l }^{ ésima }$  componente de dirección, se escribe el inverso multiplicativo de la siguiente manera \begin{equation}{ \overset{o}{\varphi}  }^{ -1 }=\frac { { f }_{ 0 }- {{ f }_{ l }{ \check {\mathbf{  e }  }_{ l } }} }{ \left( { f }_{ 0 }^{ 2 }+{ f }_{ l }^{ 2 } \right)  }. \end{equation}

cusfera: hiper superficie de magnitud constante