mapeo cuadrático

Enviado por mfg el Mar, 07/11/2017 - 10:43

El mapeo cuadrático está dado por \begin{equation}\overset { o }{ \varphi  } ={ \overset { o }{ \varphi  }  }_{ 0 }^{ 2 }+\overset { o }{ c } ,\end{equation} donde la variable $\overset { o }{ \varphi  } $ y la constante $\overset { o }{ c } $ son elementos escatores. La función iterada satisface la siguiente relación de recurrencia \begin{equation} \overset { o } { \varphi  }_{ n+1 }  ={ \overset { o }{ \varphi  }  }_{ n }^{ 2 }+\overset { o }{ c },   \end{equation} donde el subíndice indica el número de iteración.

ix set - view from hypercomplex y axis
conjunto ix  c2i0E-1+2(-0.6;.03,-.15)(-.8;-1.65,1.65)

espacio dinámico

Se considera un punto del espacio hiper complejo, digamos $\overset{o}{c}_{0}$. Y se comienza con otro punto en el espacio hiper complejo $\overset{o}{\zeta}_{1}$. Se realiza la composición cuadrática más constante de manera iterada $ \overset{o}{\zeta}_{n+1}=z_{n}^{2}+\overset{o}{c}_{0} $. Las primeras iteraciones son

\begin{equation} \overset{o}{\zeta}_{2}  =  \overset{o}{\zeta}_{1}^{2}+\overset{o}{c}_{0}\end{equation}

\begin{equation} \overset{o}{\zeta}_{3}  =  \left(\overset{o}{\zeta}_{1}^{2}+\overset{o}{c}_{0}\right)^{2}+\overset{o}{c}_{0}\end{equation}

\begin{equation} \overset{o}{\zeta}_{4}  =  \left(\left(\overset{o}{\zeta}_{1}^{2}+\overset{o}{c}_{0}\right)^{2}+\overset{o}{c}_{0}\right)^{2}+\overset{o}{c}_{0}\end{equation}

Se evalúa para los distintos puntos $\overset{o}{\zeta}$ del espacio hiper complejo. Después de muchas iteraciones se observa si la magnitud del número escator $\overset{o}{\zeta}$ diverge o se mantiene acotada.

Los puntos del espacio hiper complejo que despues de muchas iteraciones no divergen conforman el conjunto (en el espacio hiper complejo) acotado ante el mapeo cuadrático mediante el álgebra de los escatores. Hay un conjunto en el espacio hiper complejo para cada constante $\overset{o}{c}_{0}$. Cada punto del espacio hiper complejo tiene, por así decirlo una huella digital.

En el álgebra de los complejos, los puntos del mapeo cuadrático pertenecen al conjunto de Fatou si existe una vecindad $U$ de $z$ en $\bar{\mathbb{C}}$ tal que la familia de iteraciones $\left\{ R^{n}|U\right\} $ es una familia equicontinua. Una familia de funciones $\left\{ f_{i}:X\rightarrow X\right\} $ es equicontinua si dado $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ de manera que $d\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta$ implica $d\left(f_{i}\left(x_{1}\right),f_{i}\left(x_{2}\right)\right)<\varepsilon$ para toda $i$, donde $X$ es un espacio métrico con métrica $d$.

Entonces, los puntos que no están en la frontera entre acotados y no acotados pertenecen al conjunto de Fatou. Mientras que aquellos en la frontera tienen una vecindad donde algunos de los puntos divergen y otros están acotados. Los puntos que no pertenecen al conjunto de Fatou, pertenecen al conjunto de Julia. Entonces los puntos de la frontera conforman el conjunto de Julia.

El conjunto de Julia relleno, esta conformado por los puntos que no divergen, es decir contiene los puntos del conjunto de Fatou que no son atraídos al infinito. Este conjunto coincide con el conjunto acotado ante el mapeo cuadrático. La frontera entre los puntos que divergen y los que no es extremadamente intrincada. Se pueden colorear los puntos dependiendo de que tan rápido divergen ante el proceso iterativo.

Si el punto inicial es $\overset{o}{\zeta}_{1}=\overset{o}{c}_{0}$ entonces el punto es parte de la iteración a la Julia y a la Mandelbrot.

el origen

Si el punto inicial del espacio hipercomplejo es cero $\overset{o}{c}_{0}=0$, entonces después de $n$ iteraciones \[ \overset{o}{\zeta}_{n}=\overset{o}{\zeta}_{1}^{2n-1} \]

Si se considera la representación multiplicativa, el número escator con magnitud mayor que uno diverge y menor que uno converge. Es decir, el conjunto acotado es una cusfera de 'radio' unitario. Los puntos dentro de la cusfera tienden al origen y fuera de la cusfera tienden a infinito. La frontera es entonces la superficie de magnitud constante igual a uno.

espacio de parámetros

En el espacio de parámetros se inicia la iteración siempre con un valor inicial cero $\overset{o}{\zeta}=0$, de manera que los primeros valores de $\overset{o}{\zeta}$ son

\begin{equation}\overset{o}{\zeta}_{1}  =  0\end{equation}

\begin{equation}\overset{o}{\zeta}_{2}  =  \overset{o}{c}_{0}\end{equation}

\begin{equation}\overset{o}{\zeta}_{3}  =  \overset{o}{c}_{0}^{2}+ \overset{o}{c}_{0}\end{equation}

\begin{equation}\overset{o}{\zeta}_{4}  =  \left(\overset{o}{c}_{0}^{2}+\overset{o}{c}_{0}\right)^{2}+\overset{o}{c}_{0}\end{equation}

Los puntos del espacio hiper complejo que despues de muchas iteraciones no divergen conforman el conjunto en el espacio hiper complejo acotado ante el mapeo cuadrático en el espacio de parámetros mediante el álgebra de los escatores. Dicho conjunto es una generalización del conjunto de Mandelbrot.