involución de escatores reales

Enviado por mfg el Vie, 03/11/2017 - 17:22

Conjugación

La  involución principal de órden 2 de un escator ${ \varphi  } ={ f }_{ 0 }+\sum _{ j=1 }^{ n }{ { f }_{ j }{ \hat { \mathbf{ e }  }_{ j } }} $ queda definido por el negativo de sis componentes directoras, mientras que la componente escalar permanece sin cambios ${ \varphi  }^{ \ast  }={ f }_{ 0 }-\sum _{ j=1 }^{ n }{ { f }_{ j }{ \hat {\mathbf{  e }  }_{ j } }} $.El ${ j }^{ ésimo }$ director conjugado de un escator $\varphi =\left( { f }_{ 0 };{ f }_{ 1 },...,{ f }_{ j },...,{ f }_{ n } \right)$,se etiqueta con un asterisco y se define como el negativo de la  ${ j }^{ ésima}$ componente directora, mientras que todas las demas permanecen sin cambios ${ \varphi  }^{ \ast j }\equiv \left( { f }_{ 0 };{ f }_{ 1 },...,{ -f }_{ j },...,{ f }_{ n } \right)$.

Magnitud

Se define el cuadrado de la magnitud de un escator como el producto de este mismo por su conjugado,  es decir, $\left\| \varphi  \right\| ^{ 2 } =\varphi { \varphi  }^{ \ast}$ , entonces para dos o más componentes directoras del escator en cuestión la operación queda definida como sigue:\begin{equation}\left\| \varphi  \right\| ^{ 2 }=\varphi { \varphi  }^{ \ast  }={ f }_{ 0 }^{ 2 }\prod _{ k=1 }^{ n }{ \left( 1-\frac { { f }_{ k }^{ 2 } }{ { f }_{ 0 }^{ 2 } }  \right)  }, \end{equation} si solo se tiene la componente escalar y una sola de dirección, es decir la ${ l }^{ ésima }$ componente, entonces la magnitud al cuadrado es:\begin{equation}{ \left\| \varphi  \right\|  }^{ 2 }=\varphi { \varphi  }^{ \ast }=\left( { f }_{ 0 }^{ 2 }-{ f }_{ l }^{ 2 } \right).\end{equation}

Inverso multiplicativo

Por medio de las definiciones anteriores, es decir, el conjugado  y la magnitud al cuadrado de un escator, podemos definir su inverso multiplicativo. Sea $\varphi $ un escator cualquiera, entonces su inverso es ${ \varphi  }^{ -1 }=\frac { { \varphi  }^{ \ast } }{ \varphi { \varphi  }^{\ast } } $, se puede observar que el término en el denominador es la magnitud al cuadrado de $\varphi$, por lo tanto, si sustituimos el valor de la magnitud para componente escalar y $n$ componentes directoras se obtiene \begin{equation}{ \varphi  }^{ -1 }=\frac { { \varphi  }^{\ast } }{ { f }_{ 0 }^{ 2 }\prod _{ k=1 }^{ n }{ \left( 1-\frac { { f }_{ k }^{ 2 } }{ { f }_{ 0 }^{ 2 } }  \right)  }  } , \end{equation} en el caso en que solo se tenga componente escalar y la ${ l }^{ ésima }$  componente de dirección, se escribe el inverso multiplicativo de la siguiente manera \begin{equation}{ \varphi  }^{ -1 }=\frac { { \varphi  }^{ \ast } }{ \left( { f }_{ 0 }^{ 2 }-{ f }_{ l }^{ 2 } \right)  }. \end{equation}