álgebra de escatores imaginarios

Enviado por mfg el Vie, 03/11/2017 - 14:15

El conjunto de los escatores elípticos se representa con un subíndice "-", $\mathbb{E}_{-}^{1+n}$. Un escator en la representación aditiva, se escribe como \begin{equation}
  \ \overset{o}\varphi=f_{0} + \sum_{j=1}^{n}{f_{j}\check{\mathbf{e}}_{j} } ,
\end{equation}con $f_{0}, f_{j} \in \mathbb{R}$ para toda $j:[1,n]$ y $\check{\mathbf{e}}_{j} \notin \mathbb{R}$. Los escatores se componen de una parte escalar, y $n$ partes directoras.

Suma de escatores

Sean dos escatores $\overset{o}\alpha=a_{0} + \sum_{j=1}^{n}{a_{j} \check{\mathbf{e}}_{j}}$ y $\overset{o}\beta=b_{0} + \sum_{j=1}^{n}{b_{j}\check{\mathbf{e}}_{j}}$. La suma de ellos, es decir $\overset{o}\gamma=\overset{o}\alpha + \overset{o}\beta=g_{0} + \sum_{j=1}^{n}{g_{j}\check{\mathbf{e}}_{j}}$, se realiza componente a componente de la siguiente manera,
\begin{equation}
  \ \overset{o}\gamma=(a_{0} + b_{0}) + \sum_{j=1}^{n}({a_{j}+ b_{j})\check{\mathbf{e}}_{j}}.
\end{equation}Podemos observar que la parte escalar del nuevo escator se ubica en el primer paréntesis y es la suma de las componentes escalares de los escatores $\overset{o}\alpha$ y $ \overset{o}\beta$. De la misma manera la parte directora del escator resultante se ubica en el segundo parentesis y es la suma de las partes directoras de dichos escatores.

Producto  de escatores

La definición del producto entre dos escatores se puede dividir en tres casos:

Caso 1

Sean $\overset{o}\alpha$ y $\overset{o}\beta$ dos escatores tal que $a_{0}b_{0}\neq 0$ entonces el producto entre ellos, es decir $\overset{o}\gamma=\overset{o}\alpha\overset{o}\beta$ queda definido de la siguiente manera \begin{equation}\overset { o }\gamma   ={ a }_{ 0 }{ b }_{ 0 }\prod _{ k=1 }^{ n }{ \left( 1-\frac { { a }_{ k }{ b }_{ k } }{ { a }_{ 0 }{ b }_{ 0 } }  \right) +{ a }_{ 0 }{ b }_{ 0 }\sum _{ j=1 }^{ n }{ \left[ \prod _{ k\neq j }^{ n }{ \left( 1-\frac { { a }_{ k }{ b }_{ k } }{ { a }_{ 0 }{ b }_{ 0 } }  \right) \left( \frac { { a }_{ j } }{ { a }_{ 0 } } +\frac { { b }_{ j } }{ { b }_{ 0 } }  \right)  }  \right]  }  } { \check {\mathbf{ e }  }_{ j }}.\end{equation}

Caso 2

Si uno de los escatores involucrados en el producto tiene solamente una componente directora posiblemente diferente de cero $a_{0}=0, b_{0}\neq 0$, es decir $\overset{o}\alpha={a}_{l}  { \check {\mathbf{  e }  }_{ l }}$ y el escator restante sea $\overset{o}\beta=b_{0} + \sum_{j=1}^{n}{b_{j}}{\check{\mathbf{e}}_{j}}$, tal que $b_{0}$, entonces el producto entre ellos se define como sigue \begin{equation}\overset { o }{ \gamma  } =\left(- { a }_{ l }{ b }_{ l } \right) +\left( { a }_{ l }{ b }_{ 0 } \right) { \check { \mathbf{ e }  }_{ l }}-\sum _{ j\neq l }^{ n }{ \left( \frac { { a }_{ l }{ b }_{ l }{ b }_{ j } }{ { b }_{ 0 } }  \right)  } { \check {\mathbf{ e }  }_{ j }}.\end{equation}

Caso 3

Por último cuando ambos factores tienen componente escalar cero, $a_{0}=0, b_{0}= 0$ es decir, sea $\overset{o}\alpha={a}_{l}  { \check {\mathbf{  e }  }_{ l }}$ y $\overset{o}\beta={b_{j}\check{\mathbf{e}}_{j}}$. Entonces el producto entre esos  escatores queda definido como sigue \begin{equation}\overset { o }{ \gamma  } =({a}_{l}  { \check {\mathbf{  e }  }_{ l }})({b_{j}\check{\mathbf{e}}_{j}})=-{a}_{l} b_{j} \delta_{lj},\end{equation}

Es posible obtener el siguiente caso, de los tres previos:

Sean dos escatores tal que ambos posean parte escalar arbitraria real y a  lo más una parte directora diferente de cero, es decir: $\overset{o}\alpha={a}_{0}+{a}_{l}  { \check {\mathbf{  e }  }_{ l }}$ y $\overset{o}\beta={b}_{0}+{b}_{j}  { \check {\mathbf{e}  }_{ j }}$ entonces el producto entre ellos puede escribirse como \begin{equation}\overset { o }{ \gamma  } ={ a }_{ 0 }{ b }_{ 0 }-{ a }_{ l }{ b }_{ j }{ \delta  }_{ lj }+{ b }_{ 0 }{ a }_{ l }{ \check { \mathbf{ e }  }_{ l }}+{ a }_{ 0 }{ b }_{ j }{ \check {\mathbf{  e }  }_{ j }}.\end{equation} Si $l=j$, este resultado reproduce el producto de números complejos.

Si  el escator $\overset{o}\alpha$ solo tiene componente escalar no nula y todas sus componentes directoras son nulas, $\overset{o}\alpha={a}_{0}$, del caso 1 se obtiene

\begin{equation}{a}_{0}\overset{o}\beta={a}_{0}b_{0} + \sum_{j=1}^{n}{a}_{0}{b_{j}\check{\mathbf{e}}_{j}}\end{equation}

entonces $\overset{o}\alpha={a}_{0}$ es un factor de escalamiento para el escator $\overset{o}\beta$. De aqui que la primer componente se denomine la componente escalar.

publicación: 2013b An elliptic non distributive algebra.