Ondas: Cuerdas y Corrientes- Transversales

ONDAS EN CABLES

Deseamos encontrar la ecuación de la onda que gobierna las perturbaciones eléctricas en una longitud uniforme de cable. Nosotros no haremos ninguna asunción acerca de la sección transversal del cable, aunque el ejemplo mostrado en fig. 1 simplemente son dos alambres paralelos separados por un espacio aéreo. Usaremos la coordenada z para medir la distancia a lo largo del cable de un extremo. Asumimos que, antes de que la perturbación llegue, la diferencia de potencial entre los conductores es cero por todas partes, y que ninguna corriente está fluyendo.

La figura 1(a) muestra el estado de la situación a algún instante durante la perturbación. El voltaje por el cable a $z$ se ha vuelto $\Psi _{v}$. Al mismo momento las corrientes $\Psi _{I}$ fluyen en los dos conductores, en las direcciones mostradas; sus magnitudes son las mismas porque el cable es uniforme a lo largo de su longitud. A la posición $z+\Delta z$ y el mismo momento, el voltaje correspondiente y valores actuales son $\Psi _{v}+\Delta \Psi _{v}$ y $\Psi _{I}+\Delta \Psi _{I}$. Dondequiera que existe una diferencia de potencial por el cable debe haber también cargas de signo opuesto en los dos conductores. Si nosotros pensamos en el cable como un gran número de condensadores cortos conectados en paralelo, la carga instantánea en el condensador entre $z$ y $z+\Delta z$ es $\left(C_{o}\Delta z\right)\Psi _{v}$, dónde $C_{o}$es la capacitancia por unidad de longitud en el cable; vea fig. 1(b). La carga, y por consiguiente el voltaje, deben cambiar con el tiempo. De hecho, la carga aumenta en proporción

$\Delta \Psi _{I}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(C_{o}\Delta z\Psi _{v}\right)=-C_{o}\Delta z\left({\frac {\partial \Psi _{v}}{\partial t}}\right)$

Al llevar al limite la ecuación anterior los valores de ∆z resultan despreciables entonces:

${\frac {\partial \Psi _{I}}{\partial z}}=-C_{o}\left({\frac {\partial \Psi _{v}}{\partial t}}\right)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

La corriente también cambiará con respecto al tiempo, y nosotros sabemos que fluctuando la corriente da lugar al voltaje inducido. La manera más fácil de discutir éstos es imaginar que el cable realmente es una cadena de vueltas cortas de longitud $\Delta z$, aislado. La vuelta a $z$ en la fig. l(c) lleva una corriente instantánea $\Psi _{I}$. Si $\Delta z$ es bastante pequeño, las corrientes imaginarias perpendiculares al cable estarán canceladas por las corrientes perpendiculares en las vueltas de la corriente de a lado, al ser de efecto neto igual que esa deuda a las corrientes en el cable real. Nosotros sabemos calcular el voltaje inducido en una vuelta cerrada; de esta manera nosotros podemos entender la inducción de voltajes a lo largo del cable.

Si la misma inductancia por unidad de longitud del cable es $L_{o}$, entonces la vuelta imaginaria entre $z$ y $\Delta z$ tiene la inductancia $L_{o}\Delta z$. El aumento en proporción nos da un voltaje inducido $-L_{o}\Delta z$ que parecerá redondo en esta vuelta. La parte del incremento de voltaje $\Delta \Psi _{v}$ entre $z$ y $z+\Delta z$ viene de este voltaje inducido. El resto simplemente es la contribución de la ley del Ohm debido a la resistencia de los conductores. Al combinar estas dos condiciones

$\Delta \Psi _{v}=-L_{o}\Delta z\left({\frac {\partial \Psi _{I}}{\partial t}}\right)-R_{o}\Delta z\Psi _{I}$

donde $R_{o}$ es la resistencia por unidad de longitud. Para una vuelta corta llevamos al limite la ecuación anterior los valores de ∆z resultan despreciables entonces:

${\frac {\partial \Psi _{v}}{\partial z}}=-L_{o}\left({\frac {\partial \Psi _{I}}{\partial t}}\right)-R_{o}\Psi _{I}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

La ecuación de la onda para $\Psi _{v}$ se encuentra rápidamente diferenciando la ecuación (1) con respecto a t, diferenciando la ecuación (2) con respecto a z, y eliminando las derivadas de $\Psi _{I}$. El resultado es

${\frac {\partial ^{2}\Psi _{v}}{\partial t^{2}}}+{\frac {R_{o}}{L_{o}}}\left({\frac {\partial \Psi _{v}}{\partial t}}\right)={\frac {1}{L_{o}C_{o}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi _{v}}{\partial z^{2}}}\right)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

La ecuación no dispersiva de onda

${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial z^{2}}}\right)$

con

$c=\left({\frac {1}{L_{o}C_{o}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

$\Gamma ={\frac {R_{o}}{L_{o}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Las Analogías Mecánicas.

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Nosotros nos aprovechamos de nuestro conocimiento del prototipo del sistema (la cuerda estirada) estableciendo un juego de analogías (tabla 1) para hacer las nuevas analogías consistente con el sistema, por ejemplo $L_{o}$ (la inductancia por unidad de longitud del cable) con $\mu$ (la masa por unidad de la longitud de la cuerda). Semejantemente, nosotros conectamos ${\frac {1}{C_{o}}}$ con la tensión T, así como ${\frac {1}{C}}$ da lugar a s. La resistencia eléctrica por unidad de longitud $R_{o}$ va naturalmente con la resistencia mecánica por unidad de longitud $\beta$.

Nosotros nos hemos encontrado previamente la carga por unidad de longitud $C_{o}\Psi _{v}$, sin embargo. Si escribimos esto como, cada cantidad que involucra $\Psi _{v}$ puede identificarse rápidamente con una cantidad análoga en el lado izquierdo de la tabla. Las cantidades restantes, involucrando $\Psi _{I}$, puede tratarse semejantemente escribiendo la corriente como ${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}$.

Para identificar la carga $\Psi$ se significaría integrando $C_{o}\Psi _{v}$ con respecto a $z$, o $\Psi _{I}$ con respecto a $t$. En cualquier caso el resultado contendría un término constante arbitrario. Claramente $\Psi _{v}$ es una variable más conveniente que $\Psi$ para las ondas del cables. No necesitamos ser específicos sobre la identidad de la carga $\Psi$, y el lado derecho de la tabla 1 no contienen ninguna entrada para $\Psi$. Vale la pena mencionar que sería $\Psi _{I}$ una variable igualmente satisfactoria para la descripción de ondas del cable. La ecuación de la onda para la corriente, se encuentra diferenciando la ecuación (1) con respecto a $z$ y la ecuación (2) con respecto a $t$

${\frac {\partial ^{2}\Psi _{I}}{\partial t^{2}}}+{\frac {R_{o}}{L_{o}}}\left({\frac {\partial \Psi _{I}}{\partial t}}\right)={\frac {1}{L_{o}C_{o}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi _{I}}{\partial z^{2}}}\right)$

es idéntico con la ecuación (3) para el voltaje; pero obviamente un juego diferente de analogías se necesitaría. Es una buena idea para hablar sobre “ondas de voltaje” o “ondas de corriente”, para hacerlo bastante claro si la variable en uso es $\Psi _{v}$ o $\Psi _{I}$.

Cable Coaxial.

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Un tipo de cable ampliamente usado para los señales de frecuencia alta consiste en un alambre cobrizo rodeado simétricamente por un cilindro sin sustancia (ver figura). Por razones mecánicas los conductores deben apoyarse de algún material aislante, pero para la simplicidad nosotros pretenderemos inicialmente que sólo tienen aire entre ellos.

Pueden calcularse el capacitancia y la inductancia de un cable coaxial bastante simple. En algunos libros de texto de electricidad se encuentan formulas como estas

${\frac {1}{C_{o}}}=\left({\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}\right)\ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)$

$L_{o}=\left({\frac {\mu _{o}}{2\pi }}\right)\ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\qquad \qquad \qquad \qquad (5)$

para un cable conductores cuyos radios internos y externos son respectivamente $r_{1}$ y $r_{2}$, en el vacío. El valor de $\ln \left({\frac {r2}{r1}}\right)$ es improbable que difiera mucho de 1; por consiguiente $C_{o}$ será varios tens de $pFm^{-1}$, y $L_{o}$ un poco menor $1\mu Hm^{-1}$, para casi cualquier cable coaxial con un núcleo de aire. Los valores exactos de $C_{o}$ y $L_{o}$, sin embargo, no influyen en la velocidad de fase. De las ecuaciones (4) y (5) tenemos

$c=\left(\mu _{o}\varepsilon _{o}\right)^{\frac {-1}{2}}=2.998\times 10^{8}ms^{-1}\qquad \qquad \qquad \qquad (6)$

y este valor se obtiene para un cable de cualquier sección transversal, desde que siempre resulta ese $L_{o}$ depende de la geometría del cable de la misma manera como el ${\frac {1}{C_{o}}}$. El valor calculado es para un cable aislado(vacío). La permitividad del aire es suficientemente cercano a $\varepsilon _{o}$ para poder (6) ser usado por el aislamiento aéreo. En la práctica están claro que los conductores no están separados por el aire sino por un aislador sólido como el polietileno. La velocidad de fase está reducida porque la permitividad en el espacio entre los conductores es significativamente mayor que $\varepsilon _{o}$. El polietileno tiene permitividad 2.3ε0, y el valor para PTFE es aproximadamente 2.1ε0; así c puede ser tan pequeño como dos terceras partes del valor anterior (6). (Ambos materiales tienen las mismas permeabilidades cerca de μ0.) Claramente las fluctuaciones de voltaje tienen que ser muy rápidas antes de que nosotros nos demos cuenta de las ondas en el cable. Para un suministro actual alterno que trabaja a 50 Hz, la longitud de onda (9.11) puede ser tan alto como 6000 km. Para cualquier longitud razonable de cable, la diferencia de potencial instantánea será eficazmente el mismo desde el principio del cable. Por otro lado a 50 MHz, la longitud de onda sería sólo de 6 m. Semejantemente, si hay ser un intervalo notable entre la llegada de un pulso de voltaje a dos puntos en un cable, la duración del pulso debe ser pequeña comparada con el tiempo de viaje entre los puntos en cuestión. Toma aproximadamente 10 ns para cubrir 3 m de cable; así pueden usarse unos metros de cable como una simple línea de retraso, mientras se producen los retrasos significativos y predecibles en la llegada de pulsos en un nanosegundo a un punto especificado en un circuito. Deben usarse diferentes técnicas para tardar el pulso milisegundos, ya que éstos requerirían miles de kilómetros de cable.

La Atenuación.

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El parámetro ${\frac {\Gamma }{\omega }}$ cuyo tamaño nos dice si es muy pequeño o grande se da en este caso por ${\frac {R_{o}}{\omega L_{o}}}$. Para un cable coaxial aislado $R_{o}$podrían ser típicamente $\approx 0.1\Omega m^{-1}$ tomando $L_{o}\approx 1\mu Hm^{-1}$ nos da $\Gamma \approx 10^{5}s^{-1}$. En los cables con aisladores sólidos entre los conductores, atenuación debido a " las pérdidas del dieléctrico” se pone importante a las frecuencias más altas. En la teoría de onda de cable, las pérdidas del dieléctrico pueden permitirse introduciendo un parámetro que representa el conductancia por la unidad de longitud entre los conductores. Los espacios de aire están normalmente incorporados en el aislamiento de cables de “pérdida baja”.

Impedancia Característica.

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La impedancia característica de una cuerda es la fuerza $T\left({\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)$ dividido por la velocidad $\left({\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)$. Con la ayuda de la tabla podemos ver que la cantidad equivalente para un cable simplemente es $\mid {\frac {\Psi _{v}}{\Psi _{I}}}\mid$. Asumiendo que es muy pequeño, podemos escribir

$Z_{o}(\omega )\approx \left({\frac {L_{o}}{C_{o}}}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {iR_{o}}{2\omega L_{o}}}\right)\qquad \qquad \qquad (7)$

por la analogía con la expresión

$Z_{o}(\omega )\approx ({\frac {T}{c}})({\frac {1-i\Gamma }{2\omega }})=(T\mu )^{\frac {1}{2}}({\frac {1-i\Gamma }{2\omega }})$

para la cuerda.

En la mayoría de los casos nosotros podemos olvidarnos de $R_{o}$ completamente, y usar la expresión $\left({\frac {L_{o}}{C_{o}}}\right)^{\frac {1}{2}}$. A diferencia de la velocidad de fase, el valor de la impedancia característica depende de la geometría del cable. Para un cable coaxial aislado con la ecuaciones (5) y (7) tenemos

$Z_{o}\approx \left({\frac {\mu _{o}}{4\pi ^{2}\varepsilon _{o}}}\right)^{\frac {1}{2}}ln\left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)=60.0\Omega \times ln\left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\qquad \qquad \qquad \qquad (8)$

El uso de un aislador sólido dará un resultado más pequeño que el valor calculado en (8).