Ondas: Cuerdas y Corrientes- Transversales

Ondas en Cables

Deseamos encontrar la ecuación de la onda que gobierna las perturbaciones eléctricas en una longitud uniforme de cable. Nosotros no haremos ninguna asunción acerca de la sección transversal del cable, aunque el ejemplo mostrado en fig. 1 simplemente son dos alambres paralelos separados por un espacio aéreo. Usaremos la coordenada z para medir la distancia a lo largo del cable de un extremo. Asumimos que, antes de que la perturbación llegue, la diferencia de potencial entre los conductores es cero por todas partes, y que ninguna corriente está fluyendo. (No sería difícil de incluir voltajes firmes y corrientes en las ecuaciones, pero los resultados estarían inalterados). La figura 10.3(a) muestra el estado de la situación a algún instante durante la perturbación. El voltaje por el cable a z se ha vuelto ψv. Al mismo momento las corrientes ψI fluyen en los dos conductores, en las direcciones mostradas; sus magnitudes son las mismas porque el cable es uniforme a lo largo de su longitud. A la posición z+∆z y el mismo momento, el voltaje correspondiente y valores actuales son ψv+∆ ψv y ψI+∆ ψI. Dondequiera que existe una diferencia de potencial por el cable debe haber también cargas de signo opuesta en los dos conductores. Si nosotros pensamos en el cable como un número grande de condensadores muy cortos conectado en el paralelo, la carga instantánea en el condensador entre z y z+∆z es (C0 ∆z) ψv, dónde C0 es la capacitancia por unidad de longitud del cable: vea fig. 1O.3(b). La corriente alcanzada y dejando cada una de “las placas” del condensador son desiguales, sin embargo, así la carga, y por consiguiente el voltaje, debe cambiar con el tiempo. De hecho, la carga aumenta en proporción

$\Delta \Psi _{I}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(C_{o}\Delta z\Psi _{v}\right)=-C_{o}\Delta z\left({\frac {\partial \Psi _{v}}{\partial t}}\right)$

Al llevar al limite la ecuación anterior los valores de ∆z resultan despreciables entonces:

${\frac {\partial \Psi _{I}}{\partial z}}=-C_{o}\left({\frac {\partial \Psi _{v}}{\partial t}}\right)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)$

La corriente también cambiará con respecto al tiempo, y nosotros sabemos que fluctuando la corriente da lugar al voltajes inducido. La manera más fácil de discutir éstos es imaginar que el cable realmente es una cadena de vueltas muy cortas de longitud ∆z, aislado de nosotros. La vuelta a z en el fig. lO.3(c) lleva una corriente instantánea ψI. Si ∆z es pequeño bastante, las corrientes imaginarias perpendiculares al cable estarán canceladas por las corrientes perpendiculares en las vueltas del la corriente de a lado, al ser de efecto neto igual que esa deuda a las corrientes en el cable real. Nosotros sabemos calcular el voltaje inducido en una vuelta cerrada; de esta manera nosotros podemos entender la inducción de voltajes a lo largo del cable. Si la misma inductancia por unidad de longitud del cable es L0, entonces la vuelta imaginaria entre z y ∆z tiene la inductancia L0∆z. Cuando los aumentos actuales de la proporción, un voltaje inducido -L0∆z parecerá redondo esta vuelta. La parte del incremento de voltaje ∆ψv entre z y z+∆z viene de este voltaje inducido. El resto simplemente es la contribución de la ley del Ohm debido a la resistencia de los conductores. Combinando estas dos condiciones tenemos

$\Delta \Psi _{v}=-L_{o}\Delta z\left({\frac {\partial \Psi _{I}}{\partial t}}\right)-R_{o}\Delta z\Psi _{I}$

donde R0 es la resistencia por unidad de longitud. Para una vuelta corta despreciamos los valores de ∆z y tenemos

${\frac {\partial \Psi _{v}}{\partial z}}=-L_{o}\left({\frac {\partial \Psi _{I}}{\partial t}}\right)-R_{o}\Psi _{I}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

La ecuación de la onda para ψv se encuentra rápidamente diferenciando la ecuación (1) con respecto a t, diferenciando la ecuación (2) con respecto a z, y eliminando derivadas de ψI. El resultado,

${\frac {\partial ^{2}\Psi _{v}}{\partial t^{2}}}+{\frac {R_{o}}{L_{o}}}\left({\frac {\partial \Psi _{v}}{\partial t}}\right)={\frac {1}{L_{o}C_{o}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi _{v}}{\partial z^{2}}}\right)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3)$

La ecuación no dispersiva de onda como ${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial z^{2}}}\right)$ con

$c=\left({\frac {1}{L_{o}C_{o}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

$\Gamma ={\frac {R_{o}}{L_{o}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (4)$

Las Analogías Mecánicas.

Nosotros nos aprovechamos de nuestro conocimiento del prototipo del sistema (la cuerda estirada) estableciendo un juego de analogías (tabla 1) para hacer las nuevas analogías consistente con el sistema, por ejemplo L0 (la inductancia por unidad de longitud del cable) con μ (la masa por unidad de la longitud de la cuerda). Semejantemente, nosotros conectamos 1/C0 con la tensión T, así como 1/C da lugar a s. La resistencia eléctrica por unidad de longitud R0 va naturalmente con la resistencia mecánica por unidad de longitud β. Nosotros nos hemos encontrado previamente la carga por unidad de longitud C0ψv, sin embargo. Si escribimos esto como , cada cantidad que involucra ψv puede identificarse rápidamente con una cantidad análoga en el lado izquierdo de la tabla. Las cantidades restantes, involucrando ψI, puede tratarse semejantemente escribiendo la corriente como . Para identificar la carga ψ se significaría integrando C0ψv con respecto a z, o ψI con respecto a t. En cualquier caso el resultado contendría un término constante arbitrario. Claramente ψv es una variable más conveniente que ψ para las ondas del cable, y nosotros continuaremos usándolo. Nosotros no necesitamos ser específicos sobre la identidad de la carga ψ, y el lado derecho de la tabla 10.1 no contienen ninguna entrada para ψ. Vale la pena mencionar que sería ψI una variable igualmente satisfactoria para la descripción de ondas del cable. La ecuación de la onda para la corriente, se encuentra diferenciando la ecuación (1) con respecto a z y la ecuación (2) con respecto a t,

${\frac {\partial ^{2}\Psi _{I}}{\partial t^{2}}}+{\frac {R_{o}}{L_{o}}}\left({\frac {\partial \Psi _{I}}{\partial t}}\right)={\frac {1}{L_{o}C_{o}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi _{I}}{\partial z^{2}}}\right)$

es idéntico con la ecuación (3) para el voltaje; pero obviamente un juego diferente de analogías se necesitaría. Es una buena idea para hablar sobre “ondas de voltaje” o “ondas de corriente”, para hacerlo bastante claro si la variable en uso es ψv o ψI.

Cable Coaxial.

Un tipo de cable ampliamente usado para los señales de frecuencia alta consiste en un alambre cobrizo rodeado simétricamente por un cilindro sin sustancia (ver figura). Por razones mecánicas los conductores deben apoyarse de algún material aislante, pero para la simplicidad nosotros pretenderemos inicialmente que sólo tienen aire entre ellos.

Pueden calcularse el capacitancia y la inductancia de un cable coaxial bastante simple. En los libros de texto de electricidad se muestra que

${\frac {1}{C_{o}}}=\left({\frac {1}{2\pi \varepsilon _{o}}}\right)\ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)$

$L_{o}=\left({\frac {\mu _{o}}{2\pi }}\right)\ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)$

para un cable conductores cuyos radios internos y externos son respectivamente r1 y r2, en el vacío. El valor de ln (r2 /r1) es improbable que difiera mucho de 1; por consiguiente C0 será varios tens de pFm-1, y L0 un poco menor 1 μH m-1, para casi cualquier cable coaxial con un núcleo de aire. Los valores exactos de C0 y L0, sin embargo, no influyen en la velocidad de fase. De las ecuaciones (10.25) y (10.26) tenemos

          (10.27)

y este valor se obtiene para un cable de cualquier sección transversal, desde que siempre resulta ese L0 depende de la geometría del cable de la misma manera como el 1/C0. El valor calculado es para un cable aislado(vacío). La permitividad del aire es suficientemente cercano a ε0 para poder (10.27) ser usado por el aislamiento aéreo. En la práctica están claro que los conductores no están separados por el aire sino por un aislador sólido como el polietileno o politetrafluoretileno (PTFE), conteniendo posiblemente en los espacios aéreos. La velocidad de fase está reducida porque el permitividad en el espacio entre los conductores es significativamente mayor que ε0. El polietileno tiene permitividad 2.3ε0, y el valor para PTFE es aproximadamente 2.1ε0; así c puede ser tan pequeño como dos terceras partes del valor anterior (10.27). (Ambos materiales tienen las mismas permeabilidades cerca de μ0.) Claramente las fluctuaciones de voltaje tienen que ser muy rápidas antes de que nosotros nos demos cuenta de las ondas en el cable. Para un suministro actual alterno que trabaja a 50 Hz, la longitud de onda (9.11) puede ser tan alto como 6000 km. Para cualquier longitud razonable de cable, la diferencia de potencial instantánea será eficazmente el mismo desde el principio del cable. Por otro lado a 50 MHz, la longitud de onda sería sólo de 6 m. Semejantemente, si hay ser un intervalo notable entre la llegada de un pulso de voltaje a dos puntos en un cable, la duración del pulso debe ser pequeña comparada con el tiempo de viaje entre los puntos en cuestión. Toma aproximadamente 10 ns para cubrir 3 m de cable; así pueden usarse unos metros de cable como una simple línea de retraso, mientras se producen los retrasos significativos y predecibles en la llegada de pulsos en un nanosegundo a un punto especificado en un circuito. Deben usarse diferentes técnicas para tardar el pulso milisegundos, ya que éstos requerirían miles de kilómetros de cable.

La Atenuación. El parámetro cuyo tamaño nos dice si es muy pequeño o grande se da en este caso por . Para un cable coaxial aire-aislado R0 podrían ser típicamente ~0.1 Ω m-1; tomando L0~1 μHm-1 nos da Γ~105 s-1 . La mayoría de las aplicaciones en que estos cables se usan tienen ω<<105 s-1 , mientras mas pequeño (Γ/ ω<<1). A una frecuencia de onda de 1 MHz, por ejemplo, la atenuación de la longitud 2c/ Γ sería aproximadamente 6 km. La atenuación sería bastante despreciable en un cable alimentador de televisión, pero no en una larga distancia de línea a tierra. Las corrientes de alta frecuencia realmente fluyen sólo en las capas exteriores de metal conductor. Éste es el mejor ejemplo conocido del efecto superficial. Desde que la profundidad superficial es proporcional a 1/ ω1/2, el valor de R0 para el cable aumenta como ω1/2, y para que la longitud de atenuación disminuye como 1/ ω1/2. En los cables con aisladores sólidos entre los conductores, atenuación debido a " las pérdidas del dieléctrico” se pone importante a las frecuencias más altas. Nosotros vimos en sección 6.3 que la polarización de un dieléctrico se retrasará detrás de un campo alterno, con la absorción consecuente de poder del campo. El retraso de la fase puede ser apreciable en un dieléctrico sólido, incluso lejos de la resonancia, porque es mucho mayor que en un gas. En la teoría de onda de cable, las pérdidas del dieléctrico pueden permitirse introduciendo un parámetro que representa el conductancia por la unidad de longitud entre los conductores. Los espacios de aire están normalmente incorporados en el aislamiento de cables de “pérdida baja”.

Impedancia Característica. La impedancia característica de una cuerda es la fuerza dividió por la velocidad . Con la ayuda de la tabla podemos ver que la cantidad equivalente para un cable simplemente es . Asumiendo que es muy pequeño, podemos escribir

           (10.28)

por la analogía con la expresión para la cuerda. En la mayoría de los casos nosotros podemos olvidarnos de R0 completamente, y usar la expresión (L0/C0)1/2. A diferencia de la velocidad de fase, el valor de la impedancia característica depende de la geometría del cable. Para un cable coaxial aire-aislado (10.26) y (10.28) tenemos

            (10.29)

El uso de un aislador sólido dará un resultado más pequeño que el valor calculado en (10.29).

Ondas Estacionarias. Regresemos a la tabla 10.1 para descubrir cómo interpretar los espectros de la onda estacionaria de fig. 9.6 para las ondas estacionarias en un cable. Existe una conexión entre ψv y la inclinación de la cuerda. Sabemos que la pendiente de la cuerda alcanza sus valores máximos en los nodos de una onda estacionaria, y es cero en los antinodos. Más allá, un extremo fijo siempre debe ser un nodo, y un extremo “libre” un antinodo. En una onda estacionaria de cable, por consiguiente, ψv tendrá su amplitud máxima a un extremo del circuito abierto (Z0=∞) y será el cero en un extremo dónde hay un circuito corto (Z0=0). En otras palabras, un circuito abierto es análogo a un punto de soporte, y un circuito corto a un extremo libre. Figura 9.6(a), 9.6(b) y 9.6(c) representa el voltaje de las ondas estacionarias formadas en un cable con un corto circuito a cada extremo respectivamente; un cable con un circuito abierto a cada extremo; y un cable con un corto circuito a un extremo (z=0) y un circuito abierto al otro. Una longitud de hechuras del cable un circuito resonante conveniente de propiedades calculables para el uso a las frecuencias altas. Es usual igualar la longitud a un cuarto de la longitud de onda a la frecuencia requerida, y al corto circuito un extremo. La onda estacionaria con n=1 tiene una frecuencia

donde L es la longitud del cable. Las ventajas sobre la alternativa simple de una bobina y un condensador son la facilidad con que la frecuencia resonante puede ajustarse variando la longitud del cable, y la ausencia de capacitancia perdida debido a los alambres que une.

En resumen. El voltaje (y corriente) las fluctuaciones en un cable aire-aislado son gobernadas por la ecuación de onda no dispersiva. Pueden relacionarse las propiedades de las ondas de voltaje a aquéllos de ondas en una cuerda por el mismo tipo de analogías cuando nosotros usamos para los circuitos resonantes (mesa 10.1). La velocidad de fase con el aislamiento aéreo es 3 x 108 m s-1 para las geometrías del cable. La impedancia característica puede predeterminarse ajustando la geometría del cable.