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| En la forma polar donde | | En la forma polar donde |
| <center><math>Re(\tilde{z})=rcos\theta</math></center> y <center><math>Im(\tilde{z})=rsen\theta</math></center> | | <center><math>Re(\tilde{z})=rcos\theta</math></center> y <center><math>Im(\tilde{z})=rsen\theta</math></center> |
| En el caso particular, como es el de describir una [[Superposición de Ondas#El método complejo| onda armónica en su representación compleja ]], tenemos la libertad de escoger cualquier parte.<ref> Hehc,Óptica,Ed.Pearson, 3ra ed 2006,pp.23-24</ref> | | En el caso particular, como es el de describir una [[Superposición de ondas#El método complejo| onda armónica en su representación compleja ]], tenemos la libertad de escoger cualquier parte.<ref> Hehc,Óptica,Ed.Pearson, 3ra ed 2006,pp.23-24</ref> |
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| =Referencias= | | =Referencias= |
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Un número complejo se puede representar mediante una expresión de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \tilde{z}=x+iy
, donde y son números reales, e es un símbolo con la propiedad de que . El número complejo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x+iy
también se puede denotar por medio del par ordenado y graficar como un punto en un plano llamado (plano de Argand), donde el eje es el eje real y el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y
, el eje imaginario, como en la figura 1.
La parte real del número complejo es el número real la parte imaginaria, el número real .
La suma de dos números complejos se define sumando sus partes reales e imaginarias, respectivamente:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i
El producto de los números complejos se define de la siguiente manera:
Ya que , lo anterior se transforma en
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+y_1x_2)i
El complejo conjugado del numero complejo , se define como .
Para determinar el cociente de dos números complejos, multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.
Forma polar
Si consideramos todo número complejo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \tilde{z}=x+iy
como un punto en el plano de Argand (figura 1)este puede representarse en términos de coordenadas polares.[1] .Tenemos
,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \tilde{z}=x+iy=r(cos\theta+i\, sen\theta)
Donde
La forma polar de los números complejos proporciona una perspectiva de la multiplicación y la división, Sean
y expresados en forma polar.Entonces
Con las formulas adición de angulos para coseno y seno, llegamos a
Entonces al multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos:[2]
,(figura 3).
Un análisis similar muestra que para dividir dos números complejos, se dividen los módulos y se restan los argumentos.
La multiplicación y la divisiónen en forma polar es muy simple y se expresan de la iguiente manera:
En donde utilizamos la fórmula de Euler para expresarlas así.
LA fórmula de Euler es:
por lo anterior
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i(-\theta)}=cos(-\theta)+isen(-\theta)
debido a que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): cos(-\theta)=cos(\theta)
por ser una función par y por ser una función impar
tenemos que
sumando y substrayendo la ecuación(1)y (2) llegamos a
,
Esta misma formula nos permite escribir
Cualquier número complejo se puede representar como la suma de una parte real y una parte imaginaria tal como se menciono anteriormente.
En la forma polar donde
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Im(\tilde{z})=rsen\theta
En el caso particular, como es el de describir una onda armónica en su representación compleja , tenemos la libertad de escoger cualquier parte.[3]
Referencias
- ↑ Ruel V.Churchill,Variable compleja y aplicaciones,Ed.McGraww-Hill,1 ed, 1988 pp.14-19
- ↑ James Stewart,Cálculo,Ed.Thomson,México 2006, pp.A79-A85
- ↑ Hehc,Óptica,Ed.Pearson, 3ra ed 2006,pp.23-24
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