Diferencia entre revisiones de «Usuario:Carlos A.Z.»
Sin resumen de edición |
Sin resumen de edición |
||
(No se muestran 4 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
Línea 8: | Línea 8: | ||
Correo: aberk07@hotmail.com'' | Correo: aberk07@hotmail.com'' | ||
--[[Usuario: | --[[Usuario:Carlos A.Z.|CAZ]] 20:50 3 jul 2008 (CDT) | ||
'''Esta es la ultima hoja de soluciones Gaussianas corregida y con los calculos intermedios desarrollados.''' | |||
Esta es la ultima hoja de soluciones Gaussianas corregida y con los calculos intermedios desarrollados. | |||
Para la representación polar de <math>\frac{1}{z-\tilde{z}}=\frac{1}{R}+\frac{2\imath}{kw^{2}}</math> tenemos | |||
<math>|z|=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}</math> y el argumento <math>\theta=\arctan(\frac{2R}{kw^{2}})</math> entonces. | |||
<math>\frac{1}{z-\tilde{z}}=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp | <math>\frac{1}{z-\tilde{z}}=\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp[\imath \arctan(\frac{2R}{kw^{2}}) ]</math> | ||
Tomando definiciones vemos que | Tomando definiciones vemos que | ||
<math>\frac{R}{w^{2}}=\frac{z-z_{0}+\frac{z^{2}}{z-z_{0}}}{ | <math>\frac{R}{w^{2}}=\frac{z-z_{0}+\frac{z^{2}}{z-z_{0}}}{w_{0}^{2}[\frac{(z-z_{0})^{2}}{z_{R}^{2}}+1]}=\frac{z_{R}^{2}}{w_{0}^{2} | ||
(z-z_{0})}=\frac{k}{2}\frac{z_{R}}{z-z_{0}}</math> | (z-z_{0})}=\frac{k}{2}\frac{z_{R}}{z-z_{0}}</math> | ||
y | y | ||
<math>\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{(z-z_{0})^{2}}{(z-z_{0})^{2}+z_{R}^{2}}+\frac{4z_{R}^{4}}{k^{2} | <math>\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{(z-z_{0})^{2}}{(z-z_{0})^{2}+z_{R}^{2}}+\frac{4z_{R}^{4}}{k^{2}w_{0}^{4} | ||
[(z-z_{0})^{2}+z_{R}^{2}]^{2}}</math> | [(z-z_{0})^{2}+z_{R}^{2}]^{2}}</math> | ||
Definiendo <math>B^{2}=(z-z_{0})^{2}+z_{R}^{2}</math> y mediante <math>k^{2}=(\frac{2z_{R}}{w_{0}^{2}})^{2}</math> | |||
tenemos | |||
<math>\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=\frac{1}{B^{2}}(z-z_{0})^{2}+z_{R}=\frac{1}{B^{2}}</math> | |||
o | |||
<math>\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}=(\frac{w_{0}}{z_{R}w})^{2}</math> | |||
de manera que | |||
<math>\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{4}{k^{2}w^{4}}}\exp[\imath \arctan(\frac{2R}{kw^{2}}) ]= \frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp[\imath\arctan(\frac{2R}{kw^{2}})]= | |||
\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp[\imath\arctan(\frac{z_{R}}{z-z_{0}})]</math> | |||
mientras que la fase es. | |||
<math>\imath k\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{2(z-z_{1})}=\frac{\imath k}{2}((x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2})(\frac | |||
{1}{R}+\frac{2\imath}{k w^{2}})=\imath k\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{2R}-\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{w^{2}} </math> | |||
La amplitud compleja es entonces | |||
<math>\tilde{u}=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp[\imath\arctan(\frac{2R}{kw^{2}})]\exp[\imath k \frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{2R}]\exp[-\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{w^{2}}]</math> | |||
Tomando <math>\psi=\tilde{u}\exp[\imath k z]</math> | |||
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por | |||
<math>\psi=A_{0}\frac{w_{0}}{z_{R}w}\exp[\imath\arctan(\frac{2R}{kw^{2}})]\exp[\imath k \frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{2R}]\exp[-\frac{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}{w^{2}}]\exp[\imath k z]</math> | |||
--[[Usuario:Carlos A.Z.|CAZ]] 00:48 4 jul 2008 (CDT) | |||
'''La máxima curvatura en la onda Gaussiana ''' | |||
El radio de curvatura es | |||
<math>R(z)=(z-z_{0})+\frac{z_{R}^{2}}{(z-z_{0})}</math> | |||
Derivando e igualando a cero tenemos: | |||
<math>\frac{d R}{dz}=1-\frac{z_{R}^{2}}{(z-z_{0})^{2}}=0</math> | |||
despejando z obtenemos | |||
<math>z=z_{0}\pm z_{R}</math> | |||
--[[Usuario:Carlos A.Z.|CAZ]] 01:17 4 jul 2008 (CDT) |
Revisión actual - 13:06 7 jul 2008
Hola esta es mi pagina soy alumno de optica
Alumno: Carlos Acosta Zepeda
Materia: Optica
Correo: aberk07@hotmail.com
--CAZ 20:50 3 jul 2008 (CDT)
Esta es la ultima hoja de soluciones Gaussianas corregida y con los calculos intermedios desarrollados.
Para la representación polar de tenemos
y el argumento entonces.
Tomando definiciones vemos que
y
Definiendo y mediante
tenemos
o
de manera que
mientras que la fase es.
La amplitud compleja es entonces
Tomando
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial es una Gaussiana dada por
--CAZ 00:48 4 jul 2008 (CDT)
La máxima curvatura en la onda Gaussiana
El radio de curvatura es
Derivando e igualando a cero tenemos:
despejando z obtenemos
--CAZ 01:17 4 jul 2008 (CDT)