Optica: Interferencia

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Fenómeno consistente en que dos o más ondas se superponen para componer una nueva onda. La interferencia es uno de los fenómenos más característicos de las ondas, pudiendo ser constructiva o destructiva. Así, dos ondas de idéntica frecuencia y con amplitudes ligeramente distintas pueden combinarse para dar una única onda con la misma frecuencia pero cuya amplitud es la suma de ambas.

Sin embargo, puede ocurrir que ambas ondas no estén en fase, es decir, que la máxima amplitud de una de ellas coincida con la mínima amplitud de la otra. La superposición de ambas ondas daría lugar entonces a una onda atenuada. Este fenómeno de interferencia destructiva puede llegar a ser completo, anulándose ambas ondas mutuamente.


Contents

INTRODUCCIÓN

Nuestra experiencia diaria con fenómenos como las ondas generadas por una piedra al caer dentro de un estanque o el recorrido de una onda viajera producida al agitar una cuerda un poco tensa, nos permite visualizar una distribución compleja de perturbaciones que ocurren en todo momento en la naturaleza. Puede haber regiones en las que dos o más ondas se hayan superpuesto, anulandose mutuamente o parcialmente, incluso completamente. Este fenómeno de superposición es el causante de de otro fenómeno muy común pero poco conocido llamado patrón de interferencia.

Fig.Ondas en agua de dos fuentes puntuales en fase en una cubeta de ondas.


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Fig1. Interferencia constructiva debida a la superposición de dos ondas viajeras
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Fig2. Interferencia destructiva debida a la superposición de dos ondas viajeras

Cuando la cresta de una onda se superpone a la cresta de otra, los efectos individuales se suman[1]. El resultado es una onda de mayor amplitud. A este fenómeno se le llama interferencia constructiva, o refuerzo, en donde se dice que las ondas están en fase. Cuando la cresta de una onda se superpone al valle de otra, los efectos individuales se reducen. La parte alta de una onda llena simplemente la parte baja de la otra. A esto se le llama interferencia destructiva, o cancelación, donde decimos que las ondas están fuera de fase. La interferencia es un fenómeno característico de todo movimiento ondulatorio, trátese de ondas en el agua, ondas sonoras u ondas de luz.


La interferencia de ondas de luz causa, por ejemplo, las irisaciones (brillo como los colores del arco iris) que se ven a veces en las burbujas de jabón. La luz blanca está compuesta por ondas de luz de distintas longitudes de onda. Las ondas de luz reflejadas en la superficie interior de la burbuja interfieren con las ondas de esa misma longitud reflejadas en la superficie exterior. En algunas de las longitudes de onda, la interferencia es constructiva, y en otra destructiva. Como las distintas longitudes de onda de la luz corresponden a diferentes colores, la luz reflejada por la burbuja de jabón aparece coloreada.


Las ondas de radio interfieren entre sí cuando rebotan en los edificios de las ciudades, con lo que la señal se distorsiona. Cuando se construye una sala de conciertos hay que tener en cuenta la interferencia entre ondas de sonido, para que una interferencia destructiva no haga que en algunas zonas de la sala no puedan oírse los sonidos emitidos desde el escenario. Arrojando objetos al agua estancada se puede observar la interferencia de ondas de agua, que es constructiva en algunos puntos y destructiva en otros.


Para entender un poco mejor este fenómeno hemos preparado un par de animaciones en las cuales se observan dos ondas viajeras propagándose en direcciones opuestas (perturbaciones en una cuerda). Dos con amplitudes iguales y dos con amplitudes de la misma magnitud pero opuestas. (Fig.1 y Fig.2 respectivamente).


Para medir la longitud de onda de un rayo de luz monocromática se utiliza un interferómetro dispuesto de tal forma que un espejo situado en la trayectoria de uno de los haces de luz puede desplazarse una distancia pequeña, que puede medirse con precisión, con lo que es posible modificar la trayectoria óptica del haz.


Cuando se desplaza el espejo una distancia igual a la mitad de la longitud de onda de la luz, se produce un ciclo completo de cambios en las franjas de interferencia. La longitud de onda se calcula midiendo el número de ciclos que tienen lugar cuando se mueve el espejo una distancia determinada.


La teoría ondulatoria de la naturaleza electromagnética de la luz proporciona una base natural como punto de salida. Recordemos que la expresión que describe la perturbación óptica es la ecuación diferencial en derivadas parciales lineal y homogénea de segundo orden


\( \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{E}(\mathbf{r},t)}{\partial t^2}, \)


una característica significativa es precisamente el que sea lineal. Por lo tanto si \(\mathbf{E}_1\ \), \(\mathbf{E}_2\ \),..., \(\mathbf{E}_n \ \) son soluciones de la ecuación anterior, cualquier combinación lineal de estas será, a su vez, una solución. Por esto


\( \mathbf{E}^\prime(\mathbf{r},t)=\sum_{i=1}^nC_i\mathbf{E}_i(\mathbf{r},t), \)


satisface la ecuación de onda, donde los coeficientes \( C_i \ \) son simplemente constantes arbitrarias. Esta propiedad, denominada principio de superposición sugiere que la perturbación resultante en cualquier punto de un medio es la suma vectorial de sus ondas constitutivas separadas. Por lo tanto, brevemente, la interferencia óptica equivale a la interacción de dos o más ondas de luz que producen una irradiancia resultante que se desvía de la suma de las irradiancias componentes.

CONSIDERACIONES GENERALES

De acuerdo con el principio de superposición, el campo eléctrico total \(\mathbf{E}\ \), en un punto en el espacio, procedente de los campos separados \(\mathbf{E}_1\ \),\(\mathbf{E}_2\ \),... de varias fuentes contributivas, vienen dadas por


\( \mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2+\ldots. \)


Gran parte del análisis que sigue puede llevarse a cabo sin especificar la forma particular de los frentes de onda, siendo por lo tanto los resultados bastantes generales. Sin embargo, con el propósito de simplificarlo, consideremos dos fuentes puntuales \( S_1 \ \) y \( S_2 \ \) que emiten ondas monocromáticas de la misma frecuencia es un medio homogéneo. Sea su separación \( a \ \) mucho mayor que la longitud de onda \( \lambda \ \). Colóquese el punto de observación \( P \ \) lo suficientemente lejos de las fuentes para que en \( P \ \) los frentes de onda sean planos. Por el momento se considerarán solamente ondas linealmente polarizadas cuya forma es


\( \mathbf{E}_1(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_{01}\cos(\mathbf{k}_1\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varepsilon_1), \)


\( \mathbf{E}_2(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_{02}\cos(\mathbf{k}_2\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varepsilon_2), \)


donde \(k\) es el vector de onda, \(\omega\) la frecuencia, \(t\) el tiempo y \(\varepsilon,\)es la fase.

La irradiancia en \( P \ \) viene dada por


\( I=\epsilon v\langle\mathbf{E}^2\rangle_T, \)


como solamente nos ocuparemos de las irradiancias relativas dentro de un mismo medio, omitiremos las constantes y pondremos


\( I=\langle\mathbf{E}^2\rangle_T, \)


siendo \( \langle\mathbf{E}^2\rangle_T \ \) el promedio temporal de la magnitud del campo eléctrico al cuadrado, por consiguiente,


\( \mathbf{E}^2=\mathbf{E}\cdot \mathbf{E}, \)


substitullendo el valor del campo magnetico


\( \mathbf{E}^2=(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2)\cdot(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2), \)


realizando el producto punto y finalmente obtenemos


\( \mathbf{E}^2=\mathbf{E}_1^2+2\mathbf{E}_1\mathbf{E}_2+\mathbf{E}_2^2, \)


tomando el promedio temporal de ambos lados, la irradiancia es


\( I\ =I_1+I_{12}+I_2, \)


con


\( I_1=\langle\mathbf{E}_1^2\rangle_T, \)


\( I_2=\langle\mathbf{E}_2^2\rangle_T, \)


\( I_{12}=2\langle\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2\rangle_T, \)


La última expresión es denominada término de interferencia, obtengamos su valor


\( \mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2=\mathbf{E}_{01}\cdot\mathbf{E}_{02}\cos(\mathbf{k}_1\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varepsilon_1)\cos(\mathbf{k}_2\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varepsilon_2), \)


haciendo uso de una identidad bien conocida para el coseno de una suma \( \cos(a\pm b)=\cos a\cos b \mp \sin a\sin b \ \) con \( a=\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r}+\varepsilon_i \ \) y \( b=\omega t \ \) con \( i=1,2 \ \) tenemos.


\( \mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2=\mathbf{E}_{01}\cdot\mathbf{E}_{02}[\cos(\mathbf{k}_1\cdot\mathbf{r}+\varepsilon_1)\cos\omega t+\sin(\mathbf{k}_1\cdot\mathbf{r}+\varepsilon_1)\sin\omega t][\cos(\mathbf{k}_2\cdot\mathbf{r}+\varepsilon_2)\cos\omega t+\sin(\mathbf{k}_2\cdot\mathbf{r}+\varepsilon_2)\sin\omega t], \)


recordando que el promedio temporal es una función \( f(t) \ \), calculando en un intervalo \( T \ \) se tiene


\( \langle f(t)\rangle_T=\frac{1}{T}\int_t^{t+T}f(t^\prime)dt^\prime, \)


el periodo \( \tau \ \) de las funciones armónicas es \( 2\pi/\omega \ \) y para nuestros propósitos \( T\gg\tau \ \). En este caso, el coeficiente \( 1/T \ \) de la integral tiene un efecto dominante, calculando dicho promedio tenemos


\( \langle\mathbf{E}_1\cdot\mathbf{E}_2\rangle_T=\frac{1}{2}\mathbf{E}_{01}\cdot\mathbf{E}_{02} \cos(\mathbf{k}_1\cdot\mathbf{r}+\varepsilon_1-\mathbf{k}_2\cdot\mathbf{r}-\varepsilon_2), \)


donde se usó el hecho de que \( \langle\cos^2\omega t\rangle_T=\frac{1}{2} \ \), \( \langle\sin^2\omega t\rangle_T=\frac{1}{2} \ \) y finalmente \( \langle\cos\omega t\sin\omega t\rangle_T=0 \ \), el termino de interferencia es por lo tanto


\( I_{12}=\mathbf{E}_{01}\cdot\mathbf{E}_{02}\cos\delta, \)


con \( \delta=(\mathbf{k}_1\cdot\mathbf{r}-\mathbf{k}_2\cdot\mathbf{r}+\varepsilon_1-\varepsilon_2) \ \), la cual es la diferencia de fase resultante de la combinación de una diferencia del camino y una diferencia del ángulo de desfase inicial. Notemos que si \( \mathbf{E}_{01} \ \) y \( \mathbf{E}_{02} \ \) son perpendiculares entre sí, es decir, \( \mathbf{E}_{01}\cdot\mathbf{E}_{02}=0 \ \), se tiene que \(I_{12}\ =0\) e \(I\ =I_1+I_2\).


La situación que sigue corresponde a \(\mathbf{E}_{01}\) paralela \(\mathbf{E}_{02}\). En este caso, la irradiancia se reduce a


\( I_{12}=E_{01}E_{02}\ \cos\delta, \)


lo podemos reescribir percatándonos de que


\( I_1=\langle\mathbf{E}_1^2\rangle_T=\frac{E_{01}^2}{2}, \)


\( I_2=\langle\mathbf{E}_2^2\rangle_T=\frac{E_{02}^2}{2}, \)


por consiguiente el término de interferencia será


\( I_{12}=2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta, \)


en la que se sustituyó \(E_{0i}=\sqrt{2I_i}\) con \(\ i=1,2\), con lo cual la irradiancia total estará dada por


\( I=I_1+I_1+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta, \)


el valor máximo de la irradiancia se obtiene cuando \(\ \cos\delta=1\), es decir


\( I_{max}=I_1+I_1+2\sqrt{I_1I_2}, \)


cuando


\( \delta=0,\pm2\pi,\pm4\pi,\ldots \)


En este caso hablamos de interferencia constructiva total, el desfase entre las dos ondas es un múltiplo entero de \(\ 2\pi\) mientras que las perturbaciones están en fase. Cuando \(\ 0<\cos\delta<1\) las ondas están fuera de fase, \(\ I_1+I_2<I<I_{max}\) y el resultado se denomina interferencia constructiva. Para \(\ -1<\cos\delta<0\) disponemos de las condiciones de interferencia destructiva, \(\ I_{min}<I<I_1+I_2\). Una irradiancia mínima se obtiene cuando \(\ \cos\delta=-1\), con lo cual.


\( I_{min}=I_1+I_1-2\sqrt{I_1I_2}, \)


cuando


\( \delta=\pm\pi,\pm3\pi,\pm5\pi,\ldots \)


En este caso hablaremos de interferencia destructiva total.

EL EXPERIMENTO DE THOMAS YOUNG

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Fig3*Método para transformar la luz de una fuente no coherente a una fuante de luz coherente

El problema mayor en la producción de la interferencia son las fuentes: estas deben ser Coherentes.Esto fue hecho por primera vez hace doscientos años por Thomas Young en su experimento clásico de doble haz. Tomo un frente de onda individual, recorto dos secciones coherentes del mismo e hizo que interfiriesen(figura 3*).


Para la década de 1920, numerosos experimentos (como el efecto fotoeléctrico) habían demostrado que la luz interacciona con la materia únicamente en cantidades discretas, en paquetes "cuantizados" o "cuánticos" denominados fotones. Si la fuente de luz pudiera reemplazarse por una fuente capaz de producir fotones individualmente y la pantalla fuera suficientemente sensible para detectar un único fotón, el experimento de Young podría, en principio, producirse con fotones individuales con idéntico resultado.


Si una de las rendijas se cubre, los fotones individuales irían acumulándose sobre la pantalla en el tiempo creando un patrón con un único pico. Sin embargo, si ambas rendijas están abiertas los patrones de fotones incidiendo sobre la pantalla se convierten de nuevo en un patrón de líneas brillantes y oscuras. Este resultado parece confirmar y contradecir la teoría ondulatoria de la luz. Por un lado el patrón de interferencias confirma que la luz se comporta como una onda incluso si se envían partículas de una en una. Por otro lado, cada vez que un fotón de una cierta energía pasa por una de las rendijas el detector de la pantalla percibe la llegada de la misma cantidad de energía. Dado a que los fotones se emiten uno a uno no pueden interferir globalmente así que no es fácil entender el origen de la "interferencia".


La teoría cuántica resuelve estos problemas postulando ondas que determinan la probabilidad de encontrar una partícula en un punto determinado, estas ondas de probabilidad interfieren entre sí como cualquier otra onda.


Un experimento más refinado consiste en disponer un detector en cada una de las dos rendijas para determinar por qué rendija pasa cada fotón antes de llegar a la pantalla. Sin embargo, cuando el experimento se dispone de esta manera las franjas desaparecen debido a la naturaleza indeterminista de la mecánica cuántica y al colapso de la función de onda


La formulación original de Young es muy diferente de la moderna formulación del experimento y utiliza una doble rendija. En el experimento original un estrecho haz de luz, procedente de un pequeño agujero en la entrada de la cámara, es dividido en dos por una tarjeta de una anchura de unos 0.2 mm. La tarjeta se mantiene paralela al haz que penetra horizontalmente es orientado por un simple espejo.



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Fig4.Geometría del experimento de Young.


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Fig3. Experimento de Thomas Young. Ondas superpuestas en la zona detrás de la abertura de la pantalla.


El haz de luz tenía una anchura ligeramente superior al ancho de la tarjeta divisoria por lo que cuando ésta se posicionaba correctamente el haz era dividido en dos, cada uno pasando por un lado distinto de la pared divisoria. El resultado puede verse proyectado sobre una pared en una habitación oscurecida. Young realizó el experimento en la misma reunión de la Royal Society mostrando el patrón de interferencias producido demostrando la naturaleza ondulatoria de la luz.


Young logró producir un sistema de franjas alternas brillantes y oscuras (franjas de interferencia). Consideremos una onda plana monocromática hipotética que ilumina una rendija larga y estrecha. De esa rendija primaria, la luz se difractará con todos los ángulos hacia adelante y emergerá una onda. Supongamos que esta onda, a su vez, incida en dos rendijas S1 y S2 muy juntas, estrechas y paralelas (Fig3)).


Cuando existe simetría, los segmentos del frente de onda primario que llegana las dos rendijas estarás exactamente en fase y las rendijas constituirán dos fuentes secundarias coherentes. Es de suponer que donde quiera que las dos ondas procedentes de \(S_1\) y \(S_2\) se superpongan, se producirá interferencia (siempre que la longitud de camino óptico sea menor que la longitud de coherencia \(c\Delta t_c\)). En una situación física realista, la distancia entre cada una de las pantallas en la figura 4 sería muy ancha comparada con la distancia a entre las dos rendijas, varios miles de veces más grande, y todas las franjas estarían bastante cerca del centro O de la pantalla. La diferencia de camino óptico entre los rayos a lo largo de \(\overline{S_1P}\) y \(\overline{S_2P}\) puede calcularse, con buena aproximación, bajando una perpendicular desde \(S_2\) hasta \(\overline{S_1P}\). Esta diferencia de camino viene dada por


\( (\overline{S_1B})=(\overline{S_1P})-(\overline{S_2P}) \)

o

\( (\overline{S_1B})=r_1-r_2 \)


Continuando con esta aproximación \((r_1-r_2)=a\sin\theta\) y por lo tanto

\( r_1-r_2\simeq a\theta \)

puesto que \(\theta\simeq\sin\theta\). Obsérvese que

\( \theta\simeq\frac{y}{s} \)

por lo tanto

\( r_1-r_2\simeq\frac{a}{s}y \)


Según lo mencionado en la sección de consideraciones generales, la interferencia constructiva ocurrirá cuando


\( r_1-r_2=m\lambda \)

Entonces, de las dos últimas relaciones tenemos

\( y_m\simeq\frac{s}{a}m\lambda \)


Esto proporciona la posición de la m-ésima franja brillante en la pantalla si consideramos el máximo en 0 como la franja cero. La posición angular de la franja se obtiene sustituyendo la última expresión en la ecuación \(\theta\simeq\frac{y}{s}\), así


\( \theta_m=\frac{m\lambda}{a} \)


Esta relación puede obtenerse directamente inspeccionando la figura 4. Para el máximo de interferencia de orden m-ésimo, m longitudes de onda enteras deberían caber dentro de la distancia \(r_1-r_2\). Por consiguiente, del triángulo \(S_1S_2B\),


\( a\sin\theta_m=m\lambda \)

o

\( \theta_m\simeq\frac{m\lambda}{a} \)


El espacio entre las franjas en la pantalla puede obtenerse fácilmente de la ecuación \(y_m\simeq\frac{s}{a}m\lambda\). La diferencia en las posiciones de dos máximos consecutivos es


\( y_{m+1}-y_m\simeq\frac{s}{a}(m+1)\lambda-\frac{s}{a}m\lambda \)

o

\( \Delta y\simeq\frac{s}{a}\lambda \)


Se puede observar que las franjas rojas serán más anchas que las azules, ya que este patrón es equivalente al obtenido para dos ondas esféricas superpuestas (al menos en la región \(r_1\simeq r_2\)), podemos aplicar la ecuación para la irradiancia total


\( I=2I_0(1+\cos\delta)=4I_0\cos^2\frac{\delta}{2} \)

usando la diferencia de fase \(\delta=k(r_1-r_2)\) podemos reescribir la ecuación como

\( I=4I_0\cos^2\frac{k(r_1-r_2)}{2} \)
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Fig5Irradiancia en términos de la distancia entre las rejillas en el experimento de Young. La separación de las olas varía inversamente con la separación de la rendija.

siempre que, por supuesto, los dos haces sean coherentes y tengan iguales irradiancias \(I_0\). Con


\( r_1-r_2\simeq ya/s \)

la irradiancia resultante se convierte en

\( I=4I_0\cos^2\frac{ya\pi}{s\lambda} \)


tal y como se muestra en la figura5 de la izquierda, los máximos consecutivos están separados por el \(\Delta y\). Recuérdese que nosotros supusimos que cada rendija tenía un ancho infinitesimal, por lo tanto las franjas de coseno al cuadrado de la figura constituyen efectivamente una hipótesis imposible de lograr.







TRATAMIENTO DE STOKES DE LA REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

Supongamos que tenemos una onda incidente de amplitud \(\ E_{0i}\) incidiendo en una superficie plana entre dos medios dieléctricos tal como aparece en la siguiente figura


Stokes.jpg


sean \(\ r\) y \(\ t\) las amplitudes fraccionales reflejadas y transmitidas respectivamente con \(\ n_i=n_1\) y \(\ n_t=n_2\), entonces \(\ E_{0r}=rE_{0i}\) y \(\ E_{0t}=tE_{0i}\). La figura (b) muestra una situación en la que se invierte la dirección de todos los rayos, lo cual es factible desde el punto de vista del Principio de la Reversibilidad. En el lenguaje de la física moderna se habla de la invariancia en la inversión temporal, es decir, si un proceso ocurre, el proceso inverso también puede ocurrir. De acuerdo con esto en la figura (c) tenemos dos ondas incidentes de amplitudes \(\ E_{0i}r\) y \(\ E_{0i}t\). Una parte de la onda cuya amplitud es \(\ E_{0i}t\) es tanto reflejada como transmitida. Sean \(\ r^\prime\) y \(t^\prime\) respectivamente los coeficientes de reflexión y transmisión para una onda que incide desde abajo (del gris al blanco), es decir, \(\ n_i=n_2\) y \(\ n_t=n_1\). La parte que es reflejada será \((E_{0i}t)r^\prime\) y la transmitida, de manera semejante \(\ E_{0i}t)t^\prime\). De manera semejante la onda incidente cuya amplitud es \(\ E_{0i}r\) tendrá una parte reflejada y una transmitida dadas por \(\ (E_{0i}r)r\) y \(\ (E_{0i}r)t\) respectivamente.


Analizando las figuras (c) y (b) determinamos que es exactamente la misma configuración, por consiguiente tenemos que


\( E_{0i}tt^\prime+E_{0i}rr=E_{0i}, \)


\( E_{0i}rt+E_{0i}tr^\prime=0, \)


\( tt^\prime=1-r^2, \)


\( r^\prime=-r, \)


el resultado fisico de la ultima formula está en el signo negativo, el cual es un desfase de \(\ \pi\) que podemos visualizar


\( -1=e^{\ i \pi}, \)


tomando en cuenta las complicaciones que pueden aparecer al armar una configuración como la anterior, nos damos cuenta que es prácticamente imposible hacer incidir dos haces de manera que no aparezca un haz como ocurre en la figura (b) comparándola con (c), esto nos pone a pensar en la aparición de una singularidad que en este caso está determinada por el tiempo, lo que nos obliga a pensar que la flecha del tiempo está perfectamente definida.

INTERFERENCIA DE DOS HACES

Franjas de igual inclinación


Comenzaremos analizando el caso en el que un haz de luz proveniente de una fuente de luz monocromática, incide en una capa delgada de material dieléctrico, el cual es no absorvente y su coeficiente de reflexion es bajo permitiendo solo el paso de dos haces reflejados, uno producido por la capa externa del material y el otro producido por la interfase interna del material, produciendo así dos haces los cuales podemos considerar como si hubieran sido producidos por una fuente de luz coherente "virtual" ubicada detrás del material.

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Fig7. Franjas de igual inclinación

Como podemos ver en la figura, los dos haces reflejados salen paralelos del material pero cada uno recorre un camino óptico distinto, lo cual produce una diferencia de fase (a menos que el camino óptico del haz que se transmite en el material sea un múltiplo entero de la longitud de onda \(\lambda\) del haz incidente). La diferencia de camino óptico para los dos primeros rayos reflejados viene dada por


\( \Lambda=n_f[(\overline{AB})+(\overline{BC})]-n_1(\overline{AD}) \)


usando el hecho de que


\( (\overline{AB})=(\overline{BC})=\frac{d}{\cos\theta_t} \)


\( \Lambda=\frac{2n_fd}{\cos\theta_t}-n_1(\overline{AD}) \)


\( (\overline{AD})=(\overline{AC})\sin\theta_i \)


Utilizando la ley de Snell


\( \frac{n_1}{n_f}=\frac{\sin\theta_f}{\sin\theta_i} \)


la expresión para \((\overline{AD})\) toma la forma


\( (\overline{AD})=(\overline{AC})\frac{n_f}{n_1}\sin\theta_t \)


Del dibujo notamos que


\( (\overline{AC})=2d\tan\theta_t \)


entonces


\( (\overline{AD})=2d\tan\theta_t\frac{n_f}{n_1}\sin\theta_t=2d\frac{n_f}{n_1}\frac{sin^2\theta_t}{\cos\theta_t} \)


Sustituyendo eso en la expresión para \(\Lambda\) tenemos


\( \Lambda=\frac{2n_fd}{\cos\theta_t}(1-\sin^2\theta_t) \)


y simplificando un poco más


\( \Lambda=2n_f\ d\cos\theta_t \)


El desfase correspondiente y asociado con la diferencia de camino óptico es precisamente el producto del módulo del vector de onda en el espacio libre (\(k_0\)) y \(\Lambda\)


\( \delta=k_0\Lambda\pm\pi \)


Explícitamenete


\( \delta=\frac{4\pi n_f}{\lambda_0}d\cos\theta_t\pm\pi \)


debido a que el signo de la fase es irrelevante tomaremos el signo negativo para simplificar los cálculos.


En la luz reflejada un máximo de interferencia, un punto brillante aparece en \(\ P\) cuando \(\ \delta=2m\pi\), en este caso la ecuación resultante es


\( d\cos\theta_t=(2m+1)\frac{\lambda_f}{4} \)


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Fig8. Todos los rayos con el mismo ángulo de inclinación llegan al mismo punto


donde \(m=0,1,2,\ldots\) y \(\ \lambda_f=\frac{\lambda_0}{n_f}\). Los mínimos de interferencia en luz reflejada (máximos en luz transmitida) se producen cuando \(\delta=(2m\pm 1)\pi\), es decir, múltiplos impares de \(\pi\)


\( d\cos\theta_t=2m\frac{\lambda_f}{4} \)


Si tomamos una fuente extensa de luz con una lente, y esa lente tiene una abertura pequeña, las franjas de interferencia aparecerán en una región pequeña de la película. Se verán solamente los rayos que emergen de la fuente puntual y que se reflejan directamente hacia otra lente que se encuentra justo frente a una pantalla, pero en el caso de una fuente extensa, la luz llegará a la lente desde varias direcciones y la distribución de las franjas se extenderá a fin de cubrir un área mayor de la película.


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Fig9. Franjas de Haidinger


Las franjas que aparezcan en los puntos \(\ P_1\) y \(\ P_2\) de la Fig8. se denominan franjas de igual inclinación



Al patrón de interferencia formado por las franjas de igual inclinación de le conoce con el nombre de Franjas de Haidinger. Estas franjas se observan sin la necesidad de una lente "adicional" para focalizar, ya que este patrón puede ser observado directamente en nuestro ojo, gracias a la cornea que funciona como un lente focalizador.





Franjas de igual espesor


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Fig10. Franjas de Fizeau formadas por una película de jabón cuyo espesor es mayor abajo debido a la gravedad


También conocidas como "Franjas de Fizeau", las franjas de igual espesor son en realidad un patrón de interferencia formado por el desfase en la luz reflejada por una capa de material dieléctrico con espesor no constante. Dicho espesor dependerá de la inclinación de una de las caras del material, el cual estará relacionado con la distancia al origen de coordenadas sobre el eje \(x\)


Cada franja es el lugar geométrico de todos los puntos en la película cuyo espesor óptico es constante. Como tal, ellas pueden ser bastante útiles a fin de determinar aspectos diferentes de la superficie de elementos ópticos: lentes, prismas, etc.


\( d=x\ \tan \alpha \)


donde usando la aproximación para ángulos pequeños tenemos


\( d\simeq x\ \alpha \)


para valores pequeños de \( \ \theta_i\) la condición para un máximo es


\( (m+\frac{1}{2})\lambda_0=2n_fd_m \)


ó


\( (m+\frac{1}{2})\lambda_0=2\alpha x_mn_f \)


donde \(d_m\) es el espesor de la placa dieléctrica en función de la posición \(x_m\) respecto al origen. Puesto que \(n_f=\frac{\lambda_0}{\lambda_f}\), \(\ x_m\ \) puede escribirse como


\( x_m=\left(\frac{m+1/2}{2\alpha}\right)\lambda_f \)


las franjas consecutivas están separadas por una distancia \(\Delta x\) dada por


\( \Delta x=\frac{\lambda_f}{2\alpha} \)


El espesor de la pelicula para distintos máximos viene dado por


\( d_m=\left(m+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda_f}{2} \)


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Fig11. Anillos de Newton, que en realidad son franjas de Fizeau pero circulares


Estos máximos y mínimos son los que podemos observar en las manchas de aceite en el piso mojado o las franjas que se forman al poner una película de jabón en forma vertical, donde el espesor de la película varía de manera constante por acción de la gravedad formando una cuña más gruesa en la parte baja de la película.

Coloquemos una lente del tipo convergente sobre un portaobjetos, este será otro ejemplo de la generación de franjas de igual espesor en la que notamos una serie de franjas concentricas, casi circulares, los cuales se forman debido a que la película de aire encerrada entre ellos no es uniforme. Esta distribución se denomina anillos de Newton, la relación entre la distancia \(x\) y el espesor \(d\) de la película viene dado por la Fig12.


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Fig12. Montaje experimental para observar los anillos de Newton


\( x^2=R^2-\left(R-d\right)^2 \)


Desarrollándolo obtenemos


\( x^2=2R\ d-d^2 \)


Puesto que \(R \gg d\) encontramos que


\( x^2=2R\ d \)


El máximo de interferencia de orden \(m\) ocurrirá en la película delgada cuando su espesor esté dado por


\( 2n_fd_m=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda_0 \)


El radio del m-ésimo anillo brillante se calcula combinando las dos expresiones anteriores


\( x_m=\left[\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda_fR\right]^{1/2} \)


Por lo cual el radio del m-ésimo anillo oscuro (mínimo) esta dado por


\( x_m=\left(m\lambda_fR\right)^{1/2} \)


Notamos pues que en los anillos de Newton a diferencia de la distribución circular de las franjas de Haidinger, los diametros de los anillos varían con el orden \(m\).

INTERFERENCIA DE HACES MULTIPLES

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Fig13. Interferencia de haces múltiples de una película paralela


Vamos ahora a considerar el caso en el que la placa de material dieléctrico no es absorvente, esto ocasiona que dentro del material tengamos múltiples reflexiones y que no las podamos aproximar a cero, por lo que tendremos una serie de haces saliendo de la placa cuyas amplitudes van disminuyendo de manera gradual.


Llamaremos \(E_0r, E_0tr^\prime t^\prime, E_0tr^{\prime 3} t^\prime,\ldots\) a las amplitudes de las ondas reflejadas, donde \(E_0\ \)es la amplitud de la onda incidente y \(r=-r^\prime\), donde el signo menos indica una diferencia de fase de 180º entre las ondas reflejadas interna y externamente. De la misma forma, las ondas transmitidas las podemos escribir como \(E_0tt^\prime, E_0tr^{\prime 2} t^\prime, E_0tr^{\prime 4} t^\prime,\ldots\)


De aquí, la diferencia de longitud de camino óptico entre rayos adyacentes viene dada por


\( \Lambda=2n_f\ d\cos\theta_t \)


Todas las ondas excepto la primera, sufren un número impar de reflexiones dentro de la película.


Imponiendo la condición \(\ \Lambda=m\lambda\) , la segunda, tercera, cuarta, etc. onda, estarán todas en fase en \(P\), esto debido a que el desfase causado por la diferencia de camino óptico está dado por


\( \delta_{\Lambda}\ =\Lambda k=2m\pi \)


donde se usó el hecho de que \(\ k\lambda=2\pi\), que llevado a la expresión del campo será \(\ e^{i(2m\pi)}\), la cual, tomando la parte real no causa ningún desfase, puesto que \(\ Re[e^{i(2m\pi)}]=\cos (2m\pi)=1\)


Por último analizamos el desfase provocado por reflexiones internas que como se vio en la sección de Tratamiento de Stokes, el primer rayo reflejado estará desfasado de todos los demás en \(\pi\) Rad, puesto que este es reflejado únicamente en la parte externa de la interface, resultando de los dos hechos anteriores obtenemos la amplitud total reflejada en \(P\) (Fig13.)


\( E_{0r}=E_0r-(E_0trt^\prime+E_0tr^3t^\prime+E_0tr^5t^\prime+\ldots) \)


o

\( E_{0r}=E_0r-E_0trt^\prime(1+r^2+r^4+\ldots) \)


donde la serie geométrica converge a una suma finita \(\frac{1}{(1-r^2)}\) siempre y cuando \(\ r^2<1\)


\( E_{0r}=E_0r-\frac{E_0trt^\prime}{(1-r^2)} \)


del principio de reversibilidad obtenemos que \(tt^\prime=1-r^2\) y por lo tanto se deduce que


\( E_{0r}=\ 0 \)


Como se había mencionado, la segunda, tercera, cuarta, etc. onda anulará exactamente a la primera. En este caso no se refleja luz y toda ella es transmitida.


Considerando como segundo caso especial \(\Lambda=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda\). De manera semejante como se realizó en el caso anterior calculamos el desfase entre ondas adyacentes, que está dado por


\( \ \delta_{\Lambda}=\Lambda k=(2m+1)\pi \)


que llevado a la expresión del campo será \(\ e^{i((2m+1)\pi)}\), la cual, tomando la parte real causará un desfase, puesto que \(\ Re[e^{i(2m\pi)}]=\cos (2m+1)\pi=-1\). Analizando el desfase producido por reflexiones internas conlleva a que el primer y segundo rayos estarán en fase y todos los demás desfasados en \pi respecto a la anterior. La amplitud resultante es


\( E_{0r}=E_0r+E_0trt^\prime-E_0tr^3t^\prime+E_0tr^5t^\prime \)


o


\( E_{0r}=E_0r+E_0trt^\prime(1-r^2+r^4-\ldots) \)


La serie del paréntesis resulta nuevamente en la geométrica, obteniendo


\( E_{0r}=E_0r\left[1+\frac{tt^\prime}{(1+r^2)}\right] \)


una vez más, empleando el hecho de que \(tt^\prime=1-r^2\) obtenemos


\( E_{0r}=\frac{2r}{(1+r^2)}E_0 \)


Calculando la irradiancia como \(I=\ EE^\ast /2\), notando que nuestra expresión es puramente real tenemos


\( I_r=\frac{4r^2}{(1+r^2)^2}\left(\frac{E_0^2}{2}\right) \)


De manera más general, utilizando representación compleja y usando el hecho de que \(\ n_1=n_2\). Tenemos que los campos en el punto \(\ P\) están dados por


\( \begin{array}{l} \tilde{E}_{1r}=E_0re^{i\omega t} \\ \tilde{E}_{2r}=E_0tr^\prime t^\prime e^{i(\omega t-\delta)} \\ \tilde{E}_{3r}=E_0tr^{\prime 3}t^\prime e^{i(\omega t-2\delta)} \\ \vdots \\ \tilde{E}_{Nr}=E_0tr^{\prime 2N-3}t^\prime e^{[i\omega t-(N-1)\delta]} \end{array} \)


Los términos que contienen \(\ \delta\), como ya se mencionó son procedentes de la diferencia de camino óptico. El desfase relativo sufrido por las reflexiones internas está contenido en el término \(r^\prime\) explicado previamente en el "Tratamiento de Stokes". La onda reflejada resultante es entonces


\( \tilde{E}_r=\tilde{E}_{1r}+\tilde{E}_{2r}+\tilde{E}_{3r}+\ldots +\tilde{E}_{Nr} \)


sustituyendo los campos previos obtenemos


\( \tilde{E}_r=E_0re^{i\omega t}+E_0tr^\prime t^\prime e^{i(\omega t-\delta)}+E_0tr^{\prime 3}t^\prime e^{i(\omega t-2\delta)}+\ldots+E_0tr^{\prime 2N-3}t^\prime e^{[i\omega t-(N-1)\delta]} \)


factorizando términos semejantes obtenemos


\( \tilde{E}_r=E_0e^{i\omega t} \{r+r^\prime tt^\prime e^{-i\delta} [1+(r^{\prime 2} e^{-i\delta})+(r^{\prime 2}e^{-i\delta})^2+\ldots+(r^{\prime2}e^{-i\delta})^{N-2}]\} \)


nuevamente observando la serie geométrica, pero en este caso desarrollada para \(r^{\prime 2}e^{-i\delta}\) tenemos


\( \tilde{E}_r=E_0e^{i\omega t}\left[r+\frac{r^\prime tt^\prime e^{-i\delta}}{1-r^{\prime 2}e^{-i\delta}}\right] \)


sustituyendo las relaciones de Stokes


\( \tilde{E}_r=E_0e^{i\omega t}\left[\frac{r(1-e^{-i\delta})}{1-r^2e^{-i\delta}}\right] \)


calculando nuevamente la irradiancia


\( I_r=\frac{E_0^2 r^2 (1-e^{-i\delta})(1-e^{+i\delta})}{2(1-r^2e^{-i\delta})(1-r^2e^{+i\delta})} \)


simplificando términos


\( I_r=I_i\frac{2r^2(1-\cos\delta)}{(1+r^4)-2r^2\cos\delta} \)


de manera análoga, pero ahora para las ondas transmitidas tenemos


\( \begin{array}{l} \tilde{E}_{1t}=E_0tt^\prime e^{i\omega t} \\ \tilde{E}_{2t}=E_0tt^\prime r^{\prime 2} e^{i(\omega t-\delta)} \\ \tilde{E}_{3t}=E_0tt^\prime r^{\prime 4} e^{i(\omega t-2\delta)} \\ \vdots \\ \tilde{E}_{Nt}=E_0tt^\prime r^{\prime 2(N-1)}e^{[i\omega t-(N-1)\delta]} \end{array} \)


que al sumarse y aplicarle las condiciones correspondientes obtenemos


\( \tilde{E}_t=E_0 e^{i\omega t} \left[\frac{t t^\prime} {1-r^2e^{-i\delta}}\right] \)


Calculando la irradiancia


\( I_t=\frac{I_i(tt^\prime)^2}{(1+r^4)-2r^2\cos\delta} \)


Usando la identidad trigonométrica \(\ \cos\delta=1-2\sin^2(\delta/2)\), transformamos las ecuaciones para las irradiancias reflejadas y transmitidas obtenemos respectivamente


\( I_r=I_i\frac{[2r/(1-r^2)]^2\sin^2(\delta/2)}{1+[2r/(1-r^2)]^2\sin^2(\delta/2)} \)


y


\( I_t=I_i\frac{1}{1+[2r/(1-r^2)]^2\sin^2(\delta/2)} \)


Combinando las dos expresiones anteriores obtenemos


\( I_i=\ I_r+I_t \)


lo cual se cumple si no se absorbe algo de la energía incidente; sin embargo, si la película dieléctrica está recubierta de una capa delgada semitransparente de metal, las corrientes superficiales inducidas en el metal disiparán una porción de la energía incidente


Existirá un máximo cuando el denominador de


\( I_t=\frac{I_i(tt^\prime)^2}{(1+r^4)-2r^2\cos\delta} \)


es mínimo, es decir, cuando \(\ \cos\delta=1\), para el cual, \(\ \delta=2m\pi\) y


\( \left(I_t\right)_{max}=I_i \)


lo cual implica que


\( \left(I_r\right)_{min}=0 \)


de manera semejante se tendrá un mínimo en \(\ I_t\) cuando el denominador sea máximo, es decir, cuando \(\ \cos\delta=-1\), para el cual \(\ \delta=(2m+1)\pi\)


\( \left(I_t\right)_{min}=I_i\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2} \)


por consiguiente el máximo reflejado es


\( \left(I_r\right)_{max}=I_i\frac{4r^2}{(1+r^2)^2} \)


(thumbnail)
Fig14. Función de Airy
(thumbnail)
Fig15. Uno menos la Función de Airy


La distribución de franjas de inclinación tiene máximos cuando \(\delta=(2m+1)\pi\) o


\( \frac{4\pi n_f}{\lambda_0}d\cos\theta_t=(2m+1)\pi \)


que es exactamente la misma ecuación obtenida con anterioridad. Introduciendo una nueva cantidad, el coeficiente \(F\) de fuerza, de modo que


\( F=\left(\frac{2r}{1-r^2}\right)^2 \)


reescribiendo las ecuaciones para la irradiancia tenemos


\( \frac{I_r}{I_i}=\frac{F\sin^2(\delta /2)}{1+F\sin^2(\delta /2)} \)


y


\( \frac{I_t}{I_i}=\frac{1}{1+F\sin^2(\delta /2)} \)


El término \({1+F\sin^2(\delta /2)}^{-1}=\mathcal{A}(\theta)\) se denomina Función de Airy, y representa la distribución de la densidad del flujo transmitido

EL INTERFERÓMETRO DE FABRY-PEROT

El interferómetro de haces múltiples también conocido como el interferómetro de Fabry-Perot es de gran importancia en la óptica moderna, ya que además de ser un interferómetro de alta resolución, también sirve como cavidad resonante básica para el LASER


Las películas de metal parcialmente transparentes que se emplean para aumentar la reflectancia \((R=r^2)\) absorberán una fracción "a" de la intensidad de fujo; esta fracción se denomina Absortancia.


La expresión


\( tt^\prime+r^2=1 \)


o


\( T+R=\ 1 \)


donde \(T\) es la transmitancia, ahora deberá volverse a escribir como


\( T+R+A=\ 1 \)


Las películas metálicas tienen un desplazamiento de fase adicional \(\phi(\theta_i)\) que puede diferir de 0 o \(\pi\). El desfase de dos ondas transmitidas sucesivamente es


\( \delta=\frac{4\pi n_f}{\lambda_0}d\cos\theta_t+2\phi \)


para el cual \(\theta_i\) es pequeño y \(\phi\) es constante. \(d\) es tan grande y \(\lambda_0\) tan pequeño que \(\phi\) puede omitirse, reescribiendo la ecuación para \(I_t\) obtenemos


\( \frac{I_t}{I_i}=\frac{T^2}{1+R^2-2R\cos\delta} \)


o de manera equivalente


\( \frac{I_t}{I_i}=\left(\frac{T}{1-R}\right)^2\frac{1}{1+[4R/(1-R)^2]\sin^2(\delta/2)} \)


sustituyendo el hecho de que \(T+A+R=1\) tenemos


\( \frac{I_t}{I_i}=\left[1-\frac{A}{(1-R)}\right]^2\mathcal{A}(\theta) \)


comparada con la ecuación para absorción cero


\( \frac{I_t}{I_i}=\mathcal{A}(\theta) \)


Dado que \(A\) nunca es cero los máximos de \(I_t\) siempre serán menores que la densidad de flujo incidente. Por lo tanto el máximo de transmisión se define como


\( \frac{(I_t)_{max}}{I_i}=\left[1-\frac{A}{(1-R)}\right]^2 \)


realizando el cociente de la irradiancia transmitida \(I_t\) entre el máximo de la misma \((I_t)_{max}\) tenemos


\( \frac{\frac{I_t}{I_i}}{\frac{(I_t)_{max}}{I_i}}=\frac{I_t}{(I_t)_{max}}=\mathcal{A}(\theta) \)


La nitidez de las franjas es proporcional al ancho medio \(\gamma\) que se da cuando \(I_t=(I_t)_{max}/2\). Por consiguiente \(\mathcal{A}(\theta)=\frac{1}{2}\) cada vez que \(\delta=\delta_{max}\pm\delta_{1/2}\), dado que


\( \mathcal{A}(\theta)=[1+F\sin^2(\delta/2)]^{-1} \)


entonces cuando


\( \left[1+F\sin^2(\delta_{1/2}/2)\right]^{-1}=1/2 \)


se deduce que


\( \delta_{1/2}=2\sin^{-1}(1/\sqrt{F}) \)


ya que \(F\) es, por lo general, grande, \(\sin^{-1}(1/\sqrt{F})\simeq\frac{1}{\sqrt{F}}\), y por lo tanto \(\gamma=2\delta_{(1/2)}\), es igual a


\( \gamma=\frac{4}{\sqrt{F}} \)


Recordando que \(F=4R/(1-R)^2\), cuando mayor sea \(R\), más agudo serán los máximos. Otro valor importante es la separación entre los máximos adyacentes con respecto al ancho medio, denominada fineza, \(\mathcal{F}=2\pi/\gamma\), o bien


\( \mathcal{F}=\frac{\pi \sqrt{F}}{2} \)


Los interferómetros de Fabry-Perot más comunes tienen una fineza alrededor de 30.

Por Daniel Staufert

REFERENCIAS

HECHT, Eugene, Óptica, Adelphi University, Tercera edición, Addison Wesley Iberoamericana, Madrid, 2000


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