'Wikidiff2', 'version' => '', 'author' => 'Tim Starling', 'description' => 'external diff engine for MediaWiki', 'url' => 'https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:Wikidiff2' ); $wgExternalDiffEngine = 'wikidiff2'; Ondas Mecanicas Longitudinales - Luz-wiki

Ondas Mecanicas Longitudinales

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Ondas mecánicas longitudinales

Una onda longitudinal es una onda en la que el movimiento de oscilación de las partículas del medio es paralelo a la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales reciben también el nombre de ondas de presión u ondas de compresión. Un ejemplo de onda longitudinal es el [1]sonido, Acústica. En las ondas sísmicas también tenemos presencia de las ondas longitudinales.


Las ondas mecánicas longitudinales pueden propagarse a través de medios sólidos, líquidos y gaseosos, pero las ondas mecánicas transversales solo pueden propagarse a través de sólidos. Esto es así por que los puntos de una onda transversal oscilan paralelos a un plano, lo cual requiere que el medio ejerza fuerzas paralelas al plano. Un medio solidó puede ejercer tales fuerzas, pero un fluido no (propiedad uno de los fluidos ). Por consiguiente, solo las ondas longitudinales se pueden propagar en medios fluidos como el aire y el agua.


Para que se produzca una onda mecánica son necesarias las siguientes condiciones:

  • Una fuente de perturbación.
  • Un medio a través del cual se propague la perturbación.
  • Un mecanismo por medio del cual las partículas del medio interactúen entre sí para intercambiar energía.


Las ondas mecánicas cuentan con las siguientes características:

  • La onda se propaga desde la fuente en todas las direcciones en que le sea posible.
  • Dos ondas pueden entrecruzarse en el mismo punto del medio sin modificarse una a la otra. Esta propiedad es [2]interferencia
  • La velocidad de la onda es una propiedad dependiente únicamente de las características físicas del medio, salvo en ondas a flexión en la que son también función de la frecuencia.

Oscilaciones longitudinales de dos masas acopladas

Escogemos aquí dos masas acopladas por que en este caso se puede ver de manera sencilla como seria la forma de oscilación de una masa (se ve claro en el planteamiento del modo uno) y al determinar los modos de oscilación sabiendo que el número de modos de un sistema es igual al número de grados de libertad se ilustra de manera clara y sencilla mostrando una manera apropiada de plantear el problema.

Caracteristicas:

Las dos masas M se deslizan sin fricción sobre una mesa. Los tres resortes con masa despreciable e idénticos, cada uno con constante K. Sabemos que deben existir dos modos de oscilación dado que hay dos grados de libertad. En un modo, cada parte móvil (cada masa) oscila con movimiento armónico. Esto significa que cada parte móvil oscila con la misma frecuencia y entonces la fuerza de retorno, por unidad de desplazamiento por unidad de masa \((\omega^2)\) es la misma para ambas masas (el único requerimiento es que el movimiento sea armónico con una única frecuencia).


Osciladores11.png


En el ejemplo presente las masas son iguales. Necesitamos luego buscar solo configuraciones que tengan la misma fuerza de retorno por unidad de desplazamiento para ambas masas. Supongamos que los desplazamientos puedan ser los mismos y veamos si esto es apropiado. Si comenzamos en la posición de equilibrio y luego desplazamos ambas masas a la derecha, nótese que el resorte central tiene la misma longitud que tiene en el equilibrio, de manera que no ejerce fuerzas sobre ninguna masa. La masa de la izquierda es atraída hacia la izquierda por que el resorte izquierdo esta extendido. La masa derecha es empujada hacia la izquierda con la misma fuerza por que el resorte de la derecha esta comprimido en la misma cantidad.


Modo 1\[\psi_{a}{(t)}=\psi_{b}{(t)}\]

\(\omega_{1}^2=\frac{K}{M}\)


Ésto es consecuencia de que cada masa oscila como si el resorte central no existiera.


Osciladores22.png


Por simetría, intuimos que si a y b se mueven en sentido contrario, podríamos tener un mismo modo oscilación. Si a se mueve una distancia \(\psi_{a}\) a la derecha y b se mueve una distancia igual a la izquierda, cada una tiene la misma fuerza de retorno. Así el segundo modo tiene \(\psi_{a}{(t)}=-\psi_{b}{(t)}\). La frecuencia \(\omega^2\) se puede encontrar considerando una masa única y encontrando su fuerza de retorno por unidad de desplazamiento por unidad de masa.

Consideremos que la masa a la izquierda de a, es llevada por el resorte de la izquierda con una fuerza \(F_{z}=-k\psi_{a}\), es empujada hacia la izquierda por el resorte central con una fuerza \(F_{z}=-2k\psi_{a}\). El factor desaparece por que el resorte del centro es comprimido 2\(\psi_{a}\) así, la fuerza neta para en desplazamiento es \(\psi_{a}\) es -3K \(\psi_{a}\)

Modo 2\[\psi_{a}{(t)}=-\psi_{b}{(t)}\]

\(\omega_{2}^2=\frac{3K}{M}\)


A partir de la figura se ve que las ecuaciones de movimiento para una configuración general son:

\(M\frac{d^2\psi_a}{{d}{t^2}}=-K\psi_a+K(\psi_b-\psi_a)\)


\(M\frac{d^2\psi_b}{{d}{t^2}}=-K(\psi_b-\psi_a)-K\psi_b\)


Sumando las ecuaciones y restándolas obtenemos:

\(M\frac{d^2(\psi_a+\psi_b)}{{d}{t^2}}=-K(\psi_b+\psi_a)\)


\(M\frac{d^2(\psi_a-\psi_b)}{{d}{t^2}}=-3K(\psi_a-\psi_b)\)

Éstas son ecuaciones no acopladas en las variables

 \((\psi_a+\psi_b)=\psi_1(t)=-A_1cos({\omega_1}{t}-\phi_a)\)       \(\omega_{1}^2=\frac{K}{M}\)
 \((\psi_a-\psi_b)=\psi_2(t)=-A_2cos({\omega_2}{t}-\phi_b)\)       \(\omega_{1}^2=\frac{K}{M}\)


Donde \(A_1\) y \(\phi_1\) son la amplitud y la constante de fase del modo 1 y \(A_2\) y \(\phi_2\) de la fase del modo 2. Vemos que \(\psi_1(t)\) corresponde al movimiento del centro de masa, dado que \(\frac{1}{2}(\psi_a-\psi_b)\) es la posición del centro de masa.


Vemos que \(\phi_2\) es la compresión del resorte central o el desplazamiento relativo de las dos masas. En éste problema hemos encontrado las coordenadas normales \(\phi_1\) y \(\phi_2\). Volvamos a nuestro sistema de coordenadas mas familiar \(\phi_a\) y \(\phi_b\). Resolviendo las ecuaciones anteriores encontramos que

\(2\psi_a=-A_1cos({\omega_1}{t}-\phi_a)+A_2cos({\omega_2}{t}-\phi_b)\)
\(2\psi_b=-A_1cos({\omega_1}{t}-\phi_a)-A_2cos({\omega_2}{t}-\phi_b)\)


Advierta que si tenemos un movimiento que es de modo 1 puro, \(A_2\) es cero y de acuerdo con nuestras ultimas ecuaciones tenemos que \(\psi_a=\psi_b\). En forma semejante, en el modo 2 tenemos \(A_1\) es cero y \(\psi_a=-\psi_b\)

Es fácil observar como las ondas longitudinales se propagan al definir los modos de oscilación, por ejemplo en el modo uno ambas masas están sincronizadas en un movimiento armónico donde se observa el movimiento como si fuera un solo resorte el que sufriera un estiramiento y compresión. De estos ejemplos es fácil deducir como es el movimiento en el que se genera en las ondas longitudinales, en pocas palabras estos movimientos nos ilustran como se transmite la perturbación

Ondas superficiales

Son una combinación de ondas transversales y longitudinales. Las olas del mar son ondas mecánicas superficiales, que se propagan por la frontera entre dos medios materiales. En este caso se trata del límite entre la atmósfera y el océano. Cada molécula del agua, o cada objeto en suspensión en ella, sufre un movimiento circular que la devuelve cuando pasa la ola al mismo sitio donde se encontraba. Se trata de un vaivén con un componente vertical, de arriba a abajo, y otra longitudinal, en la dirección de propagación de la onda.

Onda1.giffig 1


Ondas superficiales en un líquido.

Las ondas más comunes son las que podemos observar en el mar o en el océano, en lagos, o simplemente las que se producen en un pozo cuando cae una piedra en él. La superficie de un liquido en equilibrio es plana y horizontal. Una perturbación de la superficie produce un desplazamiento de todas las moléculas situadas inmediatamente debajo de la superficie. Fig 1. Cada volumen elemental de líquido describe una trayectoria cerrada. La amplitud de los desplazamientos vertical y horizontal de un elemento de volumen de un fluido varia, en general, con la profundidad. Desde luego, las moléculas del fondo no experimentan desplazamiento vertical, porque no pueden separarse del mismo. En la superficie del líquido entran en juego ciertas fuerzas además de la fuerza debida a la presión atmosférica. Una de ellas es la debida a la tensión superficial del líquido, que da lugar a una fuerza hacia arriba sobre el elemento de superficie, similar a la que se encuentra en el caso de una cuerda. Otra fuerza es el peso del líquido situado por encima del nivel de equilibrio. Sin embargo, es satisfecha por las armónicas de longitud de onda λ y velocidad de propagación dada por:

\( v\) = \(\sqrt\frac{g{\lambda}}{2{\pi}}+\sqrt\frac{\mathbf{2\pi}T}{\rho{\lambda}}...(1)\)

Donde ρ es la densidad del liquido, T la tensión superficial y g la aceleración de la gravedad. Esta ecuación es válida para profanidades no muy grandes en comparación con la longitud de onda λ. En caso contrario, la expresión resultante es diferente. El aspecto más interesante de la ecuación anterior, es que la velocidad de propagación depende de la longitud de onda. Como la frecuencia está relacionada con la longitud de onda y con la velocidad de propagación a través de \(\nu=\frac{v}{\lambda} \) , concluimos que la velocidad de propagación depende de la frecuencia. Supongamos, por ejemplo, que λ es suficientemente grande como para que el segundo término de la ecuación sea despreciable. Entonces tenemos.

\( v\) = \(\sqrt\frac{g{\lambda}}{2{\pi}}...(2)\)

Las ondas en este caso son llamadas ondas gravitacionales. Con esta aproximación la velocidad de propagación es independiente de la naturaleza del líquido, ya que ningún factor referente al líquido (tal como su densidad o tensión superficial) aparece en la ecuación (2), Vemos que, en este caso, la velocidad de propagación es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de onda, y que a mayor longitud de onda, mayor rapidez de propagación. Por esta razón un viento fuerte y continuado produce ondas de mayor longitud de onda que una ráfaga repentina e irregular. Cuando la longitud de onda es muy pequeña, el término que predomina es el segundo en la ecuación (1) y entonces la velocidad de propagación es

\( v\) = \(\sqrt\frac{\mathbf{2\pi}T}{\rho{\lambda}}...(3)\)

Estas ondas se llaman rizado y ondas capilares; son las ondas que se observan cuando sopla una brisa, o cuando el recipiente que contiene un liquido se somete a vibraciones de alta frecuencia y pequeña amplitud. En este caso, a mayor amplitud de onda, menor velocidad de propagación. Cuando la velocidad de propagación de un movimiento ondulatorio depende de la longitud de onda o de la frecuencia, decimos que hay dispersión. Si un movimiento ondulatorio resultante de la superposición de varias ondas armónicas de diferentes frecuencias penetra en un medio dispersivo, la onda se distorsiona por que cada una de sus ondas componentes se propaga con diferente velocidad. La dispersión es un fenómeno importante que se presenta en varios tipos de propagación de ondas. En particular las ondas electromagnéticas a través de la materia.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Ondes_compression_2d_20_petit.gif

Referencias

[1] Ondas,Berkeley Physis course Volumen 3, Editorial Reverté S.A (1994)

[2] fisica para las ciencias de la vida, Cromer, Editorial Reverte S.A.


Ondas Dispersivas

Las ecuaciones en derivadas parciales lineales en medios uniformes(con coeficientes constantes)y con condiciones de frontera sencillas, se pueden resolver a menudo de manera análoga, si no más sencillas, al método de separación de variables.Como la forma de la solución es conocida de antemano a partir de nuestra experiencia en separar variables, podemos sustituir directamente esta forma en la ecuación. dim=1,\(e^{i(kx-\omega t)}\),\(e^{ikx}e^{\sigma t}\) dim>1,\(e^{i(k\bullet x-\omega t)}\) \(e^{ikx}e^{\sigma t}\) La longitud de onda es \(\frac{2\pi}{k}\) y,por tanto, el número de onda \(k\) es el número de periodos en unidades de \(2\pi\). Si el dominio es no acotado, esta constante \(k\) representa uno de los valores de una función continua(respectivamente de una función vectorial continua de números de onda)permitidos por la correspondiente transformada de Fourier. En esos problemas, \(\omega\) es la frecuencia temporal, mientras que \(\sigma\) representa la dependencia en tiempo de la solución. Para resolver problemas en ecuaciones en derivadas parciales correspondientes a la propagación de ondas, obtenemos la frecuencia temporal como una función real del número de onda,\(\omega=\omega(k)\),lo que denominamos relación de dispersión.En problemas en varias dimensiones, \(\omega=\omega(k)\), es decir, por ejemplo en dimensión tres, \(\omega=\omega(k_{1},k_{2},k_{3})\).En la propagación unidimensional de ondas, tenemos \(e^{i(kx-\omega t)}=e^{ik(x-\frac{\omega}{k}t)}\), que representa una onda viajera con velocidad de onda \(=\frac{\omega(t)}{\kappa}\).Si la velocidad depende realmente del número de onda,entonces ondas con diferente longitud se mueven con distinta velocidad. De momento, decimos que un problema de propagación de ondas es dispersivo si la velocidad de onda depende del número de onda y, en particular, si la velocidad de onda no es constante. Un problema es no dispersivo, si \(\frac{\omega(t)}{\kappa}=constante\),de manera que \(\omega(t)=constantexk\). De una forma más técnica, decimos que un problema unidimensional es dispersivo si \(\frac{d\omega}{dk}\neq constante\).En dimensiones superiores, un problema (por ejemplo en,dim=3 )si \(\nabla_{k}\omega=(\frac{\partial\omega}{\partial k_{1}},\frac{\partial\omega}{\partial k_{2}},\frac{\partial\omega}{\partial k_{3}})\neq vectorconstante\).

--Federico Espinoza Sosa 02:24 9 abr 2012 (UTC)

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