Ondas: superposicion

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Principio de Superposición

La forma de la ecuación diferencial de onda pone de manifiesto una propiedad interesante de las ondas la cual se menciona a continuación.

Supongamos que las funciones de onda \(\psi_1\) y \(\psi_2\) son soluciones cada una de la ecuación de onda; de ello podremos ver que \(\psi_1+\psi_2\) también es solución.

Esto se denomina Principio de superposición y lo demostraremos a continuación. Es cierto que

\(\frac{\partial \psi_1}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi_1}{\partial t^{2}}\) y \(\frac{\partial \psi_2}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi_2}{\partial t^{2}}\)


Sumando estos resulatdos
\(\frac{\partial \psi_1}{\partial x^{2}}+\frac{\partial \psi_2}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi_1}{\partial t^{2}}+\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi_2}{\partial t^{2}}\)
Por lo tanto
\(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(\psi_1+\psi_2)=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(\psi_1+\psi_2)\)

que establece que efectivamente \(\psi_1+\psi_2\)

es una solución. Esto quiere decir que cuando dos ondas separadas llegan al mismo sitio en el espacio en donde se superponen, se sumaran o se sustraeran simplemente.

La perturbación resultante en cada punto de la zona de superposición es la suma algebraica de las ondas constituyentes individuales en ese punto. Una ves que hayan pasado por el área donde las ondas coexisten, cada cual saldra y se alejara, quedando inalterada por el encuentro[1].

La siguiente animación muestra dos pulsos de onda Gaussianos viajando en el mismo medio, uno va hacia la derecha y el otro hacia la izquierda. Tal como se menciona líneas arriba, las ondas no son alteradas al pasar una a través de la otra, siendo el desplazamiento neto la suma de los desplazamientos individuales. Nótese también que en este caso se trata de un medio no dispersivo ya que los pulsos no cambian su forma al propagarse.

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Figura 1. Superposición de ondas

Examinemos detenidamente las dos ondas coexistentes en la figura 1-A. En cada punto(es decir, cada valor de kz), sumamos simplemente \(\psi_1+\psi_2\), pudiendo cualquiera de los dos ser positivo o negativo.

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Figura 1-A. Superposición de dos sinusoides \(\psi_1\) y \(\psi_2\) de igual longitud de onda que se propagan en la dirección z. La onda resultante tiene la misma longitud ,que en cada punto es igual a la suma algebraica de las ondas constitutivas
.

Recuerde que dondequiera que una componente de la onda sea cero (por ejemplo, \(\psi_1=0\) la perturbación resultante equivaldrá al valor de la otra componente de la onda distinto de cero (\(\psi_2\))y aquellas dos curvas se cruzaran en ese punto. Por otra parte,\(\psi=0\) dondequiera que las dos ondas constituyentes tengan la misma magnitud y signos opuestos.

Las siguientes figuras( 2 a 5) muestran cómo el resultado de la superposición de dos ondas de amplitud casi igual depende de la diferencia de ángulo de fase entre ellas. En la figura 2 las dos ondas constituyentes tienen la misma fase;es decir, su diferencia de ángulo de fase es cero, por lo tanto se dicen que están en fase;suben y bajan al paso, reforzándoce recíprocamente. La onda compuesta que tiene una amplitud considerable, es sinusoidal con la misma frecuencia y longitud de onda de las ondas componentes.

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Figura 2. La superposición de dos sinusoides con amplitudes de 1.0 y 0.9.\(\psi_1\) y \(\psi_2\) estan en fase y se propagan en la dirección positiva z.

Si seguimos la secuencia de los diagramas, vemos que la amplitud resultante disminuye al aumentar la diferencia de ángulo de fase, hasta que en la figura 5 casi desaparece al acercarse dicha diferencia a \(\pi\)


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Figura 3. \(\psi_1\) va por delante de \(\psi_2\) en \(\pi/3\) debido a su fase inicial y ambas se propagan en la dirección positiva de z.
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Figura 4. \(\psi_1\) va por delante de \(\psi_2\) en \(2\pi/3\) debido a su fase inicial y se propagan en la dirección positiva de z.
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Figura 5. \(\psi_1\) y \(\psi_2\) están desfasadas en \(\pi\) y casi se anulan mutuamente

Ahora sea \(\psi_1(r,t)\),\(\psi_2(r,t)\),..........,\(\psi_n(r,t)\) soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional.

\(\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}=\frac{1}{v^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}\)


Cualquier combinación lineal de éstas será, a su ves, una solución. Por lo tanto

\(\psi(r,t)= \sum_{i=1}^n C_i\psi_i (r,t) \)

satisface la ecuación de onda, donde los coeficientes \(C_i\) son simplemente constantes arbitrarías.Esta propiedad es denominada Principio de superposición y sugiere que la perturbación resultante en cualquier punto de un medio es la suma algebraica de sus ondas consecutivas separadas.

Existen unos cuantos métodos equivalentes de sumar matemáticamente dos o más ondas superpuestas que tienen la misma frecuencia y longitud de onda.

El método algebraico

Una solución de la ecuación diferencial de onda puede escribirse de la siguiente forma

\(E(z,t)=E_0\sin[\omega t-(kz+\varepsilon)]\qquad(1)\)

Donde \(E_0\) es la amplitud de la perturbación armónica que se propaga a lo largo del eje z positivo, y \(\varepsilon\) es la fase inicial de esta misma. Para separar las partes de espacio y tiempo de la fase, sea

\(\alpha(z,\varepsilon)=-(kz+\varepsilon)\qquad(2)\)

tal que

\(E(z,t)=E_0\sin[\omega t+\alpha(z,\varepsilon)]\qquad(3)\)

Supongamos entonces que tenemos dos ondas de esta clase

\(E_1=E_{01}\sin(\omega t+\alpha_1)\qquad(4)\)
y
\(E_2=E_{02}\sin(\omega t+\alpha_2)\qquad(5)\)

ambas con la misma frecuencia y velocidad, coexistiendo en el espacio.La perturbación resultante es la superposición lineal de estas dos ondas:

\(E=E_1+E_2\)

Al desarrollar las ecuaciones (4) y (5) con las formulas de adición de ángulos para coseno y seno, llegamos a

\(E=E_{01}(\sin\,\omega t\,\cos\, \alpha_1+\cos\, \omega t\,\sin\,\alpha_1)+E_{02}(\sin\,\omega t\,\cos\,\alpha_2+\cos\,\omega t\,\sin\,\alpha_2)\)


Al separar los términos que dependen del tiempo, la misma se transforma en

\(E=(E_{01}\cos\alpha_1+E_{02}\cos\alpha_2)\sin\omega t+(E_{01}\sin\alpha_1+E_{02}\sin\alpha_2)\cos\omega t\qquad(6)\)

Ya que los términos entre paréntesis son constantes en el tiempo, sea

\(E_0\cos\alpha=E_{01}\cos\alpha_1+E_{02}\cos\alpha_2\qquad(7)\)
y
\(E_0\sin\alpha=E_{01}\sin\alpha_1+E_{02}\sin\alpha_2\qquad(8)\)

Elevemos al cuadrado al cuadrado y sumemos las ecuaciones (7) y (8) para obtener

\(E_0^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}\cos(\alpha_2-\alpha_1)\qquad(9)\)

y dividamos las ecuaciónes (7) y (8) para tener

\(\tan\alpha=\frac{E_{01}\sin\alpha_1+E_{02}\sin\alpha_2}{E_{01}\cos\alpha_1+E_{02}\cos\alpha_2}\qquad(10)\)

La perturbación total queda entonces

\(E=E_{0}\cos \alpha \sin \omega t+E_0\sin\alpha \cos\omega t\)
o bien
\(E=E_0 \sin (\omega t+ \alpha)\qquad(11)\)

De la superposición de las ondas sinusoidales \(E_1\) y \( E_2\) resulta una perturbación individual. La onda compuesta [(ec.11)]es armónica y de la misma frecuencia que las constitutivas aunque su amplitud y fase sean diferentes.

Apartir de las ecuaciones (7) y (8)podemos entonces encontrar la amplitud y fase de la onda resultante.

El método complejo

En ocasiones recurrir a los números complejos es de gran utilidad, en particular para el estudio de la superposición de perturbaciones armónicas nos es de gran ayuda.

Sea la onda
\(E_1=E_{01}\,\cos(kz\pm \omega t+\varepsilon_1)\)
o bien si hacemos
\(\alpha_1=kz+ \varepsilon_1\)
\(E_1=E_{01}\,\cos(\alpha_1\pm \omega t)\)

Si a esta onda la escribimos en forma compleja, tendriamos que utilizar la fórmula de Euler de la siguiente manera

\(e^{i(\alpha_1\pm\,\omega t)}=\cos(\alpha_1\pm\,\omega t)+i\,\sin(\alpha_1\pm\,\omega t)\)

recordemos que por regla general se ecoge la parte real, que es en la que estamos interesados en cuyo caso nuestra onda armónica se escribe como

\(\tilde{E_1}=E_{01}e^{i(\alpha_1\pm\,\omega t)}\qquad (1)\)

Supongamos que hay N de tales ondas superpuestas que tienen la misma frecuancia y viajan en la dirección positiva de z. La onda resultante viene dada por

\(\tilde{E}=E_0e^{i(\alpha+\,\omega t)}\)

o bien después de sumar las ondas componentes, tenemos que

\(\tilde{E}=\left[\sum_{j=1}^N E_{0j}e^{i\alpha_j }\right]e^{+i\omega t}\qquad (2)\)

La cantidad

\(E_{0}e^{i\alpha }=\left[\sum_{j=1}^N E_{0j}e^{i\alpha_j }\right]\qquad (3)\)

se denomina amplitud compleja de la onda resultante[2] y es simplemente la suma de las amplitudes de las ondas constitutivas.

Como
\(E_O^2=(E_0e^{i\alpha})(E_0e^{i\alpha})^{*}\qquad (4)\)
si N=2
\(E_O^2=(E_{01}e^{i\alpha_1}+E_{02}e^{i\alpha_2})\,(E_{01}e^{-i\alpha_1}+E_{02}e^{-i\alpha_2})\)

Desarrollando

\(E_O^2=E_{01}^2+E_{02}^2+E_{01}E_{02}[e^{i(\alpha_1-\alpha_2)}+e^{-i(\alpha_1-\alpha_2})]\)
o
\(E_O^2=E_{01}^2+E_{02}^2+2E_{01}E_{02}\cos(\alpha_1-\alpha_2)\)

que como podemos ver es identica a la ecuación (8)

Suma de fasores

La suma descrita por la ecuación (3) puede representarce graficamente como la suma de vectores en el plano complejo.

En el lenguaje de la ingeniería electrónica, la amplitud compleja se denomina fasor, estando definido por su amplitud y fase y que a menudo suele escribirse como \(A<\alpha\)

Al combinar funciones de onda, por lo general, lo que nos interesa es la amplitud y la fase resultantes. Teniendo esto presente, examínese otra vez la manera en que las ondas se suman en las figuras 2 a 5. Al parecer para perturbaciones que estan en fase (figura 2), la amplitud de la onda resultante, A, es la suma de de las amplitudes constituyentes\[A=A_1+A_2=1.0+0.9=1.9\]. Obtendríamos lo mismo si sumásemos dos vectores colineales orientados en la misma dirección. De forma analoga (figura 5), cuando las ondas componentes estan desfasadas 180° \(A=A_1-A_2=1.0-0.9=0.1\), como si sumáramos dos vectores colineales orientados hacia direcciones opuestas. Aunque los fasores no son vectores, se suman de forma muy similar.

Dos fasores arbitrarios \(A_1<\alpha_1\) y \(A_2<\alpha_2\), se combinan punta con cola, como lo harían normalmente los vectores (figura 6), para producir una resultante \(A<\varphi\).Dado que los dos fasores giran juntos con una velocida \(\omega\), podemos simplemente congelar en t=0 y despreocuparnos por su dependencia en el tiempo.

Imaginemos una onda ármonica \(\psi=A \sin(kz+\left ( \frac{\pi}{3} \right ))\),donde podemos ver que tiene una fase inicial \(\frac{\pi}{3}\) y amplitud A , en cuyo caso el fasor es \(A<\frac{\pi}{3}\).

Imaginemos que tenemos una perturbación descrita por
\(A_{01}=A_{1}\sin(\omega t\,+\,\alpha_1)\)

Y representemos a esta por un vector de longitud \(A_{1}\) que gira a la izquierda con una rapidez \(\omega\),este vector rotatorio es un fasor \(A_{1}<\alpha_1\) tal que su proyección en el eje vertical es \(A_{1}\sin\omega t+\alpha_1\) y la proyección sobre el eje horizontal es \(A_{1}\cos\omega t+\alpha_1\)

Si además consideramos una segunda onda\(A_{02}=A_{2}\sin(\omega t +\alpha_2)\), podemos ver que la suma algebraica de estas es la proyección en el eje Idel fasor resultante determinado por la suma vectorial de los fasores componentes. Veanse figura (6) y (7)

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Figura 6. Suma vectorial de dos ondas
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Figura 7.

Como ejemplo examinemos la onda resultante de la suma de

\(E_1=5\sin\omega t\)
\(E_2=10\sin\omega t\)
\(E_3=5\sin\omega t\)
\(E_4=10\sin\omega t\)
y
\(E_5=8\sin\omega t\)

Los fasores correspondientes son:5<0°,10<-15°, 10<120°, y 8>180°se representan graficamente en la figura 8. Por lo que se puede ver que cada ángulo de desface, bien sea positivo o negativo, esta referido a la horizontal.

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Figura 8.Suma de E1,E2,E3,E4 y E5

Batidos de ondas

La formación de batidos ocurren cuando dos ondas sinusoidales con frecuencias diferentes pero muy parecidas interfieren. Este fenómeno se describe a continuación.

Consideremos dos ondas con igual amplitud pero con diferentes frecuencias que viajan en la misma dirección, ambas viajan también con la misma velocidad (el número de onda y la frecuencia angular de las dos ondas son diferentes pero su radio es el mismo).

\(E_1=E_{0}\cos(k_1 z -\omega_1 t)\)
\(E_2=E_{0}\cos(k_2 z - \omega_2 t)\)

Por lo discutido en la sección precedente la propagación combinada es

\(E=E_{0}(\cos(k_1 z -\omega_1 t)+\cos(k_2 z - \omega_2 t))\)

Es conveniente recordar la siguiente identidad (que resulta de combinar dos identidades trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos):

\(\cos(\alpha)+\cos(\beta) =2\cos\frac{(\alpha + \beta)}{2}\cos\frac{(\alpha - \beta)}{2}\)

Usando esto con \(\alpha=k_1 z - \omega_1 t\) y \(\beta=k_2 z- \omega_2 t\), reescribimos la onda resultante como

\(E=2E_{0}\cos\frac{1}{2}((k_1+k_2) z -(\omega_1 +\omega_2) t)\cos\frac{1}{2}((k_1-k_2) z -(\omega_1 -\omega_2) t)\)

Esta expresión se compacta al definir las cantidades

Frecuencia angular media:
\(\bar \omega =\frac{1}{2}(\omega_1 + \omega_2)\)
Media del número de onda:
\(\bar k =\frac{1}{2}(k_1 + k_2)\)
Frecuencia de modulación:
\(\omega_m =\frac{1}{2}(\omega_1 - \omega_2)\)
Número de onda de modulación:
\(k_m =\frac{1}{2}(k_1 - k_2)\)

Quedando

\(E(z,t)=2E_{0}\cos(k_m z -\omega_m t)\cos(\bar k z -\bar \omega t)\)

Desde el punto de vista matemático, este resultado es válido para cualquier valor de \(\omega_1\) y \(\omega_2\), empero la descripción que deseamos hacer del fenómeno de batido tiene sentido físico si \(\mid\omega_m\mid<<\bar \omega\), esto es, que las frecuencias de las ondas superpuestas sean muy parecidas como mencionamos al principio de esta sección. Pudiendo ahora considerar a la perturbación resultante como una onda con frecuencia \((\omega_1 + \omega_2)/2\) y con una amplitud igual a \(2E_{0}\cos(k_m z -\omega_m t)\) que varía periódicamente en el tiempo de manera muy lenta.

En la figura 9, se muestra (parte superior y central) una animación de dos ondas con una relación de frecuencia de 6:5, que se desplazan en la dirección positiva del eje z, teniendo ambas la misma amplitud. También podemos observar en la parte inferior la superposición de ambas perturbaciones.

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Figura 9. Batido de ondas

El desplazamiento combinado puede ajustarse dentro de la envolvente definida por las ecuaciones

\(E_{01}(z,t)=\pm 2\cos(k_m z -\omega_m t)\)

De la figura 9 notemos también que el tiempo transcurrido entre ceros sucesivos de la perturbación resultante es igual a un semiperíodo del factor modulador dado por la ecuación anterior, es decir,

\(T=\frac{T_{01}}{2}=\frac{\frac {2\pi}{\mid\omega_m\mid}}{2}=\frac {2\pi}{\mid\omega_1-\omega_2\mid}\)

A la frecuencia \(\mid\omega_1-\omega_2\mid\) se le conoce como frecuencia de batido.[3]

--Roberto Verdel Aranda 05:48 30 mar 2012 (UTC)

Referencias

  1. Hetch,Óptica, Ed.Pearson,3ra ed 2006, pp.289-290
  2. Hetch,Óptica, Ed.Pearson,3ra ed 2006, pp.294-295
  3. A. P. French; Vibraciones y ondas; Reverté; 2000. pp. 28-29
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