'Wikidiff2', 'version' => '', 'author' => 'Tim Starling', 'description' => 'external diff engine for MediaWiki', 'url' => 'https://www.mediawiki.org/wiki/Extension:Wikidiff2' ); $wgExternalDiffEngine = 'wikidiff2'; Numeros complejos - Luz-wiki

Numeros complejos

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Un número complejo se puede representar mediante una expresión de la forma \(z=x+iy\), donde \(x\) y \(y\)son números reales, e \(i\) es un símbolo con la propiedad de que \(i^2=-1\). El número complejo \(x+iy\) también se puede denotar por medio del par ordenado \((x,y)\)y graficar como un punto en un plano llamado (plano de Argand), donde el eje \(x\) es el eje real y el eje \(y\), el eje imaginario, tal como se muestra en la figura 1.

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Figura 1. Números complejos como puntos en el plano de Argand

La parte real del número complejo \(x+iy\)es el número real \(x\)la parte imaginaria, el número real \(y\).

La suma de dos números complejos se define sumando sus partes reales e imaginarias, respectivamente:

\((x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\)
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Figura 2. Suma de complejos

El producto de los números complejos se define de la siguiente manera:

\((x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1)(x_2+iy_2)+(iy_1)(x_2+iy_2)\)
\(=x_1x_2+x_1y_2i+y_1x_2i+(y_1y_2)i^2\)
Ya que \( i^2=-1\), lo anterior se transforma en
\((x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+y_1x_2)i\)

El complejo conjugado del número complejo \(z=x+iy\), se define como \(\tilde{z}=x-iy\).

Para determinar el cociente de dos números complejos, multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

\(\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\,\frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2}\)

El módulo, o valor absoluto \(|z|\) de un número complejo \(z=x+iy\) es su distancia al origen. En la figura 3 vemos que si \(z=x+iy\), entonces

\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)

Observe que

\(z\tilde{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+xyi-xyi-y^2i^2=x^2+y^2\)
de modo que
\(z\tilde{z}=|z|^2\)
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Figura 3. Módulo, Conjugado y opuesto de un número complejo

Esto explica por qué funciona, en general, el procedimiento de división. \(\frac{z}{w}=\frac{z}{w}\frac{\tilde{w}}{\tilde{w}}=\frac{z\tilde{w}}{|w|^2}\)

Forma polar

Si consideramos todo número complejo
\(\tilde{z}=x+iy\)
como un punto \((x,y)\) en el plano de Argand (figura 1)este puede representarse en términos de coordenadas polares.

[1] \((r,\theta)\).Tenemos

\(x=rcos\theta\), \(y=rsen\theta\)
\(\tilde{z}=x+iy=r(cos\theta+i\, sen\theta)\)

Donde \(r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)

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Figura 4. Forma polar de un número complejo

La forma polar de los números complejos proporciona una perspectiva de la multiplicación y la división, Sean \(\tilde{z_1}=r_1(cos\theta_1+isen\theta_1)\) y \(\tilde{z_2}=r_2(cos\theta_2+isen\theta_2)\) expresados en forma polar.Entonces

\(\tilde{z_1}\tilde{z_2}=r_1r_2(cos\theta_1+isen\theta_1)(cos\theta_2+isen\theta_2)\)
\(\tilde{z_1}\tilde{z_2}=r_1r_2(cos\theta_1\,cos\theta_2-sen\theta_1\,sen\theta_2)+i(sen\theta_1\,cos\theta_2+cos\theta_1\,isen\theta_2)\)

Con las formulas adición de angulos para coseno y seno, llegamos a

\(\tilde{z_1}\tilde{z_2}=r_1r_2[(cos\theta_1+\theta_2)+i(sen\theta_1+\theta_2)]\)
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Figura 5. Producto de complejos en forma polar

Entonces al multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos:[2] ,(figura 3). Un análisis similar muestra que para dividir dos números complejos, se dividen los módulos y se restan los argumentos.

\(\frac{\tilde{z_1}}{\tilde{z_2}}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+isen(\theta_1-\theta_2)]\)


La multiplicación y la divisiónen en forma polar es muy simple y se expresan de la iguiente manera\[\tilde{z_1}\, \tilde{z_2}=r_1 r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\] En donde utilizamos la fórmula de Euler para expresarlas así.


La fórmula de Euler es:

\(\mathbf{e}^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\qquad (1)\)
por lo anterior
\(e^{i(-\theta)}=cos(-\theta)+isen(-\theta)\)

debido a que \(cos(-\theta)=cos(\theta)\) por ser una función par y \(sen(-\theta)=-sen(\theta)\) por ser una función impar

tenemos que
\(e^{-i\theta}=cos\theta-isen\theta\qquad (2)\)


sumando y substrayendo la ecuación (1) y (2) llegamos a

\(cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\),

\(sen\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2i}\)

Esta misma formula nos permite escribir
\(\tilde{z}=re^{i\theta}=rcos\theta+irsen\theta\)

Cualquier número complejo se puede representar como la suma de una parte real \(Re(\tilde{z})\) y una parte imaginaria \(Im(\tilde{z})\) tal como se menciono anteriormente.

\(\tilde{z}=Re(\tilde{z})+Im(\tilde{z})\)

En la forma polar donde

\(Re(\tilde{z})=rcos\theta\)
y
\(Im(\tilde{z})=rsen\theta\)

En el caso particular, como es el de describir una onda armónica en su representación compleja , tenemos la libertad de escoger cualquier parte.[3]

Referencias

  1. Ruel V.Churchill,Variable compleja y aplicaciones,Ed.y McGraw-Hill,1 ed, 1988 pp.14-19
  2. James Stewart,Cálculo,Ed.Thomson,México 2006, pp.A79-A85
  3. Hecht, Óptica, Ed.Pearson, 3ra ed 2006, pp.23-24
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